高考数学一轮复习对数函数.pdf

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画出两个函数在 0，2 上的图象，可知 f 2 ＜g 2 ，即 2＜loga2，则 a＞ 2 ，
2 所以 a 的取值范围为 2 ，1 .
]
对数函数的性质及应用
角度 1 比较对数值的大小 (1)(2016 全·国卷Ⅰ )若 a＞b＞0,0＜c＜1，则 ( )
A．logac＜logbc
B．logca＜logcb
－x－ 1≤ 5，即 (x－3)(x＋2)≤0，解得－ 2≤x≤0，
∴不等式 f(x)≤5 的解集为 [ －2,4]，故选 C．
(2)法一 ：logab＞1＝log aa，
当 a＞1 时， b＞a＞ 1；
当 0＜a＜1 时， 0＜ b＜ a＜ 1.只有 D 正确．
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法二： 取 a＝2，b＝3，排除 A ，B，C，故选 D．] 角度 3 探究对数型函数的性质
∵0＜c＜1，∴y＝logcx 在(0，＋ ∞)上单调递减，又 a＞b＞0，
∴logca＜ logcb， B 项正确； ∵0＜c＜1，∴函数 y＝xc 在 (0，＋ ∞ )上单调递增， 又∵a＞ b＞ 0，∴ac＞bc，C 项错误； ∵0＜c＜1，∴y＝cx 在 (0，＋ ∞ )上单调递减， 又∵a＞ b＞ 0，∴ca＜cb，D 项错误． (2)因为 a＝60.4＞1，b＝log0.40.5∈ (0,1)， c＝log80.4＜ 0，所 a＞b＞C．]
2
(4)对数函数 y＝ logax(a＞0 且 a≠1)的图象过定点 (1,0)，且过点 (a,1)，1a，－ 1 ， 函数图象不在第二、三象限． ( ) [答案 ] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知 a＝2 A．a＞b＞c C．c＞b＞a
1
1
，b＝log23，c＝log 3，则 ( )
1 A．3
3 B． 6
3 C． 3
2 D． 4
(1)A (2)D [(1) ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴1a＋
11 b＝log2m＋
1 log5m＝logm2＋logm5＝
logm10＝
2，
∴m＝ 10.
(2)由 log7[log 3(log 2x)]＝0 得 log3(log2x)＝ 1，
C．ac＜bc
D．ca＞cb
(2)(2018 榆·林模拟 )设 a＝60.4，b＝log0.40.5， c＝ log80.4，则 a、b、c 的大小关
系是 ( )
A．a＜ b＜ c
B．c＜b＜a
C．c＜ a＜ b
D．b＜c＜a
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(1)B (2)B [(1) ∵0＜c＜ 1，∴当 a＞b＞1 时， logac＞logbc，A 项错误；
[规律方法 ] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点 (与坐标轴的交点、最高点、最低点等 )排除不符合要求的选项． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结 合法求解． [变式训练 2] (1)(2018 邵阳·模拟 )若函数 f(x) ＝ax－k·a－x(a＞0 且 a≠1)在(－∞， ＋∞ )上既是奇函数又是增函数，则函数 g(x)＝loga(x＋ k)的大致图象是 ( )
3× 2log43＝3×2log2 3＝3 3.]
对数函数的图象及应用 (1)(2016 河·南焦作一模 )若函数 y＝a|x|(a＞ 0，且 a≠1)的值域为 { y|y≥ 1} ，则函数 y＝ loga|x|的图象大致是 ( )
A
B
5
C
D
log2x， x＞ 0， (2)(2017 衡·水调研 )已知函数 f(x)＝ 3x，x≤ 0， 且关于 x 的方程 f(x)＋x－a
第六节 对数函数
[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式
将一般对数转化成自然对数或常用对数； 了解对数在简化运算中的作用 .2.理解对
数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为
2,10，
1 2的对数函数的图象 .3.体会对数函数是一类重要的函数模型 .4.了解指数函数 y＝
ax(a>0，且 a≠ 1)与对数函数 y＝ logax(a>0，且 a≠ 1)互为反函数．
[基础知识填充 ]
1．对数的概念 如果 ax＝ N(a＞0 且 a≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN， 其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：① alogaN＝N；② logaab＝b(a＞0，且 a≠1)．
得到的，其中 0＜c＜1.再根据单调性可知 0＜a＜1.]
