牵连运动为转动的加速度合成定理

τ
aa cos 30 = −ae cos 30
故顶杆AB的加速度为 故顶杆 的加速度为
n − ar
+ ac
2
aa =
n − ae − (ar
− ac ) cos 30 = − 2eω 9
可见， 的实际方向铅直向下。 可见， aa 的实际方向铅直向下。
太原理工大学教师 安美文
谢
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太原理工大学教师 安美文
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va = vr sin 30
0 = −ve + vr cos 30
因为 ve = OA ⋅ ω = 2eω 于是可解得 v = 2 3 eω a
3
4 3 vr = eω 3
2
动点的加速度合成矢量图如图。 动点的加速度合成矢量图如图 其中
2 r
ξ B
ae = OA ⋅ ω = 2eω
dvr d (v x′ i ′ + v y ′ j ′ + v z ′ k ′) = dt dt dv y ′ dv x ′ dv z ′ di ′ dj ′ dk ′ = i ′+ j′ + k ′ + v x′ + v y′ + v z′ dt dt dt dt dt dt = ar + ω e × vr
B
η
vr
ϕ
ve A va
ω
O
α
r
C
ξ
α = ϕ = 30
为动点， 解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在 以杆端 为动点 静系取在地面上， 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴， 建立如图的投影坐标轴，由va = ve + vr 将各矢量 投影到投影轴上， 投影到投影轴上，得
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dv a d ( v e + v r ) aa = = = ae + a r + 2ω e × vr dt dt
定义： 定义： ac = 2ωe × vr 可得
a a = ae + a r + ac
即：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于 当牵连运动为转动时， 该瞬时它的牵连加速度、 该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度 的矢量和。这就是牵连运动为转动的加速度合成定 的矢量和。这就是牵连运动为转动的加速度合成定 理。
vr
ω
ac
F = ma
的力－ 有产生 ac 的力－西岸对水流的作用 据牛顿第三定律， 据牛顿第三定律，一定有水流对西岸的作用力 所以，汾河的西岸会被冲刷。 所以，汾河的西岸会被冲刷。
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例子： 例子：
轴转动， 偏心凸轮以匀角速度ω 绕O轴转动， 轴转动 使顶杆AB沿铅直槽运动 沿铅直槽运动， 使顶杆 沿铅直槽运动，轴O在滑 在滑 槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半 槽的轴线上，偏心距 ， 径 r = 3e，试求 ∠OCA = 90 的图 示位置时，顶杆AB的速度和加速度 的速度和加速度。 示位置时，顶杆 的速度和加速度 由几何关系可得
z
drA vA = = ω e × rA dt
dro′ v o′ = = ω e × ro′ dt
rA = ro′ + k ′
rA
z′
A k′
y′
j′
i′
o′
drA d ( rO′ + k ′) dk ′ v A = ωe × (ro′ + k ′) = = = ωe × ro′ + dt dt dt
所以： 所以：
x
x′ y
ห้องสมุดไป่ตู้
dk ′ = ωe × k ′ dt
同理： 同理： di ′
dt
= ωe × i ′
dj ′ = ωe × j ′ dt
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二、加速度合成定理： 加速度合成定理：
因为： 因为： 而
v a = ve + v r
dve d (ω e × r ) = α e × r + ω e × v a = α e × r + ω e × ( ve + v r ) = dt dt = ae + ω e × vr
牵连运动为转动的加速度 合成定理
参赛教师： 参赛教师：安美文
太原理工大学理学院
问题：汾河对西岸的冲刷
动点：汾河 静系：地心 动系：地球 相对运动：由北向南流动（圆） 牵连运动：定轴转动（圆）
vr
ω
ac
ω
aen
ar
τ
a rn
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牵连运动为转动的加速度合成定理
一、预备定理（动系为定轴转动时其单位矢量对时间的导数） 预备定理（动系为定轴转动时其单位矢量对时间的导数）
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说明
瞬时关系式 适用于牵连运动为定轴转动 附加的科氏加速度项是由于牵连运动和相 对运动相互影响的结果 科氏加速度的方向由右手法则确定
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例子
由 ωe和vr 的方向，根据科氏加 的方向， 速度的定义， 速度的定义，可知 ac 的方向如 图所示 据牛顿第二定律
2
A τ ar aeα a n r r
ac
aa
8 3 2 v 16 3 n 2 eω ar = = eω ac = 2ωvr = 3 r 9
ω
O
ϕ
C
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建立如图的投影坐标轴， 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上， 将各矢量投影到投影轴上，得
n aa = ae + ar + ar + ac