一个量词的否定

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1.4.2 含有一个量词的命题的否定

1.4.2含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？答案不能.思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？答案不能.知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断¬p的真假，二是用p与¬p的真假性相反来判断.类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数.解(1)¬p：存在n0∈Z，使n0∉Q，这是假命题.(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数.解(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数.反思与感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x 0，使得x 20＋2x 0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.解 (1)命题的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0，是真命题.(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三全称命题与特称命题的应用例3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析方法一若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0，即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0<a <1.方法二依题意，命题¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0<a <1.(2)已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围.解由于命题p (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 是假命题，则¬p (x )：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≤m 是真命题，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]，所以m ≥－ 2即可.由于q (x )：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，即对于∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2. 依题意，得－2≤m <2.所以实数m 的取值范围是{m |－2≤m <2}.反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.跟踪训练3已知命题p：“∃x0∈R，sin x0<m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.因为“∃x0∈R，sin x0<m”是真命题，所以m>－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A,2x∉BB.¬p：∀x∉A,2x∉BC.¬p：∃x0∉A,2x0∈BD.¬p：∃x0∈A,2x0∉B答案D解析根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬p：∃x0∈A,2x0∉B.2.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A.∃x0∈R，x20＋1＞0B.∃x0∈R，x20＋1≤0C.∃x0∈R，x20＋1＜0D.∀x∈R，x2＋1≤0答案B解析命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称命题.∴¬p：∃x0∈R，x20＋1≤0.3.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B.∀x∈R，lg x＜1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以∀x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题.4.“∃x0∈M，p(x0)”的否定为________________.答案∀x∈M，¬p(x)5.“至多有两个人”的否定为________________.答案至少有三个人解析“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有两个人”的否定为“至少有三个人”.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定.2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0B.∃x0∈R，|x0|>0C.∀x∈R，|x|≤0D.∃x0∈R，|x0|≤0解析由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0答案D解析特称命题的否定是全称命题.4.已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A.∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B.∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C.∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D.∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0答案B解析条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.5.下列命题错误的是()A.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C.命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D.“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件答案B解析由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确.6.已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A.∀n∈N,2n≤1 000B.∀n∈N,2n>1 000C.∃n∈N,2n≤1 000D.∃n∈N,2n>1 000答案A解析特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”.7.下列命题中是假命题的是()A.∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C.∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD.∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真； ∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞， ∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题. 二、填空题8.命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______________. 答案任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0解析特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”. 9.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________________________________________________________________________. 答案过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内解析原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词.10.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________________. 答案 m ≤－2或－1<m <2 解析 p ：m ≤－1，q ：－2<m <2， ∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.11.若“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 答案 a >2或a <－2解析由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2. 三、解答题12.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除.解 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因此¬p 是真命题. (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题. (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题. (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题. 13.若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，求实数m 的取值范围. 解令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，由于f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1，所以1≤f (x )≤2，由于“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2， sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，所以m ≤f (x )min ＝1，即m ≤1.。

