陕西省榆林市2020届高三模拟第一次测试 理数
2020年陕西省榆林市高三一模数学试题
数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{lg(32)}A x y x ==-,2{4}B x x =≤, 则A B =U （ ）A. 3{2}2x x -≤<B. {2}<x xC. 3{2}2x x -<< D. {2}≤x x 2．若ii 12ia t +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t a +等于（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2==+∈αααππα2tan ,35cos 12sin 12),2,4(.3则（ ）724.A 724.-B 724.±C247.-D 4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表 广告费用x （百元） 123 4 销售额y （万元）0.1 1.8m4根据上表可得回归方程13.1-=x y )，则m=A.2.9B.3.0C.3.1D.2.85.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）xyoπ2xyoπ2xyoπ2A. 866B. 500C. 300D. 1346．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为（ ）A. 110B. 55C. 50D. 不能确定 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．36+12πB ．36+16πC ．40+12πD ．40+16π8.如图，直线2x +2y ﹣3＝0经过函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的最高点M 和最低点N ，则（）A ．ω＝，φ＝B ．ω＝π，φ＝0C ．ω＝，φ＝﹣D ．ω＝π，φ＝9．已知，设，y=log b c ，，则x ，y ，z 的大小关系正确的是（）A ．z ＞x ＞yB ．z ＞y ＞C ．x ＞y ＞D ．x ＞z ＞y10．函数22sin 33([,0)(0,])1441x y x xππ=∈-+U 的图像大致是（ ） xyoπ2A. B. C. D. 11．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFNS∆=（ ）A. 83B. 833C. 163D. 163312.已知函数f （x ）＝3204610xe x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，＜，－＋，≥，则函数g （x ）＝2[f （x ）]2－3f （x ）－2的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知向量 =（3，﹣1）， =（2，1），则 在 方向上的投影为________． 14．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2bsin2A=3asinB ，且c=2b ，则等于15．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）． 问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）16．设直线l ：3x+4y+4=0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2=r 2（r ＞0），若圆C 上存在两点P ，Q ，直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ=90°，则r 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n （n +1）+2，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若2a ,2+k a ,23+k a （k ∈N *）为等比数列{b n }的前三项，求数列{b n }的通项公式．18．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点． （1）求证：AE ⊥PC ；（2）G 为线段PD 上一点，若FG ∥平面AEC ，求的值．19．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：普查对象类别 顺利 不顺利合计 企事业单位 40 50 个体经营户 50 150 合计（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议．附：K 2＝P （K 2≥k 0）0.10 0.010 0.001 k 02.7066.63510.82820．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P （2，3），Q （2，﹣3）在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1x ＋a ln x (a ≠0，a ∈R)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋rcos φ，y ＝1＋rsin φ(r>0, φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为)3sin(πθρ-，若直线l 与曲线C 相切． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|23||21|f x x x =+--．（Ⅰ）求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()|32|f x a >-成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案及评分标准（二）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、D 【解析】因为3{lg(32)}{320}{}2A x y x x x x x ==-=->=<，{22}B x x =-≤≤． 所以{2}A B x x =≤U ，故答案选D ．2．B.【解析】因为ii i i (12i)=i -2t 12i a t a t t +=⇒+=⋅++，则122t a a t=⎧⇒=-⎨=-⎩．所以 1t a +=-，故答案选B ．3. B4.C1.3,25.2448.11.0,25.2,5.2=∴⨯=+++∴==m m y x 代入回归直线方程得5.【答案】D由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D. 6．B【解析】78111622(6)(7)5a a a d a d a d a -=+-+=+=，1111161111552a a S a +=⨯==．故答案选B ． 7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算． 【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体， 作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2， ∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C ．8.【解答】解：因为M ．N 分别是图象的最高点和最低点得M ．N 的纵坐标为1和﹣1，带入直线2x +2y ﹣3＝0得M ．N 横坐标为和， 故M （，1）．N （，﹣1）． 得＝＝2，故T ＝4＝，故ω＝．M 代入f （x ）得1＝sin （φ），故φ＝2k π+，所以φ＝2k π+，k ∈Z ．因为|φ|＜π，所以φ＝，故选：A ． 9.【解答】解：∵，∴=﹣log b a=﹣×=，2a ＞3，a ＞log 23＞1，∈（0，1）．y=log b c ＜0，＞＞=，∴z ＞x ＞y ． 故选：A ．10．A 【解析】因为函数22sin ()11x y f x x ==+可化简为222sin ()1x x f x x =+可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C ；同时有42224sin 2cos 2cos ''()(1)x x x x x xy f x x ++==+ 3222(2sin cos cos )(1)x x x x x x x ++=+，则当(0,)2x π∈ '()0f x >,可知函数在2x π=处附近单调递增，排除答案B 和D ，故答案选A ．11．B 【解析】由题意可得直线:3(1)PQ y x =-与抛物线24y x =联解得：231030x x -+=，所以点(3,3)P ，123(,3Q ，则238323MN ==MNF ∆中，MN边上的高2h =，则1838322MNF S ∆=⨯⨯=，故答案选B ． 方法二:不防设交点P 在x 轴上方,由抛物线焦点弦性质得||||PF PM =,||||QF QN =且1121||||PF QF p +==, ||||||||1||||||||2PM QN PF QF PM QN PF QF --==++，故||4PF =，4||3QF =， 所以114383||(4)2223MNF S MN p ∆=⨯⨯=⨯+⨯⨯=，故答案选B ．12.【答案】B【解析】依题意，当0x ≥时，()()2'1212121f x x x x x =-=-，故当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，且()11f =-，作出函数()f x 的大致图象如下所示；令()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，解得()()122f x f x ==-或，观察可知，函数()g x 共有3个零点，故选B.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．【答案】【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解： =6﹣1=5，| |= ， ∴ 在 方向上的投影为| |cos＜cos＞=| |===．故答案为： ．14．【解答】解：由2bsin2A=3asinB，利用正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，由于：sinA≠0，sinB≠0，可得：cosA=，又c=2b，可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+4b2﹣2b•2b•=2b2，则=．15.5立方丈将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即1131221315 23V=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，16.【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=r2，圆心为：（2，0），半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r．个答案为：[，+∞）．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，S1＝a1＝4，………………（2分）当n≥2时，由题意，得S n＝n（n+1）+2，①S n﹣1＝（n﹣1）n+2，②由①﹣②，得a n＝2n，其中n≥2．………………（5分）所以数列{a n}的通项公式………………（7分）（Ⅱ）由题意，得．………………（9分）即[2（k+2）]2＝4×2（3k+2）．解得k＝0（舍）或k＝2．………………（10分）所以公比．………………（11分）所以．………………（12分）18.【解答】（1）证明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，在矩形ABCD中，CD⊥AD，又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，在△PAD中，E为PD中点，PA=AD，∴AE⊥PD，又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AE⊥PC（2）解：取AP中点M，连接MF，MG，ME．在△PAD中，M，E分别为PA，PD的中点则ME为△PAD的中位线∴，又，∴ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF为平行四边形，∴MF∥EC，又MF⊄平面AEC，EC⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，FG⊂平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，又∵M为AP中点，∴G为PE中点，又E为PD中点，∴，即．19.【解答】解：（1）根据样本是由差异比较明显的几部分组成，所以应用分层抽样法；…2 分（2）根据题意填写列联表如下，普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位40 10 50个体经营户100 50 150合计140 60 200 …5 分将列联表中的数据代入公式计算K2＝≈3.175＞2.706，所以有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； (10)分（3）（意思相近即可得分）建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作．…12 分20.解：（1）∵椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆C的方程为，a＞b＞0，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，∴b=2，，∵a2=b2+c2，∴a=4，∴椭圆C的方程为．……………5分（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜为k，则PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2），设PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由，消去y并整理，得：（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k2）﹣48=0，∴，设PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），同理，得=，……………8分∴，，k AB ====，∴AB 的斜率为定值． ……………12分 21．解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.( 1分)又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1，由f ′(x )＞0得，x ＞1.所以x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝1，无极大值，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(3分)(2)若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.由已知得，f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，(4分)当x ＝1a＜0，即a ＜0时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，(5分)故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ，(6分)由1e ＋a ＜0，得a ＜－1e ，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .(7分) 当x ＝1a＞0，即a ＞0时，①若e ≤1a，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]恒成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，(8分)故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ＞0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．(9分)②若0＜1a ＜e ，即a ＞1e时，则有x⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，ef ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a＝a ＋a ln a，(10分)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a＝a (1－ln a )＜0，得1－ln a ＜0，解得a ＞e ，即a ∈(e ，＋∞)．(11分)综上可知，a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)．(12分)22.【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12||OM→||ON →sin π6， ＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2θ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)23．【解析】（Ⅰ）不等式()2f x <等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -≤<， 所以不等式()2f x <的解集是(,0)-∞；（Ⅱ）()|(23)(21)|4f x x x ≤+--=Q ，max ()4f x ∴=，|32|4a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2(,2)3-．。
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设z ＝−3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合A ＝{x|x 2−5x +6>0}，B ＝{x|x 2−1<0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1] B.(−1, 1) C.(−∞, −1)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)3. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A.45B.50C.55D.604. 若0<m <n ，则下列结论正确的是（ ） A.2m >2n B.0.5m <0.5n C.log 2m >log 2n D.log 0.5m >log 0.5n5. 关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是（ ） A.甲 B.丙 C.甲与丙 D.甲与乙6. 已知向量m →=(λ+1,1),n →=(λ+2,2)，若(m →+n →)⊥(m →−n →)，则λ＝（ ） A.−4 B.−3 C.−2 D.−17. 已知α∈(0, π)，2sin2α＝cos2α−1，则sinα＝（ ） A.15 B.√55C.−√55D.2√558. 定义函数f(x)={sinx,sinx ≥cosxcosx,sinx <cosx ，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[−1, 1]；（2）当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0．上述命题中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个9. 已知偶函数f(x+π2)，当x∈(−π2,π2)时，f(x)=x13+sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b10. 若m>0，n>0，且直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆x2+y2−2x−2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A.[2+√2, +∞)B.[2+2√2, +∞)C.(0, 2+√2]D.(0, 2+2√2]11. 设F1，F2分别为双曲线C:x2a −y2b=1(a>0, b>0)的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120∘，则该双曲线的离心率为()A.√213B.√193C.23D.7√3312. 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)＝2f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)={x2−x,x∈[0,1)−(12)|x−32|x∈[1,2)，若当x∈[−4, −2)时，不等式f(x)≥t24−t+12恒成立，则实数t的取值范围是（）A.[2, 3]B.[1, 3]C.[1, 4]D.[2, 4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）曲线C:y＝xlnx在点M(e, e)处的切线方程为________．已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120∘，则此球的表面积等于________．如图，抛物线C1:y2＝4x和圆C2：(x−1)2+y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB→⋅CD→的值是________．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ．（1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2bcosA +acosC +ccosA ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小；（2）求|AD →|的值．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． （1）证明：数列{a n +b n }，{a n −b n }为等比数列；（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103．函数f(x)＝2(x 2−2x)lnx −x 2+4x ．(Ⅰ)求f(x)在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；(Ⅱ)设g(x)＝x 3−3x 2+3x +f(x)，若x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1≠x 2，满足g(x 1)+g(x 2)＝8，求证：x 1x 2<1． 设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l:x −√3y −3=0相切．过定点M(0, 2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 1的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P(m, 0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； (Ⅲ)若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ (Ⅰ) 求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|． [不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +12|+|x −32|． （1）求不等式f(x)≤3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．