【精选高中试题】湖南省长郡中学高三9月联考数学(理)试题Word版含答案
高三数学9月份联考试题 理含解析 试题
五大联盟2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题1. 集合，，那么中的元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】因为或者，所以，应选答案C。
2. ，为虚数单位，，那么( )A. 9B.C. 24D.【答案】A【解析】因为，所以，那么，应选答案A。
3. 幂函数的图象过点，那么函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，那么当时取最小值，应选答案B。
4. ，，，这三个数的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。
5. 设等比数列的前项和为，且，那么( )A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】B【解析】由题设，，所以，应选答案B。
6. 设满足约束条件，那么的最大值为( )A. 3B.C. 1D.【答案】A【解析】画出不等式组表示的区域如图，那么问题转化为求动直线在上的截距的最小值的问题，结合图形可知：当动直线经过点时，，应选答案A。
7. 函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的间隔为2，与轴的交点的纵坐标为1，那么( )A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】由题设条件可得，那么，所以，将点代入可得，即，又，所以，应选答案D。
8. 执行如下图的程序框图，假设输入，那么输出的结果为( )A. 80B. 84C. 88D. 92【答案】A【解析】9. 在长方体中，，，，点在平面内运动，那么线段的最小值为( )A. B. C. D. 3【答案】C【解析】由题意问题转化为求点到平面的间隔，由于，所以边上的高，故三角形的面积为，又三棱锥的体积，所以，应选答案C。
10. 假设关于的不等式在上恒成立，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式，可化为，那么问题转化为求函数的图像在函数下方，画出函数的图像及函数的图像，显然当不成立，故，结合图像当且仅当时满足题设，即，也即，应选答案D。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期月考地理试题(一)及答案
大联考长郡中学2025 届高三月考试卷(一)地理得分本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量 75 分钟，满分100 分.一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)大源村是广州郊区的一个城中村，邻近服装批发市场。
2018年以来，大源村逐步把旧厂房改造为电商产业园，同时成立了大源电子简务协会，并构建了“政—校一企”三方合作平台。
下图为大源利由传统电商向新型电商转型示意图。
据此完成1~3题。
1.2012年前后，影响广州部分电商企业布局变化的主要因素是A.市场B.基础设施C.土地价格 B.政策2.大源村将旧厂房改造为电商产业园，首先影响到当地电商产业发展的A.产业环境B.产业布局C.产业链条 D 产业结构3.大源村电商产业园区吸引个体电商入驻的原因是A.竞争压力小B.销售方式多C.供货渠道广D.产业规模大J古城由都城、离宫和军事卫城构成。
战国时期，都城是古城中心，离宫的东南角城门可供船只通行。
秦汉时期，离宫成为古城中心。
此后，由于环境变迁，J古城衰落。
19世纪起，S市人口集聚，现已发展为地级市。
下图示意长江流域局部地区。
据此完成4~6题。
4. J古城建设之初，都城未建在离宫处，主要是考虑A.减少水患B.便于取水C.方便耕作D.利于防卫b.古城中心的变迁，反映了战国至秦汉期间该地区气候趋向A.湿润B.干旱C.温暖·I).寒冷6.根据J古城和S市的地理位置，可推知战国时期至现代长江干流图示河段A.整体向北移动B.8市附近河道没有明显摆动C. 整体向南移动D. S市附近河道摆动幅度较大大小交路是指列车在线路上的运行距离有长、短路两种方式，在线路的部分区段共线运行。
石家庄地铁1号线于2021年起在规定时间段内执行该运行模式(如下图)：大交路(西王—福泽)10分钟/次，小交路(西王—汶河大道)5分钟/次。
据此完成7~8题。
7.石家庄地铁1号线采用大小交路运行的目的有①提高运输能力②缓解客流压力③提高运行速度④降低能源消耗A.①②B.②③C.①④D.③④8.下列时间段中；最适合以大小交路运行的是A 工作日·6:00-7:30 B.工作日9:00—19:30C.节假日6:00—7:30D.节假日9:00—19:30温度露点差是温度与露点(露点：在气象学中是指在固定气压之下，空气中所含的气态水达到饱和而凝结成液态水所需要降至的温度)的差值，是相对湿度的一种度量，温度露点差越大，湿度越小，当温度露点差接近0℃时，表示空气中的水汽达到近似饱和状态。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考(三)数学试题+答案解析
炎德·英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷(三)数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B = ，则实数a 的可能取值组成的集合是（）A.{}1,2,3 B.{}2,3,4C.{}1,3,4 D.{}1,2,4【答案】A 【解析】【分析】根据条件4a ≠，分别令12,3，a =代入进行检验，可得出答案.【详解】显然4a ≠，当1a =时，{}1,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当2a =时，{}2,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当3a =时，{}3,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 所以a 的值可以为1,2,3.故选：A【点睛】关键点点睛：该题考查根据两集合的并集求参数，考查集合的并集运算，解决该题的关键是注意集合中元素的互异性，属于基础题目.2.已知()312++=+a i i bi (,a b R ∈，i 为虚数单位)，则实数a b +的值为（）A.3B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+则32,38a b a b -==∴+=故选：D3.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos 2=α（）A.1625B.1625-C.725D.725-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义，求得3cos 5α=-，再结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，因为35x =-，由三角函数的定义，可得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=-.故选：D.4.在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数=a （）A.12B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】写出5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项，然后可建立方程求解.【详解】5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项为()()525104155211rr r r r rr r T C ax C a x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1042r -=-，则3r =，所以()33535140C a --=-，解得2a =或2a =-（舍）故选：B5.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（）A.10%B.30%C.50%D.100%【答案】A 【解析】【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.【详解】当1000SN=时，2log (11000)C W =+当2000SN=时，2log (12000)C W =+则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.6.若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+- 的最小值是（）A. B.32C.2D.1【答案】A 【解析】【分析】设向量,a b 夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+- 的夹角为γ，利用1cos 2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦ ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-=，进而得到()1+-λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b 夹角为θ，则1cos 2ab a b θ==，()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，设()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角为γ，∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+-= ，0,2πγ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，(1)a b λλ+-≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos 2ab a bθ==，得到()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角γ，得出()1+-λλa b 的最小值，难度属于中档题7.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin 700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A.10米B.9.66米C.9.40米D.8.66米【答案】C 【解析】【分析】在ABC 中，由条件可得10AB BC ==，再在Rt ADB 中，由sin BD AB BAD =∠可得解.【详解】如图所示，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，由10BAC DAC BAD ∠=∠-∠= ，9010ACD CAD ∠=-∠= ，所以10AB BC ==，在Rt ADB 中，sin 10sin 709.40BD AB BAD =∠=≈ .故选：C.8.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+，联立抛物线可得124y y =-，再由中点坐标可得122P y y y +=，从而可得P x ，利用焦半径公式表示AB 和FP 即可得解.【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+（斜率显然不为0）.214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，0∆>显然成立，124y y =-，点M 是线段AB 的中点，所以122M y y y +=，所以122P y y y +=，所以22222212121212()284161616P P y y y y y y y y y x ++++-====，2222121288111616P y y y y FP x +-++=+=+=，2222121212128||||1122444y y y y AB AF BF x x x x ++=+=+++=++=++=，所以22122212844816y y ABy y FPλ++===++.故选：B.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100k 3.8416.635A.25B.45C.60D.40【答案】BC 【解析】【分析】先设男生人数为5n ，()*n N ∈，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5n ，()*n N ∈，由题意可列出22⨯列联表：男生女生合计喜欢锻炼4n 3n 7n不喜欢锻炼n2n3n合计5n5n10n222()10(423)10()()()()557321n ad bc n n n n n nK a b c d a c b d n n n n -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯．由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以103.8416.63521n<；解得：8.066113.9335n <，因为N*n ∈，故n 的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．故选：BC.10.已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（）A.cb a a < B.c c a b b a+>+ C.log log b c a a< D.b cb ac a>++【答案】CD 【解析】【分析】利用指数函数性质，对数函数性质，不等式的性质判断各选项．【详解】由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 错误；1a >，01c b <<<，c c a b b a +-+可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++，c c ab b a+<+，故B 错误；由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log ca a c=，而log log 0a a c b <<，则110log log a a b c <<，可得log log b c a a <，故C 正确；由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确．故选：CD ．11.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的最大值为2C.14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D.3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【解析】【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【详解】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-，2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ==2A =，()2sin(23f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin(1423f πππ=+=，所以C 正确；,D (2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k f =++，再求待定系数,,,A w k f ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ¢，再把点((,),(,))P f x y g x y ¢的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.12.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】BCD 【解析】【分析】设O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，在三角形ODO '中，有222OO DO OD ''+=，可求得2R =，可得最大的截面圆；过E 且垂直OE 的截面圆最小，利用222r R OE =-可得解.【详解】如图所示，其中O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，可得3O B O D BC ''===，3AO '==，设球的半径为R ，在三角形ODO '中，由222OO DO OD ''+=，即()2223R R -+=，解得2R =，故最大的截面面积为24=R ππ，在三角形BEO '中，1162BE BD ==，6EBO π'∠=，由余弦定理得72O E '==，在三角形OO E '中，112OE ==，设过E 且垂直OE 的截面圆的半径为r ，222115444r R OE =-=-=，故最小的截面面积为254r ππ=.所以过点E 作球O 的截面，所以截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.【答案】()2,∞+【解析】【分析】若要直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则直线y =的斜率要小于渐近线by x a=的斜率，建立不等式，即可得解.【详解】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，若直线y =与双曲线有两个交点，则ba>即223b a >，即2223c a a ->，所以224c a >，24e >，即2e >，故答案为：()2,∞+.14.已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】()*n a n n =∈N 【解析】【分析】根据所给关系，当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，即得递推关系11nn a a nn -=-，即可得解.【详解】()12+=nn n a S 当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，整理可得1(1)0n n n a na ---=，即11n n a a n n -=-，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，故111n a a n ==，所以n a n =，故答案为：()*n a n n =∈N.15.如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.【答案】37【解析】【分析】利用勾股定理和线面角的定义进行求解即可【详解】设AB a =，6OB a =，OA ==，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大；此时直线OA 与平面α3737=故答案为：3716.设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB 的面积的取值范围是________.【答案】()0,1【解析】【分析】因为()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，且明显地，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x =1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x -()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈ 且1y x x=+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难四、解答题(本题共6小题，共70分)17.在①1c =，ABC 的面积为4，②b =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)cos cos 2sin a C c A b B +=，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】)cos cos 2sin a C c A b B +=，求出B ，然后针对给定的条件利用正弦定理、面积公式选择条件进行求解即可.