第3章 线性系统的能控性与能观测性1
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《现代控制理论基础》第3章_线性控制系统的能控性与能观测性 (1).
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 [t0 ,t f ] 的有限时间内使得系统的某一初始状态 x(t0) 转移到 任一终端状态x(tf ) ，则称此状态是能控的。如果系 统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能 控的。
7
几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置， 可以分为：
1、系统的状态能控性： （常用 ） 初始状态为状态空间任意非零有限点；终端
，则系统状态完全
能控的充要条件为：
Ｂ阵中，对应于每一个约当块的最后一行
B
is
元素不全为零。
i
12
J1
J
J2 0 0O
Jl n´n
B1
B
B2
M
Bl n´r
li
1
l i
1
Ji
OO
O
1
l i si ´si
x&2
x&3 x&4
0
4 0
0
1
1
0 1
x2
0
x3
0
x4 0
0 0 1
2 0
u
0
状态完全能控
20
x&1 x& 2
4
0
1 4
0 0
F (t0 t ) e A(t0t ) aj (t0 t ) Aj
7
几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置， 可以分为：
1、系统的状态能控性： （常用 ） 初始状态为状态空间任意非零有限点；终端
，则系统状态完全
能控的充要条件为：
Ｂ阵中，对应于每一个约当块的最后一行
B
is
元素不全为零。
i
12
J1
J
J2 0 0O
Jl n´n
B1
B
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M
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x&3 x&4
0
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0
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0 1
x2
0
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0
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0 0 1
2 0
u
0
状态完全能控
20
x&1 x& 2
4
0
1 4
0 0
F (t0 t ) e A(t0t ) aj (t0 t ) Aj
第三章 线性系统的能控性与能观测性
。 显见第二、三行元素相同。 rank Qk 2 3 故不能控。
例6 桥式电路图中，若取电感L的电流 i及电容 L C的电压 v 为状态变量，取 为输出变量，则系 iL c 统方程为：
R R 1 R R iL ( 1 2 3 4 ) d L R1 R2 R3 R4 1 dt ( R2 R4 ) vC C R1 R2 R3 R4 1 R3 1 R1 ( ) iL L R1 R2 R3 R4 L u 1 1 1 ( ) vC 0 C R1 R2 R3 R4
1 0 ~ 2 A n 0 中，输入矩阵
~ b11 ~ ~ b21 , B ~ bn1
~ b12 ~ b21 ~ bn 2
~ b1r ~ b2r ~ bnr
(3.4)
.
表明: 状态变量 , x1 都可通过选择输入u而 x2 由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。 x x
2
1
完全能控，不完全能观系统！
例3: 桥式电路如图所示， 选取电感L的电流为 为 状态变量， i (t ) x(t )
u (t ) 为电桥输 入，输出
量为 y (t ) 。 解: 从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0 u (t ，则不论 如何 ) 选取，对于所有 ，有 t 0 ，即ut(t)不能控制x(t)的变化， x( ) 0 t 故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的 x(t 0 ) 初始电流 取为多少， 对所有时刻 t 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故 t0 系统是状态不能观测的。 该电路为状态既不能控，也不能观测系统。
第三章线性控制系统的能控性和能观测性
统在时刻t0为完全能控。 连续时间线性时变系统的能控性判据
1 格拉姆判据：对连续时间线性时变系统 x& = A(t)x + B(t)u 在t0 时刻
是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵
∫ Wc (t0,t1) =
t1 t0
Φ(t0
,τ
)
B(τ
)
BT
(τ
)ΦT
(t0
,τ
)dτ
为非奇异矩阵。
证明：充分性
3.1 能控性