【解答】∵z＝−3+2i，∴z=−3−2i，∴在复平面内z对应的点为(−3, −2)，在第三象限．2.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{x|x2−5x+6>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x2−1<0}＝{x|−1<x<1}，∴A∩B＝{x|−1<x<1}＝(−1, 1)．3.【答案】B【考点】频率分布直方图【解析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数＝频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝(0.005+0.010)×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，=50．则该班的学生人数是150.34.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系．【解答】∵0<m<n，∴2m<2n，0.5m>0.5n，log2m<log2n，log0.5m>log2n．5.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．假设丙被录取，①③不正确，不符合题意．假设乙被录取，即可得出结论．【解答】①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．由②乙与丙中必有一个未被录取．③或者甲未被录取，或者乙被录取．假设丙被录取，①③不正确，不符合题意．假设乙被录取，则①③都正确，因此甲乙都被录取．则三人中被录取的是甲乙．6.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【解答】m→+n→=(2λ+3,3),m→−n→=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3＝0，∴λ＝−3．7.【答案】D【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】∵α∈(0, π)，∴sinα>0，∵2sin2α＝cos2α−1，∴4sinαcosα＝−2sin2α，可得2cosα＝−sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+(−1sinα)2＝1，2∴ sinα=2√55．8.【答案】该函数的值域为[−√22, 1]；故（1）错；当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)或x ＝2kπ(k ∈Z)时，该函数取得最大值；帮（2）错； 该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错； A【考点】正弦函数的定义域和值域 三角函数的周期性及其求法分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】由题意可得：函数 f(x)={sinx,[2kπ+π4,2kπ+5π4]cosx,[2kπ−3π4,2kπ+π4] ，再根据周期函数的定义结合其图象可得函数的周期等性质即可． 【解答】该函数的值域为[−√22, 1]；故（1）错；当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)或x ＝2kπ(k ∈Z)时，该函数取得最大值；帮（2）错； 该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错； 当且仅当2kπ+π<x <2kπ+3π2(k ∈Z)时，f(x)<0，（4）正确．故选：A ．9.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，进行判断即可． 【解答】∵ 当x ∈(−π2,π2)时，y ＝sinx 单调递增，y =x 13也为增函数， ∴ 函数f(x)=x 13+sinx ，也为增函数．∵函数f(x+π2)为偶函数，∴f(−x+π2)=f(x+π2)，即函数的对称轴为x=π2，即f(x)＝f(π−x)∴f(2)＝f(π−2)，f(3)＝f(π−3)，∵0<π−3<1<π−2<π2，∴f(π−3)<f(1)<f(π−2)，即c<a<b，故选：D．10.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程求出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n＝x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】由圆x2+y2−2x−2y+1＝0，得(x−1)2+(y−1)2＝1，得到圆心坐标为(1, 1)，半径r＝1，∵直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d=22=1，整理得：m+n+1＝mn≤(m+n2)2，设m+n＝x(x>0)，则有x+1≤x24，即x2−4x−4≥0，解得：x≥2+2√2，则m+n的取值范围为[2+2√2, +∞)．11.【答案】A【考点】圆与圆锥曲线的综合问题双曲线的离心率余弦定理【解析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=bax相交且点M的坐标为(x0, y0)(x0>0)，则N点的坐标为(−x0, −y0)，联立y0=bax0，x02+y02=c2，得M(a, b)，N(−a, −b)， 又A(−a, 0)且∠MAN =120∘， 所以由余弦定理得4c 2=(a +a)2+b 2+b 2−2√(a +a)2+b 2⋅bcos 120∘， 化简得7a 2=3c 2， 求得e =√213．故选A ． 12.【答案】 B【考点】 函数恒成立问题 【解析】根据条件，求出函数f(x)在x ∈[−4, −2)上的最小值，把不等式f(x)≥t 24−t +12恒成立转化为f(x)的最小值大于等于t 24−t +12恒成立，然后求解关于t 的一元二次不等式得答案． 【解答】当x ∈[0, 1)时，f(x)＝x 2−x ∈[−14, 0]；当x ∈[1, 2)时，f(x)=−−(12)|x−32|∈[−1, −√22]，∴ 当x ∈[0, 2)时，f(x)的最小值为−1， 又∵ 函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)， ∴ 当x ∈[−2, 0)时，f(x)的最小值为−12， 当x ∈[−4, −2)时，f(x)的最小值为−14， 若x ∈[−4, −2]时，f(x)≥t 24−t +12恒成立，∴ −14≥t 24−t +12恒成立．即t 2−4t +3≤0，解得1≤t ≤3， ∴ t ∈[1, 3]，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 y ＝2x −e 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先求导函数，求曲线在点(e, e)处的切线的斜率，进而可得曲线y ＝xlnx 在点(e, e)处的切线方程 【解答】求导函数，y′＝lnx +1 ∴ 当x ＝e 时，y′＝2∴曲线y＝xlnx在点(e, e)处的切线方程为y−e＝2(x−e)即y＝2x−e【答案】8π【考点】球的体积和表面积【解析】设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，所以直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，r＝1，在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，所以R2＝2，从而求出直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积．【解答】设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120∘，∴由余弦定理得：cos1200=AB2+AC2−BC22AB⋅AC =−12，∴BC=√3，∴由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，∴r＝1，∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，故答案为：8π．【答案】1【考点】直线与椭圆结合的最值问题平面向量数量积的性质及其运算【解析】由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，设出直线方程，分别和抛物线与题意方程联立后求出A，B，C，D的坐标，求出向量AB→、CD→的坐标，代入数量积公式得答案．【解答】由题意可知直线l 的斜率存在且不等于0， 由抛物线C 1:y 2＝4x ，得F(1, 0)，则直线l 的方程为y −0＝k(x −1)，即y ＝kx −k ．联立{y =kx −ky 2=4x ，得k 2x 2−2k 2x −4x +k 2＝0， 解得：A(1+2k2−2√k 2+1k 2,2k−2√k 2+1k)，D(1+2k2+2√k 2+1k 2,2k+2√k 2+1k)，联立{y =kx −k (x −1)2+y 2=1 ，得B(1√k 2+1√k 2+1)，C(1√k 2+1√k 2+1， AB →=√k 2+12k 2+2√k 2+1k 2,√k 2+1−2k +2√k 2+1k)，CD →=(2k2+2√k 2+1k 2√k 2+12k+2√k 2+1k−√k 2+1)．∴ AB →⋅CD →=1．【答案】9【考点】三角形的面积公式基本不等式在最值问题中的应用 【解析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【解答】解：由题意得12acsin120∘=12asin60∘+12csin60∘， 即ac =a +c ， 得1a +1c =1，得4a +c =(4a +c)(1a +1c )=ca +4a c+5≥2√c a4a c+5=4+5=9，当且仅当ca =4a c，即c =2a 时，取等号，故答案为：9．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 【答案】PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，由AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，故AB ⊥平面PAD ， 因为PD 在平面PAD 内，故AB ⊥PD ， 因为AM ⊥PD ，AB ∩AM ＝A ，所以PD ⊥平面ABM ，由BM 在平面ABM ， 所以PD ⊥MB ；以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)，D(0, 2, 0)，M(0, 1, 1)，AC →=(1,2,0),AM →=(0,1,1),CD →=(−1,0,0)， 设平面ACM 的法向量为n →=(x,y,z)， 由{n →⋅AC →=x +2y =0n →⋅Am →=y +z =0 ，得n →=(2,−1,1)， 设平面ACM 和直线CD 所成角为α， 则sinα＝|cos <n →,CD →>|=√6=√63， 故平面ACM 和直线CD 所成角为√63【考点】直线与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（1）先证明PD ⊥平面ABM ，再根据线面垂直的性质，证明结论；（2）以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM 的法向量和直线CD 的方向向量，利用夹角公式求出即可． 【解答】PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，由AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，故AB ⊥平面PAD ， 因为PD 在平面PAD 内，故AB ⊥PD ， 因为AM ⊥PD ，AB ∩AM ＝A ，所以PD ⊥平面ABM ，由BM 在平面ABM ， 所以PD ⊥MB ；以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)，D(0, 2, 0)，M(0, 1, 1)， AC →=(1,2,0),AM →=(0,1,1),CD →=(−1,0,0)， 设平面ACM 的法向量为n →=(x,y,z)， 由{n →⋅AC →=x +2y =0n →⋅Am →=y +z =0 ，得n →=(2,−1,1)， 设平面ACM 和直线CD 所成角为α， 则sinα＝|cos <n →,CD →>|=√6=√63， 故平面ACM 和直线CD 所成角为√63【答案】由2bcosA +acosC +ccosA ＝0及正弦定理得 −2sinBcosA ＝sinAcosC +cosAsinC ， 即−2sinBcosA ＝sin(A +C)＝sinB ， 在△ABC 中，sinB >0，所以cosA =−12． 又A ∈(0, π)，所以A =2π3．在△ABC 中，c ＝2b ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ＝b 2+c 2+bc ＝7， 所以a =√7． 由AD →=13AB →+23AC →，得AD →2=(13AB →+23AC →)2=49+49+49×2×1×(−12)=49，所以|AD →|=23．【考点】 余弦定理 【解析】（1）运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，化简可得角A 的值，再由余弦定理，可得a ；（2）运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】由2bcosA +acosC +ccosA ＝0及正弦定理得 −2sinBcosA ＝sinAcosC +cosAsinC ， 即−2sinBcosA ＝sin(A +C)＝sinB ， 在△ABC 中，sinB >0，所以cosA =−12． 又A ∈(0, π)，所以A =2π3．在△ABC 中，c ＝2b ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ＝b 2+c 2+bc ＝7， 所以a =√7． 由AD →=13AB →+23AC →，得AD →2=(13AB →+23AC →)2=49+49+49×2×1×(−12)=49，所以|AD →|=23．【答案】数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． 所以{2a n+1=a n +12b n2b n+1=12a n +b n整理得两式相加a n+1+b n+1=34(a n +b n )，即a n+1+b n+1a n +b n=34（常数），数列{a n +b n }为等比数列；同理两式相减a n+1−b n+1=14(a n −b n )，即a n+1−b n+1a n −b n=14（常数）故数列{a n −b n }为等比数列． 证明：由（1）得：a n +b n =32(34)n−1，a n −b n =12(14)n−1，整理得a n =(34)n +(14)n ， 所以S n =34(1−3n 4n )1−34+14(1−14n )1−14<341−34+141−14=103【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）直接利用数列的定义求出数列为等比数列．（2）利用等比数列的前n 项和公式及放缩法求出结果． 【解答】数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． 所以{2a n+1=a n +12b n 2b n+1=12a n +b n 整理得两式相加a n+1+b n+1=34(a n +b n )，即a n+1+b n+1a n +b n =34（常数），数列{a n +b n }为等比数列； 同理两式相减a n+1−b n+1=14(a n −b n )，即a n+1−b n+1a n −b n=14（常数）故数列{a n −b n }为等比数列． 证明：由（1）得：a n +b n =32(34)n−1，a n −b n =12(14)n−1，整理得a n =(34)n +(14)n ， 所以S n =34(1−3n 4n )1−34+14(1−14n )1−14<341−34+141−14=103【答案】（1）f(e)＝e 2，f′(x)＝4(x −1)lnx ，则f′(e)＝4(e −1)，故f(x)在x＝e处的切线方程为y−e2＝4(e−1)(x−e)，即4(e−1)x−y−3e2+4e＝0；（2）证明：由题可得g′(x)＝3(x−1)2+4(x−1)lnx，g′(1)＝0，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，则g′(x)>0；当x>1时，x−1>0，lnx>0，则g′(x)>0，所以，当x>0时，g′(x)≥0，g(x)在(0, +∞)上是增函数，设G(x)=g(x)+g(1x)(0<x<1)，则G′(x)=g′(x)−1x2g′(1x)=3(x−1)2(1−1x4)+4(x−1)(1−1x3)lnx，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，1−1x4<0,1−1x3<0，则G′(x)<0，G(x)在(0, 1)上递减．不妨设0<x1<x2，由于g(x)在(0, +∞)上是增函数，则g(x1)<g(x2)，又g(x1)+g(x2)＝8，g(1)＝4，则g(x1)<g(1)<g(x2)，于是0<x1<1<x2，由0<x1<1，G(x)在(0, 1)上递减，则G(x1)>G(1)＝2g(1)＝8，所以g(x1)+g(1x1)>8，则g(1x1)>8−g(x1)=g(x2)，又1x1>1,x2>1，g(x)在(0, +∞)上是增函数，所以，1x1>x2，即x1x2<1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出切点，求出导数进而得到切线斜率，进一步由点斜式方程求得答案；(Ⅱ)利用导数可知g(x)在(0, +∞)上是增函数，构造G(x)=g(x)+g(1x)(0<x<1)，则G(x)在(0, 1)上递减，设0<x1<x2，则g(x1)<g(x2)，又g(x1)+g(x2)＝8，g(1)＝4，进而知道0<x1<1<x2，则G(x1)>G(1)＝2g(1)＝8，即g(x1)+g(1x1)>8，亦即g(1x1)>8−g(x1)=g(x2)，从而得证．【解答】（1）f(e)＝e2，f′(x)＝4(x−1)lnx，则f′(e)＝4(e−1)，故f(x)在x＝e处的切线方程为y−e2＝4(e−1)(x−e)，即4(e−1)x−y−3e2+4e＝0；（2）证明：由题可得g′(x)＝3(x−1)2+4(x−1)lnx，g′(1)＝0，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，则g′(x)>0；当x>1时，x−1>0，lnx>0，则g′(x)>0，所以，当x>0时，g′(x)≥0，g(x)在(0, +∞)上是增函数，设G(x)=g(x)+g(1x)(0<x<1)，则G′(x)=g′(x)−1x2g′(1x)=3(x−1)2(1−1x4)+4(x−1)(1−1x3)lnx，当0<x<1时，x−1<0，lnx<0，1−1x4<0,1−1x3<0，则G′(x)<0，G(x)在(0, 1)上递减．不妨设0<x 1<x 2，由于g(x)在(0, +∞)上是增函数，则g(x 1)<g(x 2)，又g(x 1)+g(x 2)＝8，g(1)＝4，则g(x 1)<g(1)<g(x 2)，于是0<x 1<1<x 2， 由0<x 1<1，G(x)在(0, 1)上递减，则G(x 1)>G(1)＝2g(1)＝8，所以g(x 1)+g(1x 1)>8，则g(1x 1)>8−g(x 1)=g(x 2)，又1x 1>1,x 2>1，g(x)在(0, +∞)上是增函数，所以，1x 1>x 2，即x 1x 2<1．【答案】（1）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0，所以F 1为F 2Q 中点． 设Q 的坐标为(−3c, 0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c ＝4c 2， 且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(−c, 0)，半径为2c ． 因为该圆与直线l 相切，所以|−c−3|2=2c ．解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3． 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）设l 1的方程为y ＝kx +2(k >0)， 由{y =kx +2x 24+y 23=1 得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2．所以PG →+PH →=(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m, y 1+y 2)．＝(x 1+x 2−2m, k(x 1+x 2)+4)GH →=(x 2−x 1,y 2−y 1)=(x 2−x 1,k(x 2−x 1))． 由于菱形对角线互相垂直，则(PG →+PH →)⋅GH →=0．所以(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m]+k(x 2−x 1)[k(x 1+x 2)+4]＝0． 故(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k]＝0． 因为k >0，所以x 2−x 1≠0．所以(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k ＝0 即(1+k 2)(x 1+x 2)+4k −2m ＝0． 所以(1+k 2)(−16k3+4k 2)+4k −2m =0解得m =−2k3+4k 2．即m =−23k+4k ．因为k >0，所以−√36≤m <0．故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36,0)．(Ⅲ)①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 由△>0，得k 2>14． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2，x 1x 2=43+4k 2．又MG →=λMH →，所以(x 1, y 1−2)＝λ(x 2, y 2−2)．所以x 1＝λx 2．所以x 1+x 2＝(1+λ)x 2，x 1x 2＝λx 22． 所以(x 1+x 21+λ)2=x 22=x 1x 2λ．将上式代入整理得：643k 2+4=(1+λ)2λ．因为k 2>14，所以4<643k 2+4<16．即4<(1+λ)2λ<16．所以4<λ+1λ+2<16．解得7−4√3<λ<7+4√3．又0<λ<1，所以7−4√3<λ<1．②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，此时G(0,√3)，H(0,−√3)，MG →=(0,√3−2)，MH →=(0,−√3−2)，MG →=√32+√3→，所以λ=7−4√3．所以7−4√3≤λ<1，即所求λ的取值范围是[7−4√3,1)． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（I ）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0，知a ，c 的一个方程，再利用△AQF 的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；(II)由(I)知设l 1的方程为y ＝kx +2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量(PG →+PH →)⋅GH →=0的坐标表示即可求得满足题意的点P 且m 的取值范围．(Ⅲ)先分两种情况讨论：①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量(PG →+PH →)⋅GH →=0的坐标表示即可求得满足题意的λ的取值范围；②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，同样利用向量的坐标运算求λ的取值范围． 【解答】（1）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0，所以F 1为F 2Q 中点． 