有理数乘方概念
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有理数乘方
22、73也可以看做是乘方运算的结果,这时它们表示数,分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”,
其中2与7叫做底数(base),2与3叫做指数(exponent)。
这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方(power),乘方的结果叫做幂(power),a叫做底数(base number),n叫指数(exponent)。任何数的0次方都是1,例:3º=1(注:0º无意义)
有理数乘方同底数幂法则
同底数幂相乘除,原来的底数作底数,指数的和或差作指数。
推导:
设a^m*a^n中,m=2,n=4,那么
a^2*a^4
=(a*a)*(a*a*a*a)
=a*a*a*a*a*a
=a^6
=a^(2+4)
所以代入:a^m*a^n=a^(m+n)
用字母表示为:
a^m·a^n=a^(m+n) 或a^m÷a^n=a^(m-n) (m、n均为自然数)
1)15^2×15^3; 2)3^2×3^4×3^8; 3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90
1)15^2×15^3=15^(2+3)=15^5
2)3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14
3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095[1]
有理数乘方正整数指数幂法则
a^k=a*a*....*a(k个a),其中k∈N*(即k为正整数)
有理数乘方指数为0幂法则
a^0=1 ,其中a≠0 ,k∈N*
推导:
a^0
=a^(1-1)
=(a^1)/(a^1)
=a/a
=1
有理数乘方负整数指数幂法则
a^(-k)=1/(a^k) ,其中a≠0,k∈N*
推导:
a^(-k)
=a^(0-k)
=(a^0)/(a^k)
=1/(a^k)[2]
有理数乘方正分数指数幂法则
a^(m/n)=
,其中n≠0 , m/n>0,m,n∈N*(即m,n为正整数)
有理数乘方负分数指数幂法则
a^[-(m/n)]=
,其中,a^m≠0(
≠0,a≠0),m/n>0,n≠0,m,n∈N*
推导:
a^[-(m/n)]
=a^(0-m/n)
=(a^0)/[a^(m/n)]
=1/[a^(m/n)]
=1/
=
分数指数幂时,当n=2k,k∈N*,且a^m<0时,则该数在实数范围内无意义特别地,0的非正数指数幂没有意义
有理数乘方平方差
两数和乘两数差等于它们的平方差。
用字母表示为:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
推导:
(a+b)(a-b)
=(a+b)a-(a+b)b
=(a^2+ab)-(b^2+ab)
=a^2-b^2[3]
有理数乘方幂的乘方法则
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
用字母表示为:
(a^m)^n=a^(m×n)
幂的乘方
特别指出:a^m^n=a^(m^n)
有理数乘方积的乘方
积的乘方,先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。
用字母表示为:
(a×b)^n=a^n×b^n
这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如:
(a×b×c)^n=a^n×b^n×c^n
有理数乘方同指数幂乘法
同指数幂相乘,指数不变,底数相乘。
用字母表示为:
(a^n)*(b^n)=(ab)^n
有理数乘方完全平方
两数和(或差)的平方,等于它们的平方的和加上(或者减去)它们的积的2倍。
用字母表示为:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2或(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
我们一般把前者叫作完全平方公式,把后者叫作完全平方差公式。
有理数乘方立方和
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
有理数乘方立方差
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[4]
有理数乘方多项式平方
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
有理数乘方二项式
艾萨克·牛顿发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说,二项式也可以这样表示:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…… …… ……
这就是著名的杨辉三角。
有理数乘方速算
有些较特殊的数的平方,掌握规律后,可以使计算速度加快,现介绍如下。
由n个1组成的数的平方
我们观察下面的例子。
1^2=1
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
……
由以上例子可以看出这样一个规律;求由n个1组成的数的平方,先由1写到n,再由n写到1,即:
11...1(n个1)^2=1234...(n-1)n(n-1) (4321)
注意:其中n只占一个数位,满10应向前进位,当然,这样的速算不宜位数过多。
由n个3组成的数的平方
我们仍观察具体实例:
3^2=9
33^2=1089
333^2=110889
3333^2=11108889
33333^2=1111088889
由此可知:
33…3(n个3)^2 = 11…11【(n-1)个1】0 88…88【(n-1)个8】9