绝对值_复习课
高三复习数学123_绝对值不等式习题课(有答案)
1.2.3 绝对值不等式习题课一、解答题。
1. 若不等式|x−a|≤3的解集为[−1,5]，则实数a的值为（）A.1B.2C.−1D.−42. 不等式2|x+1|−|x−1|≥2√2的解集是（）A.[34,+∞) B.[−32,32] C.(−∞,34] D.[32,+∞)3. 若存在实数x使|x−a|+|x−1|≤3成立，则实数a的取值范围是（）A.−2≤a<4B.−1<a≤3C.−2≤a≤4D.−1≤a<34. 不等式|log2x|+|log2x22|>|log2x+log2x22|的解集（）A.(1,√2)B.(−∞,1)∪(√2,+∞)C.(12,1) D.(0,1)∪(√2,+∞)5. 若不等式|x+1x|>|a−1|+1对x∈[2,+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(−12,52) B.(−1,3)C.[−12,52] D.(−∞,−1)∪(3,+∞)6. 已知函数f(x)=x|1−x|(x∈R)，则不等式f(x)>14的解集为（）A.(1−√22,1+√22) B.(−∞,1−√22) C.(1+√22,+∞) D.(12,+∞)7. 若不等式|kx−4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=________．8. 在区间(43,3)上，∃x使|logax|<1成立，则实数a的取值范围是________．9. 若关于x的不等式x|x−a|≤1对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围为________．10. 已知x，y∈R，且x2+y2≤1．求证：1≤|x+y|+|3−x+y|≤5．11. 设f(x)=|x−a|，a∈R．当−1≤x≤3时f(x)≤3，求a的取值范围；对任意x∈R，若f(x−a)+f(x+a)≥1−2a恒成立，求实数a的最小值．12. 已知不等式|x−m|<|x|的解集为(1,+∞)．求实数m的值；若不等式a−5x <|1+1x|−|1−mx|<a+2x对x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.2.3 绝对值不等式习题课一、解答题。
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
谢 谢观 看
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大；你的格 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘，就储 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力；没有 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一种选择： 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。所以， 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过太多的 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部分人都 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份不错的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来自不倦 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也只是大 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难，受到什 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉开距离， 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一个，后 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到现在， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良，终有 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你， 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己，才会最 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子，自己决 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
1≤ xR
0
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典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4. 解析：(1)几何意义
所以原不等式的解集为[2,2].
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典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4.
2x, x 1
解析：(2)零点分段,因为 x 1 x 1 2, 1≤ x ≤1，所以原不等式等价于
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
(2)当x (0,1)时，x 1 x 1, f (x) x可化为 ax 1 1,
当x (0,1)时，不等式 1 ax 1 1恒成立，即0 ax 2恒成立，
“分”：0 a 2 恒成立，而x (0,1)时，2 (2,), a (0,2].
2.含两个绝对值不等式的一般解法 零点分段.
3.数学思想 由特殊到一般，数形结合，分类讨论，化归等数学思想.
高三一轮复习
课外作业
（2017全国Ⅰ卷23）已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1.
(1)当a 1时，求不等式f (x) ≥ g(x)的解集； (2)若不等式f (x) ≥ g(x)的解集包含[1,1], 求a取值范围.
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典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .（利用绝对值几何意义求解）
不等式
x a
x a
a0
a0
a0
x a x a x a x a x a x a
x x a或x ax x a或x a x x a或x a
高考数学一轮复习考点知识专题讲解72---绝对值不等式
高考数学一轮复习考点知识专题讲解绝对值不等式考点要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c .知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.(×) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．(×) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．(√) 教材改编题1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为() A ．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案D解析由题意得⎩⎨⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎨⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为______．答案(－∞，4)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．答案R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x ≥1时，2x ＋2≥6，得x ≥2；当－3<x <1时，4≥6，此时没有x 满足条件； 当x ≤－3时，－2x －2≥6，得x ≤－4. 综上，不等式f (x )≥6的解集为 {x |x ≤－4或x ≥2}．(2)f (x )＝|x －a |＋|x ＋3|≥|(x －a )－(x ＋3)|＝|a ＋3|， 当且仅当(x －a )(x ＋3)≤0时，等号成立． 所以f (x )min ＝|a ＋3|>－a ， 当a <－3时，－a －3>－a ，无解； 当a ≥－3时，a ＋3>－a ，解得a >－32，综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.教师备选已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )<4的解集；(2)若不等式f (x )－|a ＋1|<0有解，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∵f (x )<4， ∴⎩⎨⎧－2x <4，x ≤－1或⎩⎨⎧2<4，－1<x ≤1或⎩⎨⎧2x <4，x >1，∴－2<x ≤－1或－1<x ≤1或1<x <2，故不等式的解集为(－2,2)． (2)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴f (x )min ＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号， ∵f (x )－|a ＋1|<0有解， ∴|a ＋1|>f (x )min ＝2， ∴|a ＋1|>2，∴a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1， 故a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象； (2)若f (x ＋a )≥g (x )，求a 的取值范围． 解(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x <－32，4x ＋2，－32≤x <12，4，x ≥12，作出图象，如图所示．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，函数f (x ＋a )的图象即为将函数f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位长度，当a ≤0时，即为将函数f (x )的图象向右平移|a |个单位长度得到f (x ＋a )的图象，此时函数f (x ＋a )的图象始终有部分图象位于函数g (x )的图象下方，无法满足f (x ＋a )≥g (x )，则要满足f (x ＋a )≥g (x )， 需a >0，f (x ＋a )＝|x ＋a －2|，当函数y ＝|x ＋a －2|的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，4时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋a －2＝4， 解得a ＝112或a ＝－52(舍去)， 根据图象可得若f (x ＋a )≥g (x )，则a ≥112，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞.题型二 利用绝对值不等式的性质求最值 例2已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤6；(2)若不等式f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解，求实数a 的取值范围．解(1)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x <－12，x ＋5，－12≤x ≤4，3x －3，x >4，当x <－12时，－3x ＋3≤6，即x ≥－1，∴－1≤x <－12；当－12≤x ≤4时，x ＋5≤6，即x ≤1，∴－12≤x ≤1；当x >4时，3x －3≤6，即x ≤3(舍去)． 综上得f (x )≤6的解集为[－1,1]．(2)f (x )＋|x －4|＝|2x ＋1|＋|2x －8|≥9，⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当－12≤x ≤4时取等号 ∵f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解， ∴a 2－8a >9，(a －9)(a ＋1)>0，a <－1或a >9，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 教师备选已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －k |(其中k ≥2)． (1)若k ＝4，求f (x )＋g (x )<9的解集；(2)∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，求实数k 的值． 解(1)若k ＝4，则f (x )＋g (x )<9，即|x －3|＋|x －4|<9， 即⎩⎨⎧x <3，3－x ＋4－x <9或⎩⎨⎧3≤x ≤4，x －3＋4－x <9或⎩⎨⎧x >4，x －3＋x －4<9，解得－1<x <3或3≤x ≤4或4<x <8， ∴原不等式的解集为{x |－1<x <8}． (2)∵k ≥2，且x ∈[1,2]， ∴x －3<0，x －k ≤0，∴f (x )＝|x －3|＝3－x ，g (x )＝|x －k |＝k －x ， 则∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立， 即∀x ∈[1,2]，x ＋3≥2k 恒成立， ∴4≥2k ，即k ≤2， 又k ≥2，∴k ＝2.思维升华 求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值． 跟踪训练2已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求a 的取值范围． 