2011g3wsyl003 第三讲 函数的基本性质
第一章1.3函数的基本性质
1.3函数的基本性质一、函数的单调性 课型A例1. 求证：y =+()3,4上递增。
证明略例2. 判断函数x x x f 1)(+=在[)1,0-上的单调性，并证明。
单调减 证明略例3. 求下列函数的单调区间：① 22y x x =- 单调减区间(),1-∞ 单调增区间()1,+∞② y = 单调减区间(),0-∞ 单调增区间()2,+∞③ 22y x x =- 单调减区间(),0(1,2)-∞和 单调增区间()2,(0,1)+∞和④ 22y x x =- 单调减区间()1,0-和()1,+∞ 单调增区间(),1-∞-和()0,1例4. 若2()3f x x ax =-+-在(],2-∞-上递增，求a 的取值范围。
（4a ≥-）例5．函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于 （ D）A 10BC 9D 6二、函数的奇偶性 课型A例1. 判断下列函数的奇偶性：○1 122)(2++=x x x x f ； 非奇非偶函数 ○2 x x x f 2)(3-=； 奇函数非偶函数 ○3 a x f =)( （R x ∈） 当0a =时，既是奇函数又是偶函数 当0a ≠时， 是偶函数非奇函数○4 ⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x 奇函数非偶函数 例2．已知函数53()8(2)=10f x x ax bx f =++--且，那么(2)f 等于 ( A )A 26-B 18-C 10-D 10例3．已知函数2()f x ax bx c =++是偶函数，那么是32()g x ax bx cx =++是（ A ）A.奇函数B. 偶函数C. 既奇又偶函数D. 非奇非偶函数例4. 已知2()(11)1x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 ① 求,a b 的值 （0，0）② 判断()f x 的单调性并证明。
解：（1）()f x Q 为奇函数 (0)0f ∴=(0)0,01a f a ∴==∴= 又11(1)(1),,022f f b b b --=-∴=-∴=-+Q （2）()f x 在[]1,1-上单调增。
必修三函数——函数的性质及应用
必修三函数——函数的性质及应用函数是高中数学的重要课程之一。
在必修三函数中，我们将学习到函数的性质以及函数在实际生活中的应用。
本文将从以下几个方面展开讲述：一、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入的自变量的取值范围，函数的值域是指函数的输出范围。
限定定义域和值域可以保证函数在定义范围内的有效性。
2. 奇偶性：函数的奇偶性是指将函数的自变量取相反数能否得到相同的函数值。
奇函数的奇偶性表现为-f(x) = f(-x)，偶函数的奇偶性表现为f(x) = f(-x)。
根据函数的奇偶性可以进行分析和求解。
3. 单调性：函数的单调性是指函数的值是否随着自变量的变化而单调增加或单调减少。
可以根据函数的单调性求出函数的极值点。
4. 周期性：函数的周期性是指函数的值是否会在特定的自变量值处重复出现。
例如正弦函数和余弦函数具有周期性。
二、函数的应用1. 函数图像：函数的图像是指将函数的自变量和函数值分别作为横轴和纵轴，按照函数的定义域和值域画成的曲线。
函数图像可以通过函数的性质进行推导和分析，也可以进行数学建模。
2. 一次函数和二次函数：一次函数和二次函数是函数的两种特殊形式，它们都具有很好的实际应用。
例如，一次函数可以用来表示速度、经济增长率等，二次函数可以用来表示抛物线运动和调和振动等。
3. 指数函数与对数函数：指数函数是指以指数为自变量，底数为常数的函数。
指数函数的应用非常广泛，例如在描述生物学、金融、物理、化学等方面都有应用。
对数函数是指将对数运算作为函数的函数，它在科学计算、信息处理和金融领域有着重要的应用。
4. 三角函数：三角函数是描述周期性现象的数学工具，它们在物理学、工程、电子、地理和天文学等领域都有着广泛的应用。
总结：必修三函数是高中数学的重要课程，学习函数的性质可以帮助我们更好地理解函数的本质，学会函数的应用可以帮助我们应用数学知识解决实际生活中的问题，同时也可以帮助我们培养数学建模和解决实际问题的能力。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
1.3_函数的基本性质_教学设计_教案.docx
教学准备1. 教学目标l.知识与技能（1）通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系；（2）掌握集合中元素的三要素：确定性。
互异性。
无序性；（3）掌握常用数集及其专用记号；会用列举法或描述法表示集合。
2.过程与方法（1）通过生活中的实例，让学生理解、感知事物的共性，启发、引导学生归纳出集合的含义。
（2）快速阅读教材，让学生归纳整理本节所学知识。
3.情感、态度与价值观本节课是高中的入门课，也是比较抽象的一节课，通过不同的图片展示，使学生感受集合其实就存在于我们的生活，化抽象为具体，进而培养学生抽象概括的能力，增强学习的积极性。
2. 教学重点/难点重点：集合的含义与表示方法。
难点：集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性。
3. 教学用具课件4. 标签教学过程（一）自学指导：1.教师首先提出问题：通过PPT图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引导学生举出一些集合的例子。
通过举例说明和互相交流。
做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价。
2.教师帮助学生修改所总结的定义，并指出：这就是我们这一堂课所要学习的内容。
3.用6分钟时间预习教材P2~P5,完成下列内容：（二）师生互动：1.利用多媒体向学生展示三张图片，找出图片的共性；2.回归教材，利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：（1）1~20以内所有的质数；（2）我国在1991~2003年这13年内所发射的所有人造卫星；（3）某汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程的所有实数根；（8）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体。