设Q 的坐标为(−3c, 0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c ＝4c 2， 且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(−c, 0)，半径为2c ．因为该圆与直线l 相切，所以|−c−3|2=2c ．解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3． 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）设l 1的方程为y ＝kx +2(k >0)， 由{y =kx +2x 24+y 23=1 得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2．所以PG →+PH →=(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m, y 1+y 2)．＝(x 1+x 2−2m, k(x 1+x 2)+4)GH →=(x 2−x 1,y 2−y 1)=(x 2−x 1,k(x 2−x 1))． 由于菱形对角线互相垂直，则(PG →+PH →)⋅GH →=0．所以(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m]+k(x 2−x 1)[k(x 1+x 2)+4]＝0． 故(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k]＝0． 因为k >0，所以x 2−x 1≠0．所以(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k ＝0 即(1+k 2)(x 1+x 2)+4k −2m ＝0． 所以(1+k 2)(−16k3+4k 2)+4k −2m =0解得m =−2k3+4k 2．即m =−23k+4k ．因为k >0，所以−√36≤m <0．故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36,0)．(Ⅲ)①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 由△>0，得k 2>14． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k ，x 1x 2=43+4k 2．又MG →=λMH →，所以(x 1, y 1−2)＝λ(x 2, y 2−2)．所以x 1＝λx 2．所以x 1+x 2＝(1+λ)x 2，x 1x 2＝λx 22． 所以(x 1+x 21+λ)2=x 22=x 1x 2λ．将上式代入整理得：643k 2+4=(1+λ)2λ．因为k 2>14，所以4<643k 2+4<16．即4<(1+λ)2λ<16．所以4<λ+1λ+2<16．解得7−4√3<λ<7+4√3．又0<λ<1，所以7−4√3<λ<1．②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，此时G(0,√3)，H(0,−√3)，MG →=(0,√3−2)，MH →=(0,−√3−2)，MG →=√32+√3→，所以λ=7−4√3．所以7−4√3≤λ<1，即所求λ的取值范围是[7−4√3,1)． 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ， 转化为：(ρsinθ)2＝4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y 2＝4x（2）把直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数）化为：2x +3y ＝1， 代入y 2＝4x 得y 2+6y −2＝0； 设A 、B 的纵坐标分别为y 1、y 2； 则y 1y 2＝−2，y 1+y 2−6；则|y 1−y 2|=√36−4×(−2)=2√11； |AB|=√1+(−32)2×|y 1−y 2|=√132×2√11=√143，所以|AB|=√143． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．(Ⅱ)把参数方程代入抛物线得到关于t 的一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果． 【解答】（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ， 转化为：(ρsinθ)2＝4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y 2＝4x（2）把直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数）化为：2x +3y ＝1， 代入y 2＝4x 得y 2+6y −2＝0； 设A 、B 的纵坐标分别为y 1、y 2； 则y 1y 2＝−2，y 1+y 2−6；则|y 1−y 2|=√36−4×(−2)=2√11； |AB|=√1+(−32)2×|y 1−y 2|=√132×2√11=√143，所以|AB|=√143． [不等式选讲] 【答案】不等式f(x)≤3，即|x +12|+|x −32|≤3．不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到−12与32的距离之和不大于3，∴ −1≤x ≤2，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}； 函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．由绝对值的几何意义可知：f(x)min ≥2， 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集非空， 只须：2<12|1−a|，解得a <−3或a >5．关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，可得−3≤a ≤5．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)利用绝对值的几何意义直接求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)求出函数的最小值，然后求解关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，得到实数m 的取值范围． 【解答】不等式f(x)≤3，即|x +12|+|x −32|≤3．不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到−12与32的距离之和不大于3， ∴ −1≤x ≤2，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}； 函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．由绝对值的几何意义可知：f(x)min ≥2， 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集非空， 只须：2<12|1−a|，解得a <−3或a >5．关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，可得−3≤a ≤5．。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设(1−i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}3.函数f(x)=|x|+1是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4.等差数列{a n}中，已知a7=9，S5=5，则S8的值是()A. 23B. 30C. 32D. 345.执行如图所示的程序框图，则当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为()A. 45B. 35C. 147D. 756.为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=()A. 26B. 24C. 20D. 137.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a8.(x2−3x+2)5的展开式中含x3的项的系数为()A. −1560B. −600C. 600D. 15609.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2410.若函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则f(x)的单调增区间为()A. B.C. D.11.如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)坐标为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A，B在双曲线C的左支上，o为坐标点，直线BO与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为____．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3…a n=n2+3n+2，则a4=(1)，a n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，D 是BC 的边上的点，cos∠BAD =35,cos∠ADC =−√55． (1)求sin B 的值；(2)若BD =2DC =2，求AC 的长．18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB =2AD =2，∠DAB =60°，PA =PC =2，且平面ACP ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：CB ⊥PD ；(Ⅱ)求二面角C −PB −A 的余弦值．20.已知函数f(x)=lnxx−1(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，▵F1PF2的面积为√3．(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了复数的概念，运算及几何意义，考查了学生的运算求解能力，属基础题． 由题意解得x ，y ，从而得出x +yi 在复平面内所对应的点所在象限．解：∵x ，y 是实数，∴(1−i)x =x −xi =1+yi ，∴{x =1−x =y ,解得x =1，y =−1，∴x +yi 在复平面内所对应的点为(1,−1)，位于第四象限，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≤−2或x ≥2}；∴A ∩B =(−∞,−2]∪{2}．故选：D ．3.答案：B解析：函数定义域为R ，f(−x)=|−x |+1=|x |+1=f(x)，∴f(x)是偶函数．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=9，S 5=5，∴a 1+6d =9，5a 1+ 5×4 2d =5，解得：a 1=−3，d =2，则S 8=8×(−3)+ 8×7 2×2=32．故选：C ．5.答案：D解析：本题主要考查了程序框图的应用，考查了函数解析式，属于基础题；根据题意得到f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44，f(6)=62−5=31，即可得解．解：因为y =f(x)={x 2−5,x ⩾6f(x +2),x <6, 则f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44；f(6)=62−5=31，所以f(3)+f(6)=75．故选D ．6.答案：D解析：解：由分层抽样得n 120+80+60=360，解得n =13，故选：D ．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.答案：C解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =log 2(log 38)<log 2(log 39)=log 22=1， ∴a >1>b ．故选：C ．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．解析：解：∵(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5=(C50x5−C51x4+C52x3−C53x2+C54x−1)(C50x5−2C51x4+4C52x3−8C53x2+16C54x−32).∴展开式中含x3的项的系数为：−36C53−24C53C54=−1560．故选：A．(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5，分别展开两个二项式，即可得到含x3的项的系数．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是基础题．9.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2−4my−4=0，由此能够求出直线AB的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2−4my−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，①因为|MF|=2|NF|，所以y1=−2y2，②，联立①和②，消去y1，y2，得m=±√24所以直线AB的斜率是±2√2.故选：B．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．先根据三角函数图象的平移规律及平移后的图象关于y轴对称，求出φ，得到f(x)的解析式，再求单解：函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数的图象，因为平移后的图象关于y轴对称，所以−2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=−1，φ=π6，所以，令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，k∈Z，因而函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．故选C．11.答案：B解析：本题考查三视图及多面体外接球的表面积，具有综合性，考查空间想象能力.正确找到直观图是解题关键．由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，然后根据三棱锥的体积公式求得．解：由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，可以看成长2宽1高1的长方体切除后剩下的，其外接球与长方体外接球相同．若该三棱锥的体积为，可得x=2．故外接球直径为√12+12+22=√6，半径为√62．故外接球表面积为．故选B．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握极值的充要条件，属于中档题． 首先对函数进行求导，然后根据极值条件进行求解，要注意进行检验． 解：求导可得，f′(x)=3x 2−2ax −b ， 由已知得{f ′(1)=0f (1)=10，即{3−2a −b =01−a −b +a 2=10解得a =−4，b =11或a =3,b =−3当a =3,b =−3时，f ′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2⩾0， 此时f(x)递增，函数f(x)不存在极值 故a =−4，b =11，即点(a,b)坐标为(−4,11) 故选B ．13.答案：−1解析：解：a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则2a ⃗ +b ⃗ =(1,0) (2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+0=−1． 故答案为：−1．直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．14.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d =r ，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2， 可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)， 即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)， 即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切， 可得d =√10=R ，解得：R =√105．故答案为√105．15.答案：2解析：本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题． 解：设B(m,n)，则直线BO 与双曲线的右支交于点 M(−m,−n)， 设A(x 0,y 0)，可得直线 AB 的斜率为y 0−nx 0−m ， 直线 AM 的斜率为y 0+nx 0+m；∴y 02−n 2x 02−m 2=b 2a 2x 02−b 2a 2n 2x 02−n 2=b 2a 2=3×1=3，∴e =√1+b2a 2=2，故答案为：216.答案：32{6,n =1n +2n,n >1解析：解：数列{a n }满足a 1⋅a 2⋅a 3…a n =n 2+3n +2， 当n =1时，a 1=1+3+2=6；当n >1时，a 1⋅a 2⋅a 3…a n−1=(n −1)2+3(n −1)+2=n 2+n −2； 所以a n =n 2+3n+2n 2+n =n+2n；所以a 4=4+24=32，a n ={6,n =1n+2n,n >1．故答案为：32，{6,n =1n+2n,n >1．在原数列递推式中，取n 为n −1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a 4的值． 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =√55，∠ADB ∈(0,π)，∴sin∠ADB =2√55，……………………2′ ∵cos∠BAD =35,∠BAD ∈(0,π)，∴sin∠BAD =45.……………………4′ ∴sinB =sin[π−(∠BAD +∠ADB)]=sin(∠BAD +∠ADB) =sin∠BADcos∠ADB +cos∠BADsin∠ADB =45×√55+35×2√55=2√55.………………………6′ (2)在△ABD 中，由正弦定理得：ADsinB =BDsin∠BAD ，即2√55=245，∴AD =√5.……………9′在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos∠ADC =5+1+2×√5×1×√55=8，∴AC =2√2.………12′解析：(1)利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可． (2)利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC 的长．本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)用事件A i 表示第i 局比赛甲获胜，则A i 两两相互独立．P =P(A 1A 2+A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=23⋅23+13⋅23⋅23=1627． (Ⅱ)X 的取值分别为2，3，4，5， P(x =2)=23⋅23+13⋅13=59，P(x =3)=13⋅23⋅23+23⋅13⋅13=29， P(x =4)=23⋅13⋅23⋅23+13⋅23⋅13⋅13=1081， P(x =5)=23⋅13⋅23⋅13+13⋅23⋅13⋅23=881， 所以X 的分布列为X2345P 59291081881EX=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481．解析：(Ⅰ)用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率．(Ⅱ)X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19.答案：(I)证明：连接AC，BD，设交点为O，连接OP，则O是BD的中点，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO．∵AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴BD=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又BC//AD，∴BC⊥BD，又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PO∩BD=O，∴BC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD．(II)解：OA=√AD2+OD2=√72，∴PO=√PA2−OA2=32．以D为原点，以DA，DB，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是：(0,+∞)由已知f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)=0得，1−lnx =0，∴x =e ∵当0<x <e 时，f ′(x)=1−lnx x 2>0，当x >e 时，f ′(x)=1−lnx x <0∴函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减 故①当0<2m ≤e 即0<m ≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增 ∴f(x)max =f(2m)=ln(2m)2m−1，②当m ≥e 时，f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴f(x)max =f(m)=lnm m−1，③当m<e<2m，即e2<m<e时∴f(x)max=f(e)=1e−1．(3)由(1)知，当x∈(0,+∞)时，f(x)max=f(e)=1e−1，∴在(0,+∞)上恒有f(x)=lnxx −1≤1e−1，即lnxx ≤1e且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤1ex，∵1+nn >0,1+nn≠e，∴ln1+nn <1e⋅1+nn⇒ln(1+nn)e<1+nn即对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn恒成立．解析：(1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；(2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；(3)利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．21.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c．因为S▵F1PF2=12⋅2c⋅b=√3，所以bc=√3，又e=ca =12，a2=b2+c2，所以a=2，b=√3，c=1，所以C的方程为x24+y23=1．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点N(x0,y0)．当k=0时，t=0符合题意．当k ≠0时，由{y =k (x −1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 0=k (x 0−1)=−3k4k 2+3，即N (4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)．因为|TP |=|TQ |， 所以TN ⊥PQ ， 则k TN ⋅k =−1， 所以3k 4k 2+3t−4k 24k 2+3⋅k =−1， 故t =k 24k 2+3=14+3k 2，因为4+3k 2>4， 所以t ∈(0,14)．综上，t 的取值范围为[0,14)．解析：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．(1)由离心率可得a ，c 的关系，由面积可得bc 的关系，由求得a ，b ，故可得答案，(2)设直线PQ 的方程为y =k (x −1)，当k =0时，t =0符合题意．当k ≠0时，联立方程组可得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，结合韦达定理和k TN⋅k=−1，故可得t的取值范围．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x <1}； (2)当x ∈[−a2,1)时，f(x)=|x −2a|+2x +a ， f(x)<g(x)即为|x −2a|<3−a 恒成立， ∵0<a <3，∴3−a >0， ∴a −3<x −2a <3−a ，即3a −3<x <3+a 在x ∈[−a2,1)上恒成立， ∴{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解得0<a <67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
