§1.2.1求曲线的方程导学案
求曲线的方程教案
求曲线的方程教案教案名称：求曲线的方程课时安排：2课时教学目标：1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的基本方法。
2.能够根据给定的条件或图形，求出曲线的方程。
3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1.曲线方程的概念和求法。
2.如何根据条件或图形确定曲线的方程。
教学难点：1.对曲线方程概念的理解。
2.求曲线方程的方法和技巧。
教学准备：1.教学课件或黑板。
2.练习题。
教学过程：第一课时一、导入（5分钟）1.引导学生回顾已学的直线方程、圆的方程等，为引入曲线方程的概念做铺垫。
2.提问：除了直线和圆，还有哪些常见的曲线？它们有什么特点？二、新课讲解（25分钟）1.讲解曲线方程的概念：曲线方程是描述曲线形状和位置关系的数学表达式。
2.介绍求曲线方程的基本方法：a.直接法：根据曲线的定义或性质，直接列出方程。
b.转换法：将曲线转换为已知类型的曲线，求出方程后再转换回去。
c.几何法：利用几何图形的性质和关系，推导出曲线的方程。
3.示例讲解：a.求抛物线y=ax^2+bx+c的方程。
b.求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的方程。
三、课堂练习（15分钟）1.让学生独立完成练习题，巩固求曲线方程的方法。
2.老师巡回指导，解答学生疑问。
四、总结与拓展（5分钟）1.总结求曲线方程的方法和步骤。
2.提问：在实际问题中，如何确定曲线的类型和方程？第二课时一、复习导入（5分钟）1.复习上节课的内容，让学生回顾求曲线方程的方法。
2.提问：在实际问题中，如何确定曲线的类型和方程？二、新课讲解（25分钟）1.讲解如何根据条件或图形确定曲线的方程：a.观察图形，找出曲线的特点和规律。
b.利用已知条件，列出方程。
c.利用曲线的性质，推导出方程。
2.示例讲解：a.已知抛物线过点(1,2)且焦点为(0,1)，求抛物线的方程。
b.已知椭圆的长轴为10，短轴为6，求椭圆的方程。
三、课堂练习（15分钟）1.让学生独立完成练习题，巩固根据条件或图形求曲线方程的方法。
《求曲线的方程》教学优秀教案
02
基础知识回顾与拓展
平面直角坐标系基本概念
平面直角坐标系的定义
在平面上画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴 或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两 坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标
对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对(a,b)叫做点C的坐标。
03 情感目标
培养学生对数学的兴趣和热爱，提高数学素养和 审美能力。
教材分析与选用
教材分析
本课程选用《数学分析》等经典教材为参考，结合教师自编讲义和多媒体课件进行教学。教材 内容系统、全面，注重理论联系实际，符合学生的认知规律。
教材选用
在教材选用上，注重选择具有代表性、典型性和启发性的例题和习题，以便学生更好地理解和 掌握求曲线方程的方法。同时，结合学生的实际情况和兴趣爱好，适当引入一些拓展内容和实 际应用案例，激发学生的学习兴趣和积极性。
邀请学生分享自己的 学习经验和心得，促 进交流和学习。
课程总结与展望未来发展趋
06
势
本次课程重点内容回顾
曲线方程的基本概念
阐述曲线方程的定义，解释曲线上的 点与方程解之间的对应关系。
曲线方程的应用
探讨曲线方程在几何、物理、工程等 领域的应用，如圆的方程、抛物线的 方程等。
求曲线方程的方法
介绍解析法、参数法、极坐标法等求 曲线方程的方法，并通过实例加以说 明。
一个方程来表示。
02 03
直线方程的性质
直线方程具有唯一性、确定性和可解性。唯一性是指每一条直线都有唯 一的方程与之对应；确定性是指一个方程只能确定一条直线；可解性是 指直线方程可以求出直线上任意一点的坐标。
曲线与方程 导学案
2.1.1曲线与方程【学习目标】理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．【重点难点】重点：求曲线的方程难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法【使用说明及学法指导】阅读课本P34-35，完成下列任务。
在自主学习中，学生紧抓曲线的方程概念。
预习案一、知识梳理曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F(x,y)=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C上的点的坐标，都是方程F(x,y)=0的解；2．以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，都是曲线C上的点，那么，方程F(x,y)=0叫做；曲线C叫做．注意：1︒如果……，那么……2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）二、问题导学问题1、画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程问题2、提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y=|x|，为什么？三、预习自测1、点P(1,a)在曲线x2+2xy-5y=0上，则a=_______________．2、A(1,0)，B(0,1)，线段AB的方程是x+y-1=0吗？3、由到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y-5=0吗？4、离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？探究案例1、证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（0k>）的点的轨迹方程是xy k=±例2、若曲线220y xy x k-++=过点(,)()a a a R-∈，求k的取值范围课堂检测1、以O为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？(1)2xyx=(2)222xyx x-=-(3) log a xy a=3、画出方程()(0x y x+=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x=，{(,)|0}B x y y=，则A⋂B表示的曲线是____________________，A⋃B表示的曲线是____________________2.1.2求曲线的方程【学习目标】(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程． 【重点难点】重点：求方程的步骤, 正确写出曲线的方程． 难点：正确写出曲线的方程. 【使用说明及学法指导】阅读课本P35-37，完成下列任务。
高中数学选修2-2 1.2.1 导数的运算及运算法则
§1.2.1 导数的运算及运算法则编者：1. 掌握常用函数、基本初等函数的导数公式；掌握的导数的运算法则。
2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3.通过动手算、动脑思和集体合作讨论，树立敢于战胜困难的信心，养成主动获取知识和敢于探究求新知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识。
教学重点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则 教学难点：常见函数、基本初等函数的导数公式及运算法则使用说明： （1）预习教材P 32~ P 36，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。
预习案（20分钟）一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x ，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新知导学【知识点一】几个常见函数的导数组长评价： 教师评价：思考：仔细观察（3）（4）（5）的结构特点，你能得到函数()(),nf x x n Q =∈的导函数？ 【知识点二】基本初等函数的导数公式（★）思考：sin cos 442ππ'⎛⎫== ⎪⎝⎭正确吗？【知识点三】导数的运算法则思考：[]'()cf x =[]'()()af x bg x +='1()f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦探究案（30分钟）三．典例探究【典例一】应用公式求函数的导数例1-1：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）2y x = （2）2xy = （3）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（4）3log y x =（5）y = （6）3cos 4sin y x x =- （7）ln xy x=（8）()()()123y x x x =+++ （9）tan y x x = （10）y ＝xxln 1ln 1+-．例1-2：求下列函数的导数（1）22cos 3log xy x x x =- （2）5432y ax bx cx dx ex f =+++++【典例二】导数运算法则在切线中的应用例2-1：已知曲线4323294C y x x x --：=+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；例2-2：求曲线ln y x =在点(),1M e 处的切线的斜率和切线方程？例2-3：已知函数()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足()()12,2f a f b ''==-，其中常数,a b R ∈，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程？四．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1） （ ） （2） （ ）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：1.若函数2xy x e =，则y '= 2．函数2cos 1xy x=+的导数为3．求下列函数的导数 （1）y ＝xx4； （2） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +-4．已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
人教新课标版数学高二选修2-1导学案 2.1.2求曲线的方程教师版
2.1.2求曲线的方程【教学目标】1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.1.2求曲线的方程》课件“新课导入”部分，并收集有关“天宫一号”的资料，让学生与大家分享自己的了解。