线性定常系统能控性定义 线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态 x(t0)，如果在 t1> t0 的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量 u(t)， 使 x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量 u(t)对系统状态的控制性质,与系 统的内部结构和参数有关。
(τ
,
t0
)
x(t0
)dτ
= Wo (t0 ,t1)x(t0 )
由 WO (t0 ,t1) 非奇异，有
∫ x(t0 )
= Wo−1(t0 , t f
)
tf t0
ΦT
(τ, t0 )CT
(τ) y(τ)dτ
充分性得证。
必要性，已知系统完全能观 ⇒WO (t0 ,t1) 奇异 反证法，假设WO (t0 ,t1) 奇异，则存在非零的 x(t0)，使
与输入 u(t)无关，故讨论能观测可不考虑输入的影响。根据齐次状态
转移方程，有
x(t) = Φ(t,t0 )x(t0 ), y(t) = C(t)x(t) = C(t)Φ(t,t0 )x(t0 )
∫ ⇒
t1 t0
1 格拉姆判据：对连续时间线性时变系统 x& = A(t)x + B(t)u 在t0 时刻
是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵
∫ Wc (t0,t1) =
t1 t0
Φ(t0
,τ
)
B(τ
)
BT
(τ
)ΦT
(t0
,τ
)dτ
为非奇异矩阵。
证明：充分性
3.1 能控性
线性定常系统能控性定义 线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态 x(t0)，如果在 t1> t0 的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量 u(t)， 使 x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量 u(t)对系统状态的控制性质,与系 统的内部结构和参数有关。
(τ
,
t0
)
x(t0
)dτ
= Wo (t0 ,t1)x(t0 )
由 WO (t0 ,t1) 非奇异，有
∫ x(t0 )
= Wo−1(t0 , t f
)
tf t0
ΦT
(τ, t0 )CT
(τ) y(τ)dτ
充分性得证。
必要性，已知系统完全能观 ⇒WO (t0 ,t1) 奇异 反证法，假设WO (t0 ,t1) 奇异，则存在非零的 x(t0)，使
与输入 u(t)无关，故讨论能观测可不考虑输入的影响。根据齐次状态
转移方程，有
x(t) = Φ(t,t0 )x(t0 ), y(t) = C(t)x(t) = C(t)Φ(t,t0 )x(t0 )
∫ ⇒
t1 t0
第3章_线性系统的能控性和能观测性
段连续的输入U(t)，能在[t0，tf]有限时间区间内使得 系统的某一初始状态X(t0)转移到指定的任一终端状态 X(tf)，则此状态是能控的。
若系统的所有状态都是能控制的，则称此系统是状 态完全能控的，或简称系统是能控的。
“任意”的要求意味着U(t) 应可以独立地影响状态向量的 每一分量。
能控性反映了控制输入对状态的制约能力。
此电路是状态不能控和状 态不能观测的。
[例3.2] 如图所示的电路。
此电路是状态不能控和状 y 态完全能观测的。
(1)对于状态空间表达式：
（教材例）
x1
x
2
1 0
0
2
x1 x2
02u
y 1
0
x1 x2
分析：将动态方程矩阵写
成方程组形式：
x x
1 2
x1 2x2
2u
y x1
i0
(3.24)
X (0 ) n 1A iB tf 0
i()u ()d
i 0
(3 .2 5 )
X (0)n 1A iB0 tfi( )u()d
(3.25)记
tf 0
i()u()dUi
i0
U0
n1
X(0) AiBUi B
i0
AB
An1BU 1
Un1
(3.26)
由此分析，将状态完全可控性的条件阐述为：当且仅 当向量组 BA , 是B ,线An性1B无关的，或n×n维矩阵
能控性判据说明 设线性系统为： X 06 15X12u
方法1： M cBA B 1 2 4 2 ran c1 k2 M
系统不能控
方法2：其对角标准型 X ˆ 02 03X ˆ 10u
若系统的所有状态都是能控制的，则称此系统是状 态完全能控的，或简称系统是能控的。
“任意”的要求意味着U(t) 应可以独立地影响状态向量的 每一分量。
能控性反映了控制输入对状态的制约能力。
此电路是状态不能控和状 态不能观测的。
[例3.2] 如图所示的电路。
此电路是状态不能控和状 y 态完全能观测的。
(1)对于状态空间表达式：
（教材例）
x1
x
2
1 0
0
2
x1 x2
02u
y 1
0
x1 x2
分析：将动态方程矩阵写
成方程组形式：
x x
1 2
x1 2x2
2u
y x1
i0
(3.24)
X (0 ) n 1A iB tf 0
i()u ()d
i 0
(3 .2 5 )
X (0)n 1A iB0 tfi( )u()d
(3.25)记
tf 0
i()u()dUi
i0
U0
n1
X(0) AiBUi B
i0
AB
An1BU 1
Un1
(3.26)
由此分析，将状态完全可控性的条件阐述为：当且仅 当向量组 BA , 是B ,线An性1B无关的，或n×n维矩阵
能控性判据说明 设线性系统为： X 06 15X12u
方法1： M cBA B 1 2 4 2 ran c1 k2 M
系统不能控
方法2：其对角标准型 X ˆ 02 03X ˆ 10u