教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么？3.每个小组选出--位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义。
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
中职数学基础模块上册3-3函数的性质教学课件
练习
——奇偶性
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
——奇偶性
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
——奇偶性
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
3.3.2
函数的奇偶性
——奇偶性
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
大千世界，美无处不在．
——奇偶性
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．
——奇偶性
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数 具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．
——奇偶性
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？如果 有，请举例说明．
——奇偶性
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——奇偶性
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练 习
3.3.3
几个常见的函数
—几个常见的函数 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
回顾义务教育阶段学过的一次函数、反比例函数与二 次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎 样的呢？如何用数学的语言表达？
—几个常见的函数 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
—几个常见的函数 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
函数的基础知识大全
函数的基础知识大全在数学的广阔天地中，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数学概念和实际问题。
函数的概念虽然看似抽象，但它却在我们的日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进函数的世界，探索它的基础知识。
一、函数的定义简单来说，函数是一种对应关系。
给定一个输入值（通常称为自变量），通过这种对应关系，能唯一确定一个输出值（通常称为因变量）。
比如说，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ，当 x ＝ 3 时，通过这个对应关系，就能确定 f(3) ＝ 6 。
函数通常用字母 f 、g 等表示，自变量常用 x 、y 等表示。
函数的表达式可以是多种多样的，比如常见的整式、分式、根式等等。
二、函数的三要素1、定义域定义域是自变量 x 的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／ x ，由于分母不能为 0 ，所以其定义域就是x ≠ 0 。
确定定义域时，需要考虑函数的表达式、实际问题的背景等因素。
2、值域值域是因变量 y 的取值范围。
它是由定义域和函数的对应关系共同决定的。
比如对于函数 f(x) ＝ x²，因为 x²总是大于等于 0 的，所以其值域就是y ≥ 0 。
3、对应法则对应法则是函数的核心，它规定了自变量和因变量之间的具体关系。
不同的对应法则会产生不同的函数。
三、函数的表示方法1、解析法用数学表达式来表示函数，如前面提到的 f(x) ＝ 2x 、f(x) ＝ 1 ／ x 等。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数。
例如，在一个表格中列出不同时刻的温度值，就可以看作是一个函数。
3、图像法将函数用图像的形式表示出来。
图像能够直观地反映函数的性质，比如单调性、奇偶性等。
四、常见的函数类型1、一次函数形如 f(x) ＝ kx ＋ b （k、b 为常数，k ≠ 0 ）的函数称为一次函数。
它的图像是一条直线。
2、二次函数形如 f(x) ＝ ax²＋ bx ＋ c （a ≠ 0 ）的函数称为二次函数。
函数的基本性质
函数的基本性质xx年xx月xx日•函数的定义和表示•函数的性质•初等函数目录•函数的扩展和深化•应用领域01函数的定义和表示函数是一种从集合A到集合B的映射关系，即f:A->B。
集合A中的每一个元素都有唯一对应集合B中的一个元素。
函数的定义图象法用图象表示函数关系，形象直观，易于观察，但处理复杂数据时不够直观。
函数的表示常用的函数表示方法有解析法、表格法和图象法。
解析法用数学式子表示函数关系，简单清晰，易于理解。
表格法用表格列出函数自变量和因变量的对应关系，直观易懂，但精度较低。
自变量定义在函数定义域内的输入变量，也称自变量。
值域因变量的取值范围。
因变量定义在函数值域内的输出变量，也称因变量或函数值。
对应关系自变量与因变量之间的映射关系。
定义域自变量的取值范围。
函数的三要素定义域、对应关系和值域，缺一不可。
函数的基本要素02函数的性质定义域函数输入值的集合，表示为$D f$或$dom f$。
值域函数输出值的集合，表示为$R f$或$ran f$。
函数的定义域和值域函数值在定义域内随自变量增大而增大，记为$f(x)$在$dom f$上递增。
减函数函数值在定义域内随自变量增大而减小，记为$f(x)$在$dom f$上递减。
增函数VS奇函数对于函数$f(x)$，如果对于任意的$x \in dom f$，都有$f( - x) = - f(x)$，那么函数$f(x)$是奇函数。
偶函数对于函数$f(x)$，如果对于任意的$x \in dom f$，都有$f( - x) = f(x)$，那么函数$f(x)$是偶函数。
•周期函数：对于函数$f(x)$，如果存在一个非零常数$T$，使得对于任意的$x \in dom f$，都有$f(x+ T) = f(x)$，那么函数$f(x)$是周期函数，且$T$是它的一个周期。
