专题27 数形结合

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高考数学：数形结合法及题型实例

高考数学：数形结合法及题型实例数形结合思想基础知识点1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

经典例题剖析方法总结与高考预测（一）方法总结1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：（1）集合的运算及文氏图（2）函数图象，导数的几何意义（3）解析几何中方程的曲线（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。

（二）高考预测1．在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空等小题。

高考数学专题27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题热点题型和提分秘籍理-人教版高三全册数

专题27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

热点题型一二元一次不等式(组)表示平面区域例1、 (1)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________。

解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0,1)，D (1,0)，边长AD＝2，则正方形的面积S＝2×2＝2，故选B。

(2)区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可。

【提分秘籍】平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。

若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。

(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。

【举一反三】已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4对应的平面区域，如图：热点题型二求线性目标函数的最值例2、【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2+330{2330 30x y x y y -≤-+≥+≥的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由3{2330y x y =--+= 解得A (−6,−3)，则z =2x +y 的最小值是：−15. 故选：A.【变式探究】设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【提分秘籍】利用可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。

数学中考复习：数形结合思想PPT课件

距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。（1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5．已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性质，
函数的解析式是从数量关系上反应量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0

数形结合知识点

数形结合知识点数形结合是指数学中数与图形的结合，通过运用数学知识解决与图形和空间有关的问题。

在数形结合中，数与图形的关系相互补充，相互依存，共同呈现出独特的数学魅力。

一、数形结合的基本概念数形结合是数学中的一个重要概念，它主要包括以下几个方面的内容：1.几何图形与数量关系：通过几何图形可以了解到其中的数量关系，例如平行线的性质、多边形的各种角度关系等。

通过数学思维和分析方法可以研究这些数量关系，从而更好地理解和应用几何图形。

2.数学模型与几何形状相结合：数学模型是指利用数学方法来模拟和解决实际问题的过程。

而几何形状则是模型的基础，通过数学建模和分析，可以将问题转化为几何形状的关系，进而获得问题的解答。

3.平面几何与立体几何的结合：在数形结合中，平面几何和立体几何的知识相互交叉、相互渗透。

例如在计算一个立体图形的体积时，需要运用到平面几何中的面积计算公式，而在分析一个平面图形的特征时，也需要考虑到其所在平面的空间性质。

4.空间想象与数学推理的结合：数形结合还要求我们能够在思维中准确地理解和想象几何图形的形状、大小和位置。

在这个过程中，我们需要结合空间想象能力和数学推理能力来分析和解决问题。

二、数形结合的应用领域数形结合的知识点在数学学科的多个领域都有广泛的应用，下面以几个典型的应用领域来介绍：1.建筑设计与规划：建筑设计中需要考虑到空间形状、比例、尺寸等因素，这些都需要通过数形结合的方法进行分析和解决。

例如，设计师在确定建筑物的尺寸和布局时，常常需要运用到数学几何的知识。

2.工程测量与绘图：在进行工程测量与绘图时，需要准确地测量和绘制各种几何形状，例如房屋平面图、道路工程图等。

在这个过程中，运用到的就是数形结合的方法。

3.地理与地貌研究：地理和地貌研究中需要考虑到地球表面的形状、地貌特征等因素，而这些都可以通过数学几何的知识进行研究和分析。

4.数据可视化与分析：在进行数据可视化与分析时，常常需要利用图表来呈现数据的分布和关系。

数形结合 PPT课件

4、用三角解决几何问题
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高，求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形

初中数学学习中的解题技巧——数形结合

初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。

数形结合解题方法和技巧

数形结合解题方法和技巧
本文介绍数形结合解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一方法，提高数学解题能力。

数形结合是一种常用的数学解题方法，它将数学问题与几何图形相结合，通过直观的几何图形来帮助解决复杂的数学问题。

下面，我们介绍一些数形结合解题的方法和技巧。

一、利用几何图形的性质
几何图形具有许多特定的性质，如线段长度、角度大小、平行关系等。

在解题时，我们可以利用这些性质来帮助我们理解问题，甚至可以通过这些性质来推导出未知数的值。

例如，在一道求解三角形题目中，我们可以利用三角形的边角关系，通过余弦定理或正弦定理来求解未知角度或边长。

二、利用几何图形的变换
几何图形可以通过平移、旋转、翻折等变换来改变形态，而这些变换并不改变图形的本质属性。

在解题时，我们可以利用这些变换来帮助我们理解问题。

例如，在一道求解相似三角形题目中，我们可以
通过旋转或翻折等变换将原图形变换成易于求解的图形，然后再进行计算。

三、利用几何图形的切分
几何图形可以通过切分来将复杂的问题分解成简单的问题。

在解题时，我们可以利用这些切分来帮助我们理解问题。

例如，在一道求解曲线图形题目中，我们可以通过切分将曲线分割成一些简单的线段或曲线，然后再分别进行计算，最后再将结果相加得到答案。

数形结合是一种非常有用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

[全]高中数学-数形结合六大应用及例题详解

[全]高中数学-数形结合六大应用及例题详解数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

一、什么是数形结合？1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。

例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。

如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。

概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化二、数形结合应用的三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。

有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

三、如何运用数形结合思想解答数学题1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

四、应用方式和例题详解（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用解析：方法说明：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。

数学思想方法——数形结合

则ymax
3 3 , ymin 。 3 3
例6.已知直线y x b与曲线x 1 y 2 有且只有一个公共点，求b的取值范围。
法一用代数方法转化为方程处理（思考）
消y得 : x 1 ( x b) 2 x 0且2 x 2 2bx b 2 1 0
0 0
0
①
② 一正一负
③ 一零一负
两个相等非负根
综上可知 : b 2或 1 b 1
y
l3
l2
o
x
l1
法二 : 数形结合法如图, y x b表示平行于y x的直线系，x 1 y 2 表示单位圆的右半部分（半圆）。直线与半圆有且只有一个公共点，当直线的位置在l1时或在l2到l3之间运动时，符合题意。当直线的位置在l1时，直线与圆相切。
举一反三
练习：直线x 3 y m 0与圆x 2 y 2 1在第一象限内 1
( 3,2) 有两个不同的交点，则m ________1
1
X
练习２：如果实数x、y满足等式 3 2＋y2＝3，那么y/x的最大值是_____ (x－2)
2
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
-8
四、数形结合常见题型：
题型一：数形结合在集合中的应用例1.设命题甲：0＜x＜3，命题乙：|x－1|＜4，则甲是乙成立的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【解析】
将两个命题用数轴表示，如下图：
从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件.
［点评］对于处理集合的问题，可以用数形结合的方法，如果是
含字母参数的，可以画韦恩图，如果是具体的数集，则可以画数轴，都可以使集合间的关系直观化.