2020年陕西省榆林市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)
2020年陕西省榆林市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|22A x x =-<…，}x Z ∈，2{|log 1}B x x =<，则(A B =I ) A ．(0,2)B ．(2-，2]C ．{1}D ．{1-，0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量(OZ O u u u r 为坐标原点），设||OZ r =u u u r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z r r i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4(3)z i =+，则||(z = )A ．23B ．4C ．83D ．163．（5分）为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是( )A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强4．（5分）已知sin 2cos 1αα-=，3(,)2παπ∈，则1tan2(1tan 2αα-=+ )A ．12-B ．2-C ．12D ．25．（5分）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u ur u u u r u u u r ，则(λμ+= )A ．12-B ．2-C ．12D ．26．（5分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是() A ．23B ．12 C ．13D ．147．（5分）《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为( ) A ．147B ．294C ．882D ．17648．（5分）已知函数3sin ()(1)()x xx x f x x m x e e -+=+-++为奇函数，则(m = )A ．12B ．1C ．2D ．39．（5分）已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则(Vv = ) A ．4B ．8C ．9D ．2710．（5分）要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍( 横坐标不变）B ．向右平移6π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍( 横坐标不变） C ．向左平移3π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 3倍( 横坐标不变）D ．向左平移6π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3倍( 横坐标不变）11．（5分）已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，且3AB =，6AD CD ==，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为( ) A ．43B ．16C ．43πD ．8π12．（5分）已知y ax b =+与函数()25f x lnx =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+⎧⎨+-⎩……所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为( ) A ．2π B ．3π C ．6π D ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设1x 、2x 、3x 、4x 为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如表，若记DX ，DY 分别为X ，Y 的方差，则DX DY ．（填>，<，)=14．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b A c =+，则B ∠= ．15．（5分）若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点到渐近线的距离为2b 2小值 ．16．（5分）若奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x R ∈都有[()22]1x g g x -+=，当[0x ∈，1]时，()()f x g x =，则2(log 12)f = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．。
2019-2020学年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)
是等差数列；
（2）若
，求 T2n．
19．（12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ABD=90°，
EB⊥平面 ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=
，且 M 是 BD 的中点．
（1）求证：EM∥平面 ADF；
（2）求二面角 A﹣FD﹣B 的余弦值的大小．
！
功
成 20．（12 分）已知抛物线 E：y2=2px（p＞0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆
！
功 A．把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到
曲线 C2
成 B．把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移
曲线 C2
，得到
C．把 C1 向右平移 C2
到 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
D．把 C1 向右平移 C2
马 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
．
祝请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选
修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建
立极坐标系，点 A 的极坐标为
，直线 l 的极坐标方程为
，且 l 过点 A，曲线 C1 的参考方程为
（θ 为参数）．
考 【解答】解：根据曲线
=sin（ x﹣
把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，可得 y=sin（ x）的图象；
），
高 再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2：y=sin（ x﹣
） 的图象，
您 故选：B． 祝7．（5 分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，
陕西省榆林市2020届高三模拟第一次测试理数试题及答案
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6
.
| CD || n | 1 6 3
∴ 直 线 CD 与 平 面 ACM 所 成 的 角 的 余 弦 值 为
6
. ……………………………12分
3
18.(本小题满分 12 分)
解:（Ⅰ）∵ 2b cos A a cos C c cos A 0 ，
由正弦定理得 2sin B cos A sin Acos C sin C cos A 0 , 即 2sin B cos A sin( A C) 0 ，
∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sinB，∴ 2 sin B cos A sin B 0 . …………………2 分
#!!本小题满分!#分设椭 圆 0')%## -.,## +!")%,%&#的 左)右 焦 点 分 别 为 /!!/#!椭 圆 0 与. 轴正半轴交于点$!连接 $/#!过点 $ 作$:*$/# 交% 轴负半轴于点:!
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2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)(含解析)
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z＝−3+2i，则在复平面内z¯对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A＝{x|x2−5x+6>0}，B＝{x|x2−1<0}，则A∩B＝（）A.(−∞, 1]B.(−1, 1)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A.45B.50C.55D.604.若0<m<n，则下列结论正确的是（）A.2m>2nB.0.5m<0.5nC.log2m>log2nD.log0.5m>log0.5n5.关于甲、乙、丙三人参加高考结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是()A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙6.已知向量m→=(λ+1,1),n→=(λ+2,2)，若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则λ＝（）A.−4B.−3C.−2D.−17.已知α∈(0, π)，2sin2α＝cos2α−1，则sinα＝（）A.15B.√55C.−√55D.2√558.定义函数f(x)={sinx,sinx≥cosx cosx,sinx<cosx，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[−1, 1]；（2）当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0．上述命题中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知偶函数f(x+π2)，当x∈(−π2,π2)时，f(x)=x13+sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b10.若m>0，n>0，且直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆x2+y2−2x−2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A.[2+√2, +∞)B.[2+2√2, +∞)C.(0, 2+√2]D.(0, 2+2√2]11.设F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN =120∘，则该双曲线的离心率为()A.√213 B.√193 C.23 D.7√3312.定义域为R 的函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)，当x ∈[0, 2)时，f(x)={x 2−x,x ∈[0,1)−(12)|x−32|x ∈[1,2) ，若当x ∈[−4, −2)时，不等式f(x)≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A.[2, 3]B.[1, 3]C.[1, 4]D.[2, 4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）曲线C:y ＝xlnx 在点M(e, e)处的切线方程为________．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝120∘，则此球的表面积等于________．如图，抛物线C 1:y 2＝4x 和圆C 2：(x −1)2+y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →⋅CD →的值是________．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ．（1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2bcosA +acosC +ccosA ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小；（2）求|AD →|的值．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ．（1）证明：数列{a n +b n }，{a n −b n }为等比数列；（2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103．函数f(x)＝2(x 2−2x)lnx −x 2+4x ．(Ⅰ)求f(x)在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；(Ⅱ)设g(x)＝x 3−3x 2+3x +f(x)，若x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1≠x 2，满足g(x 1)+g(x 2)＝8，求证：x 1x 2<1．设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l:x −√3y −3=0相切．过定点M(0, 2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 1的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P(m, 0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；(Ⅲ)若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l的参数方程为{x=2−3ty=−1+2t（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+12|+|x−32|．（1）求不等式f(x)≤3的解集；（2）若关于x的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，求实数a的取值范围．2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z ＝−3+2i ，则在复平面内z ¯对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】∵z ＝−3+2i ，∴z ¯=−3−2i ，∴在复平面内z ¯对应的点为(−3, −2)，在第三象限．2.设集合A ＝{x|x 2−5x +6>0}，B ＝{x|x 2−1<0}，则A ∩B ＝（ ）A.(−∞, 1]B.(−1, 1)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1)∪(3, +∞) 【解答】∵集合A ＝{x|x 2−5x +6>0}＝{x|x <2或x >3}，B ＝{x|x 2−1<0}＝{x|−1<x <1}，∴A ∩B ＝{x|−1<x <1}＝(−1, 1)．3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A.45B.50C.55D.60【解答】∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝(0.005+0.010)×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，=50．则该班的学生人数是150.34.若0<m<n，则下列结论正确的是（）A.2m>2nB.0.5m<0.5nC.log2m>log2nD.log0.5m>log0.5n【解答】∵0<m<n，∴2m<2n，0.5m>0.5n，log2m<log2n，log0.5m>log2n．5.关于甲、乙、丙三人参加高考结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是()A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙【解答】解：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．由②乙与丙中必有一个未被录取．③或者甲未被录取，或者乙被录取．假设丙被录取，①③不正确，不符合题意．假设乙被录取，则①③都正确，因此甲乙都被录取．则三人中被录取的是甲乙．故选D.6.已知向量m→=(λ+1,1),n→=(λ+2,2)，若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则λ＝（）A.−4B.−3C.−2D.−1【解答】m→+n→=(2λ+3,3),m→−n→=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3＝0，∴λ＝−3．7.已知α∈(0, π)，2sin2α＝cos2α−1，则sinα＝（）A.15B.√55C.−√55D.2√55【解答】∵α∈(0, π)，∴sinα>0，∵2sin2α＝cos2α−1，∴4sinαcosα＝−2sin2α，可得2cosα＝−sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+(−12sinα)2＝1，∴sinα=2√55．8.定义函数f(x)={sinx,sinx≥cosx cosx,sinx<cosx，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[−1, 1]；（2）当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；（4）当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0．上述命题中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】该函数的值域为[−√22, 1]；故（1）错；当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)或x＝2kπ(k∈Z)时，该函数取得最大值；帮（2）错；该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错；当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<0，（4）正确．故选：A．9.已知偶函数f(x+π2)，当x∈(−π2,π2)时，f(x)=x13+sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b 【解答】∵当x∈(−π2,π2)时，y＝sinx单调递增，y=x13也为增函数，∴函数f(x)=x 13+sinx，也为增函数．∵函数f(x+π2)为偶函数，∴f(−x+π2)=f(x+π2)，即函数的对称轴为x=π2，即f(x)＝f(π−x)∴f(2)＝f(π−2)，f(3)＝f(π−3)，∵0<π−3<1<π−2<π2，∴f(π−3)<f(1)<f(π−2)，即c<a<b，故选：D．10.若m>0，n>0，且直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆x2+y2−2x−2y+1＝0相切，则m+n的取值范围是（）A.[2+√2, +∞)B.[2+2√2, +∞)C.(0, 2+√2]D.(0, 2+2√2]【解答】由圆x2+y2−2x−2y+1＝0，得(x−1)2+(y−1)2＝1，得到圆心坐标为(1, 1)，半径r＝1，∵直线(m+1)x+(n+1)y−2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d=√(m+1)2+(n+1)2=1，整理得：m+n+1＝mn≤(m+n2)2，设m +n ＝x(x >0)，则有x +1≤x 24，即x 2−4x −4≥0， 解得：x ≥2+2√2，则m +n 的取值范围为[2+2√2, +∞)．11.设F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN =120∘，则该双曲线的离心率为() A.√213B.√193C.23D.7√33【解答】解：不妨设圆与y =ba x 相交且点M 的坐标为(x 0, y 0)(x 0>0)， 则N 点的坐标为(−x 0, −y 0)，联立y 0=ba x 0，x 02+y 02=c 2，得M(a, b)，N(−a, −b)， 又A(−a, 0)且∠MAN =120∘， 所以由余弦定理得4c 2=(a +a)2+b 2+b 2−2√(a +a)2+b 2⋅bcos120∘， 化简得7a 2=3c 2， 求得e =√213． 故选A ．12.定义域为R 的函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)，当x ∈[0, 2)时，f(x)={x 2−x,x ∈[0,1)−(12)|x−32|x ∈[1,2)，若当x ∈[−4, −2)时，不等式f(x)≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.[2, 3] B.[1, 3] C.[1, 4] D.[2, 4]【解答】当x ∈[0, 1)时，f(x)＝x 2−x ∈[−14, 0]； 当x ∈[1, 2)时，f(x)=−−(12)|x−32|∈[−1, −√22]， ∴当x ∈[0, 2)时，f(x)的最小值为−1，又∵函数f(x)满足f(x+2)＝2f(x)，∴当x∈[−2, 0)时，f(x)的最小值为−12，当x∈[−4, −2)时，f(x)的最小值为−14，若x∈[−4, −2]时，f(x)≥t 24−t+12恒成立，∴−14≥t24−t+12恒成立．即t2−4t+3≤0，解得1≤t≤3，∴t∈[1, 3]，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）曲线C:y＝xlnx在点M(e, e)处的切线方程为________．【解答】求导函数，y′＝lnx+1∴当x＝e时，y′＝2∴曲线y＝xlnx在点(e, e)处的切线方程为y−e＝2(x−e)即y＝2x−e已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120∘，则此球的表面积等于________．【解答】设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120∘，∴由余弦定理得：cos1200=AB2+AC2−BC22AB⋅AC =−12，∴BC=√3，∴由正弦定理得：2r=BCsin120=2，∴r＝1，∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，故答案为：8π．