函数的周期性03初等函数定义形如 $f(x) = x^n$ 的函数称为幂函数。
特性幂函数的图像是单调递增或递减的，取决于指数 $n$ 的正负。
数学第三章函数知识点总结
数学第三章函数知识点总结在数学中，函数是一种特殊的数学关系，它描述了两个变量之间的对应关系。
函数在数学中扮演着非常重要的角色，它们被广泛应用于各种数学领域和实际问题中。
在数学的第三章中，我们将学习如何定义和描述函数，以及函数的性质和应用。
1. 函数的定义函数是一种特殊的数学关系，它将一个或多个输入映射到一个输出。
这种映射可以用一个数学公式、图形、表格或者文字描述。
函数通常用f(x)的形式表示，其中x是输入，f(x)是输出。
函数也可以用其他变量表示，如y = f(x)。
在数学中，函数通常有两个集合：定义域和值域。
定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
函数将定义域中的元素映射到值域中的元素。
2. 函数的表示函数可以通过各种方式来表示，最常见的是用表格、图形和公式来描述。
在函数的图形表示中，我们通常使用直角坐标系来显示函数的图像。
函数的图像是一条曲线，它显示了输入和输出之间的关系。
函数的表格表示中，我们列出了函数的输入和输出值。
函数的公式表示中，我们用数学公式来描述输入和输出之间的关系。
3. 函数的性质函数有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们理解和分析函数。
其中一些重要的性质包括：- 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
- 单调性：函数的单调性描述了函数的增减趋势。
一个函数有可能是递增的（y随x的增加而增加）或者是递减的（y随x的增加而减小）。
- 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在坐标系中的对称性。
一个函数有可能是奇函数（f(-x) = -f(x)）或者是偶函数（f(-x) = f(x)）。
- 周期性：周期函数是一种具有周期性的函数，它的图像在特定的区间内会周期性地重复。
4. 函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，它们被应用于各种数学领域和实际问题中。
在微积分中，函数被用来描述曲线的斜率、凹凸性和积分。
在代数中，函数被用来解方程和不等式。
高一第三章函数整理知识点
高一第三章函数整理知识点函数是数学中一个重要的概念，它在很多数学问题的解决中起到了关键作用。
高一的学生们在学习函数时需要掌握一些基本的知识点，本文将对高一第三章函数的相关知识进行整理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握函数的概念和性质。
一、函数的定义和表示方法函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义可以用文字描述，也可以用公式表示。
常见的表示方法有：1. 用函数符号表示，比如 f(x)、g(x)等。
其中，f表示函数的名称，x表示自变量，f(x)表示函数对应于自变量x的因变量的值。
2. 用表格表示，将自变量和对应的因变量的值列成一张表格，如下所示：| 自变量x | 因变量f(x) ||--------|----------|| x1 | f(x1) || x2 | f(x2) || x3 | f(x3) |3. 用图像表示，将自变量和对应的因变量的值绘制在坐标系中，从而得到函数的图像。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数在定义域上的所有可能的因变量的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性指的是函数在定义域上的增减关系。
若函数在定义域内递增，则称为递增函数；若函数在定义域内递减，则称为递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指的是函数的对称性。
若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；否则，函数为非奇非偶函数。
4. 零点：对于函数f(x)，若存在一个数a，使得f(a) = 0，则称a为函数的零点。
5. 极值和最值：函数在定义域内取得的最大值和最小值分别称为函数的最大值和最小值，它们统称为极值。
三、常见的函数类型和函数图像的特点1. 一次函数（线性函数）：一次函数的函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数，k称为斜率，决定了函数的倾斜方向和程度；b称为截距，决定了函数的图像在y轴上的位置。
函数的概念及性质
5.一一映射 设f:A→B是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，对于集 合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都
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④.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
减
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
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2.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(2x-1)的定义域 为
3.已知f(x2)的定义域为［-1，1］，则f(2x)的定义域
为
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函数的值域
①.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采 取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
②.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数 函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.