通过互相交流，引入本节课要学习求曲线的方程的知识.二、自主学习知识点求曲线方程的方法与步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．简记为：建系、列式、代换、化简、说明，这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和相应的作用．三、合作探究探究点1轨迹方程求解问题例1设A，B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x＋1)2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－7)2.上式两边平方，并整理得x＋2y－7＝0.①我们证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程．(1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，即x 1＋2y 1－7＝0，x 1＝7－2y 1.点M 1到A ，B 的距离分别是|M 1A |＝(x 1＋1)2＋(y 1＋1)2 ＝(8－2y 1)2＋(y 1＋1)2＝5(y 21－6y 1＋13)； |M 1B |＝(x 1－3)2＋(y 1－7)2 ＝(4－2y 1)2＋(y 1－7)2＝5(y 21－6y 1＋13).所以|M 1A |＝|M 1B |，即点M 1在线段AB 的垂直平分线上．由(1)(2)可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程．反思与感悟 求曲线方程一般都要按照5个步骤进行，建系要适当，尽量使点的坐标、线的方程最简．关键步骤是第二步，写出动点的条件集合，即找出等量关系，确定了等量关系式将点的坐标代入就得方程．步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．探究点2 求曲线方程的方法例2 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程． 解 方法一 (直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 方法二 (定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)．方法三 (代入法或称相关点法)设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧ x ＝x 12，y ＝y 12即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝⎛⎭⎫y －322＝9， 即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝94(x ≠0)． 反思与感悟 求曲线方程的一般方法如下：(1)直接法：就是直接依据题目中给定的条件进行确定方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)参数法：将x ，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．探究点3 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点．设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x ，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k .又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ，代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0，解得0<a <83. 又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪(2，83)． 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定． 四、当堂测试1．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形分别是( )A ．前后两者都是一条直线和一个圆B ．前后两者都是两点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆答案 C解析 前者是直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1，后者是两点(0,1)和(0，－1)，故选C.2．到点(1,2)的距离等于3的动点Q 的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝3B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝9C ．(x －1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y －2)2＝9答案 C解析 由圆的定义知动点Q 的轨迹是以点(1,2)为圆心，以3为半径的圆，故其方程为(x －1)2＋(y －2)2＝3.3．已知A (2,5)，B (3，－1)，则线段AB 的方程是( )A ．6x ＋y －17＝0B ．6x ＋y －17＝0(x ≥3)C ．6x ＋y －17＝0(x ≤3)D ．6x ＋y －17＝0(2≤x ≤3)答案 D解析 因线段AB 是直线AB 的一部分，可先由两点式写出直线方程6x ＋y －17＝0，再对x 进行限制．4．线段AB 的长度是2a (a >0)，它的两个端点A 和B 分别在x 轴，y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨迹方程是________________________．答案 x 2＋y 2＝a 2解析 设P 的坐标为(x ，y )，则A (2x,0)，B (0,2y )．由已知|AB |＝2a ，得(2x )2＋(2y )2＝2a . 化简，得x 2＋y 2＝a 2，即为点P 的轨迹方程．5．已知曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，则实数k 的取值范围为________________．答案 (－∞，12] 解析 因y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，故a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，得k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12， 所以k ≤12，即k 的取值范围为(－∞，12]．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)求解曲线方程时：①第一步在具体问题中有两种情况：a.所研究的问题中已给定了坐标系，直接在给定的坐标系中求方程；b.原题中没有确定的坐标系，需先建立适当的坐标系，选取特殊点为原点．②第二步为求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具体解题的过程中经常不出现这一步(被省略)．③第三步将几何关系式转化为代数中的方程．④化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况时则不能省，可以说是对第四步的完善．(2)很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误．。
新人教A版《求曲线方程》word导学案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：周晨昌 审稿人： 贾志安求曲线方程学案 课前预习学案一、预习目标回顾圆锥曲线的定义，并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。
二、预习内容1．到顶点)0,5(F 和定直线516=x 的距离之比为45的动点的轨迹方程是2．直线l 与椭圆1422=+y x 交于P 、Q 两点，已知l 过定点（1，0），则弦PQ 中点的轨迹方程是3．已知点P 是双曲线12222=-by a x 上任一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则PQ 中点M的轨迹方程是4．在ABC ∆中，已知)0,2(),0,2(B A -，且BC AB AC 、、成等差数列， 则C 点轨迹方程为课堂探究学案【学习目标】1．了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．3．通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．4.通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.5.进一步理解数形结合的思想方法． 【学习重难点】学习重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。
学习难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法． 【学习过程】 一、 新课分析y解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．二、典型例题例1．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆4222=+y x 交于B A 、两点，P 是l 上满足1=•PB PA 的点，求点P 的轨迹方程。
§2、1曲线与方程导学案
§2、1 曲线与方程导学案学习目标：1.使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．2.通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．3.通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．1、曲线的方程与方程的曲线的定义在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程0f的实数解建立了如下关系：(x,y)（1）_________________________________________________________(2)____________________________________________________________那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