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

专题27 含参不等式的存在性与恒成立问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2021版】【解析版】

学习界的007⎨ 专题27 含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.方法一判别式法万能模板内容使用场景含参数的二次不等式解题模板第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.例1 设f (x) =x 2 - 2mx + 2 ，当x ∈[-1,+∞) 时，f (x) ≥m 恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】第一步，首先将所求问题转化为二次不等式；第二步，运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；⎧⎪∆≥ 0⎪F (-1) ≥0解得- 3 ≤m ≤-2 .⎪- 2m⎪-⎩ 2≤-1第三步，得出结论.综上可得实数m 的取值范围为[-3,1) .综上可得实数m 的取值范围为[-3,1) .【变式演练1】【2020 届百校联考高考考前冲刺必刷卷】已知集合A ={x x2 + 2ax + 2a ≤ 0}，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（）A．0 B．0 或-2 C．0 或2 D．2【答案】C【分析】根据题意转化为抛物线y =x2 + 2ax + 2a 与x 轴只有一个交点，只需△ = 4a2 - 8a = 0 即可求解.【详解】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足x2 + 2ax + 2a ≤ 0 ，即抛物线y =x2 + 2ax + 2a 与x 轴只有一个交点，∴△ = 4a2 - 8a = 0 ，∴ a = 0 或 2.故选：C【变式演练2【】安徽省皖江名校联盟2021 届高三第二次联考】对∀x ∈R ，不等式(a -1)x2 +(a -1)x -1 < 0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．(-3,1) B．(-3,1] C．(-4,1) D．[-4,1]【答案】B【分析】学习界的首先根据不等式恒成立，对二次项系数是否为零进行讨论，结合图形的特征，列出式子求得结果.【详解】对∀x ∈ R ，不等式(a -1)x 2+ (a -1) x -1 < 0 恒成立，当 a = 1 时，则有-1 < 0 恒成立；当a -1 ≠ 0 ， a -1 < 0 且∆ = (a -1)2 + 4(a -1) < 0 ，解得-3 < a < 1.实数 a 的取值范围是(-3,1]. 故选：B.方法二分离参数法例 2 已知函数 f ( x ) = kx 2- ln x ，若 f ( x ) > 0 在函数定义域内恒成立，则 k 的取值范围是（）A ． ⎛ 1 , e ⎫B ． ⎛1 , 1 ⎫C ． ⎛-∞,1 ⎫D ． ⎛1 , +∞ ⎫e ⎪ 2e e⎪ 2e ⎪ 2e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝⎭⎝ ⎭【答案】D【解析】第一步，首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步，先求出含变量一边的式子的最值；第三步，由此推出参数的取值范围即可得出结论.考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1 ） f (x) <g(a) 恒成立⇔f (x)max <g(a) ；（2 ）f (x) ≤g(a) 恒成立⇔ f (x)max≤g(a) ；（3 ）f (x) >g(a) 恒成立⇔f (x)min >g(a) .（4）f (x) ≥g(a) 恒成立⇔f (x)min≥g(a) .学&科网【变式演练3】【江苏省苏州市新草桥中学2020-2021 学年高三上学期10 月月考】正数a ，b满足9a +b =ab ，若不等式a +b ≥-x2 + 2x +18 -m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[3, +∞)B．(-∞, 3) C．(-∞, 6)D．[6, +∞)【答案】A【分析】先利用基本不等式求得a +b 的最小值，再把问题转化为 m ≥ f (x ) 恒成立的类型，最后求解 f (x ) 的最大值即可. 【详解】因为9a + b = ab ，所以 1 + 9= 1，且 a ， b 为正数，a b所以 a + b = (a + b )( 1 + 9) = 10 + b +9a a bab10 +16 ，当且仅当 b = 9a，即 a = 4 ， b = 12 时，取等号，所以(a + b ) a bmin= 16 ，若不等式 a + b ≥ -x 2 + 2x +18 - m 对任意实数 x 恒成立，则16 ≥ -x 2 + 2x +18 - m 对任意实数 x 恒成立，即m ≥ -x 2 + 2x + 2 对任意实数 x 恒成立，因为-x 2+ 2x + 2 = -(x -1)2+ 3 3 ，所以 m ≥ 3 ，故选：A.【变式演练 4】【北京市人大附中 2021 届高三年级 10 月数学月考】已知方程 x 2 + ax -1 = 0 在区间[0,1]上有解，则实数a 的取值范围是（）A ． [0, +∞)B ． (-∞, 0)C ． (-∞, 2]D ． [-2, 0]【答案】A【分析】化简方程，分离参数，利用数形结合即可求解【详解】方程x2 +ax -1 = 0 在区间[0,1]上有解，当x = 0 时，方程无解；当0 <x ≤ 1时，则有a =1-x2=1-，令g(x) =1-x ，x xxx1 -(1+x2 )g(x)g '(x) =--1 =< 0 ，即在0 <x ≤1时为减函数，x2 x2由于g(1) = 0 ，所以，当0 <x ≤1时，g (x) ≥ 0 ，所以，只要a ≥ 0 ，方程x2 +ax -1 = 0 在区间[0,1]上有解故选：A方法三函数性质法例3 设函数f (x) =e x -1-x -ax2 ，若x ≥ 0 时，f (x) ≥ 0 ，求a 的取值范围.【答案】a ≤1 2【解析】第一步，首先可以把含参不等式整理成适当形式如f (x, a) ≥ 0 、f (x, a) < 0 等；1-x第二步，从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步，得出结论.【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具.本题抓住 f (0) = 0 这一重要的解题信息，将问题转化为 f (x ) ≥ f (0) 在 x ≥ 0 时恒成立，通过研究函数 f (x ) 在[0, +∞) 上是不减函数应满足的条件，进而求出 a 的范围.隐含条件 f (0) = 0 对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用.【变式演练 5】【云南省昆明市第一中学 2021 届高中新课标高三第二次双基检测】记函数f ( x ) = ln ( x +1) + 的定义域为 A ，函数g (x ) = e x - e - x + sin x +1，若不等式 g (2x + a ) + g (x 2 -1) > 2 对 x ∈ A 恒成立，则a 的取值范围为（）A ． [2, +∞)B ． (2, +∞)C ． (-2, +∞)D ． [-2, +∞)【答案】A⎨【分析】根据函数解析式，先求出 A = (-1,1] ；令 m ( x ) = e x- e- x+ sin x ，根据函数奇偶性的定义，判定 m (x ) 是奇函数；根据导数的方法判定 m (x ) 是增函数；化所求不等式为 a > - x 2 - 2 x + 1 ，进而可求出结果. 