双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用

新课标高一数学在“基本不等式

ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x

x y 1

+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习

课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习

x

b

ax y +

=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x

b

ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）

的直线为渐近线的双曲线．

首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x

b

的值比较，当x 很大很大的时候，

x

b

的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b

ax y +=（ab ≠0）表示

的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇

函数，它的图象应该关于原点成中心对称．

由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．

例1．若函数x

x y 3

233+=

是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲

线的定义．

分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3

3

=

和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32,

由渐近线与实轴的夹角是30º，则有a

b

=tan30º,

得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,

x

x 3

233+）满足3421=-PF PF 即可；

34)323

23

2()323232()323

23

()2()32323

(

)2(222221=++--+

=++++--+

+-=-x x x x x x x x x x PF PF

所以，函数x

x y 3

233+=

表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）

2．2五种表现形式

表现 1：函数x

b

ax y +

= （a >0,b >0）的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在

⎥⎦⎤-

-∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡a

b

上函数分别是单调递增的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤

⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=a

b

处

有极小值；值域是(][)

+∞-∞-,22,ab ab ．

表现 2：函数x

b

ax y += （a <0,b <0）

的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和

),+∞⎢⎣⎡a b 上函数分别是单调递减的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦

⎤

⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -

处有极小值，在x=a

b

处有极大值；值域是(][)

+∞-∞-,22,ab ab ．

表现1图

表现 3：函数x

b

ax y +

= （a >0,b <0）的双曲线大概图象如右：

此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x

b

a y -

='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．

表现 4：函数x

b

ax y +

= （a <0,b >0）的双曲线图象如右：

此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2

x b

a y -

='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R

特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．

表现 5：函数 x

b

y = (x ≠0) 是等轴双曲线，以轴、y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数

2、3应用举例与重点推广

这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．

例2．已知x >y >0 , xy=1 ,求y

x y x -+2

2的最小值及此时x 、y 的值

解：∵x >y >0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，

∴y x y x -+22=

222

)(2)(2≥-+-=-+-y

x y x y x xy y x ； 解混合式⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

-=-=y x y x xy y x 210

得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x

所以当：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+=22

6226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．