2、解析几何研究的主要问题（1）根据已知条件，求出表示______________________;(2)通过曲线的方程，研究_______________________.3、求曲线的方程的一般步骤（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合_____________(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程__________(4)化方程0y)(x,=f 为_______________________(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点_______________________.1、如果命题“坐标满足方程0y)(x,=f 的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是（ ）A.坐标满足0y)(x,=f 的点都不在曲线C 上B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程0y)(x,=fC.坐标满足方程0y)(x,=f 的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足0y)(x,=f2、“曲线C 上的点的坐标都是方程0y)(x,=f 的解”是“曲线C 的方程是0y)(x,=f ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、动点P 到点（1，-2）的距离为3，则动点P 的轨迹方程为（ ）A 、()()92-122=++y xB 、()()921-22=++y xC 、()()32-122=++y xD 、()()321-22=++y x4、△ABC 的顶点坐标分别为A （-4，-3），B （2，-1），C （5,7），则AB 边上的中线的方程为________________5、已知两定点A （-1,0），B （2,0），动点P 满足21=PB PA ，则P 点的轨迹方程是_______________例题1 下列命题是否正确？若不正确，说明理由①过点A （2,0）平行于y 轴的直线l 的方程是2=x ；②到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x y =；③设点A （2,0），B （0,2），线段AB 的垂直平分线方程为02-=+y x例题2、（1）方程01-x )1-(=+y x 表示什么曲线？（2）方程0324-222=+++y x y x 表示什么曲线？例题3 已知圆C ：93)-(y 22=+x ，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程。
选修2-1曲线与方程导学案
【学习目标】1、从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；2、掌握求曲线方程的步骤和方法.【学习重点与难点】3、教学重点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 4、教学难点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 【学习过程】一、阅读课本第页，了解方程的曲线与曲线的方程的概念二、阅读课本例1和例2，体会并总结求曲线的方程的步骤和方法。
※、求曲线的方程的步骤⑴建系：建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标⑵写集合：写出适合条件P 的点M 的集合}M P |{M P ）（⑶列方程：用坐标表示条件P （M ），列出方程f(x,y)=0 ⑷化简：化方程f(x,y)=0为最简形式※、求曲线的方程的一般方法①直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x,y 的等式，就得到曲线的轨迹方程②代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程③待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程的形式，在根据条件确定待定的系数④定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，在确定其中的基本量预测练习1、已知曲线方程为10)1(22y x . (1)判断点)3,2(),2,1(q p 是否在此方程表示的曲线上（2）若点),2(m mM 在此方程表示的曲线上，求m 值2、等腰三角形ABC 的顶点是)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。
3、已知ABC ，)2,0(),0,2(A B ，第三个顶点C 在曲线上移动，求ABC 的重心的轨迹方程。
（三角形重心坐标公式3x3321321{x x x y y y y ）。
人教版高中数学选修(2-1)-2.1《求曲线的方程》教学设计
2.1.2求曲线的方程（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1．了解解析几何的基本思想；2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；3．初步掌握求曲线的方程的方法．（二）学习重点求曲线的方程．（三）学习难点求曲线方程一般步骤的掌握．二、教学设计（一）预习任务设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第35页至第36页．（2）想一想：如何求曲线的方程？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程．2．预习自测（1）方程22(2)(2)0x y -++=表示的图形是（ ）A ．圆B ．两条直线C ．一个点D ．两个点【答案】C ．（2）已知直线:30l x y +-=和曲线22:(3)(2)2C x y -+-=，则点(2,1)M 满足（ ）A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．既在直线l 上，也在曲线C 上C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上【答案】B ．（3= ）A ．两条线段B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段【答案】A ．（4）已知两定点(20),(10)A B -,,，如果动点P 满足||2||PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π【答案】B．（二）课堂设计1．知识回顾曲线的方程与方程的曲线的概念．2．新知讲解由曲线的方程、方程的曲线可知，借助直角坐标，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上的点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，那么我们就可通过研究方程的性质，间接地研究曲线的性质．我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．在教学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何．解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科．它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质．例1．设A，B两点的坐标分别为（-1，-1），（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程．【知识点】曲线的方程．【解题过程】如何求曲线的方程？法一：运用现成的结论──直线方程的知识来求．法二：若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法．解：。
求曲线的方程导学案
课题：2.1.2 求曲线的方程【课标要求】1.了解求曲线方程的步骤．2．会求简单曲线的方程．【考纲要求】对求曲线方程的一般步骤的掌握。
【教学目标叙写】从上节熟知曲线方程的概念，通过设问自然要去求曲线的方程及画出方程所表示的曲线。
结合阅读课本探究导学案上的问题，达到会求曲线方程的目标。
【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P35-P37的基础知识，自主高效预习，完成预习自学提纲；2.结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【预习案】一.复习旧知一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在__________那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做______________二．预习新知1．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出_________________；(2)通过曲线的方程，___________________2．求曲线的方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用_________________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合_____________；3)用坐标表示条件_______，列出方程_____________；(4)化方程f(x，y)＝0为_____________；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．思考：求曲线方程的步骤是否可以省略？提示：是．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“结论”，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．【预习自测】1．已知A(2,5)、B(3，－1)，则线段AB的方程是()A．6x＋y－17＝0 B．6x＋y－17＝0(x≥3)C．6x＋y－17＝0(x≤3) D．6x＋y－17＝0(2≤x≤3)2．到点(－1，－2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是()A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝3 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝9C．(x－1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y－2)2＝9 3．平面上有三点A(－2，y)、B(0，y2)、C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________．4．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．【我的疑惑】_____________________________________________________________________________________【探究案】探究一．