【详解】由⎧x +1 > 0 解得-1 < x ≤ 1 ，即 A = (-1,1] ， ⎩1- x ≥ 0令m (x ) = e x- e - x+ sin x ，则m (-x ) = e- x- e x - sin x = -m (x ) ，则 m (x ) 是 R 上的奇函数；又m '(x ) = e x+ e - x+ cos x ≥ 2 + cos x > 0 显然恒成立，所以 m ( x ) 是增函数；由 g (2x + a ) + g (x 2-1) > 2 得 m (2x + a ) + m ( x 2-1)+ 2 > 2 ，即m (2x + a ) + m (x 2-1) > 0 ，即 m (2x + a ) > -m (x 2-1)，由 m (x ) 是 R 上的奇函数且为增的函数，所以 m (2x + a ) > m (1- x2) 得： 2 x + a > 1 - x 2.所以 a > -x 2 - 2x +1 = -( x +1)2+ 2 ，当 x ∈(-1,1]时， -( x +1)2+ 2 < 2 .所以 a ≥ 2 .故选：A.【高考再现】1.【2020 年高考浙江卷9】已知a , b ∈R 且ab ≠ 0 ，若(x-a)(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 在x ≥ 0 上恒成立，则（）A. a < 0B. a > 0C. b < 0D. b > 0【答案】C【思路导引】对a 分a > 0 与 a < 0 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．【解析】当a < 0 时，在x ≥ 0 上，x -a ≥ 0 恒成立，∴只需满足(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，此时2a +b <b ，由二次函数的图象可知，只有b < 0 时，满足(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 ，b > 0 不满条件；当b < 0 时，在[0, +∞)上，x -b ≥ 0 恒成立，∴只需满足(x-a)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，此时当两根分别为x =a 和x = 2a +b ，（1）当a +b > 0 时，此时0 <a < 2a +b ，当x ≥ 0 时，(x -a)(x- 2a -b)≥ 0 不恒成立，（2）当a +b < 0 时，此时2a +b <a ，若满足(x -a)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，只需满足a < 0当a +b = 0 时，此时2a +b =a > 0 ，满足(x -a)(x- 2a -b)≥ 0 恒成立，综上可知满足(x-a)(x-b)(x- 2a -b)≥ 0 在x ≥ 0 恒成立时，只有b < 0 ，故选C ．2.【2020 年高考上海卷11】已知a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f (x) 同时满足下列两个条件，①对任意x ∈R ，f (x ) 的值为x 或x2 ；②关于x 的方程f (x) =a 无实数解；则a 的取值范围为．0 0 0 0【答案】(-∞, 0) (0,1) (1, +∞)【解析】由y =x2 和y =x 的图象和函数的定义可知，若满足 f (x)的值为x 或f (x)=x 2 ，只有0 0 0 0f (0)= 0 = 02 ，f (1)=1 =12 ，结合②可知若方程f (x)=a 无实数解，则a ∈(-∞, 0) (0,1) (1, +∞)，故答案为：(-∞, 0) (0,1) (1, +∞)．【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数与方程，二次函数图象及其应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、数学直观、数学建模等学科素养．解题关键是正确a cc · 4a作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题．3. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】在O ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,h,c ，²ABC ܥ 1ൌ0°，²ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD ܥ 1，则 4a h c 的最小值为．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，SOABC ܥ SOABD h SOBCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得1acsin 1ൌ0° ܥ 1 a × 1 ×ൌൌsin60° h 1 c × 1 × sin60°，化简得 ac ܥ a h c, 1 h 1 ܥ 1，因此 4a h c ܥ (4a h c)( 1 h 1 ) ܥ h h c h 4a ≤ h hൌacacacൌ ܥ 9,当且仅当 c ܥ ൌa ܥ 3 时取等号，则 4a h c 的最小值为 9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4. 【2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学】已知函数f ( x ) = {2 - x , ( x - 2)2, x ≤ 2,函数x > 2,g (x ) = b - f (2 - x ) ，其中b ∈ R ，若函数 y = f (x )- g (x ) 恰有 4 个零点，则b 的取值范围是（）A ．⎛ 7 , +∞ ⎫B ． ⎛-∞,7 ⎫C ． ⎛ 0,7 ⎫D ．⎛ 7 , 2 ⎫4 ⎪ 4 ⎪ 4 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭【答案】D【解析】试题分析：函数恰有 4 个零点，即方程，即有 4 个不同的实数根，即直线与函数的图像有四个不同的交点．又⎨2做出该函数的图像如图所示，由图得，当时，直线与函数的图像有 4 个不同的交点，故函数恰有 4 个零点时，b的取值范围是故选 D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点．【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确，否则很容易出现错误．⎧x 2 - x + 3, x ≤ 1,5. 【2017 天津理，8】已知函数 f (x ) = ⎪ x + , x > 1.设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| x+ a | 在 R 上恒2 ⎩⎪ x 成立，则 a 的取值范围是（A ）[-47, 2] 16 （B ）[- 47 , 39]16 16（C ）[-2 3, 2]（D ）[-2 3, 39]16【答案】 A2 3 3 47 x x2 x 23 2 x 2当 x > 1 时，(*)式为-x - ≤ + a ≤ x + ， - x - ≤ a ≤ + ，x 2 x 2 x 2 x3 2 3 2又 - x - = -( x + 2 x 2 ) ≤ -2 x （当 x = 时取等号），3 x + 2≥ 2 = 2 （当 x = 2 时取等号）， 2 x 所以-2 ≤ a ≤ 2 ，综上-≤ a ≤ 2 ．故选A ．16【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足 f (x ) ≥x+ a 转化为- f (x ) - ≤ a ≤ f (x ) - 去解决，由于涉及分段函数问题要 2 2 2遵循分段处理原则，分别对 x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据 x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.6. 【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 f( x ) = ( x - 2)e x + a (x -1)2有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设 x 1,x 2 是 f ( x ) 的两个零点,证明： x 1 + x 2 < 2 .