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①.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量
的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)
在这个区间上是增函数.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的
函数及其基本性质
函数及其基本性质函数是数学中的基本概念，它描述了两个数量之间的关系。
简单来说，函数是一种将输入值映射到唯一输出值的规则。
在数学和计算机科学领域中，函数被广泛应用，具有多种基本性质。
一、函数的定义和表示形式函数可以通过多种形式来定义和表示。
一般而言，函数可以通过给定公式、关系式或者图表来定义。
例如，对于函数f(x) = x^2，它用公式表示为f(x)等于x的平方。
另一种常见的表示形式是函数关系式，它通常以两个变量之间的关系进行表达。
例如，对于直线函数y = 2x + 1，它表示y与x之间的线性关系。
在图表中，函数可以用一组有序的点来表示。
每个点具有输入和输出值的对应关系。
例如，在坐标系中画出函数y = x^2的图像，可以清晰地展示函数的特点和性质。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有输入值的集合，而值域是指所有可能的输出值的集合。
例如，对于函数f(x) = x^2，它的定义域是实数集，值域也是实数集。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域中的增减趋势。
一个函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
例如，函数f(x) = x^2在定义域上是单调递增的，而函数g(x) = -x是单调递减的。
3. 奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)被称为偶函数；如果对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)被称为奇函数。
例如，函数f(x) = x^2是偶函数，函数g(x) =x^3是奇函数。
4. 周期性：对于函数f(x)，如果存在一个正数T，对于任意实数x，有f(x + T) = f(x)，那么函数f(x)被称为周期函数，T被称为函数的周期。
例如，三角函数sin(x)和cos(x)都是周期函数。
5. 极值点：在函数的定义域中，存在一些点使得函数取得极值，这些点被称为极值点。
极大值点是函数在该点附近取得最大值的点，而极小值点则是函数在该点附近取得最小值的点。
高一函数第三章知识点总结
高一函数第三章知识点总结函数是数学中一个重要而广泛应用的概念，它在高中数学学习中也占据着重要的地位。
在高一的数学学习过程中，我们学习了函数的基本概念、性质以及相关的图像和应用。
以下是对高一函数第三章知识点的总结。
1. 函数的定义及基本性质函数是一个将一个或多个数域中的元素映射到另一个数域中的元素的规则。
在函数中，我们通常用字母表示自变量，用另一个字母表示因变量。
函数的表示方式可以是显式的、隐式的或者是通过表格给出。
一个函数可以表示为 f(x)，其中 f 表示函数名称，x 表示自变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。
2. 函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的图形表示。
通过观察函数的图像，我们可以获得函数的性质和特点。
例如，函数的增减性和极值点可以通过图像来确定。
在高一的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的图像和性质。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距；二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，具有顶点和对称轴；幂函数的图像可能是一条直线或者是曲线，具有一些特殊的变化规律；指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，具有一个特定的底数。
3. 函数的运算在函数的运算中，我们主要学习了函数的四则运算、复合函数和反函数。
函数的四则运算指的是函数之间的加减乘除运算。
两个函数的和、差、积和商仍然是函数，其定义域和值域也需要根据运算的规则相应调整。
复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，形成一个新的函数。
复合函数的定义域和值域需要根据两个函数的定义域和值域进行限制。
函数的反函数是指根据原函数的定义域和值域，通过交换自变量和因变量，得到一个新的函数。
反函数具有原函数的逆运算性质。
4. 函数方程与应用函数方程是给定函数特定性质的方程。
在高一的学习中，我们主要学习了一次函数方程和二次函数方程。
一次函数方程是指形如 y = kx + b 的方程，其中 k 和 b 是常数。
函数的基本性质ppt
函数的基本性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
数学上，函数被表示为f(x)，其中x是函数的输入值，f(x)是对应的输出值。