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．探究二．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝mOA→＋nOB→，其中m，n∈R，且m＋n＝1，求点C的轨迹方程．探究三．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|P A|、|PB|、|PC|，且满足|P A|2＝|PB|2＋|PC|2，求P点的轨迹方程．【课堂小结】1．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．2．一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．【训练案】一、选择题1．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)2．已知A (1,0)，B (－1,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝0(－1≤x ≤1) B ．y ＝0(x ≥1) C ．y ＝0(x ≤－1) D ．y ＝0(|x |≥1) 3．方程x 2＋xy ＝0的曲线是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．两条直线 D ．一个点和一条直线4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足条件|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A ．9π B ．8π C ．4π D ．π5．“点M 在曲线y ＝|x |上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)D.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) 二、填空题7．已知A (0,1)，B (1,0)，则线段AB 的垂直平分线的方程是________．8．如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________． 【我的收获】【拓展空间】求轨迹方程的常用方法求轨迹方程是曲线与方程中的重点内容，也是学生难以掌握的内容．本文就这类问题的求解方法作一归纳小结． 一、直接法通过建立适当的坐标系，设点、列式、化简从而得出轨迹方程．例1 线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，4AB =，2CD =，动点P 满足PA PB PC PD =··，求动点P 的轨迹方程．二、定义法当动点的轨迹满足某种曲线的定义时，就可由曲线的定义直接写出轨迹方程．例2 已知动圆P 与两定圆22:1O x y +=和22:8120C x y x +-+=都外切，求动圆圆心的轨迹方程． 三、转移法转移法求轨迹方程的步骤：（1）设两个动点坐标为00()()C x y P x y ，，，，其中动点00()C x y ，在已知曲线上，动点()P x y ，为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系，把00x y ，用x y ，表示； （3）将用x y ，表示的00x y ，代入已知曲线方程，整理即得所求．例3 已知抛物线21y x =+和点(31)A ，，B 为抛物线上一点，点P 在线段AB 上且:1:2BP PA =，当点B 在该抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．四、待定系数法待定系数法求轨迹方程的步骤： （1） 设出所求的曲线方程； （2） 求出字母参数； （3） 代入所设．例4 圆心在直线21y x =+上，且到x 轴的距离恰等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，求此圆的方程．【预习自测】1.答案：D2.答案：B3．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，即y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．解：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y ，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4(y －32)2＝9，即x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)． 探究一解：设动点坐标为(x ，y )，则动点到直线x ＝8的距离为|x －8|， 到点A 的距离为(x －2)2＋y 2.由已知，得|x －8|＝2(x －2)2＋y 2， 化简得3x 2＋4y 2＝48.∴动点的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.探究二解：设C (x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ，y ＝m ＋3n ，∴x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y ＝5，即x ＋2y －5＝0.探究三解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )，用点的坐标表示等式|P A |2＝|PB |2＋|PC |2， 有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2， 即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．【训练案】1解析：选A.设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y )． 由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0，即x 2＋y 2＝1.故选A.2解析：选C.由题意知，|AB |＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)． 3解析：选C.x 2＋xy ＝x (x ＋y )＝0，∴x ＝0或x ＋y ＝0.4解析：选C.设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |，知 (x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简整理，得(x －2)2＋y 2＝4，所以，动点P 的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.5解析：选B.“点M 在曲线y ＝|x |上”⇒⇐/“点M 到两坐标轴距离相等”．故选B.6解析：选C.由BP →＝2P A →及A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，知A (32x,0)，B (0,3y )，所以AB →＝(－32x,3y )．由点Q 与点P 关于y 轴对称，知Q (－x ，y )，所以OQ →＝(－x ，y )，则由OQ →·AB →＝1，得(－32x,3y )·(－x ，y )＝32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．7.答案：y ＝x8.解析：由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4， 即x 24－y 22＝1.答案：x 24－y 22＝1 9.解析：设A (x ，y )，D (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋02，y 0＝y ＋02，即x 0＝x 2，y 0＝y2，又(x 0－5)2＋(y 0－0)2＝9，∴(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)为所求A 点的轨迹方程．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)【拓展空间】例1解：如图1，以AB 中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系．设()P x y ，，易知(20)(20)(01)(01)A B C D --，，，，，，，． PAPB PC PD =∵·· 22222222(2)(2)(1)(1)x y x y x y x y ++-+=+-++∴··． 整理得22223x y -=，故动点P 的轨迹方程为22223x y -=． 例2解：设半径为r 的动圆圆心为()P x y ，， 因为圆P 与圆O ，圆C 都外切，则1PO r =+，2PC r =+，1PC PO -=．因此点P 的轨迹是焦点为(00)(40)O C ，，，中心在(20)，的双曲线的左支． 故所求轨迹方程为22434(2)1()152x y x --=≤． 例3.解：设点()P x y ，，()B x y ''，，由:1:2BP PA =，知点P 分AB u u u r所成的比为2λ=，则32331221231.122x x x x y y y y '+-⎧⎧'==⎪⎪⎪⎪+⇒⎨⎨'+-⎪⎪'==⎪⎪⎩+⎩，，又B 点在抛物线上，则23133122y x --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 整理得2121333y x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为所求轨迹方程．例4.解法一：由题意，设所求圆的圆心为(21)a a +，， 则圆的方程为222()(21)(21)x a y a a -+--=+，若0x =得222(21)0y a y a -++=，解得2a =-或23a =． ∴所求圆的方程为22(2)(3)9x y +++=或222749()()339x y -+-=． 解法二：由题意，设所求圆的方程为222()()x a y b b -+-=．由22221(5)b a b a =+⎧⎪⎨-=⎪⎩其中，222(5)b a -=是根据弦长、弦心距与半径关系得到， 解得23a b =-⎧⎨=-⎩或2373a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴所求圆的方程为22(2)(3)9x y +++=或222749()()339x y -+-=．。
求曲线的方程精品教案
求曲线的方程精品教案教案：求曲线的方程一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材第七章“图形与几何”中的“曲线与方程”部分。
本节课的主要内容是让学生掌握求曲线方程的方法，并通过实例让学生理解曲线方程的意义和应用。
二、教学目标1. 学生能够理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的基本方法。
2. 学生能够通过实例分析，理解曲线方程的意义和应用。