解(1)由题意得|x ＋1|>|2x －1|， 所以|x ＋1|2>|2x －1|2，整理可得x 2－2x <0，解得0<x <2， 故原不等式的解集为{x |0<x <2}． (2)由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立， 设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，由g (x )的单调性可知，当x ＝12时，g (x )取得最大值，且最大值为1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 教师备选(2020·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，令7－2x ≥4，解得x ≤32；当3<x <4时，1≥4，无解；当x ≥4时，令2x －7≥4，解得x ≥112. 因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32或x ≥112. (2)将题目转化为f (x )≥4恒成立，即f (x )min ≥4.因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，所以(a －1)2≥4，即|a －1|≥2.解得a ≥3或a ≤－1. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2022·白山联考)已知函数f (x )＝|x －2|－a |x ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<x 的解集；(2)当a ＝2时，若关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，求实数m 的取值范围． 解(1)由已知不等式|x －2|－|x ＋1|<x ，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x ≥2时，不等式为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x ≥2；当－1<x <2时，不等式为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x <2； 当x ≤－1时，不等式为2－x <x －x －1，解得x >3，此时无解．综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)由题意，函数f (x )＝|x －2|－2|x ＋1|，可得f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋4，x ≤－1，－3x ，－1<x <2，－x －4，x ≥2，f (x )的图象如图．f (－3)＝1，f (－2)＝2，f (－1)＝3，f (0)＝0，因为关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m ＋1<2，所以0≤m <1，故m 的取值范围为[0,1)．课时精练1．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．解(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1.(2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎨⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ 1<a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ a >2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a >2， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .(1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎨⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不符合题意；当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意．综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1,0)．3．已知函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －3|(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求不等式f (x )＋1>0的解集；(2)已知a >0，若f (x )＋3a >2对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解(1)因为a ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <12，3x －4，12≤x ≤3，x ＋2，x >3，所以不等式f (x )＋1>0等价于 ⎩⎨⎧ x <12，－x －2＋1>0或⎩⎨⎧ 12≤x ≤3，3x －4＋1>0或⎩⎨⎧x >3，x ＋2＋1>0，解得x <－1或x >1.所以不等式f (x )＋1>0的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)因为a >0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －a －3，x <－a 2，3x ＋a －3，－a 2≤x ≤3，x ＋a ＋3，x >3.根据函数的单调性可知函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－3， 因为f (x )＋3a >2恒成立，所以－a 2－3＋3a >2，解得a >2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．4．(2022·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x <2；(2)若存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围． 解(1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1，解不等式f (x )＋x <2化为|2x ＋2|＋1＋x <2，即|2x ＋2|<1－x ，∴x －1<2x ＋2<1－x (x <1)，解得－3<x <－13，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－13. (2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|， 得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，等价于b ≤g (x )max ，由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1，∴b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得上式成立， 而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝139， ∴b ≤139， 即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，139. 5．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数x (x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎨⎧ x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12. 综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3， 当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0时取等号， 因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 所以|a －2|＋|a ＋1|≥6，解得a ≤－52或a ≥72， 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。
高三数学复习课件【绝对值不等式】
两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，
解得x>14，
所以原不等式的解集为xx>14
.
返回
法二：原不等式等价于x<－12， －2x＋1＋2x－1>0
或－12≤x≤1， 2x＋1＋2x－1>0
或x2>x1＋，1－2x－1>0.
解得x>14，所以原不等式的解集为xx>14
.
返回
返回 (2)①当 x<－3 时， 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得 x<10，∴x<－3. ②当－3≤x≤12时， 原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<x2＋1， 解得 x<－25，∴－3≤x<－25. ③当 x>12时， 原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<x2＋1， 解得 x>2，∴x>2. 综上可知，原不等式的解集为x|x<－25或x>2.
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，
f(x)<－1的解集为xx<13或x>5
.
所以|f(x)|>1的解集为xx<13或1<x<3或x>5
.
返回
2．解下列不等式．
(1)|2x＋1|－2|x－1|>0；
(2)|x＋3|－|2x－1|<x2＋1. 解：(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求 a 的取值范围．
人教版七年级上册数学《有理数》说课教学复习课件(绝对值)
1.2 有理数 (1.2.4 绝对值)
人教版 数学（初中） （七年级 上）
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
柳树： 3m 或 +3m ，
电线杆： - 4.8m 。
解： 据题意，不妨规定向东为正，汽车站牌位置为0m ，则树和电
线杆的方向和距离可用正数和负数进行如下表示：
杨树： 7.5m 或 + 7.5m ,
槐树： - 3m ，
柳树： 3m 或 +3m ，
电线杆： - 4.8m 。
回顾总结：
1. 正数和负数的概念。
5.32 , -0.5 , -5/2 , -2/3 , -1/7 , -150.25。
分析：分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时
有限小数和无限循环小数又都可以化为分数。
解：
正整数： 1， 2， 3，
零： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，
负整数： -1 ， -2 ， -3 ，
正分数： 1/2 ， 2/3 ， 15/7 ， 0.1 ， 5.32 ，
好了，同学们，今天经过学习，我们进一步认识了有理数，同时
初步感悟到了分类讨论的思想，并且也体会到有时合理借助图形可使
问题变得更直观。好吧，让我们日有所得，不断进步。
(5)如果数a的绝对值等于a，那么a一定为正数。( ×)
课堂测试
(6)符号相反且绝对值相等的数互为相反数。( √ )
(7)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右。( × ) 或靠左
七年级数学《绝对值》教案【优秀9篇】
七年级数学《绝对值》教案【优秀9篇】学习难点: 篇一绝对值的综合运用绝对值教案篇二绝对值教学目标：通过数轴，使学生理解绝对值的概念及表示方法1、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值及进行有关的简单计算2、通过绝对值概念、意义的探讨，渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法3、通过学生合作交流、探索发现、自主学习的过程，提高分析、解决问题的能力教学重点：理解绝对值的概念、意义，会求一个数的绝对值教学难点：绝对值的概念、意义及应用教学方法：探索自主发现法，启发引导法设计理念：绝对值的意义，在初中阶段是一个难点，要理解绝对值这一抽象概念的途径就是把它具体化，从学生生活周围熟悉的事物入手，借助数轴，使学生理解绝对值的几何意义。
通过“想一想”，“议一议”，“做一做”，“试一试”，“练一练”等，让学生在观察、思考，合作交流中，经历和体验绝对值概念的形成过程，充分发挥学生在教学活动中的主体地位，从而逐步渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法，提高学生分析、解决问题的能力。
教学过程：一、创设情境，复习导入。
今天我们来学习一个重要而很实际的数学概念，提高我们的数学本领，先请大家看屏幕，思考并解答题中的问题。
（用多媒体出示引例）星期天张老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行千米，到了游乐园，下午她又向西行千米，回到家中（学校、游乐园、家在同一直线上），如果规定向东为正，①用有理数表示张老师两次所行的路程；②如果汽车每公里耗油升，计算这天汽车共耗油多少升？① 千米，千米；②()×升。
在学生讨论的基础上，教师指出:这个例子涉及两个问题，第一问中的向东和向西是相反意义的量，用正负数表示，第二问是计算汽车的耗油量，因为汽车的耗油量只与行驶的路程有关，而与行驶的方向没有关系，所以没有负数。
这说明在实际生活中，有些问题中的量，我们并不关注它们所代表的意义，只要知道具体数值就行了。
你还能举出其他类似的例子吗？。
小组讨论，有的同学在思考，有的在交流，有些例子被否定，有的得到同伴的赞许，气氛热烈。
人教版七年级上册数学《绝对值》有理数研讨说课复习课件
总结归纳：不论有理数a取何值，它的绝对值总是 正数或0（非负数），即对任意有理数a，总有
|a|≥0
活动形式：
1、学生独立思考 2、小组讨论 3、小组展示 4、师生共同归纳总结
同类型题检测：学案课堂练习第1题
判断下列说法是否正确.
