5.2反比例函数的图象与性质2—马丽
反比例函数性质课件
如何求解析式
通过已知条件，我们可以通过求解常数k来 得到反比例函数的解析式。
解析式的说明与应用
反比例函数的解析式体现了函数的性质与规 律，可以应用于计算和解决实际问题。
反比例函数的应用
1
反比例函数在实际问题中的应用
反比例函数常常用于描述具有反比关系的实际问题，例如速度和时间的关系。
2
求解实际问渐进线的性质
反比例函数的图像有两条渐进 线：y轴和x轴。
对称轴的性质
反比例函数的对称轴是y轴， 即对于任意一点(x, y)，都有(-x, y)也在函数图像上。
单调性与零点
反比例函数在其定义域内是严 格递减的。它的零点是其中一 个特殊点，当x等于k时，y等 于0。
反比例函数的解析式
通过反比例函数的解析式，我们可以根据已知条件求解未知变量，从而解决实际问题。
练习与总结
1 练习题目的介绍和讲解
通过一些练习题目，我们巩固学习了解到的反比例函数的性质与应用。
2 总结反比例函数的性质和应用
通过本课件的学习，我们了解了反比例函数的定义、图像特点、基本性质、解析式和应 用方面的知识。
反比例函数性质ppt课件
欢迎来到这个反比例函数性质的PPT课件！在这个课件中，我们将讨论反比 例函数的定义、图像特点、基本性质、解析式以及实际应用等内容。让我们 一起探索这个有趣而重要的数学概念吧！
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种形如y=k/x的函数，其中k 为常数且x不等于0。
图像特点
反比例函数的图像是一个曲线，经过第一象 限和第三象限，并以原点为渐进线中心。
反比例函数的图像和性质课件
反比例函数的图像和性质课件
反比例函数是一类特殊的指数函数，它描述了一个数量随另一个数
量呈负比例变化的关系，如果两个数成比例关系，那么它们的反比例
函数就是它们的倒数。
一般形式为y=k/x，其中k是常数，可是任意实数。
反比例函数的图像是一条抛物线，它的形状受到不同的 x 和 k 值
的影响，如果 k>0，那么抛物线的形状与 k 的值相关，其图像还根据 k 的值而改变，如果 k<0，抛物线的形状是一个弯曲回环;其横轴上的两
端坐标均为 x=0，而纵轴上的坐标是y=k/x。
反比例函数的性质是，它的图像具有相反的对称性，横轴上的两端坐
标均为 x=0;纵轴上的坐标是y=k/x，它的经过(0,∞), (x1,y1) 和(∞,0），
3 个点，其中x1=1/k，y1=k；其交点(x1,y1) 是y=k/x 的最大值。
另外，由于反比例函数的凹凸性，它的函数在 x=0 或 y=k/x 小于0处变得越来越大，可以说，它们左侧是凸饱和，右侧是凹叓和，则可以用横轴上
的两端坐标来决定曲线的范围.。
反比例函数图象与性质讲课课件
多角度思考
从不同的角度思考反比例 函数的问题，有助于培养 思维的灵活性和创造性。
学习建议
注重基础
在学习反比例函数时，要注重基 础知识的学习，如定义、形式、 性质等。
多做练习
通过大量的练习，加深对反比例函 数的理解和掌握，提高解题能力。
及时反馈
在学习过程中，要及时反馈自己的 学习情况，找出自己的不足之处， 以便及时调整学习方法和策略。
偶函数
反比例函数不是偶函数，因为对于任意$x$，没有$f(-x)=frac{k}{x}=f(x)$。
03
反比例函数的实际应用
解决实际问题
电流与电阻的关系
在电路中，电流与电阻成反比关系，当电阻增大时，电流减 小；反之，当电阻减小时，电流增大。这一规律在分析电路 问题时经常用到。
压强与高度的关系
在一定条件下，压强与高度成反比关系。例如，在海拔较高 的地区，空气稀薄，压强较小，人体会出现高原反应；而在 海拔较低的地区，空气稠密，压强大，人体感觉较为舒适。
方式。
04
反比例函数与其他知识 点的联系
与一次函数的联系
斜率关系
反比例函数在x趋向于无穷大或无穷小 时，其斜率与一次函数的斜率相等。
截距关系
当反比例函数的x为0时，其y值也为0， 这与一次函数的截距性质相同。