4．(教材改编 )若 loga34＜1(a＞0，且 a≠ 1)，则实数 a 的取值范围是 (
)
3 A． 0，4
B．(1，＋∞ )
3 C． 0，4 ∪(1，＋∞ )
D． 34， 1
3
3
3
C [ 当 0＜ a＜ 1 时， loga4＜logaa＝1，∴0＜a＜4；
B．a＞c＞b
D．c＞a＞b
D [ ∵0＜a＝ 2
＜20＝
1 1，b＝log23＜log21＝0，c＝log
1 3＞log
1 2＝1，∴
c＞a＞B．]
3．已知函数 y＝ loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a＞0，a≠1)的图象如图 2-6-2，则 下列结论成立的是 ( )
图 2-6-2 A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D [ 由图象可知 y＝ loga(x＋c)的图象是由 y＝logax 的图象向左平移 c 个单位
＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 ________．
(1)B (2)(1，＋∞ ) [(1) 若函数 y＝ a|x|(a＞ 0，且 a≠1)的值域为 { y|y≥ 1} ，则 a
＞1，故函数 y＝loga|x|的大致图象如图所示．故选 B．
(2)如图，在同一坐标系中分别作出 y＝f(x)与 y＝－ x＋ a 的图象，其中 a 表示 直线在 y 轴上截距，由图可知，当 a＞ 1 时，直线 y＝－ x＋a 与 y＝log2x 只有 一个交点． ]
n mlogaB．
其中 a＞0 且 a≠ 1， b＞ 0 且 b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图 2-6-1，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的
底数．故 0＜ c＜ d＜ 1＜ a＜ B．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左
到右底数逐渐增大．
图 2-6-1 [基本能力自测 ] 1．(思考辨析 )判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)log2x2＝2log2x.( ) (2)当 x＞1 时， logax＞0.( ) (3)函数 y＝ lg(x＋3)＋lg( x－ 3)与 y＝lg[(x＋3)(x－3)] 的定义域相同． ( )
在运算中应注意互化．
2x，x≥4， [变式训练 1] (1)(2017 东城·区综合练习 (二))已知函数 f(x) ＝
f x＋1 ， x＜ 4，
则 f(2＋log23)的值为 ( ) A．24
B．16
C．12
D．8
2 (2)(2015 浙·江高考 )计算： log2 2 ＝________，2log23＋ log43＝ ________.
logcb (2)换底公式： logab＝ logca(a， c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：如果 a＞0，且 a≠ 1， M＞0，N＞0，那么：
① loga(M·N)＝logaM＋ logaN；
②
loga
M N＝logaM
－
logaN，③
logaM
n＝nloga
M(n
(1)A
1 (2)－2
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[(1) ∵3＜ 2＋ log23＜ 4，∴f(2＋log23)＝f(3＋ log23)＝
23＋log23＝8×3＝24，故选 A ．
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1
(2)log2 2 ＝ log2 2 － log22 ＝ 2 － 1 ＝ － 2 ； 2log23 ＋ log43＝ 2log23·2log43 ＝
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(2)(2018 合·肥模拟 )当 0＜x≤ 12时， 4x＜logax，则 a 的取值范围是 (
)
【导学号： 79170034】
2 A． 0， 2
2 B． 2 ，1
C．(1， 2)
D．( 2， 2)
(1)B (2)B [(1) 由题意函数 f(x)＝ax－k·a－x(a＞ 0 且 a≠1)在 (－∞ ，＋∞ )上既
角度 2 解简单的对数不等式 3＋log2x，x＞ 0
(1)(2018 哈·尔滨模拟 ) 已知函数 f(x) ＝ x2－x－1，x≤0 ，则不等式