（1）一个数的绝对值是4 ，则这个数是－4.× （2）|3|＞0. √ （3）|－1.3|＞0.√ （4）有理数的绝对值一定是正数.× （5）若a＝－b，则|a|＝|b|. √ （6）若|a|＝|b|，则a＝b. × （7）若|a|＝－a，则a必为负数. × （8）互为相反数的两个数的绝对值相等. √
课堂总结
比较有理数大小的方法 1.数轴上表示的两个数，左边的数小于右边的数． 2.正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．
七年级上册
绝对值（第1课时）
课件
学习目标
1、理解绝对值的概念及性质. 2、会求一个有理数的绝对值.
学习反馈
自主学习任务完成整体情况反馈（完成率，个性问题和共 性问题，表扬优秀等）
越来越大
-10 -8
0
68
新知小结
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序， 就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
小
大
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
由这个规定可知： -6<-5，-5<-4，-4<-3，-2<0，-1<1，….
典例精析
在数轴上表示数-2，0，-5，3.5，比较它们的大小， 并按照从小到大的顺序用“＜”号连接.
活动形式：1、学生独立思考 2、小组讨论，每一组拍一份答案上传 3、展示小组讨论结果，互评评优，找到问题所在，有针对性的点评讲解
第一讲-数轴与绝对值
课 题第一讲：数轴与绝对值复习教学目标1、理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，会画数轴；、理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，会画数轴；2、会用数轴上的点表示、会用数轴上的点表示有理数有理数，能说出数轴上的点表示的有理数；，能说出数轴上的点表示的有理数；3、利用数轴理解相反数的意义，会求一个数的相反数。
、利用数轴理解相反数的意义，会求一个数的相反数。
4、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值；、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值；5、能熟练运用法则结、能熟练运用法则结合数合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列排列 重点、难点重点重点:1:1:1、理解、理解数轴上的点与有理数之间的关系 2、绝对值的概念和求一个数的绝对值；难点难点:1:1:1、、从数形结合的观点出发认识相反数。
从数形结合的观点出发认识相反数。
2、绝对值的、绝对值的几何意义几何意义及求绝对值等于某一个正数的有理数；及求绝对值等于某一个正数的有理数； 考点及考试要求1、用数轴上的点表示有理数以及有理数的相反数、用数轴上的点表示有理数以及有理数的相反数2、求一个数的绝对值、求一个数的绝对值3、利用数轴比较有理数的大小、利用数轴比较有理数的大小教学内容 知识框架1、数轴的概念及画法2、数轴上的点与有理数之间的关系3、绝对值的几何意义4、 绝对值的代数意义5、 绝对值的性质知识点一： 数的分类1、正数和负数的概念的概念比比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数既不是正数，也不是负数. . 为了突出数的符号，为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略号不能省略. .对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数. .2、有理数的概念及分类及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和正分数；负整数包括负整数和负分数．到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限，因为有限小数小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为以看作是分母为 1 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数的分数. .通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为，即为自然数自然数；负整数和零统称为非正整数.【题型一】例1.把下列各数分别填入相应的把下列各数分别填入相应的集合集合：-3.5 -3.5，，-12，3.23.2，，8.18.1，，0，.1.3，-20%-20%，，5，14，-7-7．． 整整数集：{ { ……}；分数集：分数集：分数集：{ { { ……}； 自然数集：自然数集：自然数集：{ { { ……}； 非负数集：非负数集：非负数集：{ { { ……}； 非正数集：非正数集：非正数集：{ { { ……}．变式1：把下列各数填入相应的数集圈：把下列各数填入相应的数集圈：-2.1 -2.1，，0，-2-2，，15，1010，，-52，+5.8+5.8，，.6.2，50%50%．．变式2：下列既不是正数又不是负数的是（下列既不是正数又不是负数的是（ ）A 、－、－11B 、＋、＋33C 、0.12 D 、0 例2. 下列各数－5,31,71_,0,－212,314,－m(m 是有理数)中，一定是负数的有（）。
绝对值复习课
题型4：绝对值的实际问题
1．工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作 正数，低于标准重量的克数记作负数，现对5个 乒乓球称重情况如下表所示，分析下表，根据绝 对值的定义判断哪个球的重量最接近标准？ 代号
超标 情况
A
B
C
D 0.04
E －0.03
0.01 －0.02 --0.01
2、某车间生产一种机器零件，从中抽取5件进行检查， 比规定直径长的毫米数记为正数，比规定直径短的毫 米数记为负数，，检查结果如下： 指出哪一个零件更符合规定？你能用绝对值的知识说 明你是怎样判断的吗？
绝对值运用
------训练课
揭示目标：
1.掌握绝对值的几何意义（即在数轴上的意义）
2.绝对值的代数意义
3.绝对值的性质 4.绝对值常见题型及解法
题型一：已知一个数的绝对值，求这个数
1、若 x 2 ，则
x ___。
．
|x|=|－4|,则x=_______。 2、若|2x﹣1|=3，则x=
同类训练：
1、绝对值小于2的整数是 ．
2、若|b﹣0.5|=3，则b=
．
题型2：绝对值的化简
1、如果a ＞3 ，则
a 3 ______ 3 a ______
）
2、当1＜a＜2时，代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值（ A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 3、有理数a、b、c在数轴上的位置如图,
化简：
3、若|m－1|=m－1，则m_______1． 若|m－1|>m－1，则m_______1．
4、若2<a<4，化简|2－a|+|a－4|．
5.当a为何值时，式子|a－3|＋6有最小值？ 最小值是多少？ 6.已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0， 求a﹣b的值．
MBA考研数学复习课(绝对值与重点整式公式)
（C）有无穷多个x使y取到最大值
（D）有无穷多个x使y取到最小值
（E）以上选项均不正确
提示：
− 1 − ( + 2) ≤ − 1 + + 2
即 − 1 + + 2 ≥ 3，有最小值3，当且仅当x-1和x+2异号即可取等号
三
角
不
等
式
法
经典例题
例 2 不等式 − 2 + 4 − < 无解。
o
∙
2
x
(3)y= − 2 + + 2
①找零点（端点、临界点）
②分区间讨论
③画出每个区间的函数图像
y
y= −2 + ห้องสมุดไป่ตู้2
= 2
= −2
−2
< −2
= ቐ4
−2≤ ≤2
2
>2
=4
o
-2
2
x
例 1 设 = − 1 + + 2 ,则下列结论正确的是（
）
（A）y没有最小值
> ( > 0),解得x>a或者x<-a
+ < ( > 0)或者 + > (c > 0)可利用整体等效思想来解决
ax+b
x
例如： 2 − 1 ≤ 3 ⟺ −3 ≤ 2 − 1 ≤ 3 ⟺ −2 ≤ 2 ≤ 4 ⟺ −1 ≤ ≤ 2
经典例题
例 3 方程的整数解有5个
主讲老师：
日期：2020.1.15
复习课
绝对值
绝对值函数的图像
绝对值方程、不等式
七年级数学上册人教版绝对值专题(课堂学案及配套作业)(解析版)