【答案】(0, +∞)3 2 xx ⨯ 2试题解析;（Ⅰ）f '(x) = (x -1)e x + 2a(x -1) = (x -1)(e x + 2a) ．（i）设a = 0 ,则f (x) = (x - 2)e x , f (x) 只有一个零点．（ii）设a > 0 ,则当x ∈(-∞,1) 时, f '(x) < 0 ；当x ∈ (1, +∞) 时, f '(x) > 0 ．所以f (x) 在(-∞,1) 上单调递减,在(1, +∞) 上单调递增．又f (1) =-e , f (2) =a ,取b 满足b < 0 且b < ln a ,则2f (b) >a(b - 2) +a(b -1) 2 =a(b 2 -3b) > 0 ,2 2故f (x) 存在两个零点．学&科网（iii）设a < 0 ,由f '(x) = 0 得x =1 或x = ln(-2a)．若a ≥-e, 则ln(-2a) ≤1 , 故当x ∈ (1, +∞) 时, 2时, f (x) < 0 ,所以f (x) 不存在两个零点．f '(x) > 0 , 因此f (x) 在(1, +∞) 上单调递增．又当x ≤ 1若a <-e,则ln(-2a) > 1 ,故当x ∈ (1, ln(-2a)) 时, f '(x) < 0 ；当x ∈(ln(-2a), +∞) 时, f '(x) > 0 ．因此2f (x) 在(1, ln(-2a)) 单调递减,在(ln(-2a), +∞) 单调递增．又当x ≤ 1时, f (x) < 0 ,所以f (x) 不存在两个零点．综上, a 的取值范围为(0, +∞)．考点：导数及其应用7.【2016 高考江苏卷】已知函数f (x) =a x +b x (a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1) .设a = 2,b =1 .2（1）求方程f (x) = 2 的根;（2）若对任意x ∈R ,不等式f (2x) ≥m f(x) - 6 恒成立，求实数m 的最大值；（3）若0 <a <1,b＞1，函数g (x)=f (x)- 2 有且只有 1 个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0 ②4（2）1【解析】试题解析：（1）因为a=2,b=1，所以f(x)=2x+2-x. 2①方程f (x) = 2 ，即2x + 2-x = 2 ，亦即(2x )2 - 2 ⨯ 2x +1 = 0 ，所以(2x -1)2 = 0 ，于是2x = 1 ，解得x = 0 .②由条件知f (2x) = 22 x + 2-2 x = (2x + 2-x )2 - 2 = ( f (x))2 - 2 .（2）因为函数g(x) =f (x) - 2 只有1 个零点，而g(0) =f (0) - 2 =a 0 +b 0 - 2 = 0 ，所以0 是函数g(x) 的唯一零点.因为g ' (x) =a x ln a +b x ln b ，又由0 <a < 1, b > 1 知ln a < 0, ln b > 0 ，ln a a所以 g '(x ) = 0 有唯一解 x = log (-ln a) . 0b ln b令h (x ) = g '(x ) ，则 h '(x ) = (a xln a + b x ln b )' = a x (ln a )2 + b x (ln b )2，从而对任意 x ∈ R ， h '(x ) > 0 ，所以 g '(x ) = h (x ) 是(-∞, +∞) 上的单调增函数，于是当 x ∈(-∞, x ) ， g ' (x ) < g ' (x ) = 0 ；当 x ∈(x , +∞) 时， g ' (x ) > g '(x ) = 0 . 因而函数 g (x ) 在(-∞, x 0 ) 上是单调减函数，在(x 0 , +∞) 上是单调增函数.下证 x 0 = 0 .若 x < 0 ，则 x < x 0 < 0 ，于是 g ( x0 ) < g (0) = 0 ，2 2又 g (log 2) = alog a 2+ b log a 2 - 2 > a log a 2 - 2 = 0 ，且函数 g (x ) 在以 x0 和log 2 为端点的闭区间上的图象不a 2a间断，所以在 x 0 和log 2 之间存在 g (x ) 的零点，记为 x . 因为0 < a < 1，所以log 2 < 0 ，又 x0 < 0 ，2 a 1 a2所以 x 1 < 0 与“0 是函数 g (x ) 的唯一零点”矛盾.若 x > 0 ，同理可得，在 x0 和log 2 之间存在 g (x ) 的非 0 的零点，矛盾.2a因此， x 0 = 0 .于是-= 1，故ln a + ln b = 0 ，所以ab = 1 .ln b考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.8.【2016 年高考四川理数】设函数 f (x )=ax 2-a -ln x ，其中 a ∈R.学习界的007（Ⅰ）讨论 f (x )的单调性；（Ⅱ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x ) > 1- e1- x在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底x数).【答案】（Ⅰ）当 x ∈（0, 1) 时， f '(x ) <0， f (x ) 单调递减；当 x ∈（ 2a 1，+∞) 时， f '(x ) >0， f (x ) 单 2a调递增；（Ⅱ） a Î [ 1,+ ¥ ) . 2【解析】1 2ax2 -1试题解析：（I ） f '(x ) = 2ax - = x x(x > 0).当a ≤ 0时 f '(x ) <0， f (x ) 在（0，+∞）内单调递减.当a > 0时由 f '(x ) =0，有 x =1 .2a此时，当 x ∈（0,1) 时， f '(x ) <0， f (x ) 单调递减；2a学习界的007当 x ∈（1，+∞) 时， f '(x ) >0， f (x ) 单调递增.2a（II ）令 g (x ) = 1- x 1 ex -1， s (x ) = e x -1 - x .则 s '(x ) = ex -1-1 .而当 x > 1时， s '(x ) >0，所以 s (x ) 在区间（1，+∞) 内单调递增.又由 s (1) =0，有 s (x ) >0，从而当 x > 1 时， f (x ) >0.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求f '(x) ，解方程f '(x) = 0 ，再通过f '(x) 的正负确定f (x) 的单调性；要证明函数不等式f (x) >g(x) ，一般证明f (x) -g(x) 的最小值大于0，为此要研究函数h(x) =f (x) -g(x) 的单调性．本题中注意由于函数h(x) 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．【反馈练习】1.【2020 届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次高考适应性考试】不等式x2 - 2x + 5 >a2 对x ∈ (1, +∞) 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[-2, 2]B．(-2, 2)C．(-∞, -2) (2, +∞) D．(-∞, -2] [2, +∞)【答案】A【分析】求得x > 1 时x2 - 2x + 5 的取值范围，由此求得a2 的取值范围，进而求得a 的取值范围.【详解】由于x = 1 是y =x2 - 2x + 5 的对称轴，所以当x > 1 时，x2 - 2 x + 5 > 12 - 2 + 5 = 4 .所以a2 ≤ 4 ，解得-2 ≤a ≤ 2 .故选：A2.【吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考】若命题“∃x∈R，使x2+(a-1)x+1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A．(-1, 3)B．[-1,3]C．(-∞, -1) (3, +∞)D．