常用逻辑用语含有一个量词的命题的否定

日常生活中的否定
在日常生活中，我们常常需要对这些命题进行否定。如“不是所有的猫都喜欢吃鱼”、“不是所有人都喜欢运动”、“不是有些人喜欢吃甜食”等等。这些否定命题中，量词不变，但是否定的内容变了。
在法律和医学中的应用
法律中的否定
在法律中，否定命题的应用非常广泛。如“不得侵犯他人的人身权利”、“不得盗窃他人财物”、“不得伪造证件”等等。这些命题中都包含着量词，如“不得”、“可以”。
命题
命题是一个判断（陈述）的语义表达，它可以被证实为真或假。
命题的否定的定义与性质
命题的否定
命题的否定是在原命题的基础上，对其结论进行否定，即原命题为真，其否定为假；原命题为假，其否定为真。
命题否定的性质
命题的否定具有唯一性，即对于任何一个命题，其否定只有一个。
常用逻辑用语与命题否定的关系
关系
02
关注逻辑学的新进展：随着逻辑学的发展，对于含有一个量词的命题的否定的研究也在不断深入。需要关注逻辑学的新进展，以便了解最新的研究成果和研究趋势。
03
研究实际应用：研究含有一个量词的命题的否定不仅是为了理论上的探讨，还为了解决实际应用中的问题。因此，需要结合实际应用场景，研究和解决具体问题。
04
命题否定与逻辑关系
命题否定与逻辑运算符的关系
命题否定与逻辑运算符的关联
命题否定是一种逻辑否定与逻辑运算符的差异
命题否定只对一个命题进行操作，而逻辑运算符可以对多个命题进行操作。
命题否定与逻辑推理的关系
命题否定与逻辑推理的关联
数学命题的否定
数学命题的否定是指以原命题的否定的真假为依据，即若原命题为真则其否命题为假，若原命题为假则其否命题为真。
在日常思维中的应用

§1.4.3含有一个量词的命题的否定

§ 1.4.3含有一个量词的命题的否定学习目标: 了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。

难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。

预习导航：认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。

1、复习回顾：全称命题:特称命题:2、判断全称命题和特称命题真假的方法：3、命题的否定与否命题有什么区别？4、命题“一个数的末位数字是0，则它可以被5整除”的否命题和命题的否定分别是什么？5、判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R, x2－2x＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃x0∈R, x2＋1＜0.全称命题p: ∀x∈M，p（x），它的否定﹁p: 。

否定的方法“一改量词二否结论”.练习1、命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是（）A.所有能被3整除的整数都不是奇数B.不存在一个奇数，它不能被3整除C.存在一个奇数，它不能被3整除D.不存在一个奇数，它能被3整除例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 探究2、省略全称量词的全称命题的否定:例2、设命题p:“平行四边形是矩形” (1) p是真命题还是假命题？(2)请写出命题p的否定形式；并判断真假。

探究3、特称命题的否定：特称命题p：∃x∈M，p（x），它的否定﹁p: 。

否定的方法“1改量词 2否结论”。

说明：全称命题的否定是特称命题。

特称命题的否定是全称命题。

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成特称性的量词，特称性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。

即须遵循下面法则：否定全称得特称，否定特称得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.练习2、命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定为（）A.存在一个三角形，内角和等于180oB.所有三角形，内角和都等于180oC.所有三角形，内角和都不等于180oD.很多三角形，内角和不等于180o例3、写出下列特称命题的否定：（1）p：∃ x∈R，x2＋2x＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.例4、写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）p：任意两个等边三角形都是相似的;（2）p：∃x0∈R, x02＋2x0＋2=0.课堂练习:1. 命题“存在x∈ R，2x0 ≤0”的否定是（）（A）不存在x∈R, 2x0 >0 （B）存在x∈R, 2x0≥ 0（C）对任意的x∈R, 2x≤ 0 （D）对任意的x∈R, 2x >02. 已知命题p：∀x∈R ，sin x≤ 1，则（）A．┐ p：∃x∈R ，sin x≥ 1; B．┐ p：∀x∈R ，sin x≥ 1;C．┐ p：∃x∈R ，sin x >1; D．┐ p：∀x∈R ，sin x >1.3. 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（）A.所有自然数的平方都不是正数B.有的自然数的平方是正数C.至少有一个自然数的平方是正数D.至少有一个自然数的平方不是正数二．小结：1：一般地，全称命题 P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x。