与二次函数的联系
极值点
反比例函数在x=0处取得极小值，这与二次函数开口向上的情况类似。
反比例函数的解析式
反比例函数的图像
在平面直角坐标系中，反比例函数的 图像位于第一象限和第三象限，呈双 曲线状。
一般形式为$y = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）。
反比例函数的图像
01
21.5.2反比例函数的图像与性质.5.2反比例函数的图像与性质(杨慧)
渐近线
反比例函数的图像有两条渐近线，分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴。随着 $x$ 趋近于无穷大或 无穷小，$y$ 值趋近于零，但永远不会与坐 标轴相交。
02
反比例函数图像绘制方法
列表法绘制步骤
根据反比例函数的解析式，求出 与每个自变量值对应的函数值。
在坐标系中描出表格中各组数据 对应的点，并用平滑的曲线连接 各点，即可得到反比例函数的图 像。
性质总结
01
可导性
复合反比例函数在其定义域内是 可导的，但其导数在 $x = 0$ 处 不存在。
02
03
值域
复合反比例函数的值域为全体实 数集 $R$，但由于其图像关于原 点对称，因此其值域也可以表示 为 $(-infty, 0) cup (0, +infty)$ 。
04
连续性
复合反比例函数在其定义域内是 连续的。
浓度问题建模过程
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量保持 不变，而溶液的体积发生变化。当溶 液体积和浓度成反比例关系时，可以 通过设定浓度的反比例函数来求解相 关问题。
化学反应
在某些化学反应中，反应物的浓度与 反应速率密切相关。如果反应速率与 浓度成反比例关系，可以利用反比例 函数模型来描述和预测反应的进程。
01
确定自变量的取值范围，并在此 范围内选取若干个自变量的值。
02
03
04
列出表格，将自变量和对应的函 数值分别填入表格中。
描点法绘制技巧
在坐标系中先确定两个点，这两个点关于原 点对称。
在每个象限内，分别描出几个关键点，并用 平滑的曲线连接各点，即可得到反比例函数
的图像。
根据反比例函数的性质，确定函数图像所在 的象限。
反比例函数的图像和性质ppt课件
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
反比例函数的图象与性质ppt课件
2.其中自变量x的取值范围是什么？函数y的取值范围是什么？
x 0, y 0
3.反比例函数的三种常见形式是什么？
y k (k 0) x
xy k(k 0)
y kx1(k 0)
问题引入
问题：
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条____直__线_____,
例 画出反比例函数y 12 的图象. y
x
(1)列表： x≠0,以0为分界，
6 5
左右均匀、对称地取值;
4
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
3
y 12 … -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 …
2 1
x
(2)描点：以表中各对应值为坐标，
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1
k>0
课堂练习
3．填空：
(1)反比例函数y
5 x
>0 的图象在_第__一__、_第__三___象限.
3．填空：
课堂练习
(2) 已知反比例函数的图象如图所示，则k ＜ 0,且
在图象的每一支上， y 随 x 的增大而 增大
.
课堂练习
第一象限
4.已知反比例函数y k 的图象过点A(2,1),则它的 图象位于_第__一_、__第__三___象限x ,且k___>___0.