函数可以用图像、映射关系、表格或公式来表示。
每个输入值对应唯一的输出值。
2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的图形表示。
在二维坐标系中，函数的图像通常是一条曲线。
函数的图像描述了函数的性质，包括函数的增减性、奇偶性、最值等。
通过观察函数的图像，我们可以得到很多关于函数的信息。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数所有可能输入值的集合。
函数的值域是指函数所有可能输出值的集合。
函数的定义域可以是实数集、整数集、有限集或者其他数学对象的集合，具体根据函数的性质而定。
函数的值域取决于定义域和函数本身的性质。
例如，一个一元线性函数的值域是实数集，而一个常值函数的值域只有一个值。
4. 函数的性质4.1. 奇偶性一个函数被称为奇函数，如果对于定义域内的每个x，都有f(-x) = -f(x)。
换句话说，奇函数的图像关于原点对称。
一个函数被称为偶函数，如果对于定义域内的每个x，都有f(-x) = f(x)。
换句话说，偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性是函数的基本性质之一，在分析函数的图像时常常用到。
4.2. 单调性一个函数被称为单调递增，如果对于定义域内的任意两个不同的x和y，都有x < y时，f(x) < f(y)。
一个函数被称为单调递减，如果对于定义域内的任意两个不同的x和y，都有x < y时，f(x) > f(y)。
4.3. 最值函数的最大值是定义域内的最大输出值，函数的最小值是定义域内的最小输出值。
4.4. 周期性一个函数被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)。
这个正数T被称为函数的周期。
周期函数的图像在一个周期内是重复的，我们可以通过观察一个周期内的图像来推断函数的性质。
函数的简单性质
03 函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
周期函数的性质
周期函数具有一些特殊的性质，如最小正周期、周期函数 的图像等。
周期函数的判定方法
代数法
通过代数运算判断函数是否 满足f(x+T)=f(x)。
导数法
利用导数判断函数是否具有 周期性。
三角函数法
利用三角函数的周期性质判 断其他函数的周期性。
常见周期函数的性质
正弦函数和余弦函数：最小正周期为 2π，图像关于y轴对称。
奇函数和偶函数的性质
奇函数在原点有定义，即 $f(0)=0$。
偶函数的图像关于y轴对 称。
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数在对称区间上的积 分为0，偶函数在对称区间 上的积分为其在对称轴上 函数值的2倍。
奇偶性的判定方法
定义法
根据奇偶性的定义进行判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断其奇偶性。
代数法
函数的简单性质
目录
• 函数的定义与表示 • 函数的单调性 • 函数的奇偶性 • 函数的周期性 • 函数的极限 • 函数的连续性
01 函数的定义与表示
函数的定义
函数是一种特殊的对应关系，它由一个或多个非空数集A中的每一个元素x，对应到 另一个数集B中的唯一确定的元素y。
函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
中职教育数学《函数的性质》课件
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一次函数
= + ( ≠ 0)是一次函数，其图像为直线，如图所
示．
由一次函数 = + ( ≠ 0)的解析式和图像不难发现，其定义域和值域均为R，
并有如下性质：
（1）当 > 0时，在R上是增函数，如图（1）所示；当 < 0时，在R上是减函数，如图（2）所示．
奇偶性也可以研究函数图像．
如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函
数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称
性便可得到它在非正区间上的性质，从而减少工作量．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
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练习
1．填空题：
（1）点 2,3 关于轴对称的点为
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了
函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因
此这一节我们来研究函数的性质．
3.3 函数的性质
3.3.1
函数的单调性
3.3 函数的性质 ——单调性
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下图是某市某天气温（℃）是时间(时)的函数图像，
任意两点3 3 , 3 ，4 4 , 4 ，当3 < 4
时，都有3 > 4 ，即f(x3)＞f(x4)．
3.3 函数的性质 ——单调性