含有一个量词的命题的否定课件

『规律总结』 1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
所以 m≥(12)x2，x2∈[0,2] 所以 m≥(12)0，即 m≥1. [辨析] 错误的根本原因是恒成立问题等价转化中产生错误，实际上∃x2∈ [0,2]，m≥(12)x2，只需 m 大于或等于(12)x2 在[0,2]上的最小值即可． [正解] 因为 x1∈[－1,3]，所以 f(x1)∈[0,9]，又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2 ∈[0,2]，使得 f(x1)≥g(x2)，即∃x2∈[0,2]，g(x2)≤0，即(12)x2－m≤0，所以 m≥(12)x2， m≥(12)2，即 m≥14.
命题方向1 ⇨全称命题、特称命题的否定
写出下列命题的否定. (1)p：∃x∈R ，x2＋2x＋2≤0； (2)p：有的三角形是等边三角形； (3)p：所有能被 3 整除的整数是奇数； (4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．
[规范解答] (1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形． (3)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数． (4)¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．
命题方向2 ⇨利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
写出下列命题的否定. (1)可以被 5 整除的数，末位是 0； (2)能被 3 整除的数，也能被 4 整除． [思路分析] (1)(2)中均为省略了全称量词的全称命题，书写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不否定量词． [规范解答] (1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被 5 整除的数，末位不是 0. (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被 3 整除的数，不能被 4 整除．

1.4.3含有一个量词的命题的否定

(
C
)
D.对任意 x∈R，x3－x2＋1>0 解析命题 p：对任意 x∈R， x3－x2＋1≤0 是一个全称命题，
2 其否定为特称命题，即綈 p：存在 x0∈R，x3 － x 0 0＋1>0.
2.对下列命题的否定说法错误的是的数不是偶数
(
C
)
A.p：能被 2 整除的数是偶数；綈 p：存在一个能被 2 整除 B.p：有些矩形是正方形；綈 p：所有的矩形都不是正方形 C.p：有的三角形为正三角形；綈 p：所有的三角形不都是正三角形 D.p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；綈 p：∀x∈R，x2＋x＋2>0
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x0∈Z, x0² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
∀x∈R, x² +1≥0 这三个特称命题的否定都变成了全称命题.
结论一般地，对于含有一个量词
的特称命题的否定,有下面的结论：
特称命题p: ∃x0∈M ,p(x0)，它的否定ㄱp: ∀ x∈M,ㄱp(x)，
特称命题的否定是全称命题
例题
例3 :写出下列特称命题的否定：（1）p： ∃x0∈R, x0² +2x0+2≤0;
p≥1或p≤－1， 2 即 p≥3或p≤－3. 2
3 ∴p≥ 或 p≤－3. 2
3 故 p 的取值范围是－3<p< . 2

