数学分析试题及答案解析

2014---2015学年度第二学期
《数学分析2》A 试卷
新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）
1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰a
x dx x f 在[]b a ,上（）
A.不连续
B.连续
C.可微
D.不能确定
2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）
A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；
B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()
≠b
b
dx x g dx x f ；
n B.∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的；
C.∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；
D.∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1.()()()n n n n n n n
+++∞→ 211
lim 2.()
dx x sin ln 1.⎰
题满分9分）
2014---2015学年度第二学期
《数学分析2》B 卷∙答案
=tdt t t
t
t t cos sin 2sin cos sin ⎰
=⎰tdt t sin 2-----------------------------------4分 =2cos 2sin t t t C -++
=C ----------------5分
四.判别敛散性（每小题5分，共10分） 1.dx x
x ⎰
-1
2
1arctan
且2.=n 解：极限函数为()()D x x x f x f n n ∈==∞
→lim -----------------------2分
又()()n
x n x n x n
x x f x f n 1
1
/11
2
22<
++
=
-+=
---------3分
从而0sup lim =-∴∞
→f f n n
故知该函数列在D 上一致收敛.-------------------------5分
2.]1,1[,3
sin 2-=∑D x
n n
的交点坐标为：()1,1，---------------------------------------3分 则所求旋转体得体积为：
(
)
⎰⎰--=1
1
2
2ydy dy y V ππ-------------------------------7分
=------------------
=7
6
π------------------------------------------------------10分
七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，
求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）
解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系
2013---2014学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。

（）
二.单项选择题（每小题3分，共18分）
1.下列广义积分中，收敛的积分是（）
A ⎰
10
1dx x
B ⎰
∞+1
1dx x
C ⎰+∞
sin xdx D ⎰
-1
13
1dx x 2.级数∑∞
=1
n n a 收敛是∑∞
=1
n n a 部分和有界的（）
D )(1
x a n n ∑∞
=在],[b a 条件收敛必收敛
6..若幂级数∑n n x a 的收敛域为(]1,1-,则幂级数∑n n x a 在(]1,1-上 A.一致收敛B.绝对收敛C.连续D.可导
三.求值或计算（每题4分，共16分）
1. ()dx x x x ln 1+⎰；
2.⎰
dx x
x cos sin 1
1.一容器的内表面为由2x y =绕y 轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水π（3m ），若再加水7π（3m ），问水位升高了多少米？
2.把由x e y -=，x 轴，y 轴和直线ε=x ()0>ε所围平面图形绕x 轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积()εV ，并求满足条件()()εεV a V +∞
→=lim 21
的a . 七．证明题型（10分）
已知()x f 与()x g 均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有()()x g x f ≤，但()x f 不恒
2013---2014学年度第二学期
《数学分析2》B 试卷
dt t t b f a
b 21
11⎰
∞
+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-同敛散.（）
9.设(){}x f n 在()()b x x a D ,,00⋃=上一致收敛，且()n n x x a x f =→0
lim ()
N n ∈存在，则()()x f x f n n x x n x x n ∞
→→→∞→=lim lim lim lim 00
.
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
1.函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（） 4.级数∑
∞
=--+1
21
11n n n n
A.发散
B.绝对收敛
C.条件收敛
D.不确定
5.幂级数∑∞
=+02
12n n
n x n
的收敛域为：
A.（-0.5,0.5）
B.[-0.5,0.5]
C.[)5.0,5.0-
D.(]5.0,5.0- 三.求值与计算题（每小题4分，共16分）
1.dx x
x x ⎰+2
sin 2cos sin
六.应用题型（16分）
1.试求由曲线2x y =及曲线22x y -=所平面图形的面积.
2.将⎰
-1
02
cos 1dx x x
表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使
之误差不超过十万分之一.
∑满足：
七.（9分）证明：若函数项级数()x
u
n
；（ⅱ）∑n a收敛.则函数项级数（ⅰ）()
x
u
D
x
∀n
a
)
2,1
(
,=
≤
∈
n
n
()x
∑在D上一致收敛.
u
n
014---2015学年度第二学期
《数学分析2》A 卷∙答案
三. 判断题（每小题3分，共21分）
1.?
2.?
3.?
4.?
5.?
6.?
7.?
==1.且12
>=
p ---------------------------------3分 ∴由柯西判别法知，dx x
x x ⎰∞
+++-0
2
113收敛。

---------5分
2.由比式判别法
=+∞→n
n n a a 1lim
()()=+++∞
→n
n
n n n n n !
1!
1lim
1
()
1/111
lim
1<=+-∞→e n n -----4分
故该级数收敛.-------------------------------5分 ∞
n
七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴)
则第一象限等腰边的方程为10
x------------------------------------3分
=
+y
ν
压力微元为：()()()dx
2-
=
+
=ν
-
10
100
dx
x
10
x
x
2
dF2
故所求为
2014---2015学年度第二学期
《数学分析2》B 试卷
-a
-a
C ⎰⎰-=-a a a
dx x f dx x f 0
)(2)(D )(2)(a f dx x f a
a
=⎰-
2.关于积分dx x
x x ⎰
-1
2
1sin ，正确的说法是（）
A.此为普通积分
B.此为瑕积分且瑕点为0
C.此为瑕积分且瑕点为1
D.此为瑕积分且瑕点为0,1
3.就级数∑n
n p ln 1
2（0>p ）的敛散性而言，它是（）
A.收敛的
B.发散的
C.仅1>p 时收
D.仅1≤p 时收敛
1.⎰
2.=2
n 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分） 1.()()∞+==+
=,0,2,1,12
D n n x x f n
来源：网络转载
2.]1,1[,3sin
2-=∑D x n n 3.()()∑+∞∞-=+-,,12D n x n
六.设平面区域D 是由圆222=+y x ，抛物线2x y =及x 轴所围第一象限部分，。