(-∞, -1]⋃[3, +∞)⎩【答案】B【分析】先求出命题的否定，利用其为真命题及二次函数的性质，列不等式求解.【详解】解：命题“∃x ∈R ，使 x 2+ (a -1)x +1 < 0 ”是假命题，则命题“ ∀ x ∈R ，使 x 2+ (a -1)x +1 ≥ 0 ”是真命题，∴∆= (a -1)2- 4 ≤ 0 ，解得-1 ≤ a ≤ 3 .故选：B3.【河北省邯郸市 2021 届高三上学期摸底】若命题 p : “ ∀x ∈ R ， 2ax 2 - ax -1 ≤ 0 ”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ． (-∞,8]B ．[-8, 0] C ． (-∞, -8) D ．(-8, 0)【答案】B【分析】对二次项系数进行讨论，分为 a = 0 和a ≠ 0 两种情形，结合判别式可得结果.【详解】由题意，当 a = 0 时，命题成立；⎧a < 0当a ≠ 0 时， ⎨∆ = a 2+ 8a ≤ 0 ，解得-8 ≤ a < 0 ，综上可得，实数a 的取值范围是[-8, 0] .故选：B.4. 【江西省上高二中 2021 届高三上学期第一次月考】已知函数 f (x ) = x 2 + ln(| x | +1) ，若对于 x ∈[-1, 2] ，f (x 2 + 2ax - 2a 2 ) < 9 + ln 4 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A ． -1 < a < 2 - 62B ． -1 < a < 1C. a >2 + 6 或 a <2 - 6D.2 - 6 < a < 2 + 62 22 2【答案】A【分析】根据 f ( x ) 的解析式可得该函数是偶函数且在(0, +∞) 是增函数，据此求解不等式；将问题转化为一元二次不等式在区间上恒成立的问题，从而处理.【详解】由题意，函数 f (x ) = x 2 + ln(| x | +1) 的定义域为 R ，且 f (-x ) = (-x )2+ ln(| -x | +1) = x 2+ ln(| x | +1) = f (x )所以函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递增，又由9 + ln 4 = 32+ ln(| x | +1) =f (3) ，所以不等式 f (x 2 + 2ax - 2a2) < 9 + ln 4 对于 x ∈[-1, 2] 恒成立，等价于 x 2 + 2ax - 2a 2< 3 对于 x ∈[-1, 2]恒成立，即 x 2 + 2ax - 2a 2 < 3 ① x 2 + 2ax - 2a 2 > -3 ②对于x ∈[-1, 2]恒成立．⎧g(-1) =-2a 2 - 2a - 2 < 0 令g(x) =x2 + 2ax - 2a2 -3 ，则⎨，⎩g(2) =-2a 2 + 4a +1 < 0解得a >2 +26或a <2 -26时①式恒成立；令h(x) =x2 + 2ax - 2a 2 + 3 ，令x2 + 2ax - 2a2 + 3 = 0 ，则当∆= 4a2 + 8a2 -12 < 0 时，即-1 <a < 1时②式恒成立；当∆= 4a2 + 8a2 -12 = 0 ，即a =±1时，不满足②式；当∆= 4a2 + 8a2 -12 > 0 ，即a <-1 或a > 1时，由h(-1) =1- 2a - 2a 2 + 3 > 0 ，h(2) = 4 + 4a - 2a 2 + 3 > 0 ，且-a <-1或-a > 2 ，知不存在a 使②式成立．综上所述，实数a 的取值范围是-1 <a <2 - 6．2故选：A.5.【天津市第七中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】若不等式ax2+2ax﹣1＜0 对于一切实数x 都恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．(-1,0] D．[0, +∞)【答案】C【分析】⎧a < 0讨论二次项系数a = 0 或a ≠ 0 ，当a ≠ 0 时，只需满足⎨∆< 0 ，解不等式即可.⎩⎩ ⎩【详解】当 a = 0 时，不等式-1 < 0 对于一切实数 x 恒成立，满足题意；⎧a < 0 当a ≠ 0 时，则⎨∆ < 0 ⎧a < 0，即⎨4a 2+ 4a < 0，解得-1 < a < 0 ，综上所述，实数 a 的取值范围是(-1, 0] . 故选：C6.【海南省临高中学 2021 届高三上学期第一次月考】若不等式 x 2 + ax - 2 > 0 在区间[1, 5] 上有解，则a 的取值范围是（）A ． ⎛ -23 , +∞⎫B ． ⎡-23 ,1⎤C ．(1, +∞) D ． ⎛-∞, -23 ⎫5 ⎪ ⎢ 5 ⎥ 5 ⎪ ⎝ ⎭⎣ ⎦⎝ ⎭【答案】A【分析】由题意可得a >⎛ 2 - x ⎫ ，求得函数 y = 2- x 在区间[1, 5] 上的最小值，由此可求得实数 a 的取值范围. x ⎪x ⎝ ⎭min【详解】当 x ∈[1, 5] 时，由 x 2 + ax - 2 > 0 可得a > 2- x ，由题意可得 a > ⎛ 2 - x ⎫. xx ⎪ ⎝ ⎭min函数 y =2 - x 在区间[1, 5] 上单调递减，则 y= 2 - 5 = - 23 ，∴a > - 23. x因此，实数a 的取值范围是⎛ -23 , +∞⎫.min5 5 55 ⎪ ⎝ ⎭故选：A.7．（多选题）【江苏省南京市玄武高级中学 2020-2021 学年高三上学期学情检测】已知 m ∈ N * ，若对任意的2 m x ∈[1, 2] ， x +m ≤ 4 恒成立，则实数m 的值可以为（）xA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC【分析】将不等式转化为m ≤ 4x - x 2 在 x ∈[1, 2] 恒成立，求出 y = 4x - x 2 在区间[1, 2] 的最小值即可求解.【详解】若对任意的 x ∈[1, 2] ， x +m≤ 4 恒成立，x即m ≤ 4x - x 2 在 x ∈[1, 2] 恒成立，令 y = 4x - x 2 ， x ∈[1, 2]，y = 4x - x 2 = - (x - 2 )2+ 4 ∈ [3, 4 ]，所以 m ≤ 3 ，又m ∈ N * ，所以 m = 1, 2, 3 .故选：ABC8. 【天津市南开中学 2020-2021 学年高三上学期统练】设函数 f (x ) = x 2 -1，对任意x ∈ 3⎛ x ⎫2[ , +∞), f ⎪ - 4m f (x ) ≤ f (x - 1) + 4 f (m ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 . ⎝ ⎭【答案】(-∞, -3] ⋃[ 3, +∞) 2 2【分析】根据 f (x ) 的解析式及题干条件，整理可得 1m2- 4m 2≤ - 3x2- 2 + 1在 x ∈[ 3, x2+∞) 上恒成立，利用二次函3 数的性质可求得-3t 2 - 2t + 1 的最小值为- 5 ，则只需求 13m 2- 4m 2≤ - 5即可，化简整理，即可得答案.3【详解】x 22222x ∈ 3由题意得 m 2 -1- 4m (x -1) ≤ (x -1) -1+ 4(m -1) 在 [ , +∞) 上恒成立，21整理得 m 2- 4m 2 ≤ - 3 x 2- 2 + 1在 x ∈[ 3 , x 2+∞) 上恒成立，令 1 = t ，则t ∈(0, 2] ，x 3则- - 2 +1 = -3t 2- 2t +1，x 2x因为t ∈(0, 2] ，则-3t 2 - 2t + 1 的最小值为- 5，3 3所以 1- 4m 2≤ - 5 ，整理可得(3m 2 +1)(4m 2 - 3) ≥ 0 ，m 23所以 m 2≥ 3，即 m ≥43 或m ≤ -3 ，22故答案为： (-∞, -3] ⋃[ 3, +∞) . 2 29. 【2020 年浙江省新高考考前原创冲刺卷】已知不等式cos 2 x - a sin x + a 2 1-sin x 对任意的实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围为 .