含有一个量词的命题的否定

1．4.3含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.梳理写全称命题的否定的方法：①更换量词，将全称量词换为存在量词；②将结论否定．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.梳理写特称命题的否定的方法：①将存在量词改写为全称量词，②将结论否定．(1)特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．(2)对含有一个量词的命题进行否定，先对量词进行否定，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，然后再否定结论即可.类型一全称命题与特称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在x∈N，x2－2x＋1≤0.解(1)非p：存在一个实数m，使得方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故非p为假命题．(2)非p：对任意x∈N，x2－2x＋1>0，显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故非p是假命题．反思与感悟(1)全称命题的否定将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，特称命题的否定是全称命题．(3)对全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：①对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词．②要注意命题的否定形式不唯一．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1) ¬p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2) ¬q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3) ¬r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4) ¬t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．类型二利用全称命题与特称命题求参数取值范围例2已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x 2<9－m 2在实数集上有解，故9－m 2>0，所以－3<m <3.因为命题“非p ”与“q ”均为真命题，所以m 的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．反思与感悟利用全称命题、特称命题求参数的范围或求值是一类综合性较强、有一定难度的问题，主要考查这两种命题及其否定的定义．全称命题为真，意味着对限定的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”．跟踪训练2 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________．答案－4<m <－2 解析由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数， (1)若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须抛物线开口向下，即m <0. f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3，则x 1－x 2＝3m ＋3.①当x 1>x 2，即m >－1时，大根x 1＝2m <1，即m <12.②当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4.③当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m <0.(2)若∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则满足f (x )＝0的小根小于是－4.①当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解． ②当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2. ③当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立， ∴不满足②.∴满足①②的m 的取值范围是－4<m <－2.1．已知a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是( ) A ．∃x ≤1，log a x >0 B ．∃x >1，log a x ≤0 C ．∀x ≤1，log a x >0 D ．∀x >1，log a x ≤0答案 D解析 a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是“∀x >1，log a x ≤0”．2．已知命题p ：∀x >0，x ＋1x ≥2，则¬ p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x <2B ．∀x ≤0，x ＋1x <2C ．∃x ≤0，x ＋1x <2D ．∃x >0，x ＋1x<2答案 D解析由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得． 3．下列说法不正确的是( )A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减答案 C解析 A ：若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题，正确；B ：命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”，正确；C ：“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ：α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，正确．故选C.4．命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定是( ) A ．∀x ∈R,3x ≤0 B ．∃x 0∈R,030≥xC ．∃x 0∈R,030xD ．∀x ∈R,3x >0答案 D解析命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定使“∀x ∈R,3x >0.”5．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如本例，将“≥”否定为“<”． 2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n 个至多有(n －1)个小于不小于至多有n 个至少有(n ＋1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则¬ p 是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ≥1 B ．∃x ∈R ，sin x >1 C ．∀x ∈R ，sin x ≥1 D ．∀x ∈R ，sin x >1答案 B解析所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，∃x ∈R ，sin x >1，故选B. 2．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.3．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，0122＝，x 则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(¬ q )是真命题D ．(¬ p )∧q 是真命题答案 C解析由基本不等式知命题p 正确；由0122＝x知，x 0＝－1，故命题q 不正确；利用复合命题的判断方法可知应选C.4．已知命题p ：存在a ∈R ，使函数y ＝x 2＋ax 的定义域为实数集R ，命题q ：不等式x －1x －2≤0的解集为{x |1<x <2}，则下列结论正确的是( ) A ．命题“p 且q ”为真命题 B ．命题“p 且(¬ q )”为真命题 C ．命题“(¬ p )且q ”为真命题 D ．命题“(¬ p )且(¬ q )”为真命题答案 B解析根据命题p 得x 2＋ax ≥0，因为Δ＝a 2≥0，故∀a ∈R ，都成立，故命题p 为真命题；由命题q 得{ (x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，解得1≤x <2，故命题q 为假命题，结合复合命题的真假判断，得到只有B 符合题意，故选B.5．命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C解析特称命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是：把量词“存在”改为“对任意的”并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选C.6．有命题m ：“∀x 0∈(0，13)，01031()log 2x x <”，命题n ：“∃x 0∈(0，＋∞)，010031()log 2＝x x x >”．则在命题p 1：m ∨n ，p 2：m ∧n ，p 3：(¬ m )∨n 和p 4：m ∧(¬ n )中，真命题是( ) A ．p 1，p 2，p 3 B ．p 2，p 3，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 2，p 4答案 A解析当x ∈(0，13)时，13log 1x >，(12)x <1，∴此时131log ()2x x >恒成立，即命题m 为真命题，作出函数13log ＝，y x y ＝(12)x ，y ＝x 的图象如图，则由图象可知∃x 0∈(0，＋∞)，满足010031log ()2＝，x x x 故命题n 为真命题，则m ∨n ，m ∧n ，(¬ m )∨n 为真命题，m ∧(¬ n )为假命题，故p 1，p 2，p 3为真命题，故选A. 7．下列命题正确的是( )(1)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＝1，则¬ p 是：∃x ∈R,2x ≠1；(2)设l ，m 表示不同的直线，α表示平面，若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；(3)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为23；(4)“a >0，b >0”是“a b ＋ba ≥2”的充分不必要条件．A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(3)(4)答案 D解析 ¬ p 为∀x ∈R,2x ≠1，故(1)错误；若m ∥l ，且m ∥α，则l 可能在α内或l ∥α，故(2)错误；由3a －1>0得，a >13，即事件“3a －1>0”发生的概率为23，故(3)正确；a b ＋ba ≥2⇔ab >0，故(4)正确．所以选D. 二、填空题8．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈A ∪B ，则命题“¬ p ”是________．答案3∈(∁U A )∩(∁U B )解析 p ：3∈A 或3∈B ，所以¬ p ：3∉A 且3∉B, 即¬ p ：3∈(∁U A )∩(∁U B )．10．对∀x ∈[－1,2]，使4x －2x ＋1＋2－a <0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (10，＋∞)解析已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈[12，4]，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于∀t ∈[12，4]，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t ∈[12，4]时，y max ＝10，所以只需a >10即可，即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解 (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，∴非p 是假命题．(2)非q ：有的正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0， ∴非r 是真命题．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并求出m 的取值范围； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4. (2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4， ∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 “在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0”的否定是“在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立”．又由二次函数的图象特征可知，{ f (－1)≤0，f (1)≤0，即{ 4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是－3<p <32.。