f(x)≤ 5 的解集为 ( )
A．[－ 1,1]
B．(－∞，－ 2]∪(0,4)
C．[－2,4]
D．(－∞，－ 2]∪[0,4]
(2)(2016 浙·江高考 )已知 a，b>0 且 a≠1，b≠1，若 logab>1，则 ( )
已知函数 f(x)＝ log4(ax2＋2x＋ 3)． (1)若 f(1)＝1，求 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在， 请说明理由 . 【导学号： 79170035】
[解] (1)因为 f(1)＝ 1，所以 log4(a＋5)＝1， 因此 a＋ 5＝4，a＝－ 1，这时 f(x)＝ log4(－ x2＋2x＋ 3)． 由－ x2＋ 2x＋3＞0，得－ 1＜ x＜3， 函数 f(x)的定义域为 (－ 1,3)． 令 g(x)＝－ x2＋2x＋3， 则 g(x)在 (－1,1)上递增，在 (1,3)上递减． 又 y＝log4x 在(0，＋ ∞ )上递增， 所以 f(x)的单调递增区间是 (－ 1,1)， 单调递减区间是 (1,3)． (2)假设存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0， 则 h(x)＝ ax2＋ 2x＋3 应有最小值 1，
3 当 a＞1 时， loga4＜ logaa＝ 1，∴a＞1.
3 即实数 a 的取值范围是 0，4 ∪(1，＋ ∞)．]
5．(2018 ·苏州模拟 )计算： 2log510＋ log514＝________，2log43＝ ________.
【导学号： 79170033】
2
3
[2log 510＋log514＝log5
在(0，＋∞ )上为增函数
在(0，＋∞ )上为减函数
4. 反函数 指数函数 y＝ ax(a＞0 且 a≠ 1)与对数函数 y＝ logax(a＞ 0 且 a≠1)互为反函数， 它们的图象关于直线 y＝x 对称．
[知识拓展 ]
1．换底公式的两个重要结论
1 (1)logab＝ logba；
(2)logambn＝
A．(a－1)(b－ 1)<0
B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－ a)<0
D．(b－ 1)(b－a)>0
3＋log2x，x＞ 0 (1)C (2)D [(1) 由于 f(x)＝ x2－x－1，x≤0 ，
当 x＞0 时， 3＋log2x≤5，即 log2x≤2＝log24，解得 0＜ x≤4，当 x≤0 时， x2
∈R
)．
3．对数函数的定义、图象与性质
定义 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)叫做对数函数
a＞1
0＜a＜1
wenku.baidu.com
图象
性质
定义域： (0，＋∞ ) 值域： R
1
当 x＝1 时， y＝0，即过定点 (1,0)
当 0＜x＜1 时， y＜0；
当 0＜ x＜1 时， y＞0；
当 x＞ 1 时， y＞0
当 x＞1 时， y＜ 0
102×
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＝2，因为
log43＝
1 2log
23＝
log
2
3，所
以 2log43＝2log2 3＝ 3.]
(对应学生用书第 19 页 ) 对数的运算
(1)设
2a＝5b＝
m，且
11 a＋b＝
2，则
m
等于 (
)
A． 10
B．10
C．20
D．100
(2)(2018 太·原模拟 )已知 log7[log 3(log 2x)]＝ 0，那么 x 等于 ( )
是奇函数又是增函数，∴有 f(0)＝0，即 0＝1－k， ∴k＝1，根据增＋增＝增，∴ y＝ ax 是增函数，∴ a＞1.
那么函数 g(x)＝ loga(x＋1)(a＞ 1)的图象单调递增，恒过 (0,0)，故选 B．
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a＞1 时不满足条件，当 0＜a＜1 时，
即 log2x＝3，所以 x＝8，
4
所以 x
2 ＝ 4 .]
[规律方法 ] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化
成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法
则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3． ab＝N? b＝logaN(a＞ 0，且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，