第三章 线性系统的能控性与能观性(2012)
6 x
解:展开
x1 4 x1 u y 6 x2
x2 5 x2 2u
表明:状态变量 x1 , x 2 都可通过选择 输入u而由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量x 2 ,所以 x1 不能观测。
4
例3-2:取 i L 和 u c作为状态变量,u—输入, y= u c --输出。 L (1)当 R1 R 4 R 2 R 3 + u iL
0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 A 0 1 2 0
r
1 2
r
0 1 0 B 0 1 0 1
0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
rankS
C
n
13
例3-3 试判断下列系统的状态可控性。 (1)
2 0 x 1
1 x 0 0
2 2 4
1 1 1
1 0 0 x 0 u 1 0
0 0 0 x 1 u 0 1
B
1
0 1
1 0
0 0
行线性无关, B 2 1
,不全为零
24
能控
5. 线性变换后系统的能控性不变
证明： 设
x Ax Bu
n 1
S C [ B AB A B ] 令 x Px 则：x A x B u
其中： P 1 AP , B P 1 B A
x (t f ) e
A ( t f t0 )
x (t0 )
t
tf
0
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
2019年第3章线性系统的能控性与能观测性1.ppt
Wc [0, t1 ] e
0
t1
At
BB e
T AT t
dt
0 Wc [0, t1 ] e
T 0
t1
T At
BB e
T AT t
dt
0
t1
[ e
T At
B][ e
T AT t
B]T dt
由此可得 T e At B 0
t [0, t1 ] ，
（A, B, C, D) ，如果状态空间中的所 定义2：对线性时变系统 （A, B, C, D) 有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 在时刻t0是能控的。 t0 J （A, B, C, D ) 定义3：对上述线性时变系统 ，取定初始时刻 ， 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t0 是不能控的， 则称系统在时刻 t0是不完全能控的。
0 X Wc [0, t1 ] X 0 X e
T 0
1
0
T At 0
BB e
T AT t
X 0 dt
B e
T 0
t1
AT t
X 0 dt
2
要使上式成立，应有
B e
T AT t
X0 0
t [0, t1 ]
另一方面，因系统完全能控，对非零 X 0 又成立
0 X (t1 ) e X 0 e At1 e At BU (t )dt
T
这样
T
t1 0
T
t1
0
e
At
BB e
At
T
AT t
dt
T AT t
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
第三章线性控制系统的能控性和能观性(1)
代数判据(7/18)—判据定理证明
➢ 再证必要性(结论条件)。 ✓ 即证明,若系统状态能控,则e-AtB的各行函数线性独 立。
➢ 用反证法证明。 ✓ 设e-AtB的各行函数线性相关,但状态能控。
➢ 必要性反证法的思路为:
e-AtB的 各行函 数线性 相关
存在非零常 数向量与
e-AtB垂直, 即与能控
状态能控性的定义(1/5)
3.1.2 状态能控性的定义
由状态方程 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
及其第2章的状态方程求解公式可知, ➢ 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之 后的输入,与输出y(t)无关。 ➢ 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
➢ 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态 不完全能控的,简称系统为状态不能控。 ✓ 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T u(t) (t1>t0)(t[t0,t1])(x(t1)0) 为真,则称系统状态不完全能控。
状态能控性的定义(4/5)
对上述状态能控性的定义有如下讨论: 1. 控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的 有限时间。 ✓ 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻 t0有关。 ✓ 对于定常系统,该控制时间与t0无关。 所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调 “在所有时刻状态完全能控”,而为“某一时刻状态完全 能控,则系统状态完全能控”。 ✓ 即,若逻辑关系式
3.1.3 线性定常连续系统的状态能控性判别
线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分 别讨论常用的 ➢ 代数判据和 ➢ 模态判据。