含有一个量词的命题的否定

1. 把改成，把p(x）改为 P （x） 2. P与“非p”真假性相反 ——可以通过“非p”的真假判断命题p的真假
含有一个量词的命题的否定
全称命题
P:M, p(x）
P: M, P（x）
特称命题
特称命题
P:M, p(x）
命题的否定
P: M, P（x）
全称命题
全称命题与特称命题的真假性判断
真：需要说明对任意的xM，P(x)恒成立；
全称命题
假：只要找出某个x0 M，使P(x)不成立. 真：只要找出某个x0 M，使P(x)成立.
全部是才对
特称命题
只要有就行
假：需要说明对一切xM，P(x)恒不成立；
知识回顾
全称命题
“x M,p(x)"
命题的否定形式
9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这
必有一个所有x成立种情形下时应先将命题写成完整形式，再依个个立至少有n 至多有一所有x不成
词语的一个也没至多有n- 至少有两存在一个x 存在有一
据法则来写出其否定形式。
有 1个个
否定
不成立
个成立
课堂练习3
例3 写出下列命题的否定。
（1）若x2 ＞4 则x＞2.。（2）若m≥0,则x2 +x-m=0有实数根。（3）可以被5整除的整数，末位是0。（4）被8整除的数能被4整除。
否定：存在一个素数不是奇数；
（3）xR，x2-2x+1≥0
x M,p(x)
否定：xR，x2-2x+1<0；
新课引入知识回顾
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；

含有一个量词的命题如何否定

5.命题“有旳实数没有立方根”旳否定
为:_真____命题.（填“真”、“假”）
6、写出下列命题旳否定：
（1）x R,3 x x; ；x∈R，3x＝x （2） x∈R，sinx＝1；x R, sin x 1;
（3） x∈{-2,-1,0,1,2}，︱x-2︱<2
x {2,1,0,1,2}, x 2 2;
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
全称、特称命题旳否定
例14 写出下列特称命题的否定： 1）p:x R,x2 +2x+3 0； 2）p:有的三角形是等边三角形； 3）p:有一个素数含有三个正因子。
全称、特称命题旳否定
例25写出下列命题的否定，并判断真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的； 2）p:x R,x2+2x+2=0；
• (一)教学目旳 • 1.知识与技能目旳 • （1）经过探究数学中某些实例，使学生归纳总结出具有一种量词旳命题与它
们旳否定在形式上旳变化规律． • （2）经过例题和习题旳教学，使学生能够根据具有一种量词旳命题与它们旳
否定在形式上旳变化规律，正确地对具有一种量词旳命题进行否定． • 2．过程与措施目旳 • 使学生体会从详细到一般旳认知过程，培养学生抽象、概括旳能力． • 3.情感态度价值观 • 经过学生旳举例，培养他们旳辨析能力以及培养他们旳良好旳思维品质，在
• 6．小结与作业
• （1）小结：怎样写出具有一种量词旳命题旳否定，原先旳命题与它旳否定在形式上有什么变化？
• （2）作业：P29习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）
• 课后记
• 经过简朴旳事例，整顿教材顺序，有效问题指导，让学生完整深刻旳了解，要引导学生观察分析出命题旳特点