3. 学生能够运用曲线方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：曲线方程的求法及其应用。
2. 教学重点：掌握曲线方程的概念，理解曲线方程的意义和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：教材、练习册、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 情景引入：教师通过多媒体展示一些常见的曲线图片，如圆、椭圆、抛物线等，引导学生观察这些曲线的特点，引发学生对曲线的兴趣。
3. 实例分析：教师给出一些实际问题，如“已知一条抛物线的顶点坐标为（2，3），求该抛物线的方程。
”让学生分组讨论并解答。
通过实例分析，让学生理解曲线方程的意义和应用。
4. 随堂练习：教师给出一些练习题，让学生独立完成。
练习题包括求曲线方程和应用曲线方程解决实际问题两部分。
六、板书设计1. 曲线方程的概念2. 求曲线方程的方法3. 曲线方程的意义和应用七、作业设计1. 求下列曲线的方程：（1）一条过点（1，2）且斜率为2的直线。
（2）一个半径为3的圆。
2. 应用曲线方程解决实际问题：已知一条直线的方程为y=2x+1，求该直线与x轴的交点坐标。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一步的教学做好准备。
2. 拓展延伸：教师可以布置一些拓展性的作业，如研究其他类型的曲线方程，让学生进一步深入研究曲线方程的性质和应用。
同时，教师还可以组织一些课外活动，如数学竞赛、研究小组等，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材第七章“图形与几何”中的“曲线与方程”部分。
求曲线的方程教案
求曲线的方程教案第一章：曲线与方程的基本概念1.1 曲线的定义引导学生了解曲线的概念，理解曲线是平面内一点运动的轨迹。
举例说明常见的曲线，如直线、圆、椭圆、双曲线等。
1.2 方程的定义解释方程的概念，方程是描述曲线几何性质的数学表达式。
强调方程中的参数和常数对曲线形状和位置的影响。
1.3 曲线与方程的关系解释曲线与方程的相互转化关系，即通过方程可以得到曲线的图像，反之亦然。
举例说明如何从给定的曲线得到对应的方程。
第二章：直线方程2.1 直线的斜率引入斜率的概念，斜率是直线倾斜程度的大小。
解释斜率的计算公式，即斜率k = (y2 y1) / (x2 x1)。
2.2 直线的点斜式方程引导学生理解点斜式方程的形式，y y1 = k(x x1)。
举例说明如何根据直线上两个点和斜率来写出点斜式方程。
2.3 直线的截距式方程解释截距式方程的形式，x/a + y/b = 1。
引导学生如何根据直线的截距a和b来写出截距式方程。
第三章：圆的方程3.1 圆的定义引导学生了解圆的概念，圆是平面上所有与给定点等距的点的集合。
解释圆的半径和圆心的概念。
3.2 圆的标准方程解释圆的标准方程，(x h)²+ (y k)²= r²。
强调圆心坐标(h, k)和半径r对圆的位置和大小的影响。
3.3 圆的参数方程引入圆的参数方程，x = h + rcos(θ)，y = k + rsin(θ)。
解释参数方程中参数θ的含义，θ表示从圆心出发到圆上一点的连线与x轴的夹角。
第四章：椭圆的方程4.1 椭圆的定义引导学生了解椭圆的概念，椭圆是平面上到两个固定点距离之和为常数的点的集合。
解释椭圆的长轴、短轴和焦距的概念。
4.2 椭圆的标准方程解释椭圆的标准方程，x²/a²+ y²/b²= 1。
强调半长轴a、半短轴b和焦距c对椭圆的形状和位置的影响。
4.3 椭圆的参数方程引入椭圆的参数方程，x = a cos(θ)，y = b sin(θ)。
高中数学《曲线与方程》导学案
2．1.1 曲线与方程曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是□01这个方程的解； (2)以□02这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做□03曲线的方程，这条曲线叫做□04方程的曲线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则方程f (x ，y )＝0即为曲线C 的方程．( )(2)若曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，则坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )(3)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)写出曲线xy ＋4x －3y ＝0与坐标轴的交点的坐标________． (2)直线C 1：x ＋y ＝0与直线C 2：x －y ＋2＝0的交点坐标为________． (3)(教材改编P 37T 2)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 在方程x 2＋(y ＋1)2＝5表示的曲线上，则m ＝________.(4)x 2＋y 2＝1(x >0)表示的曲线是________．答案 (1)(0,0) (2)(－1,1) (3)－3或65 (4)以(0,0)为圆心，1为半径的圆在y轴右侧的部分探究1曲线与方程的概念例1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.拓展提升判断方程是否是曲线的方程的两个关键点一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．【跟踪训练1】设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是() A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0答案D解析 命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A ，C 错误，而B 显然错误，选D.探究2 点与曲线的位置关系 例2 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，求k 的取值范围． [解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上． (2)因为曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 过点(a ，－a )， 所以a 2＝－a 2＋2a ＋k .所以k ＝2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－12，所以k ≥－12，所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.拓展提升点与曲线位置关系问题的求解方法判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，将所给点的坐标代入曲线的方程，可求点或方程中的参数．【跟踪训练2】 已知0≤α<2π，若点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，求α.解 ∵点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上， ∴(cos α－2)2＋sin 2α＝3，∴cos 2α－4cos α＋4＋sin 2α＝3， ∴cos α＝12.又∵0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.探究3 由方程研究曲线的类型和性质例3 方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一个圆 B ．一条直线和半个圆 C ．两条射线和一个圆 D ．一条线段和半个圆 [解析] 由题意方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0可化为x 2＋y 2－9＝0或x ＋y－2＝0(x 2＋y 2－9≥0)，∴方程(x ＋y －2) x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是两条射线和一个圆．故选C.[答案] C 拓展提升判断方程表示曲线的方法判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．【跟踪训练3】 方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0 答案 C解析 ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， ∴原方程表示直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0. 探究4 两曲线的交点问题例4 已知直线y ＝mx ＋3m和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－255，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－255，255 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，147 [解析] 直线y ＝m (x ＋3)过定点(－3,0)，曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示半圆，设直线y ＝mx ＋3m 与半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)相切时的倾斜角为α，sin α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，所以切线斜率m ＝tan α＝2353＝255.由图可知，为使直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.[答案] A[条件探究] 如果直线方程改为“y ＝x ＋3m ”，其他条件不变，应该怎样解答？解 直线y ＝x ＋3m 与直线y ＝x 平行，且在y 轴上的截距为3m ， 当3m ＝2，即m ＝23时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2恰有两个不同的交点，当3m ＝22，即m ＝223时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2相切． 由图可知，为使直线y ＝x ＋3m 与曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，223.拓展提升求曲线交点的三个步骤(1)联立：联立方程组把两条曲线的方程联立，构成方程组； (2)求解：求解联立的方程组；(3)得交点：根据方程组的解确定交点，解的个数决定两曲线交点的个数．【跟踪训练4】 已知直线l ：x ＋y ＝a 及曲线C ：x 2＋y 2－4x －4＝0，则实数a 取何值时分别有一个交点，两个交点，无交点．