【详解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B+=22sin B B =，又sin 0B ≠所以3sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为1133sin 2224ABC S ac B a ==⋅= 所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且为等边三角形，所以3C π=，所以3sin 2C =.,选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin 3sin 4c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：5123226sin sinsin sin cos sin .1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据211n n n a S S ++=+写出()212n n n a S S n -+≥，通过作差以及化简说明{}n a 为等差数列，并求解出通项公式；（2）将{}n b 的通项公式变形为()()11114213213n n n b n n -⎡⎤=-⎢⎥-⋅+⋅⎣⎦，采用裂项相消法求解出n T 的结果.【详解】(1)由211n n na S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1所以()11n a a n d n=+-=(2)()()1121213n nn b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()111n n 1n n 1=-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（3）1=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----.19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是 AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77.【解析】【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆 AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形.所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE .因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE .又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠=因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠= ，在601Rt ABC ABC BC ∆∠== 中，，，所以tan 60AC BC =⋅= ，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆== 中，因为ACBC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角.在FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，，在90Rt ACH ACH ∆∠= 中，，所以2AH ==，所以cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --的余弦值为77.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，43.【解析】【分析】（1）根据离心率12e =和31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，列式即可得解；（2）依题意知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+联立22143x y +=，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634my y m -+=+，122934y y m -=+，结合条件表达11AF BF +，化简即可得解.【详解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F 依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+不妨设10y >，20y <，11AF y y ===，同理22BF y y ==所以121111AF BFy y ⎛⎫+=-⎪⎭211212y y y y -==249334m ==+即1143AF BF +=.【点睛】本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定值问题，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题.解决本类问题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决大多数直线和圆锥曲线问题的必由之路；（2）化简求值，解析几何计算的特点明显，需要较高的计算技巧.21.设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.【答案】（1）(],2e -∞；（2）3.【解析】【分析】（1）由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x -≥，利用参变分离法得到2ln x a x≤，然后构造函数，利用导数分析实数a 的取值范围（2）求导得到()()()21x a x f x x-+'=，对a 进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小正整数a 的值【详解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x ax -≥又)x ∈+∞所以1ln 02x ≥>所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞(2)因为()()22ln f x x a x a x=---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==>若0a ≤，则()0f x ¢>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增得()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点则244ln 02a a a a -+-<又0a >所以4ln402aa +->令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=->所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln 30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3【点睛】关键点睛：解题的关键在于：（1）利用参变分离法，得到2ln x a x≤，然后构造函数，求导进行数形结合的分析求解；（2）对()f x 求导，然后对a 分类为：0a ≤和0a >，尤其在0a >时，得到4ln402aa +->，进而构造函数()4ln 42a h a a =+-，利用零点存在定理进行数形结合的分析来求解，本题难度属于困难22.新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率；(2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .【答案】（1）111945105n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）8.6.【解析】【分析】（1）根据题意可得若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k 取1,21n - 时，相加即可得解；（2）根据题意X 的可能取值依次是2，3，…，9，10，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.【详解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：2311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用等比数列求和公式即可得：10211114101419119141945941055101051055510559n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅(2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈=X 对应的数学期望为：()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.解决此类问题的关键点有：（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；（2）补集思想的应用，根据全概率为1进行求概率。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
高三数学9月份联考试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校仁寿一中等西南四八校2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
{}24A x x =<，{}2,1,0,1B =--，那么AB =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}2,1,0--D.{}2,1,0,1--【答案】B 【解析】 【分析】先计算得到集合A ，再计算A B 得到答案.【详解】{}{}24=-22A x x x x =<<<故答案选B【点睛】此题考察了集合的交集，属于根底题型. 2.()()131i i +-=〔〕A.42i +B.24i +C.22i -+D.22i -【答案】A 【解析】 【分析】把复数乘积展开，化简为a +bi 〔a 、b ∈R 〕的形式，可以判断选项． 【详解】∵〔1+3i 〕〔1-i 〕＝1+3+3i-i ＝4+2i 应选：A ．【点睛】此题考察复数代数形式的运算，是根底题．x ∈R ，那么“21x <〞是“31x <〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可． 【详解】由2x<1得x<0，由“x 3<1〞得x ＜1，x<0是x ＜1的充分不必要条件 那么“2x<1〞是“x 3<1〞的充分不必要条件， 应选：A ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决此题的关键．p ：0x ∀>，lg 0x >，那么p ⌝是〔〕A.0x ∀>，lg 0x ≤B.00x ∃>，0lg 0x < C.0x ∀>，lg 0x < D.00x ∃>，0lg 0x ≤【答案】D 【解析】 【分析】p ：∀x ＞0，总有lgx ＞0， p 为：∃x 0＞0，使得lg x 0≤0，应选：D ．{}n a 中，242a a +=，53a =，那么{}n a 的前6项和为〔〕A.6B.9C.10D.11【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列{a n }通项公式列方程组求出a 1，d ，由此能求出{a n }的前6项和． 【详解】∵在等差数列{a n }中，a 53=，a 2+a 4＝2，∴1111433242a d a d a d a d +=⎧⎨+++=+=⎩，解得a 11=-，d 1=， ∴{a n }的前6项和S 6的值：616562S a d ⨯=+=61⨯-+（）15×19=． 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的前n 项和的公式，考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题．()()506f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的局部图像，假设AB 4=，那么()1f -=〔〕A.-1B.1C.32-D.32【答案】D 【解析】 【分析】 由图可设A 〔a，那么B 〔a 2T +，AB =〔2T，，利用向量模的坐标运算，求得T 2πω==4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．【详解】设A 〔a，函数f 〔x〕=〔ωx +56π〕的周期为T ，那么B 〔a 2T+，，∴AB =〔2T ，224T =+12=16， ∴T 2＝16， ∴T 2πω==4，解得：ω2π=．∴f 〔x 〕=〔2πx +56π〕，∴f 〔-1〕32=， 应选：D ．【点睛】此题考察函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象解析式确实定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．7.()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.假设(1)2f =，那么(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=〔〕A.50-B.0C.2D.50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．8.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C 【解析】分析：写出103152r rr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,那么r 2=所以22552240rr C C =⨯=应选C.点睛：此题主要考察二项式定理，属于根底题。
推荐-长郡中学高三第九次月考数学(理)试题-人教版[全套] 精品
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长郡中学高三第九次月考 数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知集合｝πθθθ<<===o y x y x M ,sin ,cos |),{(，｝）＝｛（R x y y x N ∈=,1|,，则M ⋂N 等于（ ） A 、)}0,1{( B 、}10|{<<x xC 、)}1,0{(D 、Φ2、把曲线14:221=+y m x C 按向量)1,1(-=a 平移后得曲线2C ，曲线2C 有一条准线方程为y ＝2，则曲线C 1的焦点坐标为（ ）A 、)0,4(±B 、)4,0(±C 、)0,34(±D 、)34,0(±3、定义复数的一种运算，2||||2121z z z z +=*（等式右边|||,|21z z 分别表示通常意义下复数21,z z 的模）若复数bi a z +=，且a 、b 满足a+b ＝3，则z z *最小值为（ ）A 、29 B 、223 C 、23 D 、49 4、若函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线6π-=x 对称，则函数x x a y 2cos 2sin +=的图象关于下列不对称的点是（ ）A 、)0,3(π-B 、)0,6(πC 、)0,32(π D 、)0,12(π5、函数,)(x e x f x ⋅=-则（ ） A 、仅有极小值e21B 、仅有极大值e21C 、有极小值O ，极大值e21D 、有极小值O ，极大值e 26、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0 0 11)(2x x a x xxx f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则实数a 的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、21 D 、不存在7、已知)0()(8<-a xax 展开式中的常数项为1120，则这个展开式中各项的系数和为（ ）A 、83-B 、82-C 、83D 、828、用4种不同颜色给正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色，则共有涂色方法（ ）A 、12种B 、14种C 、96种D 、48种9、已知)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f 设}1)( |{},3)(|{-<=<+=x f x Q t x f x p 若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围（ ）A 、0<tB 、0≥tC 、3-<tD 、3-≥t 10、如图，在长方体ABCD-A1B 1C 1D 1中， AA 1＝1，点E 、F 分别在棱A 1D 1，AB 上，且线段EF 的长恒等于2，则EF 的中点P 的轨迹是（ ）A 、圆的一部分B 、椭圆一部分C 、球面的一部分D 、抛物线一部分二、填空题（每小题4分，共20分）11、在ΔABC 中，若A A c b B B c a sin )cos (sin )cos (-=-，则这个三角形形状是 ；12、已知点P )233,25(是椭圆192522=+y x 上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点Q 在F 1P 上，且||||2PF PQ =，则Q 点坐标为 ；13、已知x 1是方程，200610=⋅x x 的根，x 2是方程2006lg =x x 的根，则x 1x 2＝ ； 14、若不等式3)1(log 1211212+->-+a x x a 对任意),0(+∞∈x 恒成立，则实数a 取值范围是 ；15、由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列 ,81,41,21中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为71，则此子数列的通项公式为 。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A.2B.4C.D.参考答案：【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案解析】D抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线=1的一条渐近线方程为x-y=0，∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D．【思路点拨】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．2. 在等差数列{a n}中，S n为前n项和，，则A.33B.11C. 50D.60参考答案：A由. 故选A.3. 若关于x的不等式的解集为，且函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.参考答案：A略4. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（）A． B． C． D．参考答案：A5. 已知圆经过两点,圆心在轴上,则圆的方程是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.参考答案：D化简复数可得所以虚部为所以选D7. 袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为A．B．C．D．参考答案：D8. 对于下列四个命题p1：?x∈（0，+∞），（）x＜（）xp2：?x∈（0，1），log x＞log xp3：?x∈（0，+∞），（）x＞log xp4：?x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据幂函数的单调性，我们可以判断p1的真假，根据对数函数的单调性，及指数函数的单调性，我们可以判断p2，p3，p4的真假，进而得到答案【解答】解：p1：?x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0，是假命题，原因是当x0∈（0，+∞），幂函数在第一象限为增函数；p2：?x0∈（0，1），log x0＞log x0，是真命题，如；p3：?x∈（0，+∞），（）x＞log x，是假命题，如x=时，；p4：?x∈（0，），＜＜1，，是真命题．故选：D．9. 双曲线C的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），抛物线y2=4x与双曲线C的一个交点为P，若（+）?（﹣）=0，则C的离心率为（）A．B．1+C．1+D．2+参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线，运用向量的平方即为模的平方，可得|PF2|=2，由抛物线的定义，可得P的横坐标，可得P的坐标，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，设P（m，n），若（+）?（﹣）=0，则2﹣2=0，由F1（﹣1，0），F2（1，0），可得|F1F2|=2，即有|PF2|=2，由抛物线的定义可得x P+1=2，即有x P=1，可得P（1，±2），由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=﹣=2﹣2，可得双曲线的a=﹣1，c=1，可得e==1+．故选：B．10. 若x，y满足约束条件，设x2+y2+4x的最大值点为A，则经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为（）A．3x﹣5y﹣9=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．5x﹣3y+9=0参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据目标函数z求出最优解，写出直线AB的方程即可．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；则z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2﹣4，表示平面区域（阴影部分）内的点P（x，y）到点C（﹣2，0）的距离的平方减去4，所以它的最大值点为A，由解得A（3，0），所以经过点A和B（﹣2，﹣3）的直线方程为=，化为一般形式为3x﹣5y﹣9=0．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题“若x>y，则x2>y2-1”的否命题是。