含有一个量词的命题的否定

3．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是()
A．不存在x0∈R，x －x ＋1≤0B．存在x0∈R，x －x ＋1≥0
C．存在x0∈R，x －x ＋1>0D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0
4．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“ p”形式的命题是()
A．∃m0∈R，使得方程x2＋m0x＋1＝0无实根
(1)全称命题的否定是；(2)特称命题的否定是.
二．课中研学：
例1：判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形．
(2)不论m取何实数，方程＋2 －＝0都有实数根．
(3)∀a，b∈R，方程＝都有惟一解．
(4)每个三角形至少有两个锐角．
例2：写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：
[提醒]无量词的全称命题要先补回量词再否定
三．达标训练：
1.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数；(2)任何一个平行四边形的对边都平行；
(3)∀x∈R，都有|x|＝x；(4)每个二次函数的图象都开口向下．
2. 写出下列命题的否定：
(1)矩形的四个角都是直角；(2)所有的方程都有实数解；
课题
1.4.3含有一个量词的命题的否定
课型
专题课
学习目标
知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
学习重点
对含有一个量词的命题进行否定．
学习难点
对量词的否定词的理解．
学习方法和手段
小黑板
1．含有一个量词的
全称命题的否定¬p
特称命题p
特称命题的否定¬p
2.重要结论
(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；

含有一个量词的命题的否定课件

迁移体验3 对下列命题的否定，说法错误的是 ()
A．p：能被3整除的整数是奇数綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数 B．p：每一个四边形的四个顶点共圆綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：有的三角形为正三角形綈p：所有的三角形都不是正三角形 D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 綈p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R
解析：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题可知，选项D中，p的否定应为：綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
答案：D
类型四求参数的取值范围
[例4] 若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m 的取值范围．
含有一个量词的命题的否定
1．全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p： ∃x0∈M，綈 p(x0)．全称命题的否定是特称命题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”．其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．
[分析] 充分利用特称命题和全称命题的辩证关系，对命题r(x)：转化为求函数f(x)＝sinx＋cosx的值域问题，对命题s(x)：利用二次不等式恒成立问题求得m的取值范围，两个范围取交集即可．
[解] 由于 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π4)∈[－ 2， 2]，所以如果对任意的 x∈R，r(x)为假命题，即对任意的 x∈R，不等式 sinx＋cosx>m恒不成立，所以 m> 2. 又对任意的 x∈R，s(x)为真命题，即对任意的 x∈R，不等式 x2＋mx＋1>0，所以 Δ＝m2－4<0，即－2<m<2. 故如果对任意的 x∈R，r(x)为假命题且 s(x)为真命题，应有 2<m<2.

含有一个量词的命题的否定

3.全称量词命题和存在量词命题
全称量词命题：
（1）基本形式： x M , p( x)
（2）意义：对任意x属于M，有p(x)成立（3）真假性的判断：
存在量词命题：
（1）基本形式： x0 M , p( x0 )
（2）意义：存在x0属于M，使p(x0 )成立（3）真假性的判断：
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
跟踪训练 4
关于 x 的不等式 x2 ax 2 0 至少有一解在区间1,2 内，则
常数 a 的取值范围是
．
解：原命题的否定： x 1, 2,使g(x)= x2 ax 2 0 恒成立
g(1) 0

g
(2)