如图，抛物线C 1:y 2＝4x 和圆C 2：(x −1)2+y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →⋅CD →的值是________．【解答】由题意可知直线l 的斜率存在且不等于0， 由抛物线C 1:y 2＝4x ，得F(1, 0)，则直线l 的方程为y −0＝k(x −1)，即y ＝kx −k ． 联立{y =kx −ky 2=4x，得k 2x 2−2k 2x −4x +k 2＝0， 解得：A(1+2k 2−2√k 2+1k 2,2k −2√k 2+1k)，D(1+2k 2+2√k 2+1k 2,2k +2√k 2+1k)，联立{y =kx −k (x −1)2+y 2=1，得B(1−√k 2+1√k 2+1)，C(1+√k 2+1√k 2+1)， AB →=√2−2k +2√k 2+1k ,√2−2k +2√k 2+1k)，CD →=(2k +2√k 2+1k −√22k +2√k 2+1k−√2)．∴AB →⋅CD →=1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a +c 的最小值为________． 【解答】解：由题意得12acsin120∘=12asin60∘+12csin60∘， 即ac =a +c ， 得1a +1c =1，得4a +c =(4a +c)(1a +1c )=ca +4a c+5≥2√ca ⋅4a c +5=4+5=9，当且仅当ca =4a c，即c =2a 时，取等号，故答案为：9．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ．（1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值． 【解答】PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，由AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，故AB ⊥平面PAD ， 因为PD 在平面PAD 内，故AB ⊥PD ， 因为AM ⊥PD ，AB ∩AM ＝A ，所以PD ⊥平面ABM ，由BM 在平面ABM ， 所以PD ⊥MB ；以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，B(1, 0, 0)，C(1, 2, 0)，D(0, 2, 0)，M(0, 1, 1)， AC →=(1,2,0),AM →=(0,1,1),CD →=(−1,0,0)，设平面ACM 的法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅AC →=x +2y =0n →⋅Am →=y +z =0 ，得n →=(2,−1,1)，设平面ACM 和直线CD 所成角为α， 则sinα＝|cos <n →,CD →>|=√6=√63， 故平面ACM 和直线CD 所成角为√63已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2bcosA +acosC +ccosA ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小； （2）求|AD →|的值． 【解答】由2bcosA +acosC +ccosA ＝0及正弦定理得 −2sinBcosA ＝sinAcosC +cosAsinC ， 即−2sinBcosA ＝sin(A +C)＝sinB ， 在△ABC 中，sinB >0，所以cosA =−12． 又A ∈(0, π)，所以A =2π3．在△ABC 中，c ＝2b ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ＝b 2+c 2+bc ＝7，所以a =√7． 由AD →=13AB →+23AC →，得AD →2=(13AB →+23AC →)2=49+49+49×2×1×(−12)=49， 所以|AD →|=23．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ．（1）证明：数列{a n +b n }，{a n −b n }为等比数列； （2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103．【解答】数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ,2b n+1=12a n +b n ． 所以{2a n+1=a n +12b n2b n+1=12a n +b n整理得两式相加a n+1+b n+1=34(a n +b n )，即a n+1+b n+1a n +b n=34（常数），数列{a n +b n }为等比数列；同理两式相减a n+1−b n+1=14(a n −b n )，即a n+1−b n+1a n −b n=14（常数）故数列{a n −b n }为等比数列． 证明：由（1）得：a n +b n =32(34)n−1，a n −b n =12(14)n−1，整理得a n =(34)n +(14)n ， 所以S n =34(1−3n 4n )1−34+14(1−14n )1−14<341−34+141−14=103函数f(x)＝2(x 2−2x)lnx −x 2+4x ．(Ⅰ)求f(x)在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；(Ⅱ)设g(x)＝x 3−3x 2+3x +f(x)，若x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1≠x 2，满足g(x 1)+g(x 2)＝8，求证：x 1x 2<1．【解答】（1）f(e)＝e 2，f′(x)＝4(x −1)lnx ，则f′(e)＝4(e −1)，故f(x)在x ＝e 处的切线方程为y −e 2＝4(e −1)(x −e)，即4(e −1)x −y −3e 2+4e ＝0；（2）证明：由题可得g′(x)＝3(x −1)2+4(x −1)lnx ，g′(1)＝0，当0<x <1时，x −1<0，lnx <0，则g′(x)>0；当x >1时，x −1>0，lnx >0，则g′(x)>0，所以，当x >0时，g′(x)≥0，g(x)在(0, +∞)上是增函数， 设G(x)=g(x)+g(1x )(0<x <1)，则G ′(x)=g ′(x)−1x 2g ′(1x )=3(x −1)2(1−1x 4)+4(x −1)(1−1x 3)lnx ， 当0<x <1时，x −1<0，lnx <0，1−1x 4<0,1−1x 3<0，则G′(x)<0，G(x)在(0, 1)上递减．不妨设0<x 1<x 2，由于g(x)在(0, +∞)上是增函数，则g(x 1)<g(x 2)， 又g(x 1)+g(x 2)＝8，g(1)＝4，则g(x 1)<g(1)<g(x 2)，于是0<x 1<1<x 2，由0<x 1<1，G(x)在(0, 1)上递减，则G(x 1)>G(1)＝2g(1)＝8，所以g(x 1)+g(1x 1)>8，则g(1x 1)>8−g(x 1)=g(x 2)，又1x 1>1,x 2>1，g(x)在(0, +∞)上是增函数，所以，1x 1>x 2，即x 1x 2<1．设椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l:x −√3y −3=0相切．过定点M(0, 2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 1的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P(m, 0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；(Ⅲ)若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．【解答】（1）因为2F 1F 2→+F 2Q →=0， 所以F 1为F 2Q 中点． 设Q 的坐标为(−3c, 0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c ＝4c 2， 且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(−c, 0)，半径为2c ． 因为该圆与直线l 相切，所以|−c−3|2=2c ．解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3． 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）设l 1的方程为y ＝kx +2(k >0)， 由{y =kx +2x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0．设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2．所以PG →+PH →=(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m, y 1+y 2)． ＝(x 1+x 2−2m, k(x 1+x 2)+4)GH →=(x 2−x 1,y 2−y 1)=(x 2−x 1,k(x 2−x 1))．由于菱形对角线互相垂直，则(PG →+PH →)⋅GH →=0．所以(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m]+k(x 2−x 1)[k(x 1+x 2)+4]＝0． 故(x 2−x 1)[(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k]＝0． 因为k >0，所以x 2−x 1≠0．所以(x 1+x 2)−2m +k 2(x 1+x 2)+4k ＝0 即(1+k 2)(x 1+x 2)+4k −2m ＝0． 所以(1+k 2)(−16k3+4k 2)+4k −2m =0解得m =−2k 3+4k 2．即m =−23k+4k．因为k >0，所以−√36≤m <0．故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36,0)． (Ⅲ)①当直线l 1斜率存在时，设直线l 1方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16kx +4＝0． 由△>0，得k 2>14． 设G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16k3+4k 2，x 1x 2=43+4k 2．又MG →=λMH →，所以(x 1, y 1−2)＝λ(x 2, y 2−2)．所以x 1＝λx 2．所以x 1+x 2＝(1+λ)x 2，x 1x 2＝λx 22．所以(x 1+x 21+λ)2=x 22=x 1x 2λ．将上式代入整理得：643k 2+4=(1+λ)2λ．因为k 2>14，所以4<643k 2+4<16．即4<(1+λ)2λ<16．所以4<λ+1λ+2<16． 解得7−4√3<λ<7+4√3． 又0<λ<1，所以7−4√3<λ<1．②又当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x ＝0，此时G(0,√3)，H(0,−√3)，MG →=(0,√3−2)，MH →=(0,−√3−2)，MG →=√32+√3→，所以λ=7−4√3．所以7−4√3≤λ<1，即所求λ的取值范围是[7−4√3,1)．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|．【解答】（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ， 转化为：(ρsinθ)2＝4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y 2＝4x（2）把直线l 的参数方程为{x =2−3t y =−1+2t（t 为参数）化为：2x +3y ＝1， 代入y 2＝4x 得y 2+6y −2＝0；设A 、B 的纵坐标分别为y 1、y 2；则y 1y 2＝−2，y 1+y 2−6；则|y 1−y 2|=√36−4×(−2)=2√11； |AB|=√1+(−32)2×|y 1−y 2|=√132×2√11=√143，所以|AB|=√143．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．（1）求不等式f(x)≤3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，求实数a 的取值范围． 【解答】不等式f(x)≤3，即|x +12|+|x −32|≤3． 不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到−12与32的距离之和不大于3， ∴−1≤x ≤2，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}； 函数f(x)＝|x +12|+|x −32|．由绝对值的几何意义可知：f(x)min ≥2， 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集非空， 只须：2<12|1−a|，解得a <−3或a >5． 关于x 的不等式f(x)<12|1−a|的解集是空集，可得−3≤a ≤5．。
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题 :本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合A ＝{x |x 2﹣5x +6＞0}，B ＝{x |x 2﹣1＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，1] B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．若0＜m ＜n ，则下列结论正确的是（ ） A ．2m ＞2n B ．0.5m ＜0.5n C ．log 2m ＞log 2nD ．log 0.5m ＞log 0.5n5．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是（ ） A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙6．已知向量m →=(λ+1，1)，n →=(λ+2，2)，若(m →+n →)⊥(m →−n →)，则λ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣17．已知α∈（0，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则sin α＝（ ） A ．15B ．√55C ．−√55D ．2√558．定义函数f(x)={sinx ，sinx ≥cosxcosx ，sinx ＜cosx ，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)时，该函数取得最大值； （3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当2kπ+π＜x ＜2kπ+3π2(k ∈Z)时，f （x ）＜0． 上述命题中正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知偶函数f(x +π2)，当x ∈(−π2，π2)时，f(x)=x 13+sinx ，设a ＝f （1），b ＝f （2），c ＝f （3），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b10．若m ＞0，n ＞0，且直线（m +1）x +（n +1）y ﹣2＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1＝0相切，则m +n 的取值范围是（ ） A ．[2+√2，+∞）B ．[2+2√2，+∞）C ．（0，2+√2]D ．（0，2+2√2]11．设F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√213B ．√193C ．23D ．7√3312．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）={x 2−x ，x ∈[0，1)−(12)|x−32|x ∈[1，2)，若当x ∈[﹣4，﹣2）时，不等式f （x ）≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[2，3]B ．[1，3]C ．[1，4]D ．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．曲线C ：y ＝xlnx 在点M （e ，e ）处的切线方程为 ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于 ．15．如图，抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：（x ﹣1）2+y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →•CD →的值是 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a +c 的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ． （1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2b cos A +a cos C +c cos A ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小； （2）求|AD →|的值．19．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ，2b n+1=12a n +b n ． （1）证明：数列{a n +b n }，{a n ﹣b n }为等比数列； （2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＜103． 20．函数f （x ）＝2（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+4x ．（Ⅰ）求f （x ）在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（Ⅱ）设g （x ）＝x 3﹣3x 2+3x +f （x ），若x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，满足g （x 1）+g （x 2）＝8，求证：x 1x 2＜1． 21．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x −√3y −3=0相切．过定点M （0，2）的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 1的斜率k ＞0，在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．22．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ（Ⅰ） 求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ） 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |． [不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +12|+|x −32|． （1）求不等式f （x ）≤3的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）＜12|1﹣a |的解集是空集，求实数a 的取值范围．。
2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学(理)试题(带答案解析)
………外…………○…………学校:___________………内…………○…………2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学(理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<…，则A B =I （ ） A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-2．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．163．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※装○…………装…………4．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．25．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u ur u u u r u u u r ，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．26．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．147．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147B ．294C ．882D ．17648．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．39．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．2710．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 11．已知平面ABCD ⊥平面,,ADEF AB AD CD AD ⊥⊥，且3,6,AB AD CD ADEF ===是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ）A ．43B ．16C ．43π D ．8π12．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．6πD ．12π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．设1234x x x x 、、、为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如下表，若记DX ，DY 分别为,X Y 的方差，则DX _____DY ．（填>，<，=）…………○……※※请※…………○……14．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b A c =，则B ∠=________.15．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离为2b ，2的最小值________.16．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有()g 221xg x ⎡⎤-+=⎣⎦，当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________. 三、解答题17．已知数列{}n a 为公差为d 的等差数列，0d >，44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2n an b =.（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ； （2）若12nn n n b c S S +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T .18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面,1,sin ABCD PD AD AB ABD ===∠=．（1）证明：PA BD ⊥；（2）求二面角A PB C --的正弦值．19．已知动圆过定点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为(0)k k ≠的直线m 与C 交于两点,A B ，过,A B 分别作C 的切线，两切线的交点……订…………○…………________考号：___________……订…………○…………（1）证明：点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥； （2）求四边形AMBN 的面积的最小值．