【答案】(-∞, -2] [1, +∞) 【分析】即sin 2x + (a -1) sin x - a20 恒成立，设t = sin x ，则t ∈[-1,1] ，令 f (t ) = t 2 + (a -1)t - a 2 ，即 f (t ) ≤ 0在t ∈[-1,1] 时恒成立，即 f (t )max ≤ 0 ，根据二次函数在闭区间上的最值的特点可得， f (t ) 的最大值一定( ) ( )⎩⎧ f (-1) = 1- (a -1) - a 2 ≤ 0 为 f 1 或 f -1 ，所以只需⎨ ⎩ f (1) = 1+ (a -1) - a 2≤ 0，从而得出答案.【详解】由cos 2 x - a sin x + a 2 1-sin x 可得sin 2 x + (a -1) sin x - a 2 0 .令t = sin x ，则t ∈[-1,1] ，令 f (t ) = t 2 + (a -1)t - a 2 ， t ∈[-1,1] ，即 f (t ) ≤ 0 在t ∈[-1,1] 时恒成立，即 f (t )max ≤ 0 .由开口向上的二次函数的图象和性质知，当t ∈[-1,1] 时， f (t ) 的最大值一定为 f (1) 或 f (-1).⎧ f (-1) = 1- (a -1) - a 2 ≤ 0 所以⎨ f (1) = 1+ (a -1) - a 2≤ 0故答案为： (-∞, -2] [1, +∞)，解得 a ≤ -2 或 a ≥ 1 .10. 【2020 届浙江省金华十校高三下学期 4 月模拟考试】设 a ，b ∈R ，若函数 f (x ) = 2 ax 3+ 1bx 2+ (1- a ) x 3 2在区间[﹣1，1]上单调递增，则 a +b 的最大值为．【答案】2【分析】求导得 f '(x ) = 2ax 2 + bx +1 - a ，依题意2ax 2 + bx +1- a ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立，先根据系数比例，令2x 2 - 1 = x ，可得 a + b ≤ 2 ，即 a +b 的最大值为 2，再证明充分性，即当 a + b = 2 时，2ax 2 + bx +1- a ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立，综合即可得出结论．【详解】求导得 f '(x ) = 2ax 2+ bx +1 - a ，( ) -2x , x ≤ 0 ∵函数 f (x ) 在区间[-1,1] 上单调递增，∴ 2ax 2 + bx +1- a ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立，令2x 2 - 1 = x 解得 x = 1 或 x = - 1，2将 x = - 1代入可得- 1 a - 1 b +1 ≥ 0 ，即 a + b ≤ 2 ，则a +b 的最大值为 2，2 2 2下面证明 a + b = 2 可以取到，令 g ( x ) = f '(x ) = 2ax 2+ bx +1- a ，则 g '( x ) = 4ax + b ，且 g ( x ) ≥ 0 ， g ⎛ - 1 ⎫= 0 ，2 ⎪ ⎝ ⎭则 g '⎛ - 1 ⎫= -2a + b = 0 ，解得 a = 2， b = 4， 2 ⎪ 3 3⎝⎭当a = 2 ， b = 4时，3 3g ( x ) = f '( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1(2x +1)2 ≥ 0 在 x ∈[-1,1]上恒成立，3 3 3 3故a + b = 2 可以取到，综上， a +b 的最大值为 2．故答案为：2．⎧ax 2 + x , x > 0 1. 【广西防城港市防城中学 2021 届高三 10 月月考】已知 f x = ⎨ ⎩，若不等式f ( x - 2) ≥ f (x ) 对一切 x ∈ R 恒成立，则a 的最大值为 .【答案】 - 12【分析】⎝ ⎪根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，利用参数分离法求出a 的范围即可得到结论.【详解】∵不等式f (x - 2)≥f (x )对一切x ∈R 恒成立，∴若x ≤ 0 ，则x - 2 ≤-2 .则不等f (x- 2)≥f (x )等价为，-2 (x- 2)≥-2x ，即4 ≥ 0 ，此时不等式恒成立，若0 <x ≤ 2 ，则x - 2≤0 ，则不等式f (x- 2)≥f (x )等价为，-2 (x - 2)≥ax 2 +x ，即ax2 ≤ 4 - 3x ，则a ≤4 - 3x=x24-3，x2 x4 3 ⎛1 3 ⎫2 9设h (x)=x2 -x= 4x- -，⎭16∵0 <x ≤ 2 ，∴1≥1，x 2则h (x)≥-1，∴此时a ≤-1，2 2若x > 2 ，则x - 2 > 0 ，则f(x-2)≥f(x)等价为，a(x-2)2+(x-2)≥ax2+x，即4a (1 -x )≥ 2 ，∵x > 2 ，∴-x <-2 ，1-x <-1 ，8⎨则不等式等价， 4a ≤ 2 = - 2即2a ≤ -1 x -11- x x -1则 g (x ) = - 1 x -1在 x > 2 时，为增函数，∴g ( x ) > g (2) = -1 ，即2a ≤ -1，则 a ≤ - 1，2故 a 的最大值为- 1，2故答案为： - 1.212.【上海市行知中学 2021 届高三上学期 10 月月考】若对任意实数 x ∈[-1,1]，不等式 m 2-1 > x (m +1) 恒成立，则实数m 的取值范围是．【答案】(-∞, -1)(2, +∞)【分析】根据题意将问题转化为(m +1) x - (m 2-1)< 0 对任意实数x ∈[-1,1]恒成立，进而得 ⎧⎪(m +1)⨯1-(m 2 -1) < 0 ⎪⎩(m +1)⨯(-1) -(m 2-1) < 0，解不等式即可得答案.【详解】解：因为对任意实数 x ∈[-1,1]，不等式 m 2-1 > x (m +1) 恒成立，故(m +1) x - (m 2-1)< 0 对任意实数x ∈[-1,1]恒成立，故只需满足⎨ ⎩⎧⎪(m +1)⨯1-(m 2 -1) < 0 ⎪⎩(m +1)⨯(-1) -(m 2 -1) < 0，解得： m < -1或 m > 2 所以实数 m 的取值范围是(-∞, -1) (2, +∞) .故答案为： (-∞, -1) (2, +∞)13. 【天津市和平区 2020-2021 学年高三上学期期中】∀x ∈ R ，ax 2 + ax - 2 < 0 都成立.则 a 的取值范围是．【答案】(-8, 0]【分析】分类讨论， a = 0 ， a ≠ 0 时结合二次函数性质得解．【详解】a = 0 时，不等式为-2 < 0 ，恒成立，⎧a < 0a ≠ 0 时，则⎨∆ = a 2 + 8a < 0 ，解得-8 < a < 0 ，综上有-8 < a ≤ 0 ．故答案为： (-8,0]．14.【湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）2020-2021 学年高三上学期期中】已知函数 f (x ) = x 2 + ax - 2(a ∈ R ) ，若∃x ∈(1, 4) ，使得 f (x ) ≤ 0 ，则a 的取值范围是 .【答案】 a < 1【分析】转化为a ≤ 2 - x 在 x ∈(1, 4) 时能成立，利用 y = 2 - x 在(1, 4) 上为递减函数，求出 2 - x ∈ (- 7 ,1) 后可得x x x 2解.【详解】∃x ∈(1, 4) ，使得f (x) ≤ 0 ，等价于x2 +ax - 2 ≤ 0 ，即a ≤2-x 在x ∈(1, 4) 时能成立，x因为y =2-x 在(1, 4) 上为递减函数，所以2-x ∈ (-7,1) ，x x 2所以a < 1 .故答案为：a < 1 .15.【辽宁省营口第五中学2020-2021 学年高三上学期第二次月考】已知函数f (x) =| 3x -1| + | 3x +a | ，g(x) =x ⋅f (x) ，h(x) =x 2 - 5x - 3 ．（1）若f (x)≥ 3 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a （其中a >-1 ），使得∀x∈⎡-a,1⎤，都有不等式g(x) ≥h(x) 恒成立？若存⎣⎢33⎥⎦在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(-∞, -4] [2, +∞) ；（2）存在，⎛-1,-9+321⎤． 