第3章线性系统的能控性和能观测性
0 1 1 1 2 1
解： Mc B AB A2B 1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 2 1
由于 M c的第1行和第3行完全相同
rankMc 2 n 3
因此系统是状态不完全能控的，或者简称系统 是不能控的。
10
如果系统的阶次n和输入维数r都比较大，判别
Mc的秩是比较困难的。考虑到
35
对偶系统的传递函数矩阵的关系
G1 (s) C(sI A)1 B G2 (s) BT (sI AT )1C T BT (sI A1)T C T
[G2 (s)]T C(sI A)1 B G1(s)
对偶系统的特征方程相同
det(sI A) det(sI AT )
对偶关系建立了系统的能观测性与能控性之 间的内在关系，从而也沟通了控制问题与估计问 题之间的内在联系。
19
(4) 线性定常系统输出能控性判据 系统的状态空间描述为： x Ax Bu
y Cx Du
① 输出可控性定义 如果能构造一个无约束的控制向量u(t)，在有限 的时间间隔 t0 t t1 内，使任一给定的初始输出 y(t0 )转 移到任一最终输出 y(t1) ，那么称系统为输出完全可控 的。 ② 输出可控性判据 输出完全可控的充分必要条件为：
1 7
系统2
7
0 0
x
5
x 4 1 7
0 5
u1 u2
系统不能控
某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线
标准型，对于这种系统不能应用这个判据，应采
用能控性矩阵Mc来判别。
13
定理[3.3] 若线性定常系统 x& Ax Bu具有重特征值
k
1 m1重，2 m2重, , k mk重, mi n i j i 1
《现代控制理论基础》ch3线性控制系统的能控性和能观测性
rank Qc
[证毕]
定理2：设线性系统 x Ax Bu 具有两两相异的特征值 1, 2,..., n
则其状态完全能控的充分必要条件是：系统经线性非奇异 变换后的对角线标准型：
1
x
2
0
4/4/2020 5:37 AM
0
x Bu 中， B 不包含元素全为0的行。
n
14
说明：定理2说明
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
1. 线性连续定常系统的能控性 2. 线性连续定常系统的能观测性 3. 对偶原理 4. 能控标准型和能观标准型 5. 线性系统的结构分解 6. 传递函数（SISO）和能控（观测）性的关系
4/4/2020 5:37 AM
1
[背景]：
能控性和能观测性基本概念： 20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。
x1 7 0 0 x1 2
2）
x2
0
5
0
x2
0
u
x3 0 0 1 x3 9
3）
x1 x2
7
0
0 5
0 x1 0 1
0
x2
4
0u
x3 0 0 1 x3 7 5
4/4/2020 5:37 AM
16
定理3：设线性系统 x Ax Bu 具有重特征值，且每个重
则该系统是状态不可控的。
4/4/2020 5:37 AM
3
▪ 能观测性：
指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变 量能否由输出反映出来。
有些状态能通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。能通过y(t) 反映的状态为能观状态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态
[证毕]
定理2：设线性系统 x Ax Bu 具有两两相异的特征值 1, 2,..., n
则其状态完全能控的充分必要条件是：系统经线性非奇异 变换后的对角线标准型：
1
x
2
0
4/4/2020 5:37 AM
0
x Bu 中， B 不包含元素全为0的行。
n
14
说明：定理2说明
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
1. 线性连续定常系统的能控性 2. 线性连续定常系统的能观测性 3. 对偶原理 4. 能控标准型和能观标准型 5. 线性系统的结构分解 6. 传递函数（SISO）和能控（观测）性的关系
4/4/2020 5:37 AM
1
[背景]：
能控性和能观测性基本概念： 20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。
x1 7 0 0 x1 2
2）
x2
0
5
0
x2
0
u
x3 0 0 1 x3 9
3）
x1 x2
7
0
0 5
0 x1 0 1
0
x2
4
0u
x3 0 0 1 x3 7 5
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定理3：设线性系统 x Ax Bu 具有重特征值，且每个重
则该系统是状态不可控的。
4/4/2020 5:37 AM
3
▪ 能观测性：
指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变 量能否由输出反映出来。