4
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
3
2
y6 x
…
-1 -1.5
-2
-3 -6 6
3
2 1.5 1 …
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质在数学的世界里，函数就像是一座神秘的城堡，每一种函数都有着独特的特征和规律。
今天，咱们就一起来探索反比例函数这座城堡，深入了解一下反比例函数的图象和性质。
首先，咱们得知道啥是反比例函数。
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。
接下来，咱们重点聊聊反比例函数的图象。
反比例函数的图象是双曲线，它有两条分支。
这两条分支要么在一、三象限，要么在二、四象限，具体在哪个象限，得看常数 k 的正负。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。
在第一象限内，y 随 x 的增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 的增大而减小。
打个比方，就好像你跑步的速度越快，所用的时间就越短。
这里的速度和时间就是成反比例关系，当速度快（k 大）的时候，时间就短（y 小），而且速度越来越快（x 增大），时间就越来越短（y 减小）。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。
比如说，你背的东西越重，走得就越慢。
这里的重量和速度成反比例关系，重量越重（k 小），速度越慢（y 大），而且重量越来越重（x 增大），速度就越来越慢（y 增大）。
再来说说反比例函数图象的对称性。
这双曲线可神奇了，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x 。
对称中心呢，就是坐标原点（0，0）。
咱们再看看反比例函数的性质。
从增减性来说，刚才已经提到了，就不再啰嗦。
还有一点很重要，就是反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
为啥呢？因为当 x ＝ 0 时，这个函数就没有意义啦，分母不能为 0 嘛。
那知道了反比例函数的图象和性质有啥用呢？用处可大啦！比如说在实际生活中，我们计算工程的进度、计算电阻和电流的关系等等，都可能用到反比例函数。
人教初中数学课标九级下册第二十六章.反比例函数的图像和性质(PPT)ppt文档
一、复习
1.什么叫反比例函数？
反比形例如函y数。kx (k为常数，k≠0) 的函数称为
其中x是自变量，y是x的函数。
2.反比例函数有哪些等价形式？
y k
y=kx-1 xy=k (k为常，k≠0)
x
3.反比例函数的图象和性质:
yk x或 yk x 1 或 xy k(k0 )
x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
函数的解析式是 _y___ 3 .
x
解:由性质(二)可得
y
注意：曲线
S矩 形 A |kP|C , | Ok|3.
所在象限， 即k的符号
PC
又图像在,四 二象,限
k3 解析式为y 3 .
x
A ox
变式 3：
如图，点 A 在双曲线 y＝4上，点 B 在双曲线 y＝k(k≠0)
▱ABCD，使点 B，C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ABCD 的面积为( C )
A．1 B．3 C．6 D．12
7.如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱
形的两条对角线的长分别是 6 和 4.反比例函数 y＝k(x＜0)的 x
图象经过顶点 C，则 k 的值为 －6
2
2
2
面积性质（一）：
SOAP
1 2
|
k
|
y
P(m,n)
oA
x
想一想
y P(m,n)
oA x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
论成立吗?
y A P(m,n)
o
x
21.5.2反比例函数的图像与性质.5.2反比例函数的图像与性质(杨慧)
函数y随x的增大而减小，求k的取值范围.
当堂检测
1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= k x 在同一坐标 系中的图象大致是 ( D )
y y
(A)
0
x
(B)
0
x
y
y
(C)
0
x
(D)
0
x
2 2.关于反比例函数 y＝ 的图象,下列说法正确的是( D ) x A.图象必经过点(1,1) B.两个分支分布在第二、四象限 C.两个分支关于 x 轴成轴对称 D.当 x＜0 时,y 的值随 x 的增大而减小
课外作业
•必做题 1、课本P47第1到2题 2、全品作业本P33 •选做题 全品作业本C组第16题
同学们的表现太精彩了！ 我为你们的表现感到骄傲！
1＋2k 3. 反比例函数 y＝ 的图象在第一、三象限,则 k 的取值范围 x 1 k>－ ． 是________ 2
4.如图 21－5－5，A 为双曲线上的一点，过 A 作 AC⊥x 轴， 垂足为 C，且 S△AOC＝2. (1)求该反比例函数的关系式； (2)若点(－1，y1)，(－3，y2)在双曲线上，试比较 y1，y2 的大 小．
忆旧迎新
1.请在同一坐标系中画出函数 y=x、 y=-x的图像.
2.请说说 y=kx的图像和性质.