4 ⎥ ⎝⎦【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f (x )的最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的含绝对值的不等式，求解即得；（2）根据a 和x 的范围化简得到含有参数a 的关于x 的一元二次不等式，利用二次函数的图象和性质，并根据不等式恒成立的意义得到关于实数a 的有关不等式（组），求解即得.【详解】解：（1）∵f(x)=|3x-1|+|3x+a|，∴f ( x) ≥| (3x -1) - (3x +a) |=| a +1 |，3 当且仅当(3x -1)(3x + a ) ≤ 0 时，取等号．∴原不等式等价于 a +1 ≥ 3 ，解得 a ≥ 2 或 a ≤ -4 ．故a 的取值范围是(-∞, -4] [2, +∞) ．（2）∵ a > -1 ，∴ - a < 1， 3 3∵ x ∈ ⎡- a , 1 ⎤ ，∴ f ( x ) =| 3x -1 | + | 3x + a |= a + 1，g (x ) = (a +1) x ， ⎣⎢ 3 3⎥⎦∴原不等式恒成立⇔ (a +1)x ≥ x 2 - 5x - 3 ⇔ x 2 - (a + 6)x - 3 ≤ 0在 x ∈ ⎡- a ,1 ⎤ 上恒成立，⎣⎢ 3 3⎥⎦令u (x ) = x 2 - (a + 6)x - 3 ， u ⎛ - a ⎫ = 4 a 2 + 2a - 3 ≤ 03 ⎪ 9 ⎝ ⎭得-9 + 3 21 ≤ a ≤ -9 + 3 21 ， 4 4且u ⎛ 1 ⎫ = - 44 - 1 a ≤ 0 ，得 a ≥ - 44 ，⎪ ⎝ ⎭ 又 a > -1 ，得-1 < a ≤ -9 + 3 21 ．4故实数a 的取值范围是⎛ -1, -9 + 3 21 ⎤ ． 4 ⎥ ⎝⎦ 16. 【江苏省苏州市相城区 2020-2021 学年高三上学期阶段性诊断】已知二次函数 f (x ) = ax 2+ bx ，满足f (-2) = 0 且方程 f ( x ) = x 有两个相等实根.9 3 32t 2t 2t （1）求函数 f ( x ) 的解析式；（2）解不等式 f ( x ) <3 2（3）当且仅当 x ∈[4,m ]时，不等式 f ( x - t ) ≤ x 恒成立，试求 t ，m 的值.【答案】（1） f (x ) = 1x 2 + x ；（2）{x | -3 < x < 1} ；（3）t = 8, m = 12 . 2【分析】（1）由 f (-2) = 0 可得b = 2a ，再由方程 f (x ) = x 有两个相等实根，可得∆ = (2a - 1)2 - 4 ⨯ a ⨯ 0 = 0 ，从而可求出a , b 的值，进而可求出 f (x ) 的解析式；（2）直接解一元二次不等式可得结果；（3）不等式(x - t )2 ≤ 2t 的解集为{x | t - ≤ x ≤ t + 2t } ，由于当且仅当 x ∈[4, m ] 时， f (x - t ) ≤ x 恒成立，即不等式 f (x - t ) ≤ x 的解集为{x | 4 ≤ x ≤ m } ，从而得t - = 4 且t + = m ，进而可求得结果【详解】解：（1）由于函数 f (x ) = ax 2 + bx 是二次函数，所以 a ≠ 0 ，又 f (-2) = a ⨯(-2)2 + b ⨯(-2) = 0 ，所以b = 2a ，所以 f ( x ) = ax 2 + 2ax ，又 f (x ) = x 有两个相等实根，即ax 2 + (2a - 1)x = 0(a ≠ 0) 有两个相等实根，所以∆ = (2a - 1)2 - 4 ⨯ a ⨯ 0 = 0 ，所以 a = 1 2从而 f (x ) = 1x 2 + x . 2（2）由（1）知， f (x ) = 1 x 2 + x ，所以不等式 f ( x ) < 3 即为 1 x 2 + x < 3，解得-3 < x < 1. 2 2 2 22t 2t 2t 所以不等式的解集为{x | -3 < x < 1}（3）由（1）知， f (x ) = 1 x 2 + x ，所以不等式 f (x - t ) ≤ x 即为 1 ( x - t )2 + ( x - t ) ≤ x ， 22化简得( x - t )2 ≤ 2t ，又由于( x - t )2 ≥ 0 ，所以2t ≥ 0 ，从而不等式( x - t )2 ≤ 2t 的解集为{x | t - ≤ x ≤ t + 2t }又由于当且仅当x ∈[4, m ] 时， f (x - t ) ≤ x 恒成立，即不等式 f (x - t ) ≤ x 的解集为{x | 4 ≤ x ≤ m }，所以t - = 4 且t + = m ，从而解得t = 8, m = 12 .17. 【西藏山南市第二高级中学 2021 届高三上学期第一次月考】已知二次函数 f (x ) 的最小值为 1，且 f (0) = f (2) = 3 .（1）求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间；（2）当 x ∈[-1 ，1] 时， f (x ) > 2x + 2m +1恒成立，试确定实数m 的取值范围.【答案】（1） f ( x ) = 2x 2- 4x + 3，增区间为(1, +∞) ，减区间为(-∞ ，1] ；（2） (-∞, -1].【分析】（1）根据二次函数顶点式求得 f ( x ) ，进而求得 f ( x ) 的单调区间.（2）利用分离常数法，结合二次函数的性质求得 m 的取值范围.【详解】（1）.∵ f (x ) 是二次函数，且 f (0) = f (2) = 3 ，∴其图像对称轴为直线 x = 1 . 又最小值为1，∴可设 f ( x ) = a ( x -1)2 +1，又 f (0) = 3， ∴a = 2 .a + ≥∴ f (x ) = 2(x -1)2 +1 = 2x 2- 4x + 3 .∴ f (x ) 的单调递增区间为(1, +∞) ，单调递减区间为(-∞ ，1] .（2）由已知得 2x 2 - 4x + 3 > 2x + 2m +1在[-1,1] 上恒成立，化简得 m < x 2 - 3x +1.设 g (x ) = x 2- 3x +1 ，则 g ( x ) 在区间[-1,1] 上单调递减.∴在区间[-1,1] 上的最小值为 g (1) = -1，∴ m < -1.∴满足条件的实数 m 的取值范围为(-∞, -1) .18. 【重庆市西南大学附属中学 2021 届高三上学期第一次月考】已知命题 p : 存在实数 x ∈[1, 2] ， x 2 - 4ax + 1 ≤ 0 成立（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）命题q : 函数 f ( x ) = log (ax 2 - x ) 在区间 x ∈(2, 4) 内单调递增，如果 p ∧ q 是假命题，求实数 a 的取值范围.【答案】（1） a ≥ 1；（2） 0 < a < 1. 2【分析】（1）由题得1 1 a [ 4 (x x)]min ，利用基本不等式求函数的最小值即得解；（2）先求出命题q 为真时， a > 1，再根据 p ∧ q 是假命题求实数 a 的取值范围.【详解】（1）由题得存在实数 x ∈[1, 2]， a ≥ 1 (x + 1 ) 成立，所以 a ≥ [ 1 (x + 1)] ， 4 x 4 x mina因为 1 (x + 1 ) ≥ 1 ⋅ 1，（当且仅当 x = 1 时取等）， 4 x4 2所以 a ≥ 1 . 2（2）函数 f ( x ) = log (ax 2 - x )在区间 x ∈(2, 4) 内单调递增，当 a > 1时，二次函数 y = ax 2 - x 的对称轴为 x = 1 2a< 2 ，所以二次函数 y = ax 2- x 在区间 x ∈(2, 4) 内单调递增，因为 ax 2 - x > 0 在区间 x ∈(2, 4) 内恒成立，所以 4a - 2 ≥ 0,∴ a ≥ 1.所以 a > 1. 2当0 < a < 1时，二次函数 y = ax 2 - x 在区间 x ∈(2, 4) 内单调递减，所以 x = 1 2a≥ 4，∴ a ≤ 1 . 8因为 ax 2 - x > 0 在区间 x ∈(2, 4) 内恒成立，所以16a - 4 ≥ 0,∴ a ≥ 1 .所以 a ∈∅ . 4综上所述， a > 1.如果 p ∧ q 是真命题，则 a ≥ 1 且 a > 1，即 a > 1. 2如果 p ∧ q 是假命题，所以0 < a < 1.。