期末复习绝对值专题（解析版）第一部分教学案类型一利用绝对值的性质求值例1（2022秋•江岸区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝5．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．思路引领：由题意可知x＝±3，y＝±5，（1）由于x＜y时，有x＝3，y＝5或x＝﹣3，y＝5，代入x+y即可求出答案；（2）由于xy＜0，x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，代入x﹣y即可求出答案．解：由题意知：x＝±3，y＝±5，（1）∵x＜y，∴x＝±3，y＝5，∴x+y＝2或8；（2）∵xy＜0，∴x＝﹣3，y＝5或x＝3，y＝﹣5，∴x﹣y＝±8．总结提升：本题考查有理数的运算，绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型．变式训练1．（2022秋•方城县校级月考）已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若x＞y，求x﹣y的值．思路引领：（1）先求得x＝±3，y＝±7，再根据条件求出x、y即可求解；（2）根据条件求得x、y，进而求解即可．解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7，∴x＝±3，y＝±7，∵x＜y，∴x＝﹣3，y＝7或x＝3，y＝7，当x＝﹣3，y＝7时，x+y＝﹣3+7＝4；当x＝3，y＝7时，x+y＝3+7＝10，∴x+y的值为4或10；（2）∵x＞y，∴x＝﹣3，y＝﹣7或x＝3，y＝﹣7，当x ＝﹣3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝﹣3+7＝4， 当x ＝3，y ＝﹣7时，x ﹣y ＝3+7＝10， ∴x ﹣y 的值为4或10．总结提升：本题考查代数式求值、绝对值的性质，根据题设求得对应的x 、y 是解答的关键．类型二 利用绝对值的性质去绝对值例2 已知a ＜﹣b ，且ab ＞0，化简|a |﹣|b |+|a +b |+|ab |＝ ．思路引领：根据题中的条件判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 解：∵a ＜﹣b ，且ab ＞0，∴a +b ＜0，a ，b 同号，都为负数， 则原式＝﹣a +b ﹣a ﹣b +ab ＝﹣2a +ab ． 故答案为：﹣2a +ab总结提升：此题考查了整式的加减，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．例3（2021秋•渝中区校级期中）已知有理数a ，b ，c 在数轴上面的位置如图所示：化简|a +b |﹣|c ﹣a |+|b ﹣c |＝ ．思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可． 解：由图可知b ＜0＜a ＜c ， 则a +b ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣c ＜0， ∴原式＝﹣a ﹣b ﹣c +a ﹣b +c ＝﹣2b ． 故答案为：﹣2b ．总结提升：本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键． 变式训练1．（2022秋•江岸区期中）如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别为a 、b 、c 、d ，且这四个点满足每相邻的两点之间的距离相等． （1）化简|a ﹣c |﹣|b ﹣a |﹣|b ﹣d |． （2）若|a |＝|c |，b ﹣d ＝﹣4，求a 的值．思路引领：（1）根据数轴得到a＜b＜c＜d，得到a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，根据绝对值的性质和去括号法则计算；（2）根据题意得到B点为原点，即b＝0，根据数轴的概念解答．解：（1）由图可知：a＜b＜c＜d∴a﹣c＜0 b﹣a＞0 b﹣d＜0，∴原式＝﹣（a﹣c）﹣（b﹣a）﹣[﹣（b﹣d）]＝﹣a+c﹣b+a﹣d+b＝c﹣d；（2）∵|a|＝|c|，a＜c，AB＝BC∴B点为原点，∴b＝0，∵b﹣d＝﹣4，∴d＝4，∴a＝﹣2．总结提升：本题考查的是数轴和绝对值，掌握绝对值的性质，数轴的概念是解题的关键．2．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．（1）填空：a﹣c0，b﹣a0，b﹣d0（填“＞“，“＜“或“＝“）；（2）化简：|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|；（3）若|a|＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e的值．思路引领：（1）根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e，再比较即可；（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；（3）先求出b、e的值，再代入求出即可．解：（1）从数轴可知：a＜b＜c＜d＜e，∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，b﹣d＜0，故答案为：＜，＞，＜；（2）原式＝|a﹣c|﹣2|b﹣a|﹣|b﹣d|＝﹣a+c﹣2（b﹣a）﹣（d﹣b）＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b＝a﹣b+c﹣d；（3）|a|＝|e|，∴a、e互为相反数，∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，∴b＝﹣3，e＝6，∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．总结提升：本题考查了数轴，绝对值，相反数和有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出a＜b＜c＜d＜e是解此题的关键．类型三利用绝对值的非负性求值例4（2009秋•新华区校级月考）已知|a+2|+|b﹣3|＝0，求a和b的值．思路引领：直接根据非负数的性质进行解答即可．解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2，b＝3．总结提升：本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的性质得出a+2＝0，b﹣3＝0是解答此题的关键．变式训练1．（2020秋•洪山区校级月考）已知|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，求代数式2a﹣b+c﹣abc的值．思路引领：利用绝对值的代数意义，非负数的性质确定出各自的值，代入原式计算求出值．解：∵|a﹣1|＝3，|b﹣3|与（c+1）2互为相反数，且a＜b，∴a﹣1＝3或a﹣1＝﹣3，|b﹣（c+1）2＝0，解得：a＝4或﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，原式＝2×（﹣2）﹣3+（﹣1）﹣（﹣2）×3×（﹣1）＝﹣14．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型四aa类型问题例5（2022秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|={x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，当x＞0时，x|x|=xx=1，当x＜0时，x|x|=x−x=−1．且当x＞0，y＜0时，xy＜0．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时，a|a|+b|b|=．（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时，a|a|+b|b|=．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值．思路引领：（1）根据“当x＞0时，x|x|=xx=1，当x＜0时，x|x|=x−x=−1”进行计算即可；（2）分三种情况进行解答，即a、b同正，同负，一正一负进行解答即可；（3）由a+b+c＝0可得a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，进而将原式变为−a|a|−b|b|−c|c|，再根据（1）的解法进行计算即可．解：（1）∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴a|a|=a−a=−1，又∵b＞0，∴|b|＝b，∴b|b|=bb=1，∴a|a|+b|b|=0；故答案为：0；（2）当a＞0，b＞0时，a|a|+b|b|=1+1＝2，当a＞0，b＜0时，a|a|+b|b|=1﹣1＝0，当a＜0，b＞0时，a|a|+b|b|=−1+1＝0，当a＜0，b＜0时，a|a|+b|b|=−1﹣1＝﹣2，故答案为：﹣2或0或2；（3）∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∴原式=−a|a|−b|b|−c|c|，又∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a、b、c中有一个负数，两个正数，∴原式=−a |a|−b |b|−c |c|＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1， 答：b+c |a|+a+c |b|+a+b |c|的值为﹣1．总结提升：本题考查绝对值，理解“当x ＞0时，x|x|=x x=1，当x ＜0时，x|x|=x −x=−1”是解决问题的关键． 变式训练1．（2017秋•邛崃市期末）设a +b +c ＝0，abc ＞0，则b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|的值是 ．思路引领：由a +b +c ＝0，abc ＞0，可知a 、b 、c 中二负一正，将b +c ＝﹣a ，c +a ＝﹣b ，a +b ＝﹣c 代入所求代数式，可判断−a |a|，−b |b|，−c |c|中二正一负．解：∵a +b +c ＝0，abc ＞0， ∴a 、b 、c 中二负一正，又b +c ＝﹣a ，c +a ＝﹣b ，a +b ＝﹣c ， ∴b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|=−a |a|+−b |b|+−c |c|，而当a ＞0时，−a |a|=−1，当a ＜0时，−a |a|=1，∴−a |a|，−b |b|，−c |c|的结果中有二个1，一个﹣1，∴b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|的值是1．故答案为：1．总结提升：此题考查的知识点是绝对值，判断a 、b 、c 的符号是解题的关键． 类型五 多绝对值问题例6 （2020秋•恩施市月考）已经知道|x |的几何意义是数轴上数x 所对应的点与原点之间的距离，即|x ﹣0|，也就是说，表示数轴上的数x 与数0之间的距离，这个结论可以推广为，|x 1﹣x 2|表示数x 1与数x 2对应点之间的距离． 