高三长郡联考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f'(2) = 4，则a + b + c = （）A. 3B. 5C. 7D. 92. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 1)B. y = 1/xC. y = log2(x + 1)D. y = x^23. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S5 = 20，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2nB. an = 3n - 1C. an = 4n - 3D. an = 5n - 44. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z的取值范围是（）A. 以点(0, 2)为圆心，3为半径的圆B. 以点(0, -2)为圆心，3为半径的圆C. 以点(2, 0)为圆心，3为半径的圆D. 以点(-2, 0)为圆心，3为半径的圆5. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项与第15项的和为（）A. 70B. 72C. 74D. 766. 若直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，则直线l在平面直角坐标系中的斜率为（）A. 2/3B. -3/2C. 3/2D. -2/37. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 10，则角A的正弦值为（）A. 2/5B. 3/5C. 4/5D. 5/58. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 2]上单调递增，则函数f(x)的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/510. 若等比数列{an}的首项为2，公比为1/2，则第5项与第8项的比值为（）A. 1/16B. 1/8C. 1/4D. 1/2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
2024届湖南省名校高三数学上学期9月大联考试卷附答案解析
2024届湖南省名校高三数学上学期9月大联考试卷2023.9（试卷满分150分，考试120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}N 24U x x =∈-<<，集合{}0,1A =，则U A =ð（）A ．{}1,0,2,3-B ．{}1,2,3-C ．{}2,3D ．{}0,12．已知向量()()2,0,1,1m n ==，则（）A．m n = B ．//m nu r rC ．m n⊥D．()m n n -⊥3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为3y x =，则=a （）A ．33B ．13C ．3D ．34．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点(),x y ：x 5 6.5788.5y98643若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为 1.8y x a=-+，则据此计算残差为0的样本点是（）A ．()5,9B ．()6.5,8C ．()7,6D ．()8,45．已知0.240.4log 2,log 0.2,0.4a b c ===，则（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．<<b c aD ．<<c a b6．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱1DD 和线段1BC 上的动点，则满足与1DD 垂直的直线MN （）A ．有且仅有1条B ．有且仅有2条C ．有且仅有3条D ．有无数条7．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q ≠-”是“对任意的*n ∈N ，n S ，2n n S S -，32n n S S -构成等比数列的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件8．已知π3sin cos 63αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．79C ．13-D ．13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．图①是某大型游乐场的游客人数x （万人）与收支差额y （万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（）A ．图①中点A 的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B ．图①中点B 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡C ．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D ．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用10．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的奇函数，()g x 是()f x 的导函数，则（）A ．()()f f x 为奇函数B ．()()g g x 为偶函数C ．()()f g x 为奇函数D ．()()g f x 为偶函数11．已知数据129,,,x x x ⋅⋅⋅成公差大于0的等差数列，若去掉数据5x ，则（）A ．极差不变B ．第25百分位数变大C ．平均数不变D ．方差变小12．已知函数()()sin sin2R f x x a x a =+∈，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =的图象关于点()π,0对称C ．若()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则1122a -≤≤D ．当12a =时，()()121233,R,4x x f x f x ∀∈-≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知复数()i R z a a =+∈满足2z z ⋅=，则a 的值为.14．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将,,,,A B C D E 共5名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱至少要安排2人，问天实验舱与梦天实验舱都至少要安排1人，则不同的安排方案共有种.（用数字作答）15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具.如图为一个正四棱台型米斗，高为4dm ，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为5dm 的球O 的球面上，一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的体积为3dm .16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，经过2F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，O 为坐标原点，且()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅==，则椭圆C 的离心率为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos sin 0b A a B -=.(1)求角A 的大小；(2)若15,10b c ==，角A 的平分线交BC 于M ，求AM 的长.18．如图所示，在多面体111A B D DCBA 中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1A ，D ，E 的平面交1CD 于点F ．(1)证明：1//EF B C ．(2)求二面角1E DF B --的余弦值．19．已知数列{}n a 满足22*122ππ2,1,1sin 2cos ,22n nn n a a a a n +⎛⎫===++∈ ⎪⎝⎭N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足221nn n a c a -=，求证：123n c c c ++⋅⋅⋅+<.20．某中学为了解学生课外玩网络游戏（俗称“网游”）的情况，使调查结果尽量真实可靠，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：一个袋子中装有6个大小相同的小球，其中2个黑球，4个红球，所有学生从袋子中有放回地随机摸球两次，每次摸出一球，约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”.方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“√”，否则画“×”.方式②：若你课外玩网游，则在问卷中画“√”，否则画“×”.当所有学生完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例，用频率估计概率.(1)若高一某班有45名学生，用X 表示其中按方式①回答问卷的人数，求X 的数学期望.(2)若所有调查问卷中，画“√”与画“×”的比例为1∶2，试用所学概率知识求该中学高一年级学生课外玩网游的估计值.（估计值100%=⨯玩网游的学生人数高一所有学生人数）21．已知函数()sin cos ππe e ,22x xf x x =+-<<.(1)求证：()()4f x f x +->；(2)求函数()f x 的极值.22．已知动圆P 过定点()1,0M ，且在y 轴上截得的弦长为2，记动圆圆心P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知正方形ABCD 有三个顶点在曲线E 上，求该正方形面积的最小值.1．C【分析】根据补集的概念即可求解.【详解】依题意，全集{}0,1,2,3U =，而{}0,1A =，所以{}2,3U A =ð.故选：C.2．D【分析】根据向量的模，向量平行、垂直的性质以及向量的数量积坐标表示，对各个选项逐个运算检验即可.【详解】由()()()2,0,1,1,1,1m n m n ==-=-.对于A ，222,112m n ==+= ，故A 错误；对于B ，由2101⨯≠⨯，得//m n不成立，故B 错误；对于C ，由210120m n ⋅=⨯+⨯=≠ ，得m n ⊥不成立，故C 错误；对于D ，若()m n n -⊥，则()11110⨯+-⨯=，符合，故D 正确，故选：D.3．A【分析】根据双曲线的渐近线方程即可计算.【详解】由题设知，13a =，解得33a =.故选:A.4．C【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得 1.818.6y x =-+，再根据残差的定义可判断.【详解】解：由题意可知，5 6.578.5875x ++++==，9864365y ++++==，所以回归方程的样本中心点为(7,6)，因此有 6 1.8718.6aa =-⨯+⇒=，所以 1.818.6y x =-+，在收集的5个样本点中，(7,6)一点在 1.818.6y x =-+上，故计算残差为0的样本点是(7,6).故选：C.5．A【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解.【详解】因为0.2040.40.41log 2,log 0.2log 0.41,0.40.412a b c ===>==<=，又11550.22110.45322c ⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.故选：A.6．D【分析】过点N 作NE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，当M ，N 高度一样，即MD NE =时，一定有1DD MN ⊥，进而求解.【详解】过点N 作NE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，当M ，N 高度一样，即MD NE =时，一定有1DD MN ⊥，理由如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，1////NE CC MD ，所以四边形MDEN 为平行四边形，所以//MN DE ，因为1DD ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，所以1DD DE ⊥，即1DD MN ⊥.所以当M ，N 高度一样，即MD NE =时，一定有1DD MN ⊥，此时满足条件的直线MN 有无数条.故选：D.7．C【分析】利用等比数列的性质进行分析运算即可得出结果.【详解】先证明：若1q ≠-，则对任意的*n ∈N ，n S ，2n n S S -，32n n S S -构成等比数列.若1q ≠-，则12n n S a a a =+++ ，2122n n n n n S S a a a ++-=+++ 12n n n n a q a q a q =+++ 12()n n a a a q =+++ ，3221223n n n n n S S a a a ++-=+++ 22212n n n n a q a q a q =+++ 212()n n a a a q =+++ ，可得对任意的*n ∈N ，n S ，2n n S S -，32n n S S -构成等比数列，公比为n q .再证明：若对任意的*n ∈N ，n S ，2n n S S -，32n n S S -构成等比数列，则1q ≠-.若1q =-，则n 为偶数时，0n S =，此时n S ，2n n S S -，32n n S S -不能构成等比数列，与已知矛盾，故1q ≠-成立.故选：C.8．B【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式、二倍角公式求解即可.【详解】因为πππsin cos sin cos cos sin sin666ααααα⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭33π3sin cos 3sin 2263ααα⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2πππ7cos 2cos 212sin 3669ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.9．ABD【分析】根据一次函数图象，结合实际场景理解描述实际意义即可.【详解】A ：图①中A 的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；B ：图①中B 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；C ：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；D ：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.故选：ABD 10．ABD【分析】根据题意，得到()g x 为偶函数，再结合函数的奇偶性的定义及判定方法，逐项判定，即可求解【详解】根据题意，可得()()g x f x '=，因为()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，可得()()f x f x ''-=-⎡⎤⎣⎦，即()()f x f x ''--=-，即()()g x g x =-，所以()g x 为偶函数，由()()(())(())f f x f f x f f x -=-=-，即(())f f x 为奇函数，所以A 正确；由()()(())g g x g g x -=，即(())g g x 为偶函数，所以B 正确；由()()()()f g g x x f -=，所以()()f g x 为偶函数，所以C 错误；由()()()()()()g f x g f x g f x -=-=，所以()()g f x 为偶函数，所以D 正确.故选：ABD.11．AC【分析】利用极差、百分位数、平均数、方差的定义分析运算判断即可得解.【详解】解：选项A ，根据极差的定义，原数据的极差为91x x -，去掉5x 后的极差为91x x -，即极差不变，故A 正确；选项B ，原数据的第25百分位数为3x ，去掉5x 后的第25百分位数为()23312x x x +<，即第25百分位数变小，故B 错误；选项C ，原数据的平均数为5x x =，去掉5x 后的平均数为()()1914695811882x x x x x x x x x +=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯=='，即平均数不变，故C 正确；选项D ，则原数据的方差为()()()222215259519s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，去掉5x 后的方差为()()()()()222222152545659518s x x x x x x x x x x ⎡⎤'=-+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，故22s s '<，即方差变大，故D 错误.故选：AC.12．BC【分析】利用正弦函数的单调性、对称性、利用导数判断单调性以及求极值最值的方法和特殊值法分析运算判断即可得解.【详解】选项A ：因为()()()()π=sin πsin 2πsin sin 2f x x a x x a x f x ++++=-+≠，所以π不是()f x 的周期，故A 错误；选项B ：因为()()()()2πsin 2πsin22πsin sin2f x f x x a x x a x-+=-+-++sin sin2sin sin20x a x x a x =--++=，所以()y f x =的图象关于点()π,0对称，故B 正确；选项C ：()cos 2cos2f x x a x =+'.当0a =时，()0f x ¢>在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；当0a >时，()0f x '≥在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，可得1cos212cos 2cos cos x x a x x-≤=-，令()12cos cos g x x x=-，则()22sin 12sin sin 2cos cos x g x x x x x ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()12cos cos g x x x =-在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以，当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()11g x -<<.从而有112a -≤-，即102a <≤；当0a <时，()0f x '≥在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，可得1cos212cos 2cos cos x x a x x-≥=-，从而有112a -≥，即102a -≤<；综上知，1122a -≤≤，故C 正确；选项D ：当12a =时，()()sin sin cos sin 1+cos f x x x x x x =+=，取1π3x =、2π3x =-，则1ππ3133()sin 1cos 133224f x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ3133()sin 1cos 133224f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，此时，()()12333333334424f x f x ⎛⎫-=--=> ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：BC.13．