3.若y是x反比例函数，且当x=2时，
y=3， 则y= .
沪科版 九年级上册 第21章 二次函数与反比例函数
21.5.2
反比例函数的图象与性质 （1）
琥珀中学五里墩校区
杨 慧
2016.9.22
探究新知
4.如图 21－5－5，A 为双曲线上的一点，过 A 作 AC⊥x 轴， 垂足为 C，且 S△AOC＝2. (1)求该反比例函数的关系式； (2)若点(－1，y1)，(－3，y2)在双曲线上，试比较 y1，y2 的大 小．
反比例函数的图像与性质 课件
反比例函数图像的特点
探索反比例函数图像的形状和特征。
反比例函数的运算和应用
学习如何进行反比例函数的运算，并了解其在 实际问题中Байду номын сангаас应用。
参考资料
1 参考书目
- 反比例函数的进一步学习
2 参考链接
- 更多关于反比例函数的信息
反比例函数的图像与性质
欢迎来到本课件，我们将介绍反比例函数的图像和性质。了解什么是反比例 函数及其表示方法。
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种数学函数关系，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
表示方法
通常用y=k/x来表示，其中k是非零实数。
反比例函数的图像
性质
反比例函数的图像呈现出一个下凹的曲线，且经过 第一象限和第三象限。
比例线性关系
反比例函数的图像与比例函数的图像之间存在线性 关系。
比例函数的应用
1
实际问题
反比例函数可以用于解决实际问题，例
参考例题
2
如时间和速度之间的关系。
我们将提供一些参考例题，以加深对反 比例函数的理解和应用。
总结
反比例函数的定义和性质
了解反比例函数是如何定义的以及其特点。
反比例函数的几何意义
图像特点
图像的特点是有两条渐近线，即x轴和y轴，它们分 别称为垂直渐近线和水平渐近线。
反比例函数的几何意义
1 越来越快地接近x轴和y轴
2 与比例函数的区别
随着x值的增大或减小，函数的值会越来越接 近y轴或x轴。
相比之下，比例函数的图像是通过原点的直 线。
反比例函数的运算
乘除法反转
当两个变量成反比例关系时，乘积保持不变。
反比例函数的图象和性质课件
反比例函数的图象和性质ppt课件介绍了反比例函数的定义、性质、图象以及 应用。通过课件，你将了解反比例函数的基本概念和特点，并掌握其在实际 问题中的应用。
I. 反比例函数的定义及性质
定义
反比例函数是一种特殊的函 数关系，其变量之间的比例 关系是相反的。
解析式
反比例函数的解析式一般为y = k/x，其中k为常数。
练习题演练
通过练习题的演练，加深对反比例函数的理解，并提高解决实际问题的能力。
IV. 总结与思考
特点回顾
反比例函数具有对称轴、渐近线等特点，是一种重要的函数类型。
图象对实际问题的帮助
反比例函数的图象可以帮助我们理解和解决实际问题，提供定性和定量的分析。
进一步思考
通过深入思考和探索，我们可以将反比例函数应用于更复杂的优化问题中。
反比例函数的图象可以通过平移、 伸缩等变换得到不同的形态。
反比例函数的图象包括关键点， 如顶点、渐近线和交点。
III. 反比例函数的应用
与正比例函数的关系
反比例函数和正比例函数是互为倒数的关系，它们在实际问题中经常同时出现。
实际问题中的应用
反比例函数在经济、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如弹簧的伸长和台阶的高度与数 量关系。
定义域和值域
反比例函数的定义域为除数 不为0的实数集合，值域为不 等于0的实数集合。
单调性
反比例函数在定义域内通常是单调递减或单调增 函数。
渐近线
反比例函数在x轴和y轴上都有渐近线，分别为y = 0和x = 0。
II. 反比例函数的图象
基本形态
变形
特征点
反比例函数的图象通常为双曲线， 具有一个对称轴。
反比例函数的图象与性质-ppt课件
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象和性质课件
k
x
在
同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x
y
y
(C)
(D)
0
x
0
x
比较正比例函数和反比例函数的区别
函பைடு நூலகம் 解析式
图象形状
正比例函数
y=kx ( k≠0 的常数)
直线
反比例函数
y
=
k x
(
k≠0的常数
)
双曲线
K>0 K<0
位 一三 置 象限
增 减 y随x的增大而增大 性
一三 象限
而减小.