例1：已知|x |＝2，求x 的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点表示的数为﹣2和2，所以x 的值为2或者﹣2． 例2：已知|x ﹣1|＝2，求x 的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和﹣1，所以x 的值为3或者﹣1．根据两个例子，求解：（1）|x﹣1|＝5，求x．（2）|x+1|＝5，求x．（3）|x+3|+|x﹣3|＝6，找出所有符合条件的整数x．思路引领：通过对例题的理解，根据数轴的性质，找到在数轴上对应的点，即可求解．解：（1）在数轴上与1对应的点的距离为5的点表示的数为﹣4和6，所以x的值为﹣4或者6；（2）在数轴上与（﹣1）对应的点的距离为5的点表示的数为4和﹣6，所以x的值为4或者﹣6；（3）在数轴上与（﹣3）对应的点的距离加上在数轴上与3对应的点的距离之和为6，因为（﹣3）到3的距离为6，所以x只有在（﹣3）与3之间可以满足表达式，x可以取：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．总结提升：本题主要考查了数轴结合绝对值的应用，绝对值性质在数轴上双向表示方法是解决问题的关键．类型六绝对值最值问题例7（2018秋•雨花区校级月考）同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，试探索：（1）|2﹣（﹣1）|＝；如果|x﹣1|＝2，则x＝．（2）求|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，并求此时x的取值范围；（3）由以上探索已知（|x﹣2|+|x+4|）+（|y﹣1|+|y﹣6|）＝20，则求x+y的最大值与最小值；（4）由以上探索及猜想，计算x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|的最小值．思路引领：（1）根据绝对值的意义直接计算即可；（2）把|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到﹣4和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；（3）先确定x、y的取值范围，再分类讨论．（4）观察已知条件可以发现，|x﹣a|表示x到a的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．解：（1）|2﹣（﹣1）|＝|2+1|＝3，|x﹣1|＝2，x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2x＝3或﹣1故答案为：3，3或﹣1；（2）∵|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到4与2的距离之和，∴当x 在2与4之间的线段上（即2≤x ≤4）时，|x ﹣2|+|x ﹣4|的值有最小值，最小值为4﹣2＝2，此时x 的取值范围为：2≤x ≤4．（3）因为x ﹣2＝0，x +4＝0时，x ＝2或﹣4，y ﹣1＝0，y ﹣6＝0时，y ＝1或6． 当x ＜﹣4时，|x ﹣2|+|x +4|＝2﹣x ﹣x ﹣4＝﹣2x ﹣2；当﹣4≤x ≤2时，|x ﹣2|+|x +4|＝2﹣x +x +4＝6；当x ＞2时，|x ﹣2|+|x +4|＝x ﹣2+x +4＝2x +2；当y ＜1时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝1﹣y +6﹣y ＝﹣2y +7；当1≤y ≤6时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝y ﹣1+6﹣y ＝5；当y ＞6时，|y ﹣1|+|y ﹣6|＝y ﹣1+y ﹣6＝2y ﹣7； 当x ＜﹣4，y ＜1时，x +y 取最小值， 此时（﹣2x ﹣2）+（﹣2y +7）＝20 x +y =−152当x ＞2，y ＞6时，x +y 取最大值， 此时（2x +2）+（2y ﹣7）＝20 x +y =252所以x +y 的最大值是252，最小值是−152．（4）由已知条件可知，|x ﹣a |表示x 到a 的距离，只有当x 到1的距离等于x 到2018的距离时，式子取得最小值． ∴当x =1+20182=1009.5时，式子取得最小值， 此时，|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|+…+|x ﹣2017|+|x ﹣2018|＝|1009.5﹣1|+|1009.5﹣2|+|1009.5﹣3|+…+|1009.5﹣2016|+|1009.5﹣2017|+|1009.5﹣2018| ＝2（1008.5+1007.5+…+2.5+1.5+0.5） ＝2×[0.5×1009+（1+2+3…+1008）] ＝2×（504.5+1008(1+1008)2） ＝1018081．总结提升：本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 变式训练1．（2022秋•灌南县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A ，B 两点在数轴上分别表示有理数a ，b ，那么A ，B 两点之间的距离可表示为|a ﹣b |．（1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；（2）利用数轴探究：①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是，②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的取值在的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是；（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值；（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|+|x|≥a对任意有理数x都成立，求a的最大值．思路引领：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；（3）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|＝（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，要使|x ﹣2|的值最小，x应取2，显然当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式计算即可；（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|．故答案为：|x+2|+|x﹣1|；（2）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是﹣2、4．故答案为：﹣2，4；②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x ﹣2|取得最小值，这个最小值是2；故答案为：4；不小于0且不大于2；2；4，2；（3）由分析可知，当x＝2时能同时满足要求，把x＝2代入原式＝1+0+3＝4；（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|），要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x ﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x＝0代入原式，得|x﹣3|+|x ﹣2|+|x+1|+|x+2|＝3+2+1+2＝8；方法二：当x取在﹣1到2之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|＝﹣（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）＝﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2＝8．总结提升：本题考查了列代数式、数轴、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．第二部分配套作业1．（2020秋•江汉区校级期末）下列说法：①|a|＝﹣a，则a为负数；②数轴上，表示a、b 两点的距离为a﹣b；③|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0；④|a+b|＝|a|﹣|b|，则ab≤0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4思路引领：根据绝对值的性质，数轴的概念计算，判断即可．解：|a|＝﹣a，则a为非正数，①错误；数轴是表示a、b两点的距离为|a﹣b|，②错误；|a+b|＝a﹣b，则a＞0，b＝0或a＝0，b＜0或a＝0，b＝0，③错误；|a+b|＝|a|﹣|b|，则ab≤0．④正确；故选：A．总结提升：本题考查的是数轴的概念，绝对值的性质，掌握绝对值的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．2．（2022秋•江岸区校级期中）下列说法正确的个数为（）①如果|a|＝a，那么a＞0；②使得|x﹣1|+|x+3|＝4的x的值有无数个；③用四舍五入法把数2005精确到百位是2000；④几个数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时积为正A．0个B．1个C．2个D．3个思路引领：根据绝对值的性质可判断①，②，利用四舍五入法可直接求解判断③，根据有理数乘法的性质可判断求解④．