1±【分析】利用共轭复数的定义以及复数的运算性质运算即可得解.【详解】解：因为()i R z a a =+∈，所以i z a =-，∴()()212i i z a a a z +⋅==+=-，所以21a =.∴1a =±.故答案为：1±.14．80【分析】根据计数原理先分类再分步即可计算.【详解】由题意可先分两类，第一类核心舱安排3人，其他两实验舱各安排1人，则有3252C A 10220⋅=⨯=种安排方案；第二类核心舱安排2人，其他两实验舱一个2人，一个1人，则有222532C C A 103260⋅⋅=⨯⨯=种安排方案，故不同的安排方案共有80种.故答案为：80.15．3923【分析】由题意作出正四棱台的对角面，外接球的球心O 为线段BC 的中点，过点D 作DE BC ⊥，并求AD 的长度，计算上下底面面积，最后代入棱台的体积公式即可计算.【详解】由题意，作正四棱台的对角面，如图，AD 为正四棱台上底面正方形对角线，BC 为正四棱台下底面正方形对角线，O 为外接球球心，为线段BC 中点，则5OD OA OB OC ====，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E .因为5,4OD DE ==，所以3OE =，所以正四棱台的的体积()()439218185050333h V s s s s =+⋅+=⨯+⨯+=''.故答案为：3923.16．53##153【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.【详解】因为()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅== ，所以()22302OP OF PF +⋅=，即()()22302OP OF OF OP +⋅-=，所以21OP OF OF c === ，所以12π2F PF ∠=.设2F Q x =，则22PF x =，所以1122,2PF a x QF a x =-=-，由22211||PF PQ QF +=得222(22)(3)(2)a x x a x -+=-，所以3a x =，所以2124,33a PF a PF ==，在12Rt PFF △中，由2221212PF PF F F +=，得22224(2)33a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以53c e a ==.故答案为:53.17．(1)π3(2)63【分析】（1）利用正弦定理和三角函数商数关系式运算即可得解.（2）利用余弦定理、角平分线定理或等面积法运算即可得解.【详解】（1）解：由题意，3cos sin 0b A a B -=，所以3sin cos sin sin 0B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以3cos sin 0A A -=，因为cos 0A ≠，所以tan 3A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）解法一：在ABC 中，由余弦定理得222π151021510cos1753a =+-⨯⨯⋅=，即57a =，所以2227cos 214a cb B ac +-==，所以321sin 14B =.因为A ∠的平分线交BC 于M ，所以23BM AB MC AC ==，所以27BM =，在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，解得63AM =.解法二：如上图，因为=+ ABC ABM ACM S S S ，所以111sin sin sin 222bc BAC c AM BAM b AM MAC ∠⋅=∠⋅∠+，又由（1）知π3BAC ∠=，AM 平分BAC ∠，所以，π6BAM MAC ∠=∠=，且15,10b c ==，所以，13111115101015222222AM AM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯，解得：63AM =.18．(1)证明见解析(2)63【分析】（1）连接1A D ，由正方体的性质得到11//B C A D ，即可得到1//B C 平面1A DE ，根据线面平行的性质证明即可；（2）由（1）知F 为1CD 的中点，设2AB =，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：连接1A D ，由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂平面1A DE ，1B C ⊄平面1A DE ，所以1//B C 平面1A DE ．因为1B C ⊂平面11B CD ，且平面1A DE 平面11B CD EF =，所以1//EF B C ．（2）解：由（1）知F 为1CD 的中点，设2AB =，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,2)E ，(1,2,1)F ，(0,2,0)D ，1(2,0,2)B ．设平面EFD 的法向量为()111,,x n y z = ，因为(0,1,1)EF =- ，(1,0,1)DF = ，所以111100n EF y z n DF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11y =，得(1,1,1)n =- ．设平面1B DF 的法向量为()222,,m x y z = ，因为1(2,2,2)DB =- ，(1,0,1)DF = ，所以12222222200m DB x y z m DF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令21x =，得(1,0,1)m =- ．设二面角1E DF B --为θ，则θ为锐角，26cos cos ,323m n m n m n θ⋅====⨯⋅ ，所以二面角1E DF B --的余弦值为63．19．(1)()()1*2*2,21,1,2;nn n k k a n n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪-=∈⎩N N (2)证明见解析【分析】（1）分别取n 为奇数和偶数时，再利用诱导公式化简递推式，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知212n nn c -=，利用错位相减化简即可得出2332n n S +=-，从而得证.【详解】（1）当()*21n k k =-∈N 时，()2221212121π211sin 2cos π222k k k k k a a a +--⎡⎤--=++=⎢⎥⎣⎦，即21212k k a a +-=，所以数列{}21k a -是首项为2、公比为2的等比数列，因此212k k a -=.当()*2n k k =∈N 时，2222222π2π1sin 2cos 222k k k k k a a a +⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以数列{}2k a 是首项为1、公差为2的等差数列，因此221k a k =-.故数列{}n a 的通项公式为()()1*2*2,21,1,2;nn n k k a n n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪-=∈⎩N N （2）证明：由（1）知，212n nn c -=，记12n S c c c =++⋅⋅⋅+.则21321222n n S -=++⋅⋅⋅+①，231113232122222n n n n S +--=++⋅⋅⋅++②，①－②得123111111111121121422212222222212n n n n n n S -++⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+⋅- ⎪⎝⎭-，化简得2332nn S +=-.故123n c c c ++⋅⋅⋅+<.【点睛】关键点睛：隔项数列求通项，分类讨论n 为奇数和偶数两种情况是关键.考查了数列递推式，诱导公式及数列前n 项和的错位相减法，属于较难题.20．(1)20(2)20%【分析】（1）先根据相互独立事件的概率公式计算每名学生两次摸到的球的颜色不同的概率，再根据题意分析可得方式一回答问卷的人数445,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的期望的公式运算求解.（2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解.【详解】（1）每次摸到黑球的概率113P =，摸到红球的概率223P =，每名学生两次摸到的球的颜色不同的概率31242339P =⨯⨯=.由题意知，高一某班45名学生按方式①回答问卷的人数445,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以X 的数学期望()445209E X =⨯=.（2）记事件A 为“按方式①回答问卷”，事件B 为“按方式②回答问卷”，事件C 为“在问卷中画‘√’号”.由（1）知()49P A =，()()519P B P A =-=，()13P C =，()()()212339P AC P A P C A ==⨯=.由全概率公式，得()()()()()()()P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+，所以()12153339P C B =⨯+⨯，所以()120%5P C B ==.故由调查问卷估计，该中学高一年级学生课外玩网游的估计值是20%.21．(1)证明见解析(2)极大值为222e ，无极小值【分析】（1）利用基本不等式与余弦函数的值域可证；（2）分区间讨论导函数的符号是关键，其中提取sin cos x x ⋅构造函数研究函数()e xp x x=的单调性比较大小从而判断符号，得以研究函数()f x 的单调性，则可求出函数()f x 的极大值.【详解】（1）令()()()sin sin cos e e 2e x x x g x f x f x -=+-=++.由基本不等式，得()cos 22e x g x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.又cos 0x >，所以cos e 1x >，故()()()4g x f x f x =+->；（2）()sin cos e cos e sin x x f x x x =⋅-⋅'，当π02x -<≤时，sin cos sin 0,cos 0,e 0,e 0x x x x ≤>>>，则sin cos e cos e sin 0x x x x ⋅-⋅>，所以()0f x ¢>，当π04x <<时，()sin cos sin cos ee e cos e sin sin cos sin cos x xx x f x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅=⋅- ⎝'⎪⎭，设()e xp x x =，由π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2e 10x x p x x '-=<，所以()e xp x x =在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.由()sin ,cos 0,1x x ∈且()()sin cos e esin cos sin cos sin cos x xx x p x p x x x <⇒>⇒>，又sin cos 0x x >，则()0f x ¢>，当π4x =时，π04f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当ππ42x <<时，()sin ,cos 0,1x x ∈且()()sincos e e sin cos sin cos sin cos x xx x p x p x x x >⇒<⇒<.又sin cos 0x x >，则()0f x '<.综上，()f x '在ππ,24⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒大于0，在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒小于0.则()f x 在ππ,24⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，因此π4x =是()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的唯一极大值点，且()f x 的极大值为22π2e 4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 有极大值，极大值为222e ，无极小值.【点睛】同构函数是解决比较大小问题的一种方法，通过等价变形，比如移项、取对数、同乘以某个因式等等，转化为(())f g x 与(())f h x 的复合函数形式，再利用复合函数的外层函数()f x 单调性，去掉外函数，转化为比较()g x 与()h x 的大小即可.如本题中sin e cos x x ⋅与cos e sin x x ⋅比较大小问题转化为sin e sin x x 与cos e cos xx的同构同型比较大小.22．(1)22y x =；(2)8.【分析】（1）根据给定条件，利用圆的弦长公式列式化简作答.（2）设出抛物线E 上的三点坐标，借助垂直关系的斜率表示及正方形邻边相等探求出正方形面积的函数关系，再利用导数求解最值作答.【详解】（1）设圆心(),P x y ，依题意，2222||1(1)x x y +=-+，化简得22y x =，故曲线E 的方程为22y x =.（2）依题意，不妨令正方形ABCD 的顶点,,A B D 在抛物线E 上，且AB AD ⊥，设抛物线上的三点为222(,),(,),(,)222a b c A a B b D c ，显然直线,AB AD 的斜率均存在且不为0，又由抛物线的对称性不妨设直线AB 的斜率大于0，且点,A B 都不在x 轴下方，结合图形知0c a b ≤≤<，直线AB 的斜率2221(0)22AB b a k m b a b a m -===>+-，2a b m +=，由AB AD ⊥得，2m a c =-+，即2a c m +=-，由||||AB AD =得：22222222()()()()22b a c a b a c a --+-=+-，即222221()1(())m b a m c a m +-+=-⋅，化简得()m b a a c -=-，由22,a b m a c m +=+=-及()m b a a c -=-得()3211m a m m m-=≥+，则正方形ABCD 面积32223222222214()4(1)||()()(1)(22)12(1)2m b a m mS AB b a m m a m m m m +-+==+-=+-==+++，令()121t m m m=++≥，则284,()4(612)t S f t t t t ≥==-+-，于是()()2281(2)0t t S f t t+-=='>'，函数()S f t =在[)4,+∞上单调递增，所以当4t =，即1m =时，该正方形的面积S 的最小值为8.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。
湖南省长沙市高三数学上学期9月月考试题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某市2018届高三数学上学期9月月考试题理（含解析）(考试X围：高考全部内容(除选考部分))得分：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集U＝R，集合A＝{x|1〈x〈4}，集合B＝{x|2≤x〈5}，则A∩(瘙綂U B)＝(B)(A){x|1≤x〈2} (B){x|1〈x〈2}(C){x|x〈2} (D){x|x≥5}【解析】瘙綂U B＝{x|x〈2或x≥5}，故A∩(瘙 綂U B )＝{x |1〈x 〈2}，故选B. (2)若a 〉b 〉0，c ＜d ＜0，则一定有(B) (A)a d 〉b c (B)a d 〈b c (C)a c 〉b d (D)a c 〈b d【解析】∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0，而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴ad＜bc，故选B. (3)一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为(C)(A)48 cm 2(B)144 cm 2(C)80 cm 2(D)64 cm 2【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5 cm ，底面边长是8 cm ，侧面积为12×4×8×5＝80(cm 2).故选C.(4)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题(D)(A)与原命题同为假命题 (B)与原命题的否命题同为假命题 (C)与原命题的逆否命题同为假命题 (D)与原命题同为真命题【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题.故选D.(5)函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是(D)【解析】由已知，函数为偶函数，所以C 错；函数的定义域为R ，所以B 错；令x ＝0，f (0)＝ln 2≠0，所以A 错；故选D.(6)设函数f (x )＝{ 21－x，x ≤1，1－log 2x ，x 〉1，则满足f (x )≤2的x 的取值X 围是(C)(A)[－1,2] (B)[0,2] (C)[0，＋∞) (D)[1，＋∞) 【解析】当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x 〉1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x 〉1，所以x 〉1.故x 的取值X 围是[0，＋∞).故选C.(7)m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】当m 〈－2时，m －5〈0，m 2－m －6＝(m －3)(m ＋2)〉0，所以此方程表示焦点在y 轴上的双曲线；反之，若此方程表示双曲线，则m 〈－2不成立.如m ＝4也表示双曲线.所以m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件.(8)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为(C) (A)n ＋12(n ＋2) (B)34－n ＋12(n ＋2)(C)34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2 (D)32－1n ＋1＋1n ＋2 【解析】∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.(9)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin B sin A ＝1－cos Bcos A ，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0〈θ〈π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是(A)(A)2＋534 (B)1＋534 (C)3 (D)2＋52【解析】由已知得sin(A ＋B )＝sin AsinC ＝sin A c ＝a ，又b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB 2＝5－4cos θ，S OACB ＝12×1×2sin θ＋34AB 2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534≤2＋534，选A. (10)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P 、Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R .若BQ ·CP ＝－2，则λ＝(A)(A)13 (B)23 (C)43(D)2 【解析】以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴的正方向，AC 为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，BQ ＝(－2,1－λ)，CP ＝(2λ，－1)，∵BQ ·CP ＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝13，故选A.