解 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x 2＋y 2－4x －4＝0，消去y ，得2x 2－(2a ＋4)x ＋a 2－4＝0， 则Δ＝(2a ＋4)2－8(a 2－4)＝－4a 2＋16a ＋48， 当Δ＝0，即a 2－4a －12＝0，得a ＝6或a ＝－2， 此时有两相等实根；当Δ>0，即a 2－4a －12<0，得－2<a <6， 此时有两不相等实根；当Δ<0即a 2－4a －12>0得a <－2或a >6， 此时无根．综上所述，当a ＝－2或a ＝6时有一个交点； 当－2<a <6时有两个交点； 当a <－2或a >6时无交点．1.判断曲线与方程关系的思路曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线和方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，曲线上点的坐标是否都是方程的解. 2.点与曲线位置关系问题的求解方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.3.研究两曲线交点问题的方法关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题．在解决这些问题时，除要用到方程(组)的方法及相关知识外，有时还需综合应用各种曲线自身所具有的某些几何性质.1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是()答案C解析对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)() A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上答案A解析将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C.3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线答案B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. 4．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________． 答案 点(1,2) 解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0即x ＝1，且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．5．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝±x . 证明 (1)如图所示，设M (x 0，y 0)是轨迹上任一点，因为点M 到x 轴的距离为|y 0|，到y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|＝|y 0|，即y 0＝±x 0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y ＝±x 的解．(2)设点M 1的坐标为(x 1，y 1)，且是方程y ＝±x 的解，则y 1＝±x 1，即|x 1|＝|y 1|，而|x 1|，|y 1|分别是点M 1到y 轴，x 轴的距离，因此点M 1到两坐标轴的距离相等，即点M 1是曲线上的点．由(1)(2)可知，y ＝±x 是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的是( )A．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线B．△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，BC边上的中线的方程是x＝0C．到x轴的距离为5的点的轨迹方程为y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0答案D解析A表示去掉点(0,2)的直线y＝x＋2；B中，BC边上的中线方程为x＝0(0≤y≤3)；C中轨迹方程为y＝±5.2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线答案C解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．3．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是()答案C解析由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．4．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg (y＋1)＝lg (x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2答案D解析主要考虑x与y的范围．5．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得OC→＝a OA→＋b OB→(a，b∈R)，则以下说法正确的是() A．点P(a，b)一定在单位圆内B．点P(a，b)一定在单位圆上C．点P(a，b)一定在单位圆外D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上答案B解析∵OC→2＝(a OA→＋b OB→)2，且OA→⊥OB→，∴a2＋b2＋2ab OA→·OB→＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上．故选B.6．已知a，b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，且点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，则f(x，y)＝0的几何特征是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称答案D解析依题意，点(a，b)与点(b，a)都在曲线f(x，y)＝0上，而两点关于直线y＝x对称．故选D.二、填空题7．已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③x2－y2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．答案①解析①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x－y＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程xy＝1.8．方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线围成的图形面积为________．答案8解析由|y－1|＝2－|x＋1|≤2得－2≤y－1≤2，故－1≤y≤3.(1)当－1≤y≤1时，原方程可化为y＝|x＋1|－1，其图象可由y＝|x|先向左平移1个单位，再向下平移一个单位得到；(2)当1<y≤3时，原方程可化为y＝3－|x＋1|，其图象可由y＝－|x|先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到．综合(1)(2)作出方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线如图所示，易求其围成的面积为8.9．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________．答案正方形解析当x≥1，y≥1时，原方程为x＋y＝3；当x≥1，y<1时，原方程为x－y＝1；当x<1，y≥1时，原方程为－x＋y＝1；当x<1，y<1时，原方程为x＋y＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．三、解答题10．求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 1＋x ＋y 1＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y ，xy ≠0，x ，y ∈R 表示的曲线． 解 化简x 1＋x ＋y 1＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x －x 1＋x ＋y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y －y 1＋x ＋y ＝0， 即xy(1＋x )(1＋x ＋y )＋xy(1＋y )(1＋x ＋y )＝0. ∵xy ≠0,1＋x ≠0,1＋y ≠0,1＋x ＋y ≠0，∴11＋x ＋11＋y＝0， ∴x ＋y ＋2＝0，且x ≠－1，y ≠－1，即除去点(－1，－1)．又xy ≠0，∴x ≠0，y ≠0，∴除去点(0，－2)和(－2,0)．∴原集合表示的曲线是直线x ＋y ＋2＝0，但除去直线上的(－1，－1)，(－2,0)，(0，－2)三个点．B 级：能力提升练讨论方程(1－x )y 2＝x 2(x ≥0)的曲线的性质，并画出图象．解 (1)范围：∵y 2≥0，又x ≥0，∴1－x >0，解得x <1，∴0≤x <1.又y 2＝x 21－x ， ∴易知当x →1时，y 2→＋∞，∴x ∈[0,1)，y ∈R .(2)曲线与坐标轴的交点：∵当x ＝0时，y ＝0，∴曲线过原点．(3)对称性：用－y代替y，方程不变，故曲线关于x轴对称．(4)变化趋势：设0≤x1<x2<1，则0≤x21<x22，1－x1>1－x2>0，故x21 1－x1<x221－x2，即y21<y22，∴曲线在第一象限单调递增，在第四象限单调递减．根据以上性质，画出图象，如图．。
§212求曲线的方程导学案.doc
§2.1.2求曲线的方程编写人：吴家洲审核：高二数学组时间：2012-12-21班级_______________组别______________ 组名： ____________________ 姓名 _________________【学习目标】A级目标：1.根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.2.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.B级目标：3.会判断曲线和方程的关系.【重点难点】重点：求曲线方程的一般步骤.难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.【学习过程】一、创设情境引入新知复习1：(1)有一个实数“曲线的方程”的定义：对于直角坐标平面内的曲线C和二元方程f(x,y)= O,如果满足：1.________________________________2. _______________________________________那么把方程F(x,y) = 0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程F(x,y) = O方程的曲线。