解：①如果|a|＝a，那么a≥0，故原说法不符合题意；②当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，故x的值有无数个，故原说法符合题意；③用四舍五入法把数2005精确到百位是2.0×103，故原说法不符合题意；④几个非0的数相乘，积的符号一定由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数时积为正，故原说法不符合题意．故有1个．故选：B．总结提升：本题主要考查有理数的乘法，绝对值的性质，近似数，掌握相关性质是解题的关键．3．（2021秋•涪城区校级月考）下列说法：①若a为有理数，且a≠0，则a＜a2；②若1a=a，则a＝1；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数；④若|a|＝﹣a，则a＜0；⑤若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，其中正确说法的有．思路引领：各式利用相反数，绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即可．解：①若a为有理数，且a≠0，则a不一定小于a2，说法错误；②若1a=a，则a＝1或﹣1，说法错误；③若a3+b3＝0，则a、b互为相反数，说法正确；④若|a|＝﹣a，则a≤0，说法错误；⑤若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|，说法正确．故答案为：③⑤．总结提升：此题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，倒数，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则及各自的性质是解本题的关键．4．（2022秋•蒲江县校级期中）已知：|a|＝2，|b|＝3且a＞b，求a+b的值．思路引领：计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下a，b的值剩下2组．a＝2时，b＝﹣3或a＝﹣2时，b＝﹣3，所以a+b＝﹣1或a+b＝﹣5．解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3．∵a＞b，∴当a＝2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣1．当a＝﹣2时，b＝﹣3，则a+b＝﹣5．总结提升：本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．5．（2022秋•安岳县校级月考）（1）已知|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，求a﹣b的值；（2）已知|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，求式子a﹣2b﹣（﹣c）的值．思路引领：（1）根据绝对值的意义，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据绝对值的和为零，可得每个绝对值为零，根据代数式求值，可得答案．解：（1）由|a|＝5，|b|＝3，且a＞b，得a＝5，b＝±3．当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2，当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8；（2）由|a+2|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，得a+2＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0．解得a＝﹣2，b＝4，c＝5．当a＝﹣2，b＝4，c＝5时，a﹣2b﹣（﹣c）＝﹣2﹣2×4﹣（﹣5）＝﹣2﹣8+5＝﹣5．总结提升：本题考查了代数式求值，利用绝对值的意义得出a、b、c的值，再利用代数式求值．6．（2021秋•新洲区期中）已知|x+1|＝4，（y+2）2＝4，若x+y≥﹣5，求x﹣y的值．思路引领：根据条件求出x，y的值，根据x+y≥﹣5，分三种情况分别计算即可．解：∵|x+1|＝4，（y+2）2＝4，∴x+1＝±4，y+2＝±2，∴x＝﹣5或3，y＝0或﹣4，∵x+y≥﹣5，∴当x＝﹣5，y＝0时，x﹣y＝﹣5；当x＝3，y＝0时，x﹣y＝3；当x＝3，y＝﹣4时，x﹣y＝7；综上所述，x﹣y的值为﹣5或3或7．总结提升：本题考查了绝对值，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，根据x+y ≥﹣5，分三种情况分别计算是解题的关键．7．（1）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|（2）已知a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，化简：|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．思路引领：（1）由题意可得c＜a＜0＜b，则a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0，根据绝对值的定义化简可得．（2）由题意可得b＜0，c是非负数，则a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，再根据绝对值的定义化简可得．解：（1）由题意可得c＜a＜0∴a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a+c＜0∴|a+b|﹣2|c﹣b|+|c﹣a|﹣|a+c|＝a+b﹣2b+2c+a﹣c+a+c＝3a﹣b+2c（2）∵a＜0，ab＞0，|c|﹣c＝0，∴b＜0，c是非负数∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝﹣b+a+b﹣c+b+c﹣a＝b总结提升：本题考查了数轴和绝对值，利用|a|＝a（a＞0），|a|＝﹣a（a＜0），|a|＝0（a ＝0）化简是本题的关键．8．（2021秋•西城区校级期中）已知|ab﹣2|与|b﹣1|互为相反数，求式子1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2021)(b+2021)的值．思路引领：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，根据绝对值的非负性可得|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，进而求出a和b的值，再代入所求式子即可．解：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，∴|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，∴b＝1，a＝2，∴1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2021)(b+2021)=12×1+1(2+1)(1+1)+1(2+2)(1+2)+⋯+1(2+2021)(1+2021)＝1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023＝1−1 2023=2022 2023．总结提升：本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，得出1n(n+1)=1n−1n+1，以及抵消法的运用是解题的关键．9．阅读材料：我们知道：|x|的几何意义为数轴上表示数x的点到原点的距离，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为；（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是，x的值为；（3）若|x﹣3|＝|x﹣5|，求x的值；（4）求式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值．思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据|x1﹣x2|的几何意义求解可得；（3）先去绝对值，再解方程即可求解；（4）由题意知|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，当数x在两数之间时式子取得最小值．解：（1）数轴上表示数﹣2的点与表示数5的点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7．故答案为：7；（2）等式|x﹣2|＝3的几何意义是表示到数2的距离为3的点，x的值为﹣1或5．故答案为：表示到数2的距离为3的点，﹣1或5；（3）|x﹣3|＝|x﹣5|，x﹣3＝±（x﹣5），解得x＝4．故x的值为4；（4）式子|x﹣1|+|x﹣3|表示数x到1和3的距离之和，当x＜1时，原式＝﹣x+1﹣x+3＝﹣2x+4＞2，当1≤x≤3时，原式＝x﹣1﹣x+3＝2，当x＞3时，原式＝x﹣1+x﹣3＝2x﹣4＞2，故式子|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．10．（2022秋•安阳期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是．（3）说出|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是．（4）结合数轴求|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|的最小值为．此时符合条件的整数x 为．思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，据此解答即可；（4）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到1，0，﹣2，4的距离之和，此时符合条件的整数x为1或0．