(11)已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下依次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则有|AB |·|CD |(A)(A)等于1 (B)最小值是1 (C)等于4 (D)最大值是4【解析】设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据线定义得|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A. (12)已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值X 围是(D)(A)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 (B)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ (C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 (D)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12【解析】方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的根f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的根y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个不同的交点，当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，∴f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ∈[0，1]，1x ＋1－1，x ∈(－1，0).在同一坐标系内作出y ＝f (x )，x ∈(－1,1]与y ＝m (x ＋1)的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个不同公共点时，m 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)设{a n }是由正数．．组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则其公比q 等于 12.【解析】∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q 〉0，且a 23＝1，即a 3＝1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴q ＝12.(14)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 公里处.【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x .费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立.(15)已知函数f (x )＝x 2－x ，x ，y 满足条件⎩⎨⎧f (x )≤f (y )，0≤y ≤12，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，则a 的取值X 围是 (－1,1) .【解析】由已知得⎩⎨⎧x 2－x ≤y 2－y ，0≤y ≤12，即⎩⎨⎧(x －y )(x ＋y －1)≤0，0≤y ≤12，目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，即y ＝－ax ＋z 在过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时在y 轴的截距最大，如图，知所求a 的取值X 围是(－1,1). (16)给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i 〈j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示.①若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；②若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .【解析】①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5. ②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1〈a 2〈a 3〈…〈a m ，则a 1＋a 2〈a 1＋a 3〈…〈a 1＋a m 〈a 2＋a m 〈…〈a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j 〉m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第(17)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)，(23)题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分. (17)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，f (x )的最大值是2.(Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1013，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，求cos 2α的值.【解析】(Ⅰ)由已知有：⎩⎨⎧a sin 2π3＋b cos 2π3＝1，a 2＋b 2＝2，解之得：{ a ＝3，b ＝1.3分(Ⅱ) 由(Ⅰ)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，5分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，7分 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1013，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－1213×12＋513×32＝53－1226.12分(18)(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2，M 为CD 边的中点，沿BM 将△CBM 折起使得平面BMC ⊥平面ABMD .(Ⅰ)求证：平面AMC ⊥平面BMC ； (Ⅱ)求四棱锥C －ADMB 的体积；(Ⅲ)求折后直线AB 与平面ADC 所成的角的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵ 平面BMC ⊥平面ABMD ，平面BMC ∩平面ABMD ＝MB ， 由题易知AM ⊥MB ，且AM 平面ABMD ，∴AM ⊥平面BMC ， 而AM平面AMC ，∴平面AMC ⊥平面BMC . 3分(Ⅱ)由已知有△CMB 是正三角形，取MB 的中点O ， 则CO ⊥MB . 又平面BMC ⊥平面ABMD 于MB ， 则CO ⊥平面ABMD ，且CO ＝32，5分 易求得S 梯形ABMD ＝334，∴V C －ABDM ＝13×334×32＝38.7分(Ⅲ)作Mz ∥CO ，由(Ⅰ)知可如图建系，则A (3，0,0)，B (0,1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，AB ＝(－3，1,0).又MD ＝12BA 得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，CA ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，－12，－32，CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，－32.9分 设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ＝3x －12y －32z ＝0，n ·CD ＝32x －y －32z ＝0，得n ＝(1，－3，3).设折后直线AB 与平面ADC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB ||n ||AB |＝3913.12分(19)(本小题满分12分)一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络围棋快棋比赛.每比赛一局商家要向每名棋手支付2 000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利14 000元.从两名棋手以往的比赛中得知： 甲每局获胜的概率为35，乙每局获胜的概率为25，两名棋手约定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5 000元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发2 500元.(Ⅰ)求下完五局且甲获胜的概率是多少？(Ⅱ)商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少？ 【解析】(Ⅰ)设下完五局且甲获胜为事件A ，则5局的胜负依次为： 乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜.P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353·⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝1083 125.4分 (Ⅱ) 设ξ表示比赛的局数，η表示商家相应的的收益. 则η＝(14 000－2×2 000)ξ－5 000＝10 000ξ－5 000， 根据题意ξ可取2,3,4,5.P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝1325；P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝625； P (ξ＝4)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝78625；P (ξ＝5)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝72625或P (ξ＝5)＝1－[P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)]＝72625.10分 ∴Eξ＝2×1325＋3×625＋4×78625＋5×72625＝1 772625，Eη＝10 000Eξ－5 000＝28 352－5 000＝23 352.商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是23 352元. 12分或单设ξ为收益，可取15 000,25 000,35 000,45 000.相应的概率与上同，再求Eξ. (20)(本小题满分12分)已知抛物线的方程x 2＝2y ，F 是其焦点，O 是坐标原点，由点P (m ，－3)(m 可为任何实数)向抛物线作两条切线，切点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(Ⅰ)求证：OA ·OB ＝3；(Ⅱ)证明直线AB 过定点并求△ABO 与△AFO 面积之和的最小值.【解析】(Ⅰ)由y ＝x 22得y ′＝x ，设由点P (m ，－3)向抛物线作切线的切点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x 22， 则切线的斜率等于点P 与切点连线的斜率，即：x ＝x 22－(－3)x －m，2分得x 2－2mx －6＝0，设切点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－6，故OA ·OB ＝x 1x 2＋x 212·x 222＝－6＋(－6)24＝3.5分另法：设切线方程：y ＋3＝k (x －m )与x 2＝2y 联立得：x 2－kx ＋mk ＋3＝0， 其判别式k 2－4(mk ＋3)＝0，得两条切线的斜率之积k 1k 2＝－12， 切点横坐标x ＝k 2，两切点的横坐标之积x 1x 2＝k 12·k 22＝－6，再后同上. (Ⅱ)设直线AB 的方程为：y ＝kx ＋b ，代入x 2＝2y 整理得：x 2－2kx －2b ＝0，设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－2b ＝－6，即b ＝3， 即直线AB ：y ＝kx ＋3过定点D (0,3).8分 因为x 1x 2＝－6＜0，不妨设x 1〈0〈x 2，S △ABO ＋S △AFO ＝12|OD |(|x 1|＋|x 2|)＋12|OF ||x 1|＝32(x 2－x 1)－14x 1＝32x 2＋212x 2≥232x 2·212x 2＝37， 当且仅当32x 2＝212x 2即x 2＝7时取等号.此时面积之和取最小值37.12分 (21)(本小题满分12分)(Ⅰ)已知函数f (x )＝x (1－x 2)x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求f (x )的最大值；(Ⅱ)已知函数g (x )＝ax ＋bx 2＋c是定义在R 上的奇函数，且当x ＝1时取得极大值1. (ⅰ)求g (x )的表达式；(ⅱ)若x 1＝12，x n ＋1＝g (x n )，n ∈N ＋，求证：(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310.【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝(1－3x 2)(x 2＋1)－2x (x －x 3)(x 2＋1)2＝1－4x 2－x 4(x 2＋1)2＝5－(x 2＋2)2(x 2＋1)2.易知当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，恒有f ′(x )〈0，∴f max (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝310.3分(Ⅱ)(ⅰ)由已知有g (0)＝0b ＝0，则g (x )＝axx 2＋c，g ′(x )＝a (x 2＋c )－2ax 2(x 2＋c )2＝ac －ax 2(x 2＋c )2，∵当x ＝1时g (x )取得极大值1，则g ′(1)＝0a (c －1)＝0，又a ≠0(否则有g (x )＝0，不合题意，则c ＝1. 而g (1)＝a1＋1＝1a ＝2，则g (x )＝2xx 2＋1.7分 (ⅱ)由x 1＝12及x n ＋1＝g (x n )＝2x nx 2n ＋1易知x n 〉0x n ＋1＝2x n x 2n ＋1＝2x n ＋1x n≤1x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≥0{x n }是满足x n ＋1≥x n 且x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，n ∈N ＋， 则由(Ⅰ)知x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≤310，9分∴(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1＝(x n ＋1－x n )(x n ＋1－x n )x n x n ＋1≤310·(x n ＋1－x n )x n x n ＋1＝310⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1x n ＋1，∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋1x 2－1x 3＋…＋1x n －1x n ＋1＝310⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x n ＋1， 而x 1＝12且x n ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则1x 1－1x n ＋1∈[0,1]， ∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x n ＋1≤310得证.12分(二)选做题：共10分.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{ x ＝a cos α，y ＝sin α(α为参数，a ∈R 且a 〉1)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3.(Ⅰ)若曲线C 上存在点P 其极坐标(ρ，θ)满足2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3，求a 的取值X 围；(Ⅱ)设M 是曲线C 上的动点，当a ＝3时，求点M 到直线l 的的距离的最小值.【解析】(Ⅰ)曲线C 的方程可化为：x 2a2＋y 2＝1(a 〉1)，直线l 的方程化为直角坐标方程是：x －y ＋3＝0，2分 据题意直线l 与曲线C 有公共点，联立它们的方程并代入整理得：(a 2＋1)x 2＋6a 2x ＋8a 2＝0， 则其判别式Δ＝36a 4－32a 2(a 2＋1)≥0， 解之得：a ≥22，即a ∈[22，＋∞).5分(Ⅱ)设M (3cos α，sin α)，点M 到直线l 的的距离为d ，则d ＝|3cos α－sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋32， d min ＝12＝22.10分 (23)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |，x ∈R ，a ≥1. (Ⅰ)求证：f (x )≥2；(Ⅱ)若f (3)≤5，求a 的取值X 围.【解析】(1)f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|x ＋a －1－x ＋2a |＝|3a －1|， 又a ≥1，所以f (x )≥2；5分 (2)f (3)≤5即|a ＋2|＋|2a －3|≤5，即解：{ a ≤－2，1－3a ≤5或⎩⎨⎧－2〈a ≤32，5－a ≤5或⎩⎨⎧a 〉32，3a －1≤5，解之得：0≤a ≤2，又a ≥1，故所求的a 的取值X 围是[1,2].10分选择题答题卡。
2025届长沙市高三数学上学期9月检测考试卷附答案解析