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设函数 = ()的定义域为D，区间 ⊆ ．
（1）如果对于区间上的任意两点1 ，2 ，当1 < 2 时，都
3.4函数的基本性质
3.4函数的基本性质《函数的基本性质》教学反思来兵兵在本节课的教学中，主要从形和数两方面引导，使学生从图象和解析式两方面来理解奇偶性的概念，并会利用定义判断简单函数的奇偶性.在奇偶性概念形成过程中，培养了学生的观察、类比、归纳问题能力，同时渗透数形结合思想以及从特殊到一般的数学思想方法.本节课突出了教学重点：函数的奇偶性及其几何意义；利用多种手段，有效的突破了教学难点：判断函数的奇偶性的方法与步骤.新课程强调教学要师生共同探讨，教师要关注教学和学生学习的过程.认知活动要从重视结果教学向重视教学过程转变，而所谓重过程就是教师在教学中把教学的重点放在教学过程，放在揭示知识形成的规律上，让学生在感知、概括、应用的思维过程中去发现真理，掌握规律.在函数的奇偶性概念的学习中，最让学生感到困惑的是：如何突破常量到变量的转化，从而达到由直观到抽象.最容易让学生忽略的是：定义中“任意”一词使用的重要性.教学中，如何突破这一教学难点，让学生经历概念的形成过程呢？从数值角度研究图象的这种特征，体现在自变量与函数值之间有何规律，处理方法是：先给出特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立概念.在本节课中，也存在一些不足，比如教学中对激发学生学习的兴趣不足.在现实的教学中，学生普遍对数学课缺乏兴趣，感到数学课枯燥、乏味、抽象，只是与数字、字母、公式打交道的学科.如何挖掘教材的兴奋点、好奇点，以问题为教学出发点，激发学生的好奇心和学习兴趣呢？这也是本节课所欠缺的地方，其实对于奇偶性，我们完全可以列举生活中的一些实例来提高学生学习的兴趣.本节课留给我一个要长期思考并解决的问题就是：在今后的教学中，该如何创设问题情景，培养学生的问题意识，使学生更积极思考，更踊跃的发言，更有效的参与到我的教学活动中呢？。
高一第三单元函数知识点
高一第三单元函数知识点在高一数学中，函数是一个十分重要的概念和知识点。
掌握函数的基本概念以及相关的性质和应用是学习数学的关键。
本文将通过讨论函数的定义和性质，探究函数在实际问题中的应用，以及解决函数相关问题的方法和技巧。
一、函数的定义和性质函数是一个将自变量和因变量相互映射的关系。
一般用f表示函数关系，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。
函数的解析式表示了自变量和因变量之间的映射规律。
函数在数学中有许多重要的性质，例如单调性、奇偶性和周期性。
单调函数表示函数在定义域内的取值是单调递增或单调递减的。
奇函数满足函数关系f(-x)=-f(x)，偶函数满足函数关系f(-x)=f(x)。
周期函数是指存在某个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)。
二、函数的应用函数在实际生活和工作中有广泛的应用。
例如，利润函数可以描述一家公司的销售额和成本之间的关系。
通过分析利润函数的性质，可以找到最大利润对应的销售额。
另外，速度函数可以描述一个物体在运动过程中的速度变化。
通过对速度函数进行积分，可以计算出物体在给定时间段内所经过的距离。
函数的应用还涉及到最值问题和图像的分析。
通过求解函数的最值，可以得到函数的最大值和最小值。
图像的分析可以通过绘制函数的图像，来观察函数的趋势、特点和变化。
通过对图像的观察和分析，可以解决诸如求解方程、解不等式和求解极限等问题。
三、解决函数相关问题的方法和技巧在解决函数相关问题时，我们可以运用一些方法和技巧来简化计算和推导过程。
其中，函数的组合和复合是常用的技巧之一。
通过将多个函数进行组合，可以构建出新的函数关系。
而函数的复合则是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进行多次运算得到结果。
另外，函数的求导和积分也是重要的技巧之一。
函数的导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。
通过求解导数，可以得到函数的最值点、拐点和切线方程等信息。
函数的积分则表示了函数与自变量之间的面积关系。
高一函数第三章知识点汇总
高一函数第三章知识点汇总本文对高一学生学习的函数第三章的知识点进行汇总和总结。
以下是本章的主要内容：一、函数的概念和特点函数是一个非常重要的数学概念，通常用f(x)表示。
函数表示了两个变量（输入和输出）之间的一种关系。
函数的特点包括定义域、值域、图像等。
二、函数的分类函数可以根据其定义域和值域的类型进行分类。
一元函数是指只有一个自变量的函数，如f(x)。
二元函数是指具有两个自变量的函数，如f(x, y)。
三、函数的图像与性质函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。
我们可以通过绘制函数图像来观察函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
四、函数的基本性质和运算函数具有一些基本的性质和运算法则。
例如，函数的奇偶性可以通过函数的表达式来确定；函数的和、差、积、商等运算可以通过对应的函数运算法则来进行。
五、复合函数复合函数是指由两个函数通过嵌套构成的函数。
我们可以通过复合函数来表达更为复杂的函数关系。
六、反函数反函数是指一个函数的自变量和函数值互换的函数。