20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID —19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，…，10）建立模型yc dt =+$和 1.5t y a b =+⋅$. （1）根据散点图判断，yc dt =+$与 1.5t y a b =+⋅$哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？参考答案1．C 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B =I {1}.故选：C 【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫===+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确；对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan 2αα-=+222sin 21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cossincos sin cos sin cos sin 2222222221cos2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD kBC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题. 6．C【解析】 【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下：所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x xy e e -=+为偶函数，所以()()()1g x x m x =+-为偶函数，故()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则2,233AD AM AD ===，3PM ∴==，1312P ABC V -∴==， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ，则1443P ABC O ABC V V --==⨯，解得：12r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ，则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，22133R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】 先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】 依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】根据,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，判断出2MD AM =，建立平面直角坐标系，求得M 点的轨迹方程，由此求得点M 的轨迹长度. 【详解】由于平面ABCD ⊥平面ADEF ，且交线为AD ，,AB AD CD AD ⊥⊥，所以AB ⊥平面ADEF ，CD ⊥平面ADEF .所以BMA ∠和CMD ∠分别是直线,MB MC 与平面ADEF所成的角，所以BMA CMD ∠=∠，所以tan tan BMA CMD ∠=∠，即AB CDAM MD=，所以2MD AM =.以A 为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则()0,0A ，()6,0D ，设(),M x y （点M 在第一象限内），由2MD AM =得224MD AM =，即()()222264x y x y -+=+，化简得()22224x y ++=，由于点M 在第一象限内，所以M点的轨迹是以()2,0G-为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分.令0x =代入原的方程，解得y =±，故(0,H ，由于2GA =，所以3HGA π∠=，所以点M 的轨迹长度为4433ππ⨯=. 故选：C【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12．B 【解析】 【分析】根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项. 【详解】()()''2,2f x g x x x==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为02x ，所以切线方程为()()00022ln 5y x x x x -+=-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'022g x x x ==，解得01x x =，200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为20001214y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比系数得02012ln 34x x +=-+，化简得02012ln 10x x +-=③.构造函数()()212ln 10h x x x x =+->，()()()'3321122x x h x x x x+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩即230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩，画出其对应的区域如下图所示.圆2222220x y x y ++--=可化为()()221124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为12，直线320x y +-=的斜率为13-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+==-⨯，所以4BAC π∠=，而圆A=(21324ππ⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 13．> 【解析】 【分析】根据方差计算公式，计算出,DX DY 的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系. 【详解】()123414EX x x x x =+++，故 ()()()()2222123414DX x EX x EX x EX x EX ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦()4221144i i x EX =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.()23341241123411422224x x x x x xx x EY x x x x EX ++++⎛⎫=+++=+++= ⎪⎝⎭，222223341241142222x x x x x x x x DY EX EX EX EX ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22222233412411442222x x x x x x x x EX ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 要比较,DX DY 的大小，只需比较421ii x=∑与2222233412412222x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两者作差并化简得 2222422334124112222ii x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑ ()2222123412233441222224x x x x x x x x x x x x +++-+++=()()()()2222122334414x x x x x x x x -+-+-+-=①，由于1234,,,x x x x 为互不相等的正实数，故0>①，也即2222422334124112222ii x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，也即DX DY >. 故答案为：> 【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题. 14．150︒ 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角可得2sin cos 0A B A =，从而可得cos 2B =-，进而求解. 【详解】由2cos 2b A c =，由正弦定理可得2sin cos 2sin B A C A =+，即()2sin cos 2sin B A A B A =+，整理可得2sin cos 0A B A +=，又因为sin 0A ≠，所以cos 2B =-， 因为0180B <<o ， 所以150B =o ， 故答案为：150︒ 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题. 15．2 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出其中一条渐近线by x a=，顶点(),0a ，再利用点到直线的距离公式可得2c a =222==+，利用基本不等式即可求解. 【详解】由双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >，可得一条渐近线by x a=，一个顶点(),0a ，2ab bc==，解得2c a =，22222===+≥，当且仅当3a =时，取等号，2的最小值为2.故答案为：2 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 16．13- 【解析】 【分析】根据()()2f x f x +=-可得函数()f x 以4为周期的函数，令()g 22xx k -+=，可求()21x g x =-，从而可得()()21x f x g x ==-，()()22log 122log 3f f =--代入解析式即可求解. 【详解】令()g 22xx k -+=，则()g 22xx k =+-，由()g 221xg x ⎡⎤-+=⎣⎦，则()1g k =，所以()g 221kk k =+-=，解得1k =，所以()21xg x =-，由[]0,1x ∈时，()()f x g x =， 所以[]0,1x ∈时，()21xf x =-；由()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 以4为周期的函数，()()()()22222log 12log 3log 4log 32log 32f f f f =+=+=-，又函数()f x 为奇函数，所以()()22log 3221log 122log 3213f f -⎡⎤=--=--=-⎣⎦.故答案为：13- 【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.17．（1）122n n S +=-（2）211222n +-- 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差1d =，从而求出22na n nb ==，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.（2）由（1）求出n c ，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1）44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2319a a a ∴=，即：()()()244345d d d -=-+，0d >Q ，1d ∴=，n a n ∴=，22n a n n b ∴==，()12122212n n n S +-∴==--；（2）111111211n n n n n n n n n n n n n b b S S c S S S S S S S S ++++++-====-⋅⋅⋅Q ，212231111111111111222n n n n n S S S S S S S S S +++∴=-+-++-=-=--L . 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题. 18．（1）见解析（2）23【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得sin 1ADB ∠=，由此得到90ADB BD AD ∠=⇒⊥o ，结合PD BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，由此证得PA BD ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用平面ABP 和平面PBC 的法向量，计算出二面角A PBC --的余弦值，再转化为正弦值.【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB ADADB ABD=∠∠，sin sin 1,90,AB ABDADB ADB BD AD AD︒⋅∠∴∠==∴∠=∴⊥，PD ⊥Q 底面,ABCD PD BD ∴⊥， BD ∴⊥平面PAD ，PA BD ∴⊥；（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，1,2PD AD AB BD ===∴=Q ，(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(1,0, 0), (0,2,1)A B C P AB CB PB ∴-=-==-u u u r u u u r u u u r设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r ，由00n AB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 可得：2020x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，则(2,1,2)n =r，设平面PBC 的法向量为111(,,)m x y z =u r ，由00m CB m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 可得:111020x y z =⎧⎨-=⎩，令11y =，则(0,1,2)m =u r，设二面角A PB C --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，则cos cos ,3||||m n m n m n θ⋅=-<>=-==-⋅u r ru r r u r r ，2sin 3θ∴==，故二面角A PB C --的正弦值为23.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．（1）见解析（2）最小值为32． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，判断出C 的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹C 的方程.设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此求得P 点的坐标.写出直线m 的方程，联立直线m 的方程和曲线C 的方程，根据韦达定理求得P 点的坐标，并由此判断出P 始终在直线l 上，且PF AB ⊥.（2）设直线AB 的倾斜角为α，求得AB 的表达式，求得MN 的表达式，由此求得四边形AMBN 的面积的表达式进而求得四边形AMBN 的面积的最小值． 【详解】(1)∵动圆过定点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，∴动圆圆心到定点(0,1)F 和定直线1y =-的距离相等，∴动圆圆心的轨迹C 是以(0,1)F 为焦点的抛物线，∴轨迹C 的方程为：24x y =，设2221212(,),(,),4,442x x xA xB x x y y '=∴=Q ，∴直线PA 的方程为：2111()42x x y x x -=-，即：21142y x x x =-①，同理，直线PB 的方程为：22242y x x x =-②，由①②可得：1212(,)24x x x x P +， 直线m 方程为：1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得：2440,(2,1)x kx P k --=∴-， 11PF k k k k∴⨯=-⨯=-，∴点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥；（2）设直线AB 的倾斜角为α，由（1）可得：||AB = 2244||cos 90si )n (MN αα︒∴==+，∴四边形AMBN 的面积为：2221832||||322sin cos sin 2AB MN ααα⨯⨯==≥，当且仅当45α=o 或135o ，即1k =±时取等号，∴四边形AMBN 的面积的最小值为32.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.20．（1） 1.5t y a b =+⋅$适宜（2）10201.5t y ∴=+⋅$（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效 【解析】 【分析】（1）根据散点图即可判断出结果.（2）设 1.5t ω=，则ya b ω=+$，求出b $，再由回归方程过样本中心点求出$a ，即可求出回归方程.（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当15t =时，10150y=$，与真实值作比较即可判断有效. 【详解】（1）根据散点图可知：1.5t ya b =+⋅$适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型；（2）设 1.5t ω=，则ya b ω=+$，()()()1010111010222111010iii ii i iii i y y y yb ωωωωωωωω====---==--∑∑∑∑$21547001019390207401019-⨯⨯==-⨯，390201910ay b ω=-=-⨯=$$， 10201.5t y∴=+⋅$； （3）（ⅰ）11t=时，2010y=$，201019750.11975-<，当12t =时，3010y =$，301027440.12744-<，当13t =时，4510y=$，451045150.14515-<，所以（2）的回归方程可靠：（ⅱ）当15t =时，10150y=$， 10150远大于7111，所以防护措施有效. 【点睛】本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.21．（1）1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用()f x 的导函数，求得()f x 的最大值的表达式，对a 进行分类讨论，由此判断出()f x 的零点的个数.（2）由ln 1x x ≤-，得到2ln 11x x x x +≤-+和1x x e -≤，构造函数2()sin 1x h x e x x x =+-+-，利用导数证得()0h x >，即有2sin 1x e x x x +>-+，从而证得2sin 1ln 1x e x x x x x +>-+>+，即sin ln 1x e x x x +>+.【详解】 （1）1()(0,0)axf x a x x'-=>>Q ， ∴当1(0,)x a ∈时，()0f x >，当1(,)x a ∈+∞时，()0,()f x f x '<∴在1(0,)a 上递增，在1(,)a+∞上递减，1()()ln 1f x f a a a ∴≤=-+-.令()ln 1(ln 1),()g x x x x x g x =-+-=--+∴在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0,ln 10g x g a a ≥=∴-+-≥，当且仅当1a =时取等号．①1a =时，()f x 有一个零点； ②1a >时，11111(0,1),()ln (0,1),ln 10,(1)0,()0a a a f a a f a a f f a a aa e e ⎛⎫∈=-+-∈=-+->==-< ⎪⎝⎭，此时()f x 有两个零点；③01a <<时，211111,()ln 10,(1)0,()2ln f a a f f a a a a a a>=-+->==--+，令221(1)()2ln (1),()0,()x x x x x x x x xϕϕϕ'-=--+>∴=>∴在(0,1)上递增，211()(1)0,()2ln 0x f a a a aϕϕ<=∴=--+<，此时()f x 有两个零点； 综上:1a =时，()f x 有一个零点;当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点; （2）由（1）可知：21ln 1,ln 11,x x x x x x x x e -≤-∴+≤-+≤，令2()sin 1,()cos 2121cos 0,xx h x ex x x h x e x x ex x x '=+-+-=+-+≥-++>()h x ∴在()0,∞+上递增，2()(0)0,sin 1ln 1xh x h e x x x x x >=∴+>-+>+． 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．（1）1C 的极坐标方程为2sin ρθ=；2C cos sin 6θρθ+=（2）12【解析】 【分析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可转化.（2）由3C ：()00kx y k -=>，可得θα=，代入1C 与2C 的极坐标方程求出,OA OB ，从而可得22sin cos 6OAOB ααλ+==，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）1C Q ：2220x y y +-=，22sin ρρθ∴=，1C ∴的极坐标方程为2sin ρθ=2C Q6y +=，cos sin 6θρθ+=，2C ∴cos sin 6θρθ+=，（2）3C Q ：()00kx y k -=>，则θα=（α为锐角），2sin OA α∴=，OB =OAOB λ∴==π2sin 12cos 2116662ααα⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==≤，当π3α=时取等号. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.23．（1）4（2）不存在；详见解析 【解析】 【分析】（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m . （2）由()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）()43,0244,0434,4x x f x x x x x x x -≤⎧⎪=+-=+<<⎨⎪-≥⎩()04m f ∴==；（2）()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++==++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若a ，b 同号，8529b a a b ⎛⎫=++≥⎪⎝⎭，不成立； 或a ，b 异号，8525b a a b ⎛⎫=++<⎪⎝⎭，不成立； 故不存在实数a ，b ，使得22a b +=，12m a b+=. 【点睛】本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.。
陕西省2020届高三上学期第一次月考数学(理)试卷