2025届长沙市高三数学上学期9月检测考试卷时量：120分钟总分：150分2024.09一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{||1}A x x =<∣,集合{B x y ==∣,则A B = （）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(1,)+∞2．已知复数z 满足i 12i z =-+,则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A B +有8个样本点，则()P AB =（）A ．23B ．12C ．13D ．164．己知等差数列{}n a 的前5项和535S =,且满足5113a a =,则等差数列{}n a 的公差为（）A ．3-B ．1-C ．1D ．35．已知51(2)my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为80，则m 的值为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．16．如图，正方形ABCD 中，2,DE EC P = 是线段BE 上的动点，且(0,0)AP x AB y AD x y =+>>,则11x y+的最小值为（）A ．B ．C ．4233+D ．47．设0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-,则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>8．已知1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan2αβαβπαβαβαβ⎛⎫ ⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭，则cos(44)αβ+=（）A ．7981-B ．7981C ．4981-D ．4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+,则下列说法正确的是（）A ．地震释放的能量为15.310焦耳时，地震里氏震级约为七级B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为(1,2,,9,10)n n = ,地震释放的能量为an ,则数列{}an 是等比数列10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①120PF PF ⋅=;②1260F F P ∠=︒；③PO 平分12F PF ∠;④点P 关于原点对称的点为Q ,且12||PQ F F =,能使双曲线C的离心率为1+）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，ABCD 是底面直径为2高为1的圆柱1OO 的轴截面，四边形1OO DA 绕1OO 逆时针旋转(0)θθπ≤≤到111OO D A ,则（）A ．圆柱1OO 的侧面积为4πB ．当0θπ<<时，11DD AC ⊥C ．当3πθ=时，异面直线1A D 与1OO 所成的角为4πD ．1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数()sin ()f x x ωω=∈R 在7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，且3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足,AC BC OAC ⊥△和OBC △的重心分别为,,P Q ABC △的外心为R ,记直线,,OP OQ OR 的斜率为123,,k k k ,若1238k k k =-，则双曲线E 的离心率为___________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =-++∈R ．（1）若1a =,求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）16．（15分）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，四边形11CC D D 为矩形，平面11CC D D ⊥平面,ABCD E 为线段1CD 的中点，且BE CE =．（1）求证：AD ⊥平面11BB D D ;（2）若4,2AB AD ==,直线1A E 与平面11BB D D 所成角的正弦值为155，求二面角1D AB D --的余弦值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中60a ≤．认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值0.10α=的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,(2,3)F F A 为椭圆C 上一点，且到12,F F 的距离之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段AB （不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于点M ,N ,若2||||||MN AQ BQ ⋅为常数，求AQM △与AQN △面积的比值．19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为(2,3,4,)n n = 阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a ++++= ；②1231n a a a a ++++= ．（1）若某()*2k k ∈N 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项n a （12n k ≤≤,用k ,n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+,用k ,n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ,若存在{1,2,3,,}m n ∈ ,使12m S =,试问：数列{}(1,2,3,,)i S i n = 能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣，故{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣．故选C ．2．D【解析】212i (12i)ii 12i 2i 2i i i z z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选D 3．D【解析】根据概率公式计算可得614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==；由概率的加法公式可知()()()()P A B P A P B P AB +=+-,代入计算可得1()6P AB =故选：D 4．D【解析】5151151035;413S a d a a d a =+==+=,解得13,1d a ==,故选D 5．A 【解析】55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在51(2)x y x-的展开式中，由155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅,令424r r -=⎧⎨=⎩，得r 无解，即51(2)x y x -的展开式没有24x y 的项；在5(2)my x y -的展开式中，由555155(2)()(1)2r r r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅,令5214r r -=⎧⎨+=⎩,解得3r =，即5(2)my x y -的展开式中24x y 的项的系数为35335(1)240mC m --⋅=-,又5(2)()x my x y +-的展开式中24x y 的系数为80，所以4080m -=,解得2m =-,故选A ．6．C【解析】正方形ABCD 中，2DE EC = ,则2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=- ,而AP x AB y AD =+ ,则2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又点B,P ,E 共线，于是213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,即13yx +=,而0,0x y >>，因此111144433333y x y x x y x y y x ⎛⎫+⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3x y y x =，即32y ==时取等号，所以当33333,22x y -==时，11x y +取得最小值4233+．故选：C 7．C【解析】记()e 1,(0)xf x x x =--≥．因为()e 1xf x '=-,所以当0x >时，()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()(0)0f x f >=,即1x e x ->,所以0.03e 10.03->．记()ln(1),(0)g x x x x =+-≥．因为1()1011xg x x x-'=-=<++，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()(0)0g x g <=,即ln(1)x x +<,所以ln1.030.03<．所以c b >．记()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+．因为2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()(0)0h x h >=,即ln(1)1x x x +>+,所以0.033ln1.0310.03103>=+．所以b a >,综上所述：c b a >>．故选：C 8．A【解析】1tan 1tan()tan 622tan2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-= ⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭，2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭．2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=，又因为tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，则11cos sin ,sin cos 62αβαβ==,所以2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-．故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当15.310E =时，由题意得15.3lg104.8 1.5M =+,解得7M =,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B:八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=,解得16.8110E =,所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C:六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=,解得13.8210E =,所以16.83113.821010100010E E ===,即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= ,所以 4.81.510n n a +=，所以 4.81.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{}an 是等比数列，故D 正确；故选：ACD 10．AD【解析】③PO 平分12F PF ∠且PO 为中线，可得12PF PF =,点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=可得21,PF c PF ==,所以2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；若选②④：1260F F P ∠=︒，点P 关于原点对称的点为Q ,且12||PQ F F =，可得四边形12FQF P 为矩形，即1212,2PF PF F F c ⊥=可得12,PF c PF ==,所以2c a -=,即离心率为1c e a ===,成立；故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱1OO 的侧面积为2112ππ⨯⨯=，A 错误；对于B,因为0θπ<<，所以11DD D C ⊥,又111DD A D ⊥,所以1DD ⊥平面11A D C ,所以11DD A C ⊥,B 正确；对于C,因为111A D OO ∥,所以11DA D ∠就是异面直线1A D 与1OO 所成的角，因为113DO D π∠=，所以11DO D △为正三角形，所以1111DD A D ==,因为111A D DD ⊥,所以114DA D π∠=，C 正确；对于D,作1D E DC ⊥,垂足为E ,连接1A E ,所以DC ⊥平面11A D E ,所以1A E DC ⊥．在11Rt A D E △中，1A E ==≤=,1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△,所以()1maxA CDS =△,D 错误．故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走BA 路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；②走BC 路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；③走BE 路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；综上，共有()266432⨯++=种检测顺序．故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，32442T nT πππ+=-=，得,21T n n π=∈+Z ，所以2||42n Tπω==+,又函数()sin ()f x x ωω=∈R 在7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，所以7212212T πππ≥-=，即6T π≥，所以||12ω≤，所以，ω的可能取值为2,6,10±±±．当0ω>时，由2222k x k πππωπ-+≤≤+解得22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z ，经检验，2ω=,6,10时不满足题意；当0ω<时，由2222k x k πππωπ-+≤≤+解得22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z ,经检验，2,6ω=--时满足题意．所以，12f π⎛⎫-⎪⎝⎭的可能取值为1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线y kx m =+与双曲线22221x y a b-=有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，联立方程组22221y kx mx y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=,可得22222G H a km x x b a k +=-,则22222G HK xx a kmx b a k +==-，又由(),K K K x y 在直线y kx m =+上，可得22222222K a kmb my m b a k b a k =+=--，所以22K OK K y b k x ka ==，所以22GH OK b k k a ⋅=，即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值22b a ，如图所示，取,AC BC 的中点M ,N ,因为OAC △的重心P 在中线OM 上，OBC △的重心Q 在中线ON 上，所以12,OP OM OQ ON k k k k k k ====,可得22$OM AC ON BC b k k k k a ⋅=⋅=，即2122AC BC b k k k k a ⋅=⋅=，又由AC BC ⊥,可得1AC BC k k ⋅=-，可得22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为AC BC ⊥,且ABC △的外心为，点R ,则R 为线段AB 的中点，可得22OR AB b k k a ⋅=，因为1AB k =，所以22OR b k a =，所以3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以b a =所以ce a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当1a =时，2()ln ,()f x x x x f x =-++的定义域为(0,)+∞,2121()21x x f x x x x -++'=-++=，令()0f x '>,则2210x x --<,解得01x <<,令()0f x '<,则2210x x -->,解得1x >．∴函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．（2）令2()ln 0f x x ax x =-++=,则ln xa x x =-．令ln ()xg x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2221ln ln 1()1x xx x x g x x x ⋅-+-'=-=．令()0g x '>,解得1e x <≤,令()0g x '<,解得11e x ≤<．()g x ∴的单调递减区间为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(1,e],min ()(1)1g x g ∴==．又111e ,(e)e e e e g g ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭,函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，a ∴的取值范围是11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦．16．解：（1）在1BCD △中，E 为线段1CD 的中点，且BE CE =,所以1D E CE BE ==,所以111,2BE CD BCD =△为直角三角形，且190CBD ∠=︒，所以1D B BC ⊥,因为底面ABCD 为平行四边形，AD BC ∥,所以1AD D B ⊥,又因为四边形11CC D D 为矩形，所以1D D DC ⊥,因为平面11CC D D ⊥平面ABCD ,平面11CC D D 平面1,ABCD DC D D =⊂平面11CC D D ,所以1D D ⊥平面ABCD ,因为AD ⊂平面ABCD ,所以1AD D D ⊥,因为11111,,D D D B D D D D B =⊂ 平面11BB D D ,所以AD ⊥平面11BB D D ．（2）因为AD ⊥平面11,BB D D BD ⊂平面11BB D D ,所以AD BD ⊥,由（1）知11,D D AD D D ⊥⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以1D D BD ⊥,所以1,,DA DB DD 两两垂直，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt ADB △中，4,2AB AD ==,所以DB =,设1(0)DD t t =>,则1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),1,,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭,易知平面11BB D D 的一个法向量为(2,0,0)DA =,设直线1A E 与平面11BB D D 所成的角为θ,则11115sin cos ,5||A E DA A E DA A E DA θ⋅====,解得t =,所以11(0,0,(2,0,D AD =-,设平面1ABD 的法向量为(,,)m x y z =则12020AB m x AD m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =，则m = ,易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n = ,则cos ,||||5m n m n m n ⋅===，易知二面角1D AB D --是锐角，故二面角1D AB D --的余弦值为5．17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a 女生4605a-205a-80a-总计602080由题意可得2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a aa a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--，得57.38a >．易知a 为5的倍数，且60a ≤，所以60a =,所以该培训机构学习软笔书法的女生有806020-=（人）．（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24:163:2=，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有310632⨯=+（人），学习行书的有210432⨯=+（人），所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，4312266464444101010C C C C C 151808903(0)(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============，134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======．X 的分布列为：X01234P 114821374351210所以183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）由椭圆的定义得1228AF AF a +==,所以4a =．又(2,3)A 为椭圆C 上一点，所以22491a b+=，将4a =代入，得212b =,所以椭圆C 的标准方程为2211612xy +=．（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以()2,3B --,直线AB 的方程为32y x =．设()()2,311Q t t t -<<,则直线MN 的方程为()32y t k x t -=-,联立得22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，可得()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=,由点Q 在椭圆内，易知0∆>，不妨令()()1122,,,M x y N x y ,则221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++，所以()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x kx x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+．又()2||||131AQ BQ t ⋅==-,所以()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-为常数，则需满足22221612(32)1k t k t +---为常数，（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即221612(32)k k +=-，解得12k =-．将12k =-代入1228(23)43kt k x x k -+=+，可得124x x t +=,得1222x x t +=，所以Q 为MN 的中点，所以||1||AQM AQN S MQ S NQ ==△△．19．解：（1）设等比数列1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 的公比为q ．若1q ≠，则由①得()21122101k k a q a a a q -+++==- ,得1q =-,由②得112a k =或112a k =-．若1q =,由①得，120a k ⋅=,得10a =,不可能．综上所述，1q =-．11(1)2n n a k -∴=-或11(1)2n n a k -=--．（2）设等差数列12321,,,,(1)k a a a a k +≥ 的公差为d ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k d k a a kd +∴++=+=,即120,k k a a d ++=∴=,当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，(1)122k k kd d -∴+=，即1(1)d k k =+，由10k a +=得110(1)a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()*111(1),211(1)(1)n na n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N ．当0d <时，同理可得(1)122k k kd d -+=-，即1(1)d k k =-+．由10k a +=得110(1)a k k k -⋅=+,即111a k =+，()*111(1),211(1)(1)n na n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N ．综上所述，当0d >时，()*1,21(1)n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ,当0d <时，()*1,21(1)n na n n k k k k =-+∈≤++N ．（3）记12,,,n a a a 中非负项和为A ,负项和为B ,则0,1A B A B +=-=,得1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=，即1(1,2,3,,)2k S k n ≤= ．若存在{1,2,3,,}m n ∈ ，使12m S =，由前面的证明过程知：12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ ，且1212m m n a a a +++++=- ．若数列{}(1,2,3,,)i S i n = 为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}(1,2,3,,)i S i n = 的前k 项和为k T ,则12k T ≤．1212m m T S S S ∴=+++≤ ，又1211,02m m S S S S -=∴==== ,12110,2m m a a a a -∴===== ．又1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ ，又1230n S S S S ++++= 与1231n S S S S ++++= 不能同时成立，∴数列{}(1,2,3,,)i S i n = 不为n 阶“曼德拉数列。
湖南省部分学校2024届高三上学期9月联考数学试卷
湖南省部分学校2024届高三上学期9月联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|11A x x =-≤，(){}2lg 2B x y x x ==+-，则A B =I （ ）A ．[)2,1-B ．[)0,1C ．[]0,2D ．(]1,22．复数i43iz =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．425-B ．45-C ．425 D ．453．若0a >，0b >，则“1a b +=”是“14ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的侧面积为（ ） A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π5．某批产品来自A ，B 两条生产线，A 生产线占60%，次品率为5%；B 生产线占40%，次品率为4%，现随机抽取一件进行检测，则抽到次品的概率是（ ） A ．0.029 B ．0.046C ．0.056D ．0.4066．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”2(Pa,1Pa=1N/m )，大气压强(Pa)p 随海拔高度(m)h 的变化规律是10e (0.000126m )kh p p k --==，0p 是海平面大气压强.已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，若12e3p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（参考数据：e 2.71828≈L ，ln3 1.099≈）（ ） A ．550mB ．786mC ．982mD ．1732m7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为B ，C ，以BC 为直径的圆与渐近线交与点A ，连接AB 与另一条渐近线交与点E ，O 为原点，//OE AC ，且2AC =.若BA u u u r 在BC u u u r 上的投影向量为34BC uu ur ，则AO BC ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．4- B．-C ．2- D．8．已知e 1=-a，34=b，2ln πc =，则（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>二、多选题9．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如图，则下列说法正确的是（ ）A ．小兵驿站一周的日收件量的极差为80B ．菜鸟驿站日收件量的中位数为160C ．菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值D ．菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为2212s s ､，则2212s s >10．已知函数()222sin 2cos 2f x x x x =+ ）A ．π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在ππ,812⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的值域为[]22-,D ．π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象关于直线π8x =-对称 11．已知,A B 为抛物线2:2(0)C y px p =>上两点，F 为焦点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，满足12FA FB +=u u u r u u u r ，0FA FB FM ++=ruu r uu r uuu r ，则（ ）A ．抛物线C 的方程为28y x =B ．BF AM ⊥C ．直线()2y k x =-与抛物线C 相交所得弦长最短为D ．若N 是抛物线上任意一点，,R t MN NF t =∈，则t12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()e 1xf x x -=-．则下列结论正确的是（ ）A ．当0x <时，()()e 1xf x x =-+B ．函数()f x 有三个零点C ．若方程()f x m =有三个解，则实数m 的取值范围是223e e m --<<D ．()()1212max ,,2x x f x f x ∀∈-<R三、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71a =-，4227S a =，若将2345,,,a a a a 去掉一项后，剩下三项依次为等比数列{}n b 的前三项，则4b 为．14．已知圆2123:C x y +=关于直线l 对称的圆为圆()()222213:x C y ++-=，则直线l 的方程为.15．第三届中非经贸博览会于2023年6月29日在湖南长沙举行，组委员会准备安排甲，乙等5名工作人员去A ，B ，C ，D 这4所场馆担任服务工作，每个场馆至少安排1人，其中甲，乙不能安排在同一场馆，且乙不能安排到A 场馆，则不同的安排方法种数为． 16．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是4，侧棱长是6，M ，N 分别为1CC ，AB 的中点，若P 是侧面11BCC B 上一点，且//PN 平面1AB M ，则线段PN 的最小值为．四、解答题17．记ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，π2cos 6a C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求A ；(2)设AB 的中点为D ，若CD a =，且1b c -=，求ABC V 的周长．18．正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述．例如，同一种生物体的身长、体重等指标．随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化．为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重．经整理分析后发现，鱼的重量x （单位：kg ）近似服从正态分布()22,x N σ:，如图所示，已知(0.5)0.04,( 1.5)0.26<=≤=P x P x ．(1)若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在[]2.5,3.5内的概率； (2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表．①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在[]2.5,3.5内的条数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条．为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在[]2.5,3.5内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在[]2.5,3.5内的鱼的条数．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，π3ABC ∠=，PA ⊥底面ABCD ，AB PA =，E 是PC 上任一点，AC BD O =I .(1)求证：平面EBD ⊥平面PAC .(2)四棱锥P ABCD -的体积为1V，三棱锥B CED -的体积为2V ，若2114V V =，求直线PB 与平面BED 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的*n ∈N ，都有点(),n n P a S 在直线2310x y -+=上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，P ，Q 分别为左顶点和上顶点，O为坐标原点，FP FPe OFOP +=（e 为椭圆的离心率），OPQ △．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线()()10y k x k =+≠与椭圆交于,A B 两点，过,A B 作直线:2l x =-的垂线，垂足分别为M 、N ，点G 为线段MN 的中点．求证：四边形AGNF 为梯形.22．已知函数()()2e 3R x f x ax a =-+∈，()()2e ln 2xg x x x x =---+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)记函数()f x 的导函数为()f x '，若不等式()()f x g x '≤恒成立，求实数a 的取值范围.。
长郡中学2023届高三9月月考数学试卷
长郡中学2023届高三9月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知全集U =R ,集合{}2,3,4A =,结合{}02,45B =，，，则图中阴影部分表示的集合为A.{}2,4B.{}0C.{}5D.{}0,52.若1a iz i+=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则a = A.-1B.0C.1D.23.已知函数()y f x =的图象在点(3,(3))P f 处的切线方程式27y x =-+，则'(3)(3)f f -=A.-2B.2C.-3D.34.命题p ：“2,240x ax ax ∃∈+-≥R ”为假命题的一个充分不必要条件是 A.40a -<≤B.40a -≤<C.30a -≤≤D.40a -≤≤ 5. 当102x时,4log x a x <, 则a 的取值范围是 A. 20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 2)D.2,2)6. 已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有 3 个零点, 则ω的取值范围是A. 81114,4,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B. 111417,4,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C. 111417,5,333⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 141720,5,333⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1,3,6,10,前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1，4, 8，14, 23，36，54，则该数列的第19项为（注：222(1)(21)126n n n n ++++=……）A. 1624B. 1024C. 1198D.15608. 已知函数312(),,.,(,)f x x ax b a b x x m n =++∈∈R 且满足()()12(),()f x f n f x f m ==, 对任意的[,]x m n ∈恒有()()()f m f x f n , 则当,a b 取不同的值时A. 12n x +与22m x -均为定值B. 12n x -与22m x +均为定值C. 12n x -与22m x -均为定值D. 12n x +与22m x +均为定值二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 已知奇函数()3)cos()(0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可的导函数()y g x =的图象，则下列结论正确的是A.函数()2sin(2)3g x x π=-B.函数()g x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值是310.正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则A. PC BD ⊥B. 四棱锥外接球的表面积为8πC. PA 与底面ABCD 所成的角为60︒D. 当平面α经过侧棱PC 中点时,截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3: 111.已知数列{}n a 满足1222,8,1,,n n n n a n a a a T a n +--⎧===⎨⎩为偶数，为奇数为数列{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的有 A. n 为偶数时, 22(1)n n a -=- B. 229n T n n =-+ C. 992049T =-D. n T 的最大值为 2012.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为'()f x 和'()g x ，若(2)(1)2f x g x +--=，''()(1)f x g x =+，且(1)g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是 A.(1)0g =B.函数'()g x 的图象关于2x =对称C.20221()0k g k ==∑D.20211()()0k f k g k ==∑三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 若22log log 6a b +=, 则a b +的最小值为_____.14. 已知边长为 2 的菱形ABCD 中, 点F 为BD 上一动点, 点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=-, 则 AF EF ⋅的最小值为_____.15. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足117332,2a b a b a ====,则数列{}2(2)nn ab -的前n 项和为_____.16. 已知函数ln (),()ex x xf xg x x ==, 若存在120,x x >∈R , 使得()()120f x g x =<成立,则12x x 的最小值为_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
长郡高三联考数学试卷答案
长郡高三联考数学试卷答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. √4D. 0.1010010001...答案：C2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴是（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = -1答案：A3. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = e^x答案：C4. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是（）A. 位于实轴上B. 位于虚轴上C. 位于第二象限D. 位于第三象限答案：A5. 在三角形ABC中，a=5，b=7，c=8，则sinA + sinB + sinC的值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10=______。
答案：217. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的导数f'(x)=______。
答案：6x^2 - 6x + 48. 若复数z = 3 + 4i，则|z|^2 = ______。
答案：259. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，则向量a·b = ______。
答案：-510. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=3，则前n项和Sn = ______。
答案：n(n+1)/2三、解答题（每题15分，共45分）11. 解下列方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 5 \\3x - 2y = 1\end{cases}\]答案：x = 1, y = 112. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(x)的极值。
答案：f(x)在x=1时取得极大值2，在x=-1时取得极小值-2。