曲线C y二二元方程F (x,y) =0(2).如何理解曲线的方程与方程的曲线的定义中所限制的两个条件？复习2：证明某方程是(或者不是)某曲线的方程的一般方法是什么？二、独学探究归纳结论探究任务：1•借助于坐标系，用___________________________ 表示点，把曲线看成__________________________________ ,用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)= 0表示曲线，通过研究 _____________________ 间接地来研究曲线的性质，这就叫___________________ o解析几何研究的主要问题是：(1) _______________________________________(2) ________________________________________ o2.求曲线方程的一般步骤：(1) ______________________________________________________________________________________(2) _________________________________________________________________________(3) _______________________________________________________________________(4) _______________________________________________________________________(5) _______________________________________________________________________一般地，化简前后的方程的解集是相同的，___________ 可以省略不写，如有特殊情况, 可以适当说明。
求曲线的方程导学案
求曲线的方程导学案杨红菱 NO.11学习目标：1. 能写出求曲线方程的步骤．2．会求简单曲线的方程．重点难点：学习重点：求曲线的方程的一般步骤与方法．难点：根据题目条件选择合适的方法求曲线的方程．一.知识探究1．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出 ；(2)通过曲线的方程， ．2．求曲线的方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用 表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合 ；(3)用坐标表示条件p (M)，列出方程 ；(4)化方程f (x ，y )＝0为 ；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3.求曲线方程的步骤是否可以省略？三.典型选讲例1 如图已知点()01，F ，直线1:-=x l ，P 为平面上一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹C的方程.变式训练1 若把例1中的等式关系改为QF OP FP QP ⋅=⋅,求动点P 的轨迹C 的方程.例2 长为4的线段的两个端点分别在x 轴.y 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程．变式训练2 已知点A (－a,0)、B (a,0)，a >0，若动点M 与两定点A 、B 构成直角三角形，求直角顶点M 的轨迹方程．例3 已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A (0,0).B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．变式训练3 已知A (－2,0)、B (2,0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．求点D 的轨迹方程．四.小结1．如何理解求曲线方程的步骤(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴．建立适当的坐标系，会给运算带来方便．(2)第二步是求方程的重要的一个环节，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M 有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，直接将几何条件用动点的坐标表示.(3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”或“增解”．(4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x (或y )的取值予以剔除．2．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．3．要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．五.课堂即时练习1．若动点P 到点(1，－2)的距离为3，则动点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝32．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )A ．x ＋y ＝5B ．x ＋y ＝5(x ≥0)C ．x ＋y ＝5(y ≥0)D ．x ＋y ＝5(0≤x ≤5)3．若点M 到x 轴的距离和它到直线y ＝8的距离相等，则点M 的轨迹方程是________．4．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是________．5．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1 6．已知A (－1,0).B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝07．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为________．9．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|PA |.|PB |.|PC |，且满足|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求P 点的轨迹方程．10.已知△ABC 中，三边c >b >a ，且a ，b ，c 成等差数列，b ＝2，试求点B 的轨迹方程．。
人教A版高中数学选修全册导学案曲线与方程学案(1)
§2.1.1 曲线与方程（1）1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．3436，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =；④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．※ 知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．A ．2x y x= B ．y =C ．y =D ．2log 2x y =2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC u u u r =αOA u u u r +βOB u u u r ，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段 3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．A ．10x y -+=B ．10x y -+=(01)x ≤≤C ．10x y +-=D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ． 5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．1． 点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程 2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．。
2.1 曲线与方程导学案
第二章圆锥曲线与方程§2.1曲线与方程导学案课时目标1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程．1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一、选择题1．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线 3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与xy ＝1C ．y 2－x 2＝0与|y|＝|x| D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y ≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x ≤2)5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x>0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x<2)6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F(x ，y)＝0 B ．方程F(x ，y)＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程二、填空题7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为 ______________________________．9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是________________． 三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．11．动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．能力提升12．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是( ) A.[]1－22，1＋22－1，1＋22B.[]C.[]1－2，31－22，3D.[]1．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．第二章圆锥曲线与方程§2.1 曲线与方程知识梳理1．(2)曲线的方程方程的曲线2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠03．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标作业设计1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]2．C [方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故选C.]3．