解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|可得，数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5．故答案为：5；（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3．故答案为：|x+3|；（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，∴当x为2时，距离和最小为4﹣（﹣2）＝6．故答案为：6．（4）|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|表示数轴上一点到1，0，﹣2，4的距离之和，此时符合条件的整数x为1或0．故答案为：7，1或0．总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义．11．（2022秋•祁阳县校级期中）我们知道，在数轴上，|a|表示a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|利用此结论．回答以下问题：（1）数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是；（3）式子|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值是．思路引领：（1）利用两点距离公式|﹣10﹣（﹣5）|计算即可；（2）利用两点距离公式|x﹣（﹣3）|计算即可；（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，据此解答即可．解：（1）根据结论：数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|可得，数轴上表示﹣10和﹣5的两点之间的距离是|﹣10﹣（﹣5）|＝|﹣5|＝5，故答案为：5；（2）∵数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离是|x+3|，故答案为：|x+3|；（3）|x+2|+|x﹣2|+|x﹣4|表示数轴上一点到﹣2，2，4的距离之和，∴当x为2时，距离和最小为﹣（﹣2）＝6，故答案为：6．总结提升：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．13．（2020秋•公安县期中）探究活动：【阅读】我们知道，|﹣5|表示数轴上表示﹣5的点到原点的距离，|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．【探索】（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；数轴上两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝．（2）数轴上表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是，如果AB＝3，那么x的值为．（3）若|x﹣2|+|x+3|＝7，试求x的值；（4）当x为何值时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是多少．思路引领：（1）根据数轴上两点间的距离求法求解即可；（2）由题意可得|x+2|＝3，求解x即可；（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之和，当﹣3≤x≤2时，（3）|x﹣2|+|x+3|的值最小为5，结合题意可知，当表示x的点在表示2的点的右边时，x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，x的值为﹣4；（4）|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表示x 的点到表示1的点的距离，由（3）的分析可知，﹣2020≤x≤1时，距离之和最小是2021．解：（1）数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是|﹣1﹣（﹣5）|＝4，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|＝5，AB＝|a﹣b|，故答案为：4，5，|a﹣b|；（2）表示﹣2和x的两点A、B之间的距离是|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∵AB＝3，∴|x+2|＝3，解得x＝1或x＝﹣5，故答案为：|﹣2﹣x|，﹣5或1；（3）|x﹣2|+|x+3|＝7表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到﹣3的点的距离之和，∵表示x的点在表示2和﹣3的两个点之间时，距离之和为5，∴当表示x的点在表示2的点的右边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为3；当表示x的点在表示﹣3的点的左边时，若|x﹣2|+|x+3|＝7，则x的值为﹣4；∴x的值为3或﹣4；（4）∵|x+2020|表示数轴上表示x的点到表示﹣2020的点的距离，|x﹣1|表示数轴上表示x的点到表示1的点的距离，由（3）的分析可知，当表示x的点在表示﹣2020和1的两个点之间时，距离之和最小，∴当﹣2020≤x≤1时，式子|x+2020|+|x﹣1|取最小值，最小值是2021．总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．。
北师大版七年级上册第二章有理数9.绝对值的复习
（2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________（3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________（4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________二、 绝对值的化简10、（2012初一上期中北京四中）有理数a 、b 、c 表示的点在数轴上的位置如下图所示，则2a c c b b a +---+=（ ）A ．3a b -B ．a b --C ．32a b c +-D ．2a b c --11、（2014初一上期中北京四中）如果0y x <<，则化简x xy x xy +的结果为（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．312、如果3121231t t t t t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定13、（2013初一上期中北师大附属实验中学）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示 .（1）用”<“连接：0，a ，b ，c ；（2）化简：3a b a b c a -++--14、已知a b c abc S a b c abc =+++，且a 、b 、c 都不等于0，求S 的所有可能值．15、化简：（1）()331x x -≤（2）()1313a a a ---<<不妨设点A 在原点,如图甲，AB OB b a b ===-;当A 、B 两点都不在原点时，① 如图乙,点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；② 如图丙,点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-③ 如图丁,点A 、B 在原点的两边()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上, 数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-（1）当x 在何范围，12x x ---有最大值，并求出最大值；（2）当x 在何范围，1234x x x x ---+---有最大值，并求出它的最大值；（3）123499100x x x x x x ---+---++---的最大值为________（直接写出结果）．21、（2013初一上期末顺义区）已知2426y x x x =-+---且28x ≤≤，求y 最小值与最大值．随堂检测+-1112b，则3b________ 3(1)0，求a、b、c的值.。
有理数、数轴、绝对值复习课
专题四
1、有理数的概念； 2、有理数的分类；
将下列各数填到适当的分类中：
5 1 , 0, 2, 7, 1.25, 7 , 3, 3.
2
3
4
1). 正数：____________
2). 负数：____________
3). 分数：____________
4). 整数：____________
4、绝对值等于它本身的数是_____, 绝对值等于它相反数的数是_____.
5、如果a>0,则|a|=___,如果a=0,则 |a|=___,如果a<0,则|a|=___.
6、A、B是相反数，且AB相距6， 则A、B分别是_____
7、已知|a|+|b|+|c|=0,则a=___, b=___,c=____
1、数轴比较法； 2、性质比较法； 3、绝对值比较法.
1、比较-10，-7,1的大小；
2、0.1___-100,
- 0.01___0,
3、
-
5
___
6
,
-(-0.05)____
-|-
1 2
|
35 ___ 36
67
42 42
综合应用： a,b是有理数，它们在数轴上的
对应点的位置如图所示，请比较 a,-a,b,-b的大小
复习课
专题一：绝对值与相反数 1、相反数的代数与几何意义; 2、绝对值的定义与性质; 3、|a|的代数和几何意义;
1、求下列各数的相反数和绝对值：
0.25，-7, 3
2、已知|a|=8，则a=___，若|a|=|-8|, 则a=____,若|a-5|=0,则a=___
3、绝对值不大于2的整数有______, 其中最大的负整数是____,最小的 负整数是_____,最大的正整数是 _______.