有些状态能通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。能通过y(t) 反映的状态为能观状态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态
第三章线性控制系统的能控性和能观性
第三章 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。
能控性和能观性是分别分析)(t u 对状态)(t x 的控制能力以及输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
§3－1 能控性的定义能控性所研究的只是系统在控制作用)(t u 的作用下，状态矢量)(t x 的转移情况，而与输出)(t y 无关。
矢量的线性无关与线性相关：如果0x x x x 332211=++++n n C C C C 式中的常数n C C C 21,满足0321====n C C C C ,则把向量n x x ,x 21 叫做线性无关。
例如向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0102x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1003x 便是线性无关。
若向量n x x ,x 21 中有一个向量i X 为其余向量的线性组合，即：∑≠==nij j jj i C 1x x 则称向量n x x ,x 21 为线性相关。
例如向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3211x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4223x 便是线性相关。
又例如在式中213x x x +=,0x 3x x 321=++式中系数并不全为零。
故为线性相关。
具有约旦标准型系统的能控性判据 1．单输入系统先将线性定常系统进行状态变换，把状态方程的A 阵和B 阵化为约旦标准型)ˆ,ˆ(B A,再根据B 阵确定系统的能控性。
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为bu x x+=λ ，或bu Jx x+= 。
其中：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n λλλλλ 00321，各根互异。
其中：（特征值有重根的）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++n m m J λλλλλλ010010121111 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21 下面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。
第三章线性系统的能控性与能观性
0 1 a2
0 1
a2
1 a2
a1 a2
2
0 0
1
Mc [B AB A2B] 0 1
1 a2
a1
a2 a2
2
无论a1、a2取何值，ranckM 3n，得证。
一、秩判据
0 0 3 1 1
例：已知系统 A2 0 7,B0 1，判别系统能
控性。
0 1 0 0 1
二、对角型、约当型判据
1设、系非统奇状异态变空换间不描改述变为系统X的 能YA控XC性XBU
任取非奇异变换阵P，令Xˆ PX，变换后系统为
Xˆ AˆXˆ BˆU
其中
A ˆP 1A Y,B P ˆCˆ XˆP 1B ,C ˆCP
现在证明当且仅当∑=（A,B,C）能控时，(Aˆ,Bˆ,Cˆ)
能控。
一、秩判据
例：对于三阶能控标准型的系统，试证明其必然能控。
证明：三阶能控标准型如下：x1 0 1 0 x1 0
xx3 20a0
0 a1
1a2xx3 21 0U
0 1 0 0 0
AB 0 0 1 0 1
a0 a1 a2 1 a2
0 A2B A AB 0
a0
1 0 a1
ranck rM a[B n ˆA ˆkB ˆ A ˆn1B ˆ] ra[P nk B PA 1P PB (PA 1)P P ( A 1) P(PA 1)P P]B
ra[P n(B kA BAn1B)]
由于矩r阵aP(P n 是nk M c*)n非奇异矩阵，由矩阵性质可得
rankcM rankcM
3.2.2 能控性判据
一、秩判据 二、对角型、约当型判据
一、秩判据
定理：线性定常系统状态完全能控的充 要条件是系统能控性判别矩阵 M c [B A B A 2 B A n 1 B ]
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
第3章线性系统的能控性和能观测性
2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线 性无关。
【例3－4】 下列系统是状态能控的：
x1 x2
1 0
0 2
x1 x2
2 5
u
x1 1 1
0 x1 0
x2
0
1
0
x2
4
u
x3 0
秩判据
满秩
1.计算简便可行。 2.缺点为不知道状态空间中哪些 变量(特征值/极点)能控
约当标准形 判据
约当标准形中同一特征值对 应的B矩阵分块的最后一行 线性无关
1.易于分析状态空间中哪些变量 (特征值/极点)能控。 2.缺点为需变换成约当标准形
PBH 判据
1.易于分析哪些特征值(极点)能 控。 2.缺点为需求系统的特征值
3.3.2 状态能观测性的定义
u
y 1
1 R2
x1
x2
1 R2
L1
1
R2C1
R1 L1L1
1
(
R2C1
)2
1 R1 R2C1 L1
时，
Qc 满秩，系统能控，否则不能控。
三、约当标准形判据
对为约当标准形的线性定常连续系统 (A, B) ,有：
1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;
4．状态与系统能达
若存在能将状态 x(t0 ) 0 转移到 x(t1) x1 的控制作用 u(t),t [t0,t1] ，则称状态 x1 是 t0时刻能达的。若 x1 对所有时刻都是能达的，则称状态 x1 为完全能达或一致能达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 能达的， 则称系统是 t0 时刻状态能达的，简称系统是时刻 t0 能达的。
【例3－4】 下列系统是状态能控的：
x1 x2
1 0
0 2
x1 x2
2 5
u
x1 1 1
0 x1 0
x2
0
1
0
x2
4
u
x3 0
秩判据
满秩
1.计算简便可行。 2.缺点为不知道状态空间中哪些 变量(特征值/极点)能控
约当标准形 判据
约当标准形中同一特征值对 应的B矩阵分块的最后一行 线性无关
1.易于分析状态空间中哪些变量 (特征值/极点)能控。 2.缺点为需变换成约当标准形
PBH 判据
1.易于分析哪些特征值(极点)能 控。 2.缺点为需求系统的特征值
3.3.2 状态能观测性的定义
u
y 1
1 R2
x1
x2
1 R2
L1
1
R2C1
R1 L1L1
1
(
R2C1
)2
1 R1 R2C1 L1
时，
Qc 满秩，系统能控，否则不能控。
三、约当标准形判据
对为约当标准形的线性定常连续系统 (A, B) ,有：
1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;
4．状态与系统能达
若存在能将状态 x(t0 ) 0 转移到 x(t1) x1 的控制作用 u(t),t [t0,t1] ，则称状态 x1 是 t0时刻能达的。若 x1 对所有时刻都是能达的，则称状态 x1 为完全能达或一致能达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 能达的， 则称系统是 t0 时刻状态能达的，简称系统是时刻 t0 能达的。
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则称系统在时刻 t0是不完全能控的。
定义的几点解释：
(1) 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；
(2) 容许控制的分量幅值不加限制，且在J 上平方可积；
(3) 线性定常系统的能控性与 t0 无关；
(4) 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状 态，则称为系统的能达性。
(5) 系统不完全能控为一种“奇异”情况。
x2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
y 0
6
x1 x2
将其表为标量方程组形式，有：
x1 4x1 u
x2 5x2 2u
y 6x2
分析：X1、X2受控于U Y与X1无关 Y与 X2有关
[例3.2]：判断下列电路的能控和能观测性
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能 控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测 性的若干判据。
3.1 线性连续系统的能控性
3.1.1 概述
能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的 状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
[例 3.1] 给定系统的描述为
x1
t1 e A(t1t ) BU (t)dt
0
e At1 X 0 e At1
t1 0
e
Atຫໍສະໝຸດ BBTe
AT
t
dtWc1[0,
t1
]
X
0
e At1 X 0
e
W At1 c
[0,
t1
]Wc1[0,
t1
]
X
0
0
充分性得证。
必要性：已知系统为完全能控，欲证Wc[0,t1] 非奇异。
反证法。反设 使成立
内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2）描述
的系统在 t t0 时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能
控，则称该系统为状态(完全)能控的。
1. 格拉姆矩阵判据
定理1：[格拉姆矩阵判据]线性定常系统(3.2)为完全能控的
充分必要条件是，存在 t1 0 ，使如下定义的格拉姆矩阵
能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地 揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先 提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实 践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通 常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题 中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器 设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。