具有反函数的函数称为可逆函数。
反函数可以通过函数的图像关于直线y=x的对称性来确定。
七、函数方程函数方程是指含有函数的方程。
我们需要通过解函数方程来求解变量和函数值的关系。
八、一次函数一次函数是指函数表达式为y=kx+n的函数，其中k和n为常数。
一次函数的图像为一条直线，具有很多实际意义。
九、二次函数二次函数是指函数表达式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c 为常数且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，也具有很多实际意义。
十、指数函数和对数函数指数函数是指函数表达式为y=aᵢˣ的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
对数函数是指函数表达式为y=logₐx的函数。
指数函数和对数函数在数学和科学中具有重要应用。
十一、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等函数。
它们在几何、物理和工程等领域有广泛应用。
本文对高一函数第三章的知识点进行了简要汇总和总结。
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第三讲函数的基本性质
1．函数的单调性（P31）
2．函数的最大（小）值（P34）
3．奇函数、偶函数的概念
4．周期函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对∀x∈D，都存在非零常数T，使得___________，则称T是函数f(x)的一个周期，f(x)叫做周期函数．
[f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．(－∞,－3) B．(－∞,－3] C．(－3,＋∞) D．(－∞,3)
[归纳总结] ____________________________________________________________________．[练习] 函数y＝x2＋bx＋c在[0,+∞)上是单调函数的充要条件是（）A．b≥0 B．b≤0 C．b＞0 D．b＜0
[例2] 下列函数中，奇函数有__________，偶函数有_________．
○1f(x)＝2x4＋3x2；○2f(x)＝x3－2x；○3f(x)＝x2＋1
x；○4f(x)＝x
2＋1．
[归纳总结] ____________________________________________________________________．
[例3] （1）已知函数f(x)= a－1
2x+1，若f(x)是奇函数，则a =________；
（2）已知f(x)＝ax2＋bx是定义域为[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b =________．
[归纳总结] ____________________________________________________________________．[例4]若非零奇函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2011)＝_______．
[归纳总结] ____________________________________________________________________． [练习]已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)＝________．
[例5]已知奇函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)＜0的解集为（）A．(－3,0)⋃(3,＋∞) B．(－∞,－3)⋃(0,3)
C．(－∞,－3)⋃(3,＋∞) D．(－3,0)⋃(0,3)
[例6] 奇函数f(x)在定义域为(－1,1)上递减，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求a的取值范围．
1．若函数f (x )= x 3(x ∈R )，则函数y = f (－x )在其定义域上是
（ ）
A ．单调递减的偶函数
B ．单调递减的奇函数
C ．单调递增的偶函数
D ．单调递增的奇函数
2．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x +2) =－f (x )，则f (6) =
（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 3．若函数f (x )满足f (x )·f (x +2)=13，且f (1) =2，则f (2011) =
（ ）
A ．13
B ．2
C ．13
2
D ．213
4． f (x )是偶函数，在[0，+∞)内是减函数，若f (0.5)>0> f (3)，则方程f (x )=0根有 （ ）
A ．2个
B ．2个或1个
C ．2个或无数个
D ．无数个
5．设函数y = x 2－3x －4的定义域为[0，m ]值域为[－25
4
，－4]，则m 的取值范围是 （ ）
A ．(3
2
，3)
B ．[3
2
，3]
C ．(0，3]
D ．[3
2
，3)
6． 设函数f (x )=(x +1)(x +a )为偶函数，则a =________．。