绝对值教案(精选多篇)
绝对值教案(精选多篇)第一篇：2.3绝对值教案绝对值（1）学习目标:1、能借助数轴初步理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值。
2、正确理解绝对值的代数意义和几何意义，渗透数形结合与分类讨论思想。
重点和难点：理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。
学习过程：任务一、复习旧知：1. 什么叫互为相反数？在数轴上表示互为相反数的两点和原点的位置关系怎样？2. 数轴上与原点的距离是2的点表示的数有_____个，他们表示的数是_____;与原点的距离是5的点有____个. 任务二、新知理解：1. 自读课本p11-p12,体会绝对值的意义。
绝对值的几何意义：____________________________________.a的绝对值记作_______,如5的绝对值记作______,结果是_____.试一试: （1）|+6|＝ ______，|0.2|＝ ________ ， |+8.2|=_______ （2）|0|＝ _______ ；（3）|-3|＝_____，|-0.2|＝ _____ ，|-8.2|＝________.绝对值的代数意义：(1)一个正数的绝对值是__________;(2)一个负数的绝对值是___________ (3)0的绝对值是___________。
上述可以用式子表示为:(1)当a是正数时, |a|=_______，( 2 )当a是负数时, |a|=_______，(2)当a=0时, |a|=________,任务三：巩固练习1、求下列各数的绝对值：?712,?110,?4.75,10.52．计算|-2|+ |+8||34|?|?815||-20|?|?45|3、绝对值是3 的数是_______,有____个绝对值是1.5的数？4、判断：（1）有理数的绝对值一定是正数；（2）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；（3）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（4）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右。
绝对值
绝对值一、复习引入：1．在数轴上分别标出–5，3.5，0及它们的相反数所对应的点。
2．在数轴上找出与原点距离等于6的点。
3．相反数是怎样定义的？从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义。
从几何方面可以说在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数；从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数。
那么互为相反数的两个数有什么特征相同呢？ 二、新课：1．发现、总结绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。
记作|a |。
例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。
同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。
2．试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道： (1)|+2|= ，51= ，|+8.2|= ； (2)|0|= ；(3)|―3|= ，|―0.2|= ，|―8.2|= 。
概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？归纳出数a 的绝对值的一般规律： 1. 一个正数的绝对值是它本身；2. 0的绝对值是0；3. 一个负数的绝对值是它的相反数。
即：①若a ＞0，则|a |=a ； ②若a ＜0，则|a |=–a ； ③若a =0，则|a |=0； 或写成：)0()0()0(0<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 。
3．绝对值的非负性： 由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a |≥0。
4．运用绝对值进行大小比较： （1）：一个数的绝对值越大，表示这个数在数轴上表示的点离原点越远。
（2）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的反而小。
5．例题：例1：求下列各数的绝对值：217-，101，―4.75，10.5。
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(3)绝对值小于10的整数一共有多少个？
判断： (1)若一个数的绝对值是 2 ， 则这个数是2 。
(2) |5|＝|－5| (3) |－0.3|＝|0.3| (4) |3|＞0 (5) |－1.4|＞0 (6) 任何数的绝对值一定是正数 (7) 若a＝b，则|a|＝|b| (8) 若|a|＝|b|，则a＝b (9) 若|a|＝－a，则a必为负数 (10) 互为相反数的两个数的绝对值相等
(1) 已知 | a | = 4 , | b | = 3 ,且 a > b, 求: a＋b. 解: ∵ |a|=4 ∴ a=4 或 a= -4 , ∵ |b|=3 ∴ b=3 或 b= -3. 又 a>b ∴a=4 b=3 或 a=4 b= -3. ∴ a+ b= 4+3=7 ; 或 a+ b= 4+(-3)=1 点评:互为相反数的绝对值相等,如 :绝对值等于 4的数有两个4,与-4.
一个数的绝对值与这个数有什么关系? 1．正数的绝对值是它本身;
即：当a﹥0时， │a│=a; 2．负数的绝对值是它的相反数; 即：当a﹤0时， │a│=-a; 3．0的绝对值是0 即：当a=0时， │a│=0
练习： (1)绝对值是7的数有几个？各是什么？
有没有绝对值是－2的数？
(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？
想一想:
(2) 若 | x -2 | + |y + 3 | = 0， 求：① x＋ｙ，②ｙ－ｘ 的值
解: ∵ |x -2 |+ |y +３| = 0 又 |x -2|≥0 , |y+3|≥0 ∴ x -2=0 , y+3=0 ∴ x=2 , y= -3 ① x＋y＝２＋（－３）＝－１ ② y－x＝－３－２ ＝－５
4或-4 1.如果| a | = 4，那么 a 等于__________. 2.一个数的绝对值是它本身,那么这个数一 正数或零 定是__________. 9 个,分别 3.绝对值小于5的整数有___ 是 4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4 .
试一试,你能行
一、填空： (1)若| a -2 |= 0 则 a =____ (2)化简 |π-3.142 |=____ (3)若 a < 0 则 |a| +a =____
复习课
绝对值：
在数轴上表示数a的点与原点的距 离叫做数a的绝对值。 记作│a│ 什么是数轴？ 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线 │a│
a -3 -2 -1 0 1 2 3 4
数轴的三要素: 原点、正方向、单位长度
两只小狗分别 距原点多远?
大象距原点 多远?
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
(若a＞0，则|a|=a)
互为相反数的两个数的绝对值相等|a|=|-a|.
作业：
小明的家（记为A）与他上学的学校（记为 B）、书店（记为C）依次坐落再一条东西走 向的大街上，小明家位于学校西边30米处， 书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这 条大街向东走了40米，接着又向西走了 70米 达到D处。试问(1)D的位置。(2)小明一共走 了 多少米?
点评: 任何有理数的绝对值都是非负数(正数和0), 如果几个非负数的和等于0,那么每个非负数 都必须等于0. 即：若|m |+ |n |=0,则m=0且n=0
概 念 叫
一个正数的绝对值是它本身；
法 一个负数的绝对值是它的相反数； 则
(若a＜0，则|a|=-a) (若a=0，则|a|=0) 零的绝对值是零。
什么是相反数？
只有符号不同的两个数称互为相反数。
│-3│＝?
│3│＝3
B
-6 -5 -4 -3 -2
A -1
0
1 2 3 4 5 6
一个数为-3,它的绝对值呢?
想一想：
互为相反数的两个数的绝对 值有什么关系？
相等
绝对值相等的两个数是什么关系？
例1：求下列各数的绝对值：
-5， +4/9， 0， -7.8 ，5
二、求12的相反数与－7的绝对值的和?
火眼真睛:
判断: (1)绝对值等于本身的数都是正数. (2)一个数的绝对值等于它的相反数,那么这 个数一定是负数. (3)离原点越近的数,绝对值越小. (4)没有绝对值最小的数. (5) 若 | a |>| b | , 则 a > b .
想一想: