循环群的性质研究

淮北师范大学

2012届学士学位论文

循环群的性质研究

学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数

学生姓名潘帅

学号20081101142

指导教师姓名张波

指导教师职称讲师

2012年4月3日

循环群的性质研究

潘帅

（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）

摘要

设G是一个群，a G

，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。

文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。

关键词：循环群，子群，同构，自同构群

Study on the Properties of Cyclic Groups

Pan Shuai

(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )

Abstract

Let G be a group, a G

∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+

algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.

The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.

Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group

目录

一、引言 (1)

二、群的定义 (1)

三、循环群的若干问题 (7)

1、定义与性质 (7)

2、循环群的性质 (8)

3、循环群的判定 (9)

四、循环群的同态，同构 (11)

五、结论 (14)

参考文献 (14)

致谢 (15)

一、引言

当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。近代数学的思想方法、观点和结论正在深入地渗透进自然科学和社会科学的众多理论分支，这是因为各门学科越来越走向定量化，越来越需要用数学来表达其定量和定性的规律，并且运用数学的方法和成就来加速自身的发展。“高科技本质上是一种数学技术"的观念已日益为人们所共识。

代数学是探讨元素的运算体系的，这些元素像数一样，可以用加法或乘法或同时用两者把它们结合起来。体系的性质取决于一些基本定律(如闭合律、结合律、交换律、分配律、零和单位元素、负和逆等)中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群是现代代数学中最基本、最重要的代数系，是一个非常活跃的领域，也是目前研究成果最丰富、研究最广泛的代数系。群，简而言之是对某种运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代数系的提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用，是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑。

群论自十九世纪E．Galois创立以来，不仅成为近世代数的重要分支，而且其应用范围已深入到科学技术各个领域。尤其是自然科学的物理、化学和生物的研究中，群论已成为必不可少的强有力的数学工具。

二、群的定义

在研究循环群的性质之前，我们来研究一下什么叫群：

群的第一定义：我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如

I. G对于这个乘法来说是闭的；

II. 结合律成立：

=

a bc a

b c

()()

对于G的任意三个元,,

a b c都对；

III. 对于G的任意两个元,a b来说，方程

=

=和ya b

ax b

都在G里有解。

例1 G只包含一个元g⋅乘法gg g G

=⋅对于这个乘法来说作成一个群。因为I．G是闭的；

II．()()

==；

g gg gg g g

III．gx g

=有解，就是g；

=有解，就是g.

yg g

例2 G是群体整数的集合，G对于普通加法来说作成一个群。因为

I．两个整数相加还是一个整数；

II．()()

++=++；

a b c a b c

III．,a b是整数的时候，a x b

+=有整数解。

+=，y a b

例3 G是所有不等于零的整数的集合，G对于普通乘法来说不作成一个群。因为，固然

I．整数乘整数还是整数；

II．()()

=

a bc a

b c

但32

x=没有整数解，III不能被满足。

但G若是全体不等于零的有理数的集合，那么G对于普通乘法来说作成一个群。

现在假定G是一个群。我们证明G有以下性质。

IV．G里至少存在一个元e，叫做G的一个左单位元，能让

=

ea a

对于G的任何元a都成立。

证明：由III，对于一个固定的元b，

=

yb b

在G里有解。我们任意取一个解，叫它作e：

（1）eb b

=

我们说，对于G的一个任意元a,

=

ea a

成立。由III，bx a

=有解c：

（2）bc a

=

由（1），（2），II，

ea e bc eb c bc a

====

()()

这样，我们证明了e的存在。证完。

V．对于G的每一个元a，在G里至少存在一个元1

a-，叫做a的一个左逆元，能让

-=

1

a a e