函数的凹凸性与作图.ppt

3
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f
(x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x2 x2 2x
3x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
y x2 1
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三、函数的作图
步骤 :
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例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 (xn yn ) ( x y )n (x 0, y 0, x y, n 1)
2
2
证明：设 f (t) tn (t 0,n 1) 则
f (t) ntn1, f (t) n(n 1)tn2,
当 t 0,n 1 时，有 f (t) 0
图形是下凸的; （弦在弧的上方，或切线在曲线下方）
(2) 若恒有
则称
图形是上凸的 . （弦在弧的下方，或切线在曲线上方）
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关于函数凹凸性的判定, 有下面的结论：
定理1 设函数 f 在区间I上可导，则 f 在区间I上下凸 （上凸）的充要条件是f ´(x)在区间I上单调增加（减少）
f
(2
2!
)(
x2
x1
2
x2)2
两式相加
f (x1)
f
(
x2
)
2
f
(x1
2
x2)
1 2!
(
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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例1. 判断曲线
2)
求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 ,
x2
2 3
,
对应
y1
(0,1)
1,
y(232
, 12121717)
3) 列表判别
2 3
x (,0)
0
(0, 32)
2 3
(
2 3
,
)
y 0 0
y
下凸
1
上凸
11 27
下凸
故该曲线在 (,0) 及 (32 , ) 下凸, 在(0, 32)上 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 (32 , 1217) 均为拐点.
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
第五节
第三章
曲线的凸性与函数作图
一、曲线的凸性 二、渐近线 三、函数的作图
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一、曲线的凸性
定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
B
则称
图形是下凸的; 或称f (x)为I上的下凸函数。
弦在弧的上方；切线在曲线的下方。
A
y
o
x1 x1 x2 x2 x
2
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(2) 若恒有
则称
图形是上凸的; 或称f (x)为I上的上凸函数。
弦在弧的下方；切线在曲线的上方。
下凸也称为凸，上凸也称为凹。 y
o
x1 x1 x2 x2 x
2
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等价定义：
定义1´：设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
则称
即上述 f（t）为下凸函数，于是对任意 x 0, y 0 有：
1 (xn yn) ( x y)n
2
2
二、 曲线的渐近线
定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
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例3. 求曲线
的拐点.
2
5
解:
y
1 3
x
3,
y
2 9
x
3
x (,0) 0 (0, )
y
不存在
y 下凸
0
上凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
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说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凸性不变 .
2) 根据拐点的定义, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线
的一个拐点.
求拐点的步骤见教材P162.
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例4. 求曲线
的上（下）凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x(x 32)
(1) 在 I 内
则 在 I 内图形是下凸的 ;
(2) 在 I 内
则 在 I 内图形是上凸的 .
证:
利用一阶泰勒公式可得
f (x1)
f
(x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2
)(
x1wk.baidu.com
x1 x2 2
)
f
(1)
2!
(
x1
x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2
x1
2
x2)
解: y 4x3,
的凸性.
故曲线
在
上是下凸的.
例2. 判断曲线 解: y 3x2 ,
的凸性.
y ox
故曲线
在
在
内是上凸的. 内是下凸的.
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曲线凸性的分界点称为拐点
定义2：设
内的点，如果曲线在点 的左右两侧凸性相反，则称点
为此曲线的拐点.
注意：拐点是曲线上的点，不能说 是拐点。 与极值点不一样。
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
证明：
令
则
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必要性：若f 是下凸函数，由定义有
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令
得：
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充分性： 设
单调增加，对函数
分别在区间
上用拉格朗日中值定理得：存在
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定理2.(凹凸判定法) 设函数 在区间I 上有二阶导数
1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
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2. 斜渐近线
若
(kx b)
(或x )
(kx b)
lim x[ f (x) k b ] 0
x x
x
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]