而增大.
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的 增大如何变化?
(2)点B(3,4) 、C(-2.5,-4.8)和D(2,5)是否在这个 函数的图象上?
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 图象回答下列问题: x
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么?
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
y
反比例函数的性质
1.当k>0时,图象的两个分 x
支分别在第一、三象限内， 0 在每一个象限内，y随x的 增大而减小；
2.当k<0时,图象的两个分
y
支分别在第二、四象限内，
在每一个象限内，y随x的 增大而增大。
x 0
思前想后
２﹑已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2=
数学北师大版九年级下册数学北师大版九年级下册5.2.2 反比例函数的图象与性质教案
5.2.2 反比例函数的图象与性质(二)教学目标：(一)教学知识点1.进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.(二)能力训练要求1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.(三)情感与价值观要求让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质. 教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法.教具准备：多媒体课件教学过程：Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k ＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=x 4与y=-x4的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的.我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k ＞0时，y 的值随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质. Ⅱ. 新课讲解1.做—做[师]观察反比例函数y=x 2，y=x 4,y=x6的形式，它们有什么共同点?[生]表达式中的k 都是大于零的.[师]大家的观察能力非同一般呐!下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征.(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着x 值的增大.y 的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗?可能与y 轴相交吗？为什么？[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论.[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内.(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x 逐渐增大时，函数值y 逐渐减小.(3)因为图象在逐渐接近x 轴,y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x 轴y 轴相交.[师]大家同意他的观点吗?[生]不同意(3)小的观点.[师]能解释一下你的观点吗？[生]从关系式y ＝x2中看,因为x≠0，所以图象与y 轴不可能能有交点；因为不论x 取任何实数，2是常数，y ＝x 2永远也不为0，所以图象与x 轴心也不可能有交点. [师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2).观察函数y ＝x2的图象，在第一象限我任取两点A （x 1,y 1），B(x 2,y 2)，分别向x 轴,y 轴作垂线，找到对应的x 1,x 2,y 1,y 2,因为在坐标轴上能比较出x 1与x 2,y 1与y 2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x 1＜x 2,y 2＜y 1,所以在第一象限内有y 随x 的增大而减小.同理可知在其他象限内y 随x 的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.[生]情况都一样.[师]能不能总结一下.[生]当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小.2.议一议[师]刚才我们研究了y ＝x 2，y ＝x 4,y=x6的图象的性质， 下面用类推的方法来研究y ＝-x 2，y ＝-x 4,y=-x 6的图象 有哪些共同特征?[生](1)y=-x 2，y=-x 4，y=-x6中的k 都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.(2)在图象y=-x2中，在第二象限内任取两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),可知x 1>x 2，y 1>y 2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y 随自变量x 的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：反比例函数y ＝xk 的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.3.想一想(1)在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系?为什么?(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗?[师]在下面的图象上进行探讨.[生]设P(x 1,y 1)，过P 点分别作x 轴，y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，则S 1=｜x 1｜·｜y 1｜=｜x 1y 1｜.∵(x 1,y 1)在反比例函数y ＝xk 图象上，所以y 1＝1x k ，即x 1y 1＝k. ∴S 1＝｜k ｜.同理可知S 2＝｜k ｜，所以S 1＝S 2[师]从上面的图中可以看出，P 、Q 两点在同一支曲线上，如果P ，Q 分别在不同的曲线，情况又怎样呢?[生]S 1＝｜x 1y 1｜=｜k ｜，S 2=｜x 2y 2｜=｜k ｜.[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P 、Q.不管P 、Q 是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P 、Q 分别作x.轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2.(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.Ⅲ.课堂练习P 137Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容.1.反比例函数y ＝xk 的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y 的值随，值的增大而减小；当k<O 时，图象在第二、四象限内，y 的值随x 值的增大而增大.2.在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1,S 2，则有S 1＝S 2.3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形.4.反比例函数的图象既不能与x 轴相交也不能与y 轴相交,但是当x 的值越来越接近于0时，y 的值将逐渐变得很大；反之，y 的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.Ⅴ.课后作业习题5.3Ⅵ.活动与探究反比例函数图象与三等分角历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角∠POH ，过点P 作OH 的平行线，过点O 作直线，两线相交于点M,OM 交PH 于点Q ，并使QM=20P ，设N 为OM 的中点.∵NP=NM ＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.∴∠MOH ＝31∠POH. 问题在于，如何确定线段OM 两端点的位置，并且保证O ，Q ，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?帕普斯(Pappus ，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝x1的图象交于点P ，以P 为圆心；以2OP 为半径作弧交图象于点R.分别过点P 和B 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB.(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上?(2)你能说明∠MOB ＝31∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1，11a ),R(a 2, 21a )则Q(a 1，21a )，M(a 2, 11a ）.设直线OM 的关系式为y ＝kx.∵当x ＝a 2时，y=11a ∴11a =ka 2,∴k=211a a .∴y=211a a x. 当x=a 1时，y=21a ∴Q(a 1，21a )在直线OM 上. (2)∵四边形PQRM 是矩形.∴PC=21PR=CM.∴∠2＝2∠3. ∵PC=OP ，∴∠1＝∠2，∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，即∠MOB=31∠AOB. (3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.。
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一个以原点为中心的 中心 对称图形。
提优练习
1.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 y k 与直线
y x (k 1) 在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且
S△ABO= 3 。 ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。
2
x
提优练习
2.如图，一次函数 y kx b 的图像与反比例函数
则y1、y2的大小关系是 y2的大小关系是
2 4 6 4.若A（﹣3，y1）,B(3，y2)都是反比例函数 y 图象上的点，则 , y , y y1 、 x x x
；
；
2 4 6 图象上的点，则 y , y , y y1、y2、 y2的大小关系是 x x x
第五章 反比例函数
九年级 马丽
课内检测
双曲线 ， 1.反比例函数 y k (k≠0)的图象是_________ x 当k＞0时，图象的两支曲线分别位于第____ 一 、___ 三象 限内，在每个象限内，y随x的增大而______ 减小 ；当k＜0 时，图象的两支曲线分别位于第____ 二 、____ 四 象限内， 在每个象限内，y随x的增大而_______ 增大 ； 2.已知 y k (k≠0)的图象如图，则k＞0,k= 2 。 x 3.当 x 0 时，下列图象中表示函数 y 1 的图 x 象是（ C ）
2 x
4 6 y1 、 , 图象上的点，则 y x x