长郡中学高三联考数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$在$x=1$处取得极值，则$a$的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -22. 已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,-1)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $-\frac{3}{5}$D. $-\frac{4}{5}$3. 下列函数中，是奇函数的是（）A. $f(x)=x^2$B. $f(x)=x^3$C. $f(x)=|x|$D. $f(x)=\sqrt{x}$4. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2n}$的值为（）A. $n(a_1+a_{2n})$B. $n(a_1+a_{2n+1})$C. $2n(a_1+a_{2n})$D. $2n(a_1+a_{2n+1})$5. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，则$f(x)$的定义域为（）A. $x\neq 1$B. $x\neq -1$C. $x\neq 1$且$x\neq -1$D. $x\neq 1$或$x\neq -1$6. 下列命题中，正确的是（）A. $x^2+y^2=1$表示一个圆B. $x^2-y^2=1$表示一个双曲线C. $xy=1$表示一条直线D. $x^2+y^2+z^2=1$表示一个球面7. 已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2n}$的值为（）A. $n(a_1+a_{2n})$B. $n(a_1+a_{2n+1})$C. $2n(a_1+a_{2n})$D. $2n(a_1+a_{2n+1})$8. 下列函数中，是偶函数的是（）A. $f(x)=x^2$B. $f(x)=x^3$C. $f(x)=|x|$D. $f(x)=\sqrt{x}$9. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，则$f(x)$的值域为（）A. $(-\infty, -1)\cup(1, +\infty)$B. $(-\infty, 1)\cup(1,+\infty)$ C. $(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)$ D. $(-\infty, -1)\cup(1, +\infty)$10. 下列命题中，正确的是（）A. $x^2+y^2=1$表示一个圆B. $x^2-y^2=1$表示一个双曲线C. $xy=1$表示一条直线D. $x^2+y^2+z^2=1$表示一个球面二、填空题（每题5分，共25分）11. 若$a>0$，$b<0$，则$\sqrt{a^2-b^2}$的值为______。
长郡联考数学高三试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：C解析：绝对值表示数与原点的距离，0与原点的距离最小，故选C。
2. 函数f（x）=x²-4x+4的对称轴为（）A. x=2B. x=-2C. y=2D. y=-2答案：A解析：二次函数的对称轴为x=-b/2a，代入得x=2，故选A。
3. 下列命题中，正确的是（）A. 若a>b，则a²>b²B. 若a>b，则a²<b²C. 若a>b，则|a|>|b|D. 若a>b，则|a|<|b|答案：C解析：当a和b为负数时，A、B选项不成立；当a和b都为正数时，C选项不成立；当a和b中有一个为负数时，C选项成立，故选C。
二、填空题4. 函数f（x）=2x²-4x+3的顶点坐标为（）答案：（1，-1）解析：二次函数的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），代入得（1，-1）。
5. 已知等差数列{an}的公差为2，首项为3，求第10项an的值。
答案：21解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入得an=3+(10-1)×2=21。
三、解答题6. 已知函数f（x）=x²-2ax+1，求证：当a≥0时，f（x）≥0。
证明：∵f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1，∴f（x）的最小值为1，∵a≥0，∴f（x）≥0。
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n²-n，求第10项an的值。
解：∵Sn=2n²-n，∴a1=S1=2×1²-1=1，∴an=Sn-Sn-1=2n²-n-(2(n-1)²-(n-1))=4n-3，∴a10=4×10-3=37。
8. 已知函数f（x）=x²+2kx+1，若f（x）的图象关于x=-1对称，求实数k的值。
长郡版数学高三试卷答案
一、选择题1. 答案：C解析：由题意知，函数在定义域内单调递增，且f(1)=0，故选项C正确。
2. 答案：A解析：由题意知，数列{an}为等差数列，且公差d=-2，首项a1=10，故选项A正确。
3. 答案：B解析：由题意知，圆的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=4，圆心坐标为(1,-1)，半径为2，故选项B正确。
4. 答案：D解析：由题意知，数列{an}为等比数列，且公比q=1/2，首项a1=8，故选项D正确。
5. 答案：A解析：由题意知，向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，则a·b=1×2+2×3=8，故选项A正确。
二、填空题6. 答案：x=1或x=-3解析：由题意知，方程x^2-4x+3=0，分解因式得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=-3。
7. 答案：1/3解析：由题意知，数列{an}为等比数列，且公比q=1/2，首项a1=8，故第n项an=a1×q^(n-1)=8×(1/2)^(n-1)，求和得S_n=a1×(1-q^n)/(1-q)=8×(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=16×(1-(1/2)^n)，代入n=6，得S_6=16×(1-(1/2)^6)=16×(1-1/64)=15.75，故an=1/3。
8. 答案：π解析：由题意知，圆的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=4，圆心坐标为(1,-1)，半径为2，故圆的周长为2πr=2π×2=4π，化简得π。
9. 答案：a=1，b=2解析：由题意知，向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，设向量c=(x,y)，则a·c+b·c=0，即1×x+2×y+2×x+3×y=0，化简得3x+5y=0，解得x=-2/3，y=2/3，故向量c=(-2/3,2/3)，代入a·c+b·c=0，得1×(-2/3)+2×(2/3)+2×(-2/3)+3×(2/3)=0，化简得0，故a=1，b=2。
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湖南省长郡中学2018届高三9月联考数学试题（理）命题学校： 长郡中学 命题人： 崔冬林 审题人： 汪洋涛本试卷共 23 题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
） 1.集合{|ln(12)}A x y x ==-，2{|}B x x x =≤，全集U A B =，则()U C A B =（ ）A ．(,0)-∞B ．1(,1]2-C ．1(,0)[,1]2-∞D ．1(,0]2- 22015i ++，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第三象限 D ．第四象限3．“1m >”是“函数2()l o g (1)xfx m x =+≥不存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为 A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 5．40cos 2cos sin xdx x x π+⎰=A ．1)B 1C 1D ．26.下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 7. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）A. 125l n 5+B. 11825ln 3+ C. 425l n 5+ D. 450l n 2+8．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。
现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①()2=f x x ；②()=2xf x ；③()f x ()=l n f x x 。
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 ( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④9．ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为( )A ．85 B ．75C ．65D ．4510．定义在R 上的偶函数()f x 错误！未找到引用源。
满足()(2)f x f x =+错误！未找到引用源。
，当x ∈[3，4]时,错误！未找到引用源。
()2f x x =-错误！未找到引用源。
，则 ( )A ．(sin1)(cos1)f f <B ．(sin)(cos )33f f ππ>C ．11(sin )(cos )22f f <D ．33(sin )(cos )22f f >11.已知点A 是抛物线2:2(0)M y px p =>与圆222:(4)C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ，若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ）A ．2B ．CD 12．已知R λ∈，函数1,0,()lg ,0,x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩2()414g x x x λ=-++，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为A ．2(0,)3B ．12(,)23C ．21(,)52 D ．2(0,)5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积14．已知非零向量,-==，则a 与a b +的夹角,a a b <+>= ． 15.已知,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且23AB AC ∙=，则AD 与BE 的夹角为 .16．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >= 122max{,2}()nn n a a a n N *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S的值为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，且0,sin AD AC BAC ⋅=∠=AB BD ==．（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求cos C ． 18．（本小题满分12分） 设正项数列的前n 项和为成等比数列．（1)求数列的通项公式；(2)设，数列中是否存在正整数对(m,n)，当m ＜n 时使得中的三项成等差数列．若存在，求出m ，n ；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，0DAB 60∠=，2AD =，1AM =，E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：AN //平面MEC ；（Ⅱ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分12分)为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的频率）；①()0.6826P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9544P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9974P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. （2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z .21．(本小题满分12分)已知函数()1t xxf x xe e =-+，其中, 2.71828t R e ∈=L 是自然对数的底数． （Ⅰ）若方程()1f x =无实数根，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 是(0,)+∞内的减函数，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点 P 是曲线C 上的动点，求 P 到直线l 的距离的最小值，并求出 P 点的坐标． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f ．（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >．理科数学参考答案及评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14． 6π15．23π 16． 7254 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）因为AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫=+∠=⎪⎝⎭,所以cos 3BAD =． ······················ 2分 在ABD ∆中，由余弦定理可知，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+- 即28150AD AD -+=,······················· 4分 解之得5AD =或3AD =, 由于AB AD >,所以3AD =． ······· 6分（Ⅱ）在ABD ∆中，由正弦定理可知，sin sin BD ABBAD ADB=,又由cos 3BAD =可知1sin 3BAD = ·············· 8分所以sin sin 3AB BAD ADB BD == ················ 10分因为2ADB DAC C C π∠=∠+∠=+∠，即cos C =········ 12分18．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由341b b q =，得354272q ==， 从而3q =，因此123n n b -=⋅， ··················· 3分又123223361824a a a a b b ++==+=+=， 28a ∴=， 216d a a =-=，故64n a n =-，123n n b -=⋅ ·········· 6分（Ⅱ）14(32)3n n n n c a b n -==⋅-⋅令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯…则12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯… ······· 9分 两式相减得1217(67)321333333(32)322nnn n n T n ---=+⨯+⨯++⨯--⨯=--… 73(67)44n n n T -∴=+，故47(67)3nn n S T n ==+- ··········· 12分19．解：（1）证：连结1AC ，设1AC 与1AC 相交于点E ，连接DE ，则E 为1AC 中点，∵1//BC 平面1ACD ，DE =平面1ACD 平面1ABC ，∴1//DE BC ，∴D 为AB 的中点，又∵ABC ∆是等边三角形，∴CD AB ⊥，（2）因为222115AD A A A D +==，所以1A A AD ⊥， 又1B B BC ⊥，11//B B A A ，所以1A A BC ⊥，又ADBC B =，所以1A A ⊥平面ABC ，设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.则111(1,0,0),((1,2,0)2C A D B -，即1133(,0,),(1,2,3),(2,2,0)2CD CA CB ===，设平面1DAC 的法向量为1111(,,)n x y z =，由11100n CD n CA ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得1111130220x z x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，令11x =，得1(1,1,n =，设平面11ACB 的法向量为2222(,,)n x y z =，由212100n CA n CB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得2222220220x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得2(1,n =-，∴121212cos ,||||n n n n n n ∙<>===.20．解：（1）()(62.867.2)0.80.6826P X P X μσμσ-<≤+=<≤=≥(22)(60.669.4)0.940.9544P X P X μσμσ-<≤+=<≤=<(33)(58.471.6)0.980.9974P X P X μσμσ-<≤+=<≤=<因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06. （ⅰ）由题意可知Y ～(2,0.06)B ，于是()20.060.12E Y =⨯=， （ⅱ）由题意可知Z 的分布列为故21129469462221001001003()0120.1225C C C C E Z C C C =⨯+⨯+⨯==. 21．解：（Ⅰ）由()1f x =得tx xxe e =，即(1)0x t x e-=>，()1f x ∴=无负实根．故有ln 1x t x =-．令ln ()x g x x =，21ln ()xg x x-'=， ········· 2分 由()0g x '>得0x e <<，由()0g x '<得x e >，()g x ∴在(0,)e 上单调递增，()g x 在(,+)e ∞上单调递减．max 1()()g x g e e ∴==，()g x ∴的值域为1(,]e-∞． ·········· 4分要使得方程()1f x =无实数根，则11t e ->，即11t e<-． ······· 5分 （Ⅱ）(1)()+=[1]tx tx x tx t x f x e txe e e tx e -'=-+-，由题设，知对0,()0x f x '∀>≤恒成立．不妨取1x =，有1(1)(1)0ttf e t e -'=+-≤， 而当1t ≥时，(1)0f '>，故1t <． ················· 7分① 当12t ≤，且0x >时，(1)22()=[1](1)2x xtx t x x f x e tx ee e -'+-≤+-． 而当0x >时，有1xe x >+，故2102xx e +-<．所以()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞内单调递减， 故当12t ≤时满足题意． ····· 9分 ② 当112t <<时，1012t <-<，且11t t >-，即1ln 011tt t>--． 令(1)()1t xh x tx e -=+-，则(0)0h =．(1)(1)()(1)(1)1t x t x t h x t t et e t --⎡⎤'=--=--⎢⎥-⎣⎦． 当10ln 11t x t t <<--时，()0h x '>，此时，()(0)0h x h >=， 则当10ln 11t x t t <<--时，()0f x '>，故()f x 在1(0,ln )11t t t--单增， 与题设矛盾，不符合题意，舍去． 所以，当12t ≤时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数． ········· 12分 23．解：解答： 解：（1）∵， ∴x ﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcos θ﹣ρsin θ=1． 即， 即．∵，∴，∴ρcos 2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C 的普通方程为y=x 2． （2）设P （x 0，y 0），，∴P 到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P 点为时，P 到直线的距离最小，最小值为．23．解：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为226x x -++≥，令2,2()224,222,2x x g x x x x x x -≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪≥⎩············· 3分不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ················· 5分（Ⅱ）要证)()(a bf a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立． ····················· 10分。