另一方面，因系统完全能控，对非零 X 0 又成立
0 X (t1) e At1 X 0
t1 e At1eAt BU (t)dt
0
由此得出
X0
t1 e At BU (t)dt
0
X 0
2
X
T
0
X0
t1 0
e
At
BU
(t
T
)dt
X
0
t1 0
U
T
(t
)
B
T
e
AT
t
X
0
dt
0
又 BTe ATt X 0 0 所以 X 0 ＝0。
t [0,t1]
3.1.3 定常系统状态能控性判据
考虑线性连续时间系统
Σ(A,B,C,D)：X(t) AX (t) BU (t)
(3.2）
其中 X (t) Rn,U (t) Rm, A Rnn, B Rnm
且初始条件为 X (t) X (0) 。 t 0
如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 t0 t t1
y
u(t )
R CR R x R
C
x1
R
u(t )
R
x2 C
左上图：输入u（t），状态x（t），输出y（t）。
右上图：输入u（t），状态x1（t）， x2（t）。
R1
L i
y
x1
u(t) 0
x2R1 L
R2
左图：输入u（t）， 状态x1（t）， x2（t）， 输出y（t） 。
Wc[0,t1]
t1 e AtBBTe ATtdt
0
(3.3)
非奇异。
[证明]：充分性：已知Wc[0,t1] 非奇异，欲证系统完全能控。
采用构造法证明，构造的控制量为
U (t) BTeATtWc1[0,t1]X0
t [0,t1]
在U (t) 作用下容易解得：
X (t1) e At1 X 0
3.1.2 能控性的定义
线性时变系统的状态空间描述：
（A, B,C, D) : X A(t) X B(t)U
Y (t) C(t)X D(t)U
（3.1)
X (t0 ) X 0 t J 其中：X 为 n 维状态向量；
U 为 m 维输入向量；
J 为时间 t 的定义区间；
A为 n*n 的元为 t 的连续函数的矩阵；
Wc
为奇异，也即反设存在某个非零 X0 Rn
，
X 0TWc[0, t1]X 0 0
由此进而有
0 X 0TWc[0, t1]X 0
t1 0
X
T 0
e
At
BB
T
e
ATt
X 0dt
t1 0
BTeATt X 0
2
dt
要使上式成立，应有
BTe ATt X 0 0
t [0,t1]
对能控性和能观测性的直观讨论
系统
uu12
状态
yy11
un
x1, x2 , , xn
yn
每一个状态变量 x1, x2 ,L , xn 运动都可由输入u(t)
来影响和控制，而由任意的始点达到原点——状态能
控。
状态 x1, x2 ,L , xn 的任意形式的运动均可由输出完全反映
——状态能观测。
定义2：对线性时变系统 （A, B,C, D)，如果状态空间中的所 有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 （A, B,C, D)
在时刻t0是能控的。
定义3：对上述线性时变系统 （A, B,C, D，) 取定初始时刻t0 J，
如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t0 是不能控的，
B 为 n*m的元为 t 的连续函数的矩阵。
定义1：对线性时变系统 （A, B,C, D)，如果对取定初始时刻
，t0和 J一个的无一约个束非的零的初容始许状控态制XU0，(t存)，在t 一t0个, 时t1刻，t1使状J ，态t1由
t0
X0
转移到 t1 时 X (t1) 0 ，则称此 X 0 在时刻 t0 是能控的。
定义的几点解释：
(1) 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；
(2) 容许控制的分量幅值不加限制，且在J 上平方可积；
(3) 线性定常系统的能控性与 t0 无关；
(4) 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状 态，则称为系统的能达性。
(5) 系统不完全能控为一种“奇异”情况。
x2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
y 0
6
x1 x2
将其表为标量方程组形式，有：
x1 4x1 u
x2 5x2 2u
y 6x2
分析：X1、X2受控于U Y与X1无关 Y与 X2有关
[例3.2]：判断下列电路的能控和能观测性
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能 控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测 性的若干判据。
3.1 线性连续系统的能控性
3.1.1 概述
能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的 状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