5.若A（﹣2，y1）,B(3，y2)，C（6，y3）都是反比例函数 2 4 6 y1、y2、 y3的大小关系是 ； y , y ,图象上的点，则 y x x x 6.若A（x1，y1）,B(x2，y2) 都是反比例函数 2 4 图象上的点，则 6 y1、y2的大小关系是 ； y ,y ,y x x x
探索延伸
的值随x值得增大而
2 4 6 1.反比例函数 y , 的图象在第 y , y 、 x x x
。
象限，在每一象限内，y
2 4 6 2.若A（2，y1）,B(4，y2)都是反比例函数 y 图象上的点，则 , y , y y1、 x x x y2的大小关系是 ； 2 4 6 y ,y 3.若A（﹣1，y1）,B(﹣5 ，y2)都是反比例函数y , 图象上的点， x x x
2 4 6 观察反比例函数 y , y , y 的图象，它们有 x x x 什么共同特征？
合作探究一
⑴函数图象分别位于哪几个象限内？ ⑵当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时，图象 在第三象限？ ⑶在每一个象限内，随着x值的增大， y的值是怎样变化的？ ⑷反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？ 为什么？
5.若A（﹣2，y1）,B(3，y2)，C（6，y3）都是反比例函数 ； ； 6.若A（x1，y1）,B(x2，y2) 都是反比例函数
2 图象上的点，则 4 6 、y 的大小关系是 y y ,y ,y 1 2 x x x
合作探究三
1.在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作 x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分 别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与 S2有什么关系?为什么? k
y m 的图象相交于A、B两点。 x
⑴利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的
ห้องสมุดไป่ตู้的取值范围。
小结：
k 反比例函数 y 的图象，当k>0时，在每一 x 象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
填表分析正比例函数和反比例函数的区别
函数 表达式
图象形状
位 置
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限
y随x的增大而增大
反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )
双曲线 一三 象限 每个象限内， y随
x的增大而减小
K>0
增 减 性 位 置
二四 象限
y随x的增大而减小
二四 象限 每个象限内， y随
x的增大而增大
K<0
增 减 性
探索延伸
1.反比例函数 y ,y
的值随x值得增大而
2 x
4 6 的图象在第 ,y x x
。
、
象限，在每一象限内，y
2.若A（2，y1）,B(4，y2)都是反比例函数 y ,y
知识应用
1.如图，面积为5的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数
y k 的图象上，另三点在坐标轴上，则k= ﹣5 。 x 2.如图，A为反比例函数 y k 图象上一点，AB⊥x轴与 x
点B，若k=8，则 S AOB 4
。
巩固练习
k 1.当k= 6 时，双曲线 y 过点（ 3 ,2 3 ）； x 2.下列函数中，图象位于第一、三象限的有 ⑴⑵⑶ ；在
课堂小结
k 反比例函数 y 的图象，当k>0时，在每一 x 象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
在反比例函数的图象上任取一点，过这一点 分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形 面积总等于常量 k ； 反比例函数的图象既是 轴 对称图形，又是
y2的大小关系是
则y1、y2的大小关系是 y2的大小关系是
；
； ；
2 x
4 图象上的点，则 6 y1、 ,y x x 4 6 , 图象上的点， y x x
3.若A（﹣1，y1）,B(﹣5 ，y2)都是反比例函数 y ,y 4.若A（﹣3，y1）,B(3，y2)都是反比例函数 y ,y
2 x
合作探究二
的图象，它们有哪些共同特征？
2 4 6 观察当k=﹣2, ﹣4, ﹣6时, 反比例函数 y , y , y x x x
⑴函数图象分别位于哪几个象限内？ ⑵当x取什么值时，图象在第二象限？当x取什么值时，图象 在第四象限？ ⑶在每一个象限内，随着x值的增大， y的值是怎样变化的？
1 y 图象上的点，则y1，y2，y3由小到大的顺序是 y1＜y3＜y2。 x
巩固练习
6.已知反比例函数 y a 1 x 的增大而减小，求a的值和表达式.
a2 a 7
，y 随x
解:依题意得: a 1 0(1) 2 a a 7 1(2) 由(1)得:a 1 由(2)得:a 2, a 3 1(舍去) 1 a的值为2,反比例函数为y= x
图象所在象限内，的值随x值的增大而增大的有 ⑷⑸⑹ 。 6 3 1 ⑴ y ⑵ y 0 .2 ⑶ y ⑷ y 7 ⑸ y 7 ⑹ y x 4x 2x 12 x x x 3.已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n），则n等 于 4 。
4.若A（3，y1）,B(5，y2)，C（—1，y3）都是反比例函数 2 y 图象上的点，则y1，y2，y3由小到大的顺序是 y3＜y2＜y1 ； x 5.若A（2，y1）,B(-1，y2)，C（-2，y3）都是反比例函数
y
x
Q
P
S1 S2 S3
R
合作探究三
2.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来 的图象重合吗?
小结：
在反比例函数的图象上任取一点，过这一点
分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形 面积总等于常量 k ； 反比例函数的图象既是 轴 对称图形，又是 一个以原点为中心的 中心 对称图形。