2020学年度上学期高三年级第一次质量检测数学（理）试题本试卷满分150分 考试时间 120分钟命题人： 审核人：一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.设集合，，若，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2.在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ）A. xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32 B. x y 31log = C. 2)1(+-=x y D.)(log 32x y -=3.若,1log 32<a 则a 的取值范围是（ ） A. 320<<a B. 32>a C. 132<<a D.320<<a 或1>a4.下列选项中，说法正确的是 （ ）A.命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->” B.命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件C.命题“若22bm am <则b a <”是真命题D.命题“在ABC ∆中，若1sin 2A <,则6A π<”的逆否命题为真命题 5.函数()ln xf x x=在区间（，3）上的最大值为（ ）A.e1 B.1 C. 2D. e6.函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，且满足1)()1(=++x f x f ，当[]2,1∈x 时x x f -=2)(，则=-)2013(f（ ）A ．B.C ．D ．7. 函数ln(2||)y x =-的大致图象为（ ）A B C D 8. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a << 9. 函数()24f x x x m =--恰好有三个不同零点，则m =（ ） A.4-B.2- C. 2D. 410. 已知函数f(x)的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表。
陕西省榆林市2020届高考模拟第一次测试理综物理试题word版有答案(已审阅)
绝密★启用前榆林市高考模拟第一次测试理科综合物理试题第I卷(选择题共126分)二、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，其中第14题一第18题只有一项符合题目要求；第19题一第21题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)14.物理来源于人们的生活实践，揭示的是自然规律，我们学习物理的目的就是要将所学习的知识应用于社会。
下面四幅图中展示了一些应用，关于这些应用说法正确的是()A.甲图是天宫一号中太空“质量测量仪”测质量的实验，其测量原理是根据胡克定律B.乙图是罗盘，它可以指示南北方向，其原理是由于指针受到重力作用C.丙图是防辐射服，其内部是用包含金属丝的织物制成，是因为金属丝很坚韧，有利于保护人体D.丁图是家用电磁炉，其原理是利用了电磁感应的涡流来进行加热15.如图所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢地杯从底部爬到a处，则下列说法正确的是()A.在a点碗对蚂蚁的支持力大于在b点的支持力B.在a点碗对蚂蚁的作用力大于在b点的作用力C.在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力D.在a点蚂蚁受到的合力大于在b点受到的合力16.如图所示，空间有一正三棱锥OABC，点A'、B'、C′分别是三条棱的中点。
现在顶点O处固定一正点电荷，则下列说法中正确的是()A. A'、B'、C′三点的电场强度相同B. △ABC所在平面为等势面C.将一正试探电荷从A'点沿直线A'B'移到B'点，静电力对该试探电荷先做正功后做负功D．若A'点的电势为φA'，A点的电势为φA，则A'A连线中点D处的电势φD一定小于17.设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R(从地心算起)延伸到太空深处。
这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。
陕西省榆林市2020届高三高考线上模拟测试理数试题及答案
(C)甲的六大素养整体水平优于乙
(D)甲的六大素养中数学运算最强
4．已知 sinα－2cosα＝1，α∈(π，3π)，则1－tanα2＝
2
1＋tanα
2
()
(A)－1 2
(B)－2
(C)1 2
(D)2
5．在△ABC 中，点 D 是线段 BC 上任意一点，2A→M＝A→D，B→M＝λA→B＋μA→C，则λ＋μ＝(
∴PA⊥BD；……………………………………………………………………………………5 分
第1页共4页
(2)以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，∵PD＝AD＝1，AB＝ 5，∴BD＝2，
∴A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(－1，2，0)，P(0，0，1)，A→B＝(－1，2，0)，C→B＝(1，0，
绝密★启用前
2020 年榆林市高三线上质量检测 理科数学试题
(满分：150 分，考试时间：120 分钟)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 A＝{x|－2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|log2x＜1}，则 A∩B＝
性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎(Corona Virus
Disease 2019，COVID－19)，简称“新冠肺炎”．下图是 2020 年 1 月 15 日至 1 月 24 日累计
确诊人数随时间变化的散点图．
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数 y 与时间 变量 t 的两个回归模型，根据 1 月 15 日至 1 月 24 日的数据(时间变量 t 的值依次 1，2，…，
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合2{|450}A x x x =-+>，2|03x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭…，则(A B =I )A ．(2,3)-B ．[2-，3]C ．[2-，3)D ．∅3．（5分）已知函数2()log 1f x =，则()(f x ) A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于10钱）( ) A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱 C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．（5分）执行如图所示的程序框图，则f （3）f +（6）(= )A ．45B ．35C ．147D ．756．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n 名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n 的值为( ) A ．20B ．22C ．23D ．267．（5分）设0.13a =，0.3log 0.5b =，6log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．（5分）在6(2)(1)m x y ++的展开式中，令3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( ) A ．30B ．960C ．300D ．3609．（5分）已知抛物线24y x =-的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，直线4x =与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则:(MON POQ S S ∆∆= ) A ．18B ．19C ．112D ．11610．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是( ) ①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点(,0)3π对称；③函数()y f x '=的图象在区间(,)66ππ-上单调递减；④函数()y f x '=的图象在区间2(,)63ππ上单调递增．A ．①④B ．②③C ．①③D ．②(④11．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该儿何体的体积为103，则棱长为a 的正方体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．14πC ．43πD ．16π12．（5分）已知函数3213()132f x x x bx =-++在1x =处有极值，设函数23()()()2F x f x a x =--，且()F x 在区间(2,3)内不单调，则a 的取值范围为( ) A ．311(,)23B ．311(,)26C ．311(,)43D ．38(,)23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(3,1)a =r ，2(4,23)b t =-+r ，若9a b =-r r g ，则cos a <r ，b >=r ．14．（5分）函数()f x xlnx a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为 ．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）已知数列{}n a 满足11,log (2)n n b n a a c n ==…，当2n …时，n b n =，且点(n b ，)n c 是直线1y x =+上的点，则数列{}n a 的通项公式为 ；令123k y a a a a =⋯g g ，则当k 在区间[1，2019]内时，使y 的值为正整数的所有k 值之和为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在ABC ∆中，33sin BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD ． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求ACD ∆的面积．18．（12分）2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A ，B ，C ，D ，E 依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立．赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利．（Ⅰ）在决赛中，中国队以3:1获胜的概率是多少？ （Ⅱ）求比赛局数的分布列及数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，ADC ∠为直角，AP ⊥平面ABCD ，::5:4:2BC AD CD =，且1CD =．（Ⅰ）求证：BP AC ⊥；（Ⅱ）若AP CD =，求二面角D PC B --的余弦值．20．（12分）已知函数()f x lnx =，211()22g x x =-．（Ⅰ）证明：当1x >时，()()f x g x <；（Ⅱ）存在01x >，使得当0(1,)x x ∈时恒有()()(1)(1)f x g x k x ->--成立，试确定k 的取值范围．21．（12分）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，A为椭团的上顶点，B 为其右焦点，D 是线段AB 的中点，且OD AB ⊥．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点． （ⅰ）判断PQM ∆的形状；（ⅱ）求四边形PMQN 面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为1,1(1t x tt t y t -+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．（Ⅰ）求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到l 距离的最大值及该点坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数()||2|1|f x x a x =--+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若()f x 的最大值为3，求a 的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意得43z i =-， 所以114343(43)(43)iz i i i +==-+-， 4325i+=， 因此在复平面内对应的点43(,)2525位于第一象限， 故选：A ．2．（5分）已知集合2{|450}A x x x =-+>，2|03x B x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭„，则(A B =I )A ．(2,3)-B ．[2-，3]C ．[2-，3)D ．∅【解答】解：2245(2)10x x x -+=-+>，∴集合A R =，且{|23}B x x =-<„， [2A B ∴=-I ，3)．故选：C ．3．（5分）已知函数2()log 1f x =，则()(f x ) A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减【解答】解：因为，2()11log ||f x log x =+=+， 所以()f x 为偶函数，根据对数函数的性质可知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增， 故选：D ．4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中。
陕西省2020版数学高三理数第一次模拟试卷D卷
陕西省2020版数学高三理数第一次模拟试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·鄂伦春模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）下列说法中错误的是（）A . 有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B . 若向量与不共线，则与都是非零向量C . 长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D . 方向相反的两个非零向量必不相等4. （2分）(2017·佛山模拟) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f （x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）(2018·河南模拟) 定义表示不超过的最大整数，，例如，，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·新宁月考) 向右平移ψ（ψ>0）个单位后图象关于y轴对称，则ψ的最小值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·忻州期中) 已知，，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知数列，则是这个数列的（）A . 第6项B . 第7项C . 第19项D . 第11项9. （2分）设偶函数满足,则不等式的解集为（）A . 或B . 或C . 或D . 或10. （2分）设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A . [1,5]B . [2,6]C . [3,11]D . [3,10]11. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·诸暨期中) 已知定义在上的可导函数，对于任意实数，都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·平湖期中) 若（2x2+1）5=a0+a1x2+a2x4+…+a5x10 ，则a3的值为________．14. （1分）密码是通信双方按约定的法则进行信息特殊变换的一种重要保密手段，明文在依靠一些对应法则（密匙）下变为密文，如明文09在密匙规则下转变为密文04．在一次信息传送过程中，最小的信息单元由两个数字组成（不足两位的前面补0，超出两位数的取后两位），接受到的密文为9503，密匙为“2x+1”，则破译后的明文为：________．15. （1分） (2019高一上·永嘉月考) 设是定义在上的奇函数，当时，，则 ________.16. （1分） (2020高一下·北京期中) 已知点P在以原点为圆心的单位圆上，点A的坐标为，则的最大值为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2018高二上·成都月考) 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（Ⅰ）求与．（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．18. （5分） (2019高一下·朝阳期末) 如图，在中，是的中点，，，的面积为 .（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）判断是否为锐角三角形，并说明理由.19. （10分）(2017·潍坊模拟) 某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．附：x2= ．P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.63520. （10分） (2017高三上·同心期中) 设函数（1）若，求的单调递增区间；（2）当时，存在，使成立，求实数的最小值，（其中e是自然对数的底数）21. （10分）(2018·临川模拟) 已知函数为定义在上的奇函数.（1）求函数的值域；（2）当时，不等式恒成立，求实数的最小值.22. （10分） (2018高二下·遂溪月考) 已知曲线的极坐标方程是 ,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系, 若倾斜角为的直线经过点 .（1）写出直线的参数方程, 并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点、 ,求的值.23. （10分）(2018·内江模拟) 已知函数的最小值为 .（1）求的值；（2）设实数满足，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
陕西省2020年数学高三理数一模检测试卷A卷
陕西省2020年数学高三理数一模检测试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·绍兴期末) 复数为虚数单位）的虚部为（）A . 1B . -1C . iD . -i3. （2分）若点O和点F(-2,0)分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A . [3- ，）B . [3+ ，）C . [，）D . [，）4. （2分）在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（）A . 5B . 10C .D . 55. （2分） (2016高二上·仙桃期中) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·天水模拟) 下列有关命题的说法正确的是（）A . “x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B . “x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为真命题C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题7. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 阅读如图的程序框图，输出结果S的值为（）A . ﹣1008B . 1C . ﹣1D . 08. （2分）已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2 ，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（）A . 11B . 10C . 9D . 89. （2分） (2019高二下·温州期中) 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A . 56个B . 48个C . 45个D . 42个10. （2分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为（）A . x2﹣3y2=﹣2B . x2﹣3y2=﹣2（x≠±1）C . x2﹣3y2=2D . x2﹣3y2=2（x≠±1）11. （2分）(2017·房山模拟) 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标O﹣xyz分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），画出该三棱锥三视图中的俯视图时，以xoy平面为投影面，得到的俯视图为（）A .B .C .D .12. （2分）已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A . lna＞b﹣1B . lna＜b﹣1C . lna=b﹣1D . 以上都不对二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·德州模拟) （x2+x+1）（1﹣x）4展开式中x2的系数为________．14. （1分）函数y=sin2x+cos2x在[0，π]上的单调递减区间为________15. （1分） (2018高三上·荆门月考) 已知满足则的最小值为________.16. （1分） (2017高一下·菏泽期中) 下列叙述：①函数是奇函数；②函数的一条对称轴方程为；③函数，，则f（x）的值域为；④函数有最小值，无最大值．所有正确结论的序号是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2018高三上·沧州期末) 在等差数列中，， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和 .18. （5分）(2018·攀枝花模拟) 如下图,四梭锥中, ⊥底面 ,, 为线段上一点， , 为的中点.(I)证明: 平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分） (2017高二下·南昌期末) 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）①0.16[70，80）22②[80，90）140.28[90，100）③④合计501（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨期中) 已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率．（1）若是真命题，求m的取值范围；（2）若是真命题，是假命题，求m的取值范围．21. （5分）(2017·芜湖模拟) 已知函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）﹣f（x2）≥ ﹣2ln2恒成立，求a的取值范围．22. （10分）(2020·辽宁模拟) 已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若将曲线上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线．（1）写出直线l和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线的两个交点分别为A，B，求的值．23. （10分）(2019·肇庆模拟) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试理科数学试题