C [考虑x、y的范围．]4．B [直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]5．D [注意所求轨迹在第四象限内．] 6．C [直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然A 、B 、D 中的说法都不正确．] 7．16－8 3 28．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 10．解以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)． 由于|AB |＝2a ，则设A (－a,0)，B (a,0)，动点M (x ，y )．因为|MA |∶|MB |＝2∶1， 所以x ＋a 2＋y 2∶x －a 2＋y 2＝2∶1， 即x ＋a 2＋y 2＝2x －a 2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2.所以所求动点M 的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.12．C [曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4 (1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 的距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆故可得b ＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，所以C 正确．]。
高中数学曲线与方程精品导学案
曲线与方程一、课前导学知识点：曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是；②以这个方程的解为坐标的点都是．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．问题1：曲线与方程的概念中关系①②分别从什么角度强调曲线与方程的概念？问题2：“方程的曲线”与“曲线的方程”一样吗？问题3：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？二、课堂导学题型一：曲线与方程的概念：【例1】判断下列命题的正误，并说明理由．(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x【探究训练】“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C 的方程是f(x，y)＝0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要题型二：曲线与方程的判断问题：【例2】(1)方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？(2)方程x2＋y2－4x＋2y-3＝0表示什么曲线？【探究训练】方程表示的曲线是( )题型三:点与方程表示的曲线关系判断：【例3】已知方程x2＋(y－1) 2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(m2，－m)在此方程表示的曲线上，求实数m的值．【探究训练】(1)判断点A(1,3)，B(2,2)是否在方程x2＋2x－y＝0表示的曲线上；(2)已知方程xy＋3x＋ky＋2＝0表示的曲线经过点(2，－1)，求k的值．三、课堂练习1．下列各对方程表示的是相同曲线的是( )A．x＝y，yx＝1 B．x＝y，y＝x2C．|y|＝|x|，x＝y D．|y|＝|x|，y 2＝x 22．与y轴距离等于2的点的轨迹方程是( )A．y＝2 B．y＝±2 C．x＝2 D．x＝±23．如果方程ax2＋by2＝4的曲线过A(0，－2)，B(12，3)两点，则a＝________，b＝________.4．请分别画出下列方程的曲线．(1)y＋； (2)y＝x ； (3) lgy＝lgx.四、课堂小结曲线与方程的“纯粹性”与“完备性”1．定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”．2．定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”。
求曲线的方程(教学设计)
2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计）教学目标：知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程.2.求曲线的交点.3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标:1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标：1.渗透数形结合思想.2.培养学生的辨证思维.教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0.2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.教学难点1. 寻找“几何关系”.2. 转化为“动点坐标”关系.教学方法启发诱导式教学法.启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.教学过程一、复习回顾：求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ;2.写出适合条件P 的几何点集:{}()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式;5.证明(查漏除杂).说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程；(2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：（1）设动点P(x ，y)，则有|OP|=2R 或|OP|=0． 即x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0．故所求动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0． （2）设弦的中点为M(x ，y)，连结OM ， 则OM ⊥AM ． ∵kOM ·kAM=-1，其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧(不含端点)．变式训练1：.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x轴对称且OP →·M N →＝4，求动点P 的轨迹方程。
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§1.2.1求曲线的方程导学案
【使用说明】
1、课前完成预习学案，掌握基本题型；
2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑；
【学习目标】
1、掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．
2、掌握求轨迹方程的几种常用方法．
【重点难点】
1、理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点)
2、曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系．(难点)
【问题导学】
1、求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对______表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝________；
(3)用_____表示条件p(M)，列出方程__________ ；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
2、求曲线方程的常见方法
(1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式．
(2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的
轨迹方程．
(3)代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，
就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，
由此可求得动点坐标(x，y)满足的关系．
(4)参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受
某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立x、y分别与
这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得到x、y的关系式．
【合作探究】
1、设两定点A，B距离为8，求到A，B两点距离的平方和是50的动点的轨迹方程．
2、已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．
3、已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(0，－3)，另一个顶点C在曲线x2＋y2＝9上运动．求△ABC重心M 的轨迹方程．
4、已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决
【深化提高】
5、已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
6、已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
7、已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
8、已知动圆M过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64.求动圆圆心M的轨迹方程．
9、已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．【当堂检测】
10、动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是()．
A．椭圆B．双曲线
C．双曲线的一支D．抛物线
11、已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是()．
A．椭圆B．直线
C．圆D．线段
12、如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆
1
F，
2
F都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【小结】
a)知识与方法方面
b)数学思想及方法方面。