[例 3.1] 给定系统的描述为
x1
t1 e A(t1t ) BU (t)dt
0
e At1 X 0 e At1
t1 0
e
Atຫໍສະໝຸດ BBTe
AT
t
dtWc1[0,
t1
]
X
0
e At1 X 0
e
W At1 c
[0,
t1
]Wc1[0,
t1
]
X
0
0
充分性得证。
必要性：已知系统为完全能控，欲证Wc[0,t1] 非奇异。
反证法。反设 使成立
内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2）描述
的系统在 t t0 时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能
控，则称该系统为状态(完全)能控的。
1. 格拉姆矩阵判据
定理1：[格拉姆矩阵判据]线性定常系统(3.2)为完全能控的
充分必要条件是，存在 t1 0 ，使如下定义的格拉姆矩阵
能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地 揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先 提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实 践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通 常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题 中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器 设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。
另一方面，因系统完全能控，对非零 X 0 又成立
0 X (t1) e At1 X 0
t1 e At1eAt BU (t)dt
0
由此得出
X0
t1 e At BU (t)dt
0
X 0
2
X
T
0
X0
t1 0
e
At
BU
(t
T
)dt
X
0
t1 0
U
T
(t
)
B
T
e
AT
t
X
0
dt
0
又 BTe ATt X 0 0 所以 X 0 ＝0。
t [0,t1]
3.1.3 定常系统状态能控性判据
考虑线性连续时间系统
Σ(A,B,C,D)：X(t) AX (t) BU (t)
(3.2）
其中 X (t) Rn,U (t) Rm, A Rnn, B Rnm
且初始条件为 X (t) X (0) 。 t 0
如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 t0 t t1
y
u(t )
R CR R x R
C
x1
R
u(t )
R
x2 C
左上图：输入u（t），状态x（t），输出y（t）。
右上图：输入u（t），状态x1（t）， x2（t）。
R1
L i
y
x1
u(t) 0
x2R1 L
R2
左图：输入u（t）， 状态x1（t）， x2（t）， 输出y（t） 。
Wc[0,t1]
t1 e AtBBTe ATtdt
0
(3.3)
非奇异。
[证明]：充分性：已知Wc[0,t1] 非奇异，欲证系统完全能控。
采用构造法证明，构造的控制量为
U (t) BTeATtWc1[0,t1]X0
t [0,t1]
在U (t) 作用下容易解得：
X (t1) e At1 X 0
3.1.2 能控性的定义
线性时变系统的状态空间描述：
（A, B,C, D) : X A(t) X B(t)U
Y (t) C(t)X D(t)U
（3.1)
X (t0 ) X 0 t J 其中：X 为 n 维状态向量；
U 为 m 维输入向量；
J 为时间 t 的定义区间；
A为 n*n 的元为 t 的连续函数的矩阵；
Wc
为奇异，也即反设存在某个非零 X0 Rn
，
X 0TWc[0, t1]X 0 0
由此进而有
0 X 0TWc[0, t1]X 0
t1 0
X
T 0
e
At
BB
T
e
ATt
X 0dt
t1 0
BTeATt X 0
2
dt
要使上式成立，应有
BTe ATt X 0 0
t [0,t1]
对能控性和能观测性的直观讨论
系统
uu12
状态
yy11
un
x1, x2 , , xn
yn
每一个状态变量 x1, x2 ,L , xn 运动都可由输入u(t)
来影响和控制，而由任意的始点达到原点——状态能
控。
状态 x1, x2 ,L , xn 的任意形式的运动均可由输出完全反映
——状态能观测。
定义2：对线性时变系统 （A, B,C, D)，如果状态空间中的所 有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 （A, B,C, D)
在时刻t0是能控的。
定义3：对上述线性时变系统 （A, B,C, D，) 取定初始时刻t0 J，
如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t0 是不能控的，
B 为 n*m的元为 t 的连续函数的矩阵。
定义1：对线性时变系统 （A, B,C, D)，如果对取定初始时刻
，t0和 J一个的无一约个束非的零的初容始许状控态制XU0，(t存)，在t 一t0个, 时t1刻，t1使状J ，态t1由
t0
X0
转移到 t1 时 X (t1) 0 ，则称此 X 0 在时刻 t0 是能控的。