0

3 6

a0 2a 0

a
（3）∀x∈R，x2＋1≥0.
研探习究二2 如存何在写量出词存命在题量的词否命定题的否定
思考2 存在量词命题的否定有什么特点？
存在量词命题p :
的否定p :
x0 M , p(x0 ) x M ,p( x)
存在量词命题的否定是全称量词命题．
研探习究二2 如存何在写量出词存命在题量的词否命定题的否定
∴p≥32或 p≤－3.
故 p 的取值范围是－3<p<32.
研探习究三3 全全称称量量词词命命题题、、存特在称量量词词命命题题的的综综合合应应用用
反思对于存在量词命题，若正面情况较繁，可考虑正难则反,求其否定，再求集合的补集即可．
研探习究三3 全全称称量量词词命命题题、、存特在称量量词词命命题题的的综综合合应应用用
取值范围是 (a,) ，则 a
．
解： x R, x2 2x m 0 为真 V=4 4m 0 m 1a 1

含有一个量词的命题的否定教案 (1)

含有一个量词的命题的否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；教学过程：一、引入数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.问题2：写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =,()U U U A B A B = 二1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。

量词否定等值式证明

量词否定等值式证明量词否定等值式证明是一种形式化的推理技术，旨在证明一个具体的数学定理，如有界性等定理，或者给定一组已知性质条件，推导出不同个体及其属性的关系。

它是一种基于数学的推理过程，证明一个表述在一定条件下可以进行唯一推理结果，也可以通过符号证明来证明此结果正确无误。

一、量词否定等值式原理1、量词否定等值式将一个确定断言与其否定等值式形式化地指出其两种不同看法，如下定理：A＝B，与它的否定等值式：¬A≠B。

2、量词否定等值式进行演绎时，需要先确定断言，即本文中的例题中的A＝B，否定等值式就是¬A≠B。

3、量词否定等值式的论据类型主要有两种，一种是正确的论据，用来证明断言的正确性；另一种是错误的论据，用来证明否定等值式的错误性。

二、量词否定等值式的例子1、假设我们想证明A＝B，则用量词否定等值式进行证明：a．使用正确论据证明：若A＝B，则A-B=0。

b.使用错误论据证明：若¬A≠B，则A-B≠0。

2、假设我们想证明：若m个几何体拼成n位正多边形，则m=3n。

可以用量词否定等值式证明：a．使用正确论据证明：若m个几何体拼成n位正多边形，则m＝3n。

b．使用错误论据证明：若m个几何体拼成n位正多边形，则m≠3n。

三、量词否定等值式的应用量词否定等值式在数学中可以做很多有效的应用，比如：1、可以用量词否定等值式来证明谓词逻辑公理，例如谓词逻辑公理可知：若“A→B”成立，则“¬B→¬A”也成立。

2、可以用量词否定等值式来证明线性系统的正确性，例如对于一个线性系统，“若系统有一个解，则系统有无限多解”，可用量词否定等值式证明：a．使用正确论据证明：若系统有一个解，则系统有无限多解。

b．使用错误论据证明：若系统有一个解，则系统只有一个解。

3、可以用量词否定等值式证明一些有界和无界性定理，例如对于一个函数满足无限增加性，则该函数有最大值，可以用量词否定等值式证明：a．使用正确论据证明：若函数满足无限增加性，则函数有最大值。

一个量词的否定

1.4.2 含有一个量词的命题的否定

常用逻辑用语含有一个量词的命题的否定

§1.4.3含有一个量词的命题的否定

含有一个量词的命题的否定 课件

1.4.3含有一个量词的命题的否定

含有一个量词的命题的否定

含有一个量词的命题的否定

含有一个量词的命题如何否定

含有一个量词的命题的否定

含有一个量词的命题的否定 课件

含有一个量词的命题的否定

含有一个量词的命题的否定教案 (1)

量词否定等值式证明

含有一个量词的命题的否定课件

含有一个量词的命题的否定课件