榆林市2021届高考模拟第一次测试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 为纯虚数，且,12m iz m R i+=∈-，则m =（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．22．集合{}23,log ,{,}A a B a b ==，若{0}A B =，则A B =（ ） A ．{0,3} B ．{0,1} C ．{0,2,3} D ．{0,1,3}3．如图，角,αβ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA OB ⋅=（ ）A ．cos()αβ-B ．cos()αβ+C ．sin()αβ-D ．sin()αβ+4．下列四个函数：①23y x =+；②1y x=；③2xy =；④12y x =，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +6．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中一共随机选择拨珠三粒（往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠），算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．167．已知a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．,,//a b αβαβ⊥⊥ B ．,//,a b a αββ⊥⊥ C ．,,//a a b βαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥ 8．若()2|sin |cos f x x x =，则（ ） A ．图像关于直线4x π=对称 B ．图像关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．最小正周期为π D ．在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4b =，ABC 的面积为则sin B =（ ）A ．B C D 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．CD ．311．设110,022a b <<<<，随机变量的分布则当a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，（ ）A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ增大，()D ξ减小C ．()aE ξ减小，()D ξ增大 D ．()E ξ减小，()D ξ减小12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且()f x 在(1,0)-上递减．若125a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，(ln2)b f =-，()3log 18c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为_________．14．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若||4AF =，则OAB （O 为坐标原点）的面积为_________．15．已知一个棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体（包括底面）的表面积为_________． 16．若1201x x <<<，则下面不等式正确的是_________．①1122ln ln x x x x <；②2112ln ln x x x x <；③1212x x x e x e >；④1221x x x e x e >；⑤2121ln ln x x e e x x -<-． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1(1)n n b a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．18．（12分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%．为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．19．（12分）如图，在正四面体A BCD -中，点E ，F 分别是,AB BC 的中点，点G ，H 分别在,CD AD 上，且14DH AD =，14DG CD =．（1）求证：直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上；（2）求直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)=>C x py p 有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且||1=AB ． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F为半径的圆F 交于M ，N 两点，求证：||MN 为定值．21．（12分）已知函数2,0()12,02⎧⎪=⎨-+->⎪⎩x e x f x x x x ． （1）设()()=g x xf x ，求()g x 的单调区间；（2）求证：存在恰有2个切点的曲线()=y f x 的切线．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系 xOy 中，直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2⎛⎫≠ ⎪⎝⎭παα．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0-=ρθθ． （1）求直线l 的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，M 为AB 中点，且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列，求直线l 的斜率．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|||23|=++-f x x a x ． （1）当1=a 时，求()f x 的最小值；（2）当[,22]∈-x a a 时，不等式()|5|+f x x 恒成立，求实数a 的取值范围．榆林市2021届高考模拟第一次测试理科数学逐题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解析：因为12+=-m i z i 为纯虚数，所以(,)12+=∈∈-R R m iai a m i，即：2+=+m i a ai ，从而1,2==a m ，故选D ．2．解析：因为{0}=A B ，所以2log 0=a ，即：1,0,{3,0},{1,0}====a b A B ，从而{0,1,3}=A B ，故选D ．3．解析：因为(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ，所以cos cos sin sin cos()⋅=+=-OA OB αβαβαβ，故选A ． 4．解析：由上表可知：定义域与值域相同的函数的个数为3，故选C ．5．解析：131()444=-=-+=-EB AB AE AB AB AC AB AC ，故选A ．6．解析：从个位和十位这两组中一共随机选择拨珠三粒可以表示6个数，分别为：7，16，25，52，61，70，其中质数有：7，61，故2163==P ，故选A ． 7．解析：在A 、B 、C 的条件下，都可能出现//a b ，故选C ． 8．解析：()2|sin |cos =f x x x 的简图如下：由图可知：A 、C 、D 均错误，故选B ． 9．解析：【解法1】：1sin 2===S bc A ，所以3=c ，由余弦定理可得：2222cos 13,=+-==a b c bc A a ，又由正弦定理可得：sin sin =a bA B，所以sin sin ==b A B a A ．【解法2】：作⊥CD AB 于D ，因为3=A π，4=b ，所以2==CD AD ，又因为ABC 的面积为1,====CD BD BC B BC ，故选A ．10．解析：取OA 的中点D ，连结2DF ，设2=AF m ，则112,22=-=-AF m a BF m a ，因为1222-=-=BF BF m a a ，所以124,4,===m a DF a DF ，从而122,====cF F c e a故选C ．11．解析：当a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，b 减小，数据分布整体变小，数据更集中，所以()E ξ减小，()D ξ减小，故选D ． 12．解析：()15-=a f ，(ln2)(ln2)=-=b f f ，()()()()3333log 182log 2log 2log 2==+=-=c f f f f ，因为12315log 2ln 212-<<<<，()f x 在(0,1)上递增，所以()1235log 2(ln 2)-⎛⎫<< ⎪⎝⎭f f f ，即<<a c b ，故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：15．解析：264,6==n n ，二项式621⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中常数项为446(1)15-=C ．14．答案：3． 解析：2||41cos ==-AF θ，所以60=θ，则OAB （O 为坐标原点）的面积为：2212sin 2sin 22sin ⋅⋅==p p p θθθ．15．答案：92π． 解析：长、宽、高分别为1，1，2的长方体内接于该球，则222241126=++=R ，所以该半球体（包括底面）的表面积为2932=R ππ． 16．答案：②④．解析：①令()ln ,()1ln '==+f x x x f x x ，当(0,1),()∈'x f x 的正负不确定，故11ln x x 与22ln x x 的大小不确定，故①错误； ②令2ln 1ln (),()-'==x xg x g x x x ，当(0,1),()0'∈>x g x ，所以()g x 在(0,1)上单调递增，因为1201<<<x x ，所以()()121212ln ln ,<<x x g x g x x x ，即：2112ln ln <x x x x ，故②正确； ③令(),()(1)='=+x x h x xe h x x e ，当(0,1),()0'∈>x h x ，所以()h x 在(0,1)上单调递增，因为1201<<<x x ，所以()()12<h x h x ，即：1212<x x x e x e ，故③错误；④令1(),()'-==x xx xx x e eϕϕ，当(0,1),()0'∈>x x ϕ，所以()x ϕ在(0,1)上单调递增，因为1201<<<x x ，所以()()121212,<<x x x x x x e eϕϕ，即：1221>x x x e x e ，故④正确； ⑤令1()ln ,()=-=-'x x r x e x r x e x ，当(0,1),()∈'x r x 的符号不能确定，所以22ln -x e x 与11ln -x e x 的大小不能确定，21-x x e e 与21ln ln -x x 的大小不能确定，故⑤错误；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．解析：（1）因为74749==S a ，所以77=a ，而35=a ，设数列{}n a 的公差为d ，则2=d ，21=-n a n ；（2）()2112=+=n n S n a a n ，11(1)(1)(21)11(1)(1)1++--+⎛⎫===-+ ⎪++⎝⎭n n n n n n n a n b S S n n n n ，211111111211223342212121=--++--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=-=-+++n nT n n n n ．18．解析：（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：10000.0151055.7%83.55⨯⨯⨯=万； 在60-70岁的签约人数为：10000.0101061.7%61.7⨯⨯⨯=万； 在70-80岁的签约人数为：10000.0041070.0%28⨯⨯⨯=万； 在80岁以上的签约人数为：10000.0031075.8%22.74⨯⨯⨯=万；故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：83.5561.72822.74199.55+++=万；（2）年龄在10-20岁的人数为：10000.0051050⨯⨯=万；年龄在20-30岁的人数为：10000.01810180⨯⨯=万．所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；年龄在30-50岁的人数为10000.03710370⨯⨯=万，签约率为37.1%．年龄在50岁以上的人数为：10000.03210320⨯⨯=万，签约率超过55%，上升空间不大．故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率．19．解析：（1）因为11,24∥∥EF AC GH AC ，所以12∥GH EF ，故E ，F ，G ，H 四点共面，且直线,EH FG 必相交于一点，设=EHFG M ，因为,∈M EH EH 平面ABD ，所以∈M 平面ABD ，同理：∈M 平面BCD ，而平面ABD 平面=BCD BD ，故∈M 平面BCD ，即直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上；（2）解法1：取BD 的中点O ，则,⊥⊥BD OA BD OC ，所以⊥BD 平面AOC ，不妨设=OD ，则1441441921cos 212123+-∠==⨯⨯AOC ，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,(12,0,0),(6,--A B C F G ，故=BA，(=-FG，(8,0,=-AC，(4,0,=-EF ，设平面平面EFGH 的法向量为(,,)=n x y z ，由0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n EF n FG 可得：50⎧+=⎪⎨=⎪⎩y x ，令=x ，则(52,=n ，则182cos ,3||||92⋅<>===⨯BA n BA n BA n ，故直线AB 与平面EFGH解法2：将正四面体-A BCD 放入如图的正方体中，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(2,0,2),(2,2,4),(3,3,0)E F H ，故(4,0,4),(0,2,2),(1,1,4)===-AB EF FH ，设平面平面EFGH 的法向量为(,,)=n x y z ，由00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n EF n FH 可得：040+=⎧⎨+-=⎩y z x yz ，令1=z ，则(5,1,1)=-n ，则cos ,3||||42⋅<>===⨯AB n AB n AB n ，故直线AB 与平面EFGH解法3：连结,EG BG ，设直线AB 与平面EFGH 所成的角为θ，点A 到平面EFGH 的距离为d ，正四面体的棱长为4，，所以E 到平面BFG ，在CFG 中，由余弦定理可得：7==FG 在等腰梯形EFGH 中可得：G 到EF ，而G 到BF的距离也为，所以BFG 的面积与BFG的面积相等，由--=E BFG B EFG V V 可得：3=d，故sin 3==d BE θ，即直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值为320．解析：（1）由题意：2222114414⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩p a pa ，∴24=a，=pΓ的方程为：2214+=y x ，抛物线C 的方程为：2=x ；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F的方程为：22(5+-=x y ，所以直线MN的方程为：(10+-=mx n y ，设点F 到直线MN 的距离为d，则2,||2======d MN ．21．解析：（1）32,0()12,02⎧⎪=⎨-+->⎪⎩x xe x g x x x x x ，2(1),0()134,02⎧+⎪=⎨-+>⎩'-⎪x x e x g x x x x ，当1<-x或0<<x或>x ()0'<g x ，当10-<x<<x 时，()0'>g x ，所以()g x 的单调减区间为(,1)-∞-和40,6⎛- ⎝⎭和46⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为(1,0)-和4466⎛-+ ⎝⎭； （2）,0()22,0⎧=⎨-'+>⎩x e x f x x x ，假设存在直线以()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为切点，不妨设12<x x ，则120,0>x x ，以()()11,A x f x 为切点的切线方程为：()1111=+-x x y e x e x ，以()()22,B x f x 为切点的切线方程为：()2221222=-+-y x x x ，所以()11221222112⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩x x e x e x x ，令1=x t e ，则(0,1]∈t，2 84ln 20-++=t t t t ，令2()84ln 2,(0,1],()244ln =-++-'∈=+t t t t t t t t t ϕϕ在(0,1]上递增，()(1)20''=-<t ϕϕ，所以()t ϕ在(0,1]上递减，(1)50=-<ϕ，()30-=>e ϕ，故存在唯一的t 满足284ln 20-++=t t t t ，即存在恰有2个切点的曲线()=y f x 的切线．22．解析：（1）因为直线l 过点(0,2)P ，倾斜角为2⎛⎫≠ ⎪⎝⎭παα，所以直线l 的参数方程为cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t αα（t 为参数），因为2cos 2sin =ρθθ，所以22cos 2sin =ρθρθ，所以曲线C 的直角坐标方程为：22=x y ；（2）将直线l 的参数方程为cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t αα（t 为参数）代入22=x y 可得：22cos 2sin 40--=t t αα，因为||,||,||PA PM PB 成等比数列，所以()212124+=t t t t ，即：2424sin 16cos cos =ααα，解得：2tan 4=α，故直线l 的斜率为2±．23．解析：（1）当1=a 时，()|1||23|=++-f x x x ，所以min 35()min (1),22⎧⎫⎛⎫=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭f x f f ，故()f x 的最小值为52；（2）因为22->a a ，所以2>a ，当[,22]∈-x a a 时，0,230,50+>->+>x a x x ，不等式()|5|+f x x 可化为：235++-+x a x x ，即：28-+a x 恒成立，所以412-+a a ，即：125a ，故实数a 的取值范围为122,5⎛⎤⎥⎝⎦．。
陕西省榆林市榆林一中2020届高三数学仿真模拟试题 理(无答案)北师大版
陕西省榆林市榆林一中2020届高三数学仿真模拟试题 理（无答案）北师大版考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
5．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．已知集合2{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=（ ）A ．1B ．-1C ．±1D ．02．命题“若220,,,0a b a b R a b +=∈==则”的逆否命题是（ ）A ．若0a ≠或0b ≠，22,,0.a b R a b ∈+≠则B ．若a=b 0≠，22,,0.a b R a b ∈+≠则C ．若0a ≠且0b ≠，22,,0.a b R a b ∈+≠则X`D ．若a ≠b 0≠，22,,0.a b R a b ∈+=则3.已知a 是函数x x f x 21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足（ ）A.0)(0=x fB.0)(0>x fC.0)(0<x fD.)(0x f 的符号不确定 4.已知16152sin -=α )4,2(ππα--∈,则ααcos sin +等于 （ ） A.41 B.41- C.417- D.4175.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且dx x SS )31(3010+=⎰则65a a +=（ ）A.512 B.12 C.6 D.5602≤-y x 6.已知正数x ，y 满足则y x )21(4•=Z -的最小值为（ ）053≥+-y x A.1 B.3241 C.161 D.321 7．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC的体积为（ ）A ．33 B C D 8.已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.),1(+∞B.)2,1(C.)21,1(+D.)21,2(+a 1≤-b a9.对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b= 设函数 b 1>-b a)1()2()(2-⊗-=x x x f R x ∈，若函数C x f y -=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（ ） A.),2(]1,1(+∞-Y B.(](]2,112Y --， C.(]2,1]2,(Y --∞ D.[]1,2--10.已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数,且对任意R x ∈均有)(')(x f x f >，则（ ） A.)0()2013(2013f f e <- )0()2013(2013f e f > B.)0()2013(2013f f e <- )0()2013(2013f e f < C.)0()2013(2013f f e >- )0()2013(2013f e f > D.)0()2013(2013f f e>- )0()2013(2013f e f <第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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丙都被录取*乙与丙中必有一个未被录取*或者甲未被录 取!或者乙 被录取!则三
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榆林市届高考模拟第一次测试
数学理科试题
本试卷分第 卷 选 择 题和 第 卷 非 选 择 题两 部 分$全 卷 满 分 !%& 分 考 试 时 间 !#& 分 钟 $
注意事项 !!!' 答题前请将试题和答题纸上密封线内的项目填写清楚$ !!#' 选择题每小题选出答案后用#( 铅笔填涂在答题纸上$ !!)' 非选择题用黑色墨水签字笔答在答 题纸 上 每 题 对 应 的 答 题 区 域 内在 试 题
第卷非选择题!共;&分
本卷包括必考题和选考题两部分!第!)题第#!题为必考 题每 道试 题考 生都必 须 作 答 !第 ## 题 和 第 #) 题 为 选 考 题 考 生 根 据 要 求 作 答 !
二填空题本大题共"小题每小题%分共#&分把答案 填在答 题纸 中相 应的横
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数 学 理 科 试 题 ! 第 ! 页 ! 共 " 页
%!关于甲)乙)丙三人参加高考 的 结 果 有 下 列 三 个 正 确 的 判 断' 若 甲 未 被 录 取!则 乙)