专题27 弧弦圆心角的关系-中考数学二轮复习之难点突破+热点解题方法

专题27 弧弦圆心角的关系一、单选题1．下列命题中是真命题的是（）A．1的平方根是1B．等弦所对的圆周角相等C．等腰三角形的高、角平分线、中线重合D．两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等【答案】D【分析】由平方根的含义判断,A由圆的弧，弦，圆心角，圆周角的关系判断,B由等腰三角形的性质判断,C由内错角的含义判断,D从而可得答案．【详解】解：1的平方根是，故A不符合题意；等弦所对的圆周角不一定相等，故B不符合题意；等腰三角形的底边上的高、顶角的角平分线、底边上的中线互相重合，故C不符合题意；两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，真命题，故D符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是真假命题的判断，同时考查了内错角的含义，平方根的含义，等腰三角形的性质，弧，弦，圆心角，圆周角的关系，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是ACB上的三等分点，则⊙A+⊙D＝（）A．120°B．95°C．105°D．150°【答案】A【分析】根据圆周角定理和圆心角、弦、弧的关系求得⊙ACB＝90°，⊙BOD＝60°，⊙A＝60°，再根据OB=OD证得⊙BOD为等边三角形，则有⊙D=60°，即可求解．【详解】解：⊙C、D是ACB上的三等分点，⊙AC CD BD==，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙BOD＝60°，⊙A＝60°，⊙OB＝OD，⊙⊙OBD为等边三角形，⊙⊙D＝60°，⊙⊙A+⊙D＝120°，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．3．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等【答案】C【分析】在同圆或等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，据此解答．【详解】解：A. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，故A 错误；B. 在同圆或等圆中，两条相等的弦所对弧相等，故B 错误；C. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦都被与它垂直的半径平分，故C 正确；D. 如果在两个圆中有两条相等的弦，这两条弦所对的弦心距不一定相等，故D 错误．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．如图，A B C D 、、、是O 上的点，180AOD BOC ∠+∠=︒．若2,6AD BC ==，则BOC ∆的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】A【分析】作出辅助线延长BO 交O 于点E ，连接CE ，由此构建圆心角AOD COE ∠=∠，根据圆周角与弧长和弦长的关系得到2AD CE ==，再据此求出BEC △的面积，经由OB OE =即可求出BCE 的面积.【详解】解：如图延长BO 交O 于点E ，连接CE ，⊙B O E 、、三点共线⊙180COE BOC ∠+∠=︒，90BCE ∠=︒，⊙CE BC ⊥，⊙180AOD BOC ∠+∠=︒，⊙AOD COE ∠=∠，⊙AD CE =，⊙2AD CE ==,⊙6BC =， ⊙1162622S BC CE ==⨯⨯=△BCE ， ⊙OB OE =， ⊙116322S S ==⨯=△BOC △BEC . 故选A.【点睛】本题主要考查圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，关键在于作出OB 的延长线OE ，来构造出圆心角相等，以此来解决问题.5．如图，AB 是O 的直径，,C D 是ACB 上的三等分点，且1sin 2ABC ∠=，则A D ∠+∠等于（）A ．120°B ．95°C ．105°D ．150°【答案】A【分析】由圆心角、弦、弧的关系及圆周角定理可得⊙ACB=90°，⊙BOD=60°，⊙A=60°，通过证明⊙OBD 为等边三角形，即可求⊙D=60°，进而可求解；【详解】⊙ C 、D 是ACB 上的三等分点，⊙ AC CD BD == ，⊙ AB 是圆的直径，⊙ ⊙ACB=90°，⊙BOD=60°，⊙A=60°，⊙OB=OD ，⊙⊙OBD 为等边三角形，⊙⊙D=60°，⊙⊙A+⊙D=120°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点的综合运用； 6．如图，正五边形ABCDE 内接于O ，点P 为DE 上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC ，PD ，DG PC ⊥，垂足为G ，则PDG ∠等于（）A ．72°B ．54°C ．36°D ．64°【答案】B【分析】根据正五边形ABCDE 内接于O ，可得COD ∠，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得CPD ∠，再根据三角形内角和定理即可得PDG ∠．【详解】解：⊙正五边形ABCDE 内接于O ， ⊙360725COD ︒∠==︒ ⊙CPD ∠与COD ∠所对的弧相同 ⊙1362CPD COD ∠=∠=︒⊙PDG ∠=180903654︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出CD 所对的圆心角．7．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB⊙CD 于E ，连接CO ，AD ，⊙BAD ＝25°，下列结论中正确的有（） ⊙CE ＝OE ；⊙⊙C ＝40°；⊙ACD ＝ADC ；⊙AD ＝2OEA ．⊙⊙B ．⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙⊙【答案】B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：⊙AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB⊙CD 于E ，⊙CE=DE ，BC BD =，ACB ADB =，⊙⊙BOC=2⊙A=40°，ACB BC ADB BC +=+，即ADC ADC =，故⊙正确；⊙⊙OEC=90°，⊙BOC=40°，⊙⊙C=50°，故⊙正确；⊙⊙C≠⊙BOC ，⊙CE≠OE ，故⊙错误；作OP⊙CD ，交AD 于P ，⊙AB⊙CD ，⊙AE ＜AD ，⊙AOP=90°，⊙OA ＜PA ，OE ＜PD ，⊙PA+PD ＞OA+OE⊙OE ＜OA ，⊙AD ＞2OE ，故⊙错误；故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是O 上一个动点（点P 不与点A ，B 重合），在点P 运动的过程中，有如下四个结论：⊙至少存在一点P ，使得PA AB >；⊙若2PB PA =，则2PB PA =；⊙PAB ∠不是直角；⊙2POB OPA ∠=∠．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．⊙⊙B ．⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙【答案】B【分析】根据圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，即可得出．【详解】⊙因为直径是圆中最长的弦,故⊙错误，⊙若2=则PB＜2PA ，故⊙错误，PB PA⊙ 因为直径所对的圆周角是90°，⊙APB=90°，所以⊙PAB不可能是90°，故⊙正确，⊙ 连接PA，PO，如图⊙⊙POB=⊙PAO+⊙APO又⊙PAO=⊙APO⊙⊙POB=2⊙OPA故⊙正确，故选：B．【点睛】本题考查了与圆有关的性质，圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，解题的关键是掌握圆的有关的性质，直径，半径，圆周角，圆心角，弧，等知识是解题的关键．9．下列说法错误的是（）A．等弧所对的弦相等B．圆的内接平行四边形是矩形C．90︒的圆周角所对的弦是直径D．平分一条弦的直径也垂直于该弦【答案】D【分析】根据圆的性质逐项判断即可．【详解】A．等弧所对的弦相等，故A正确，不符合题意．B．根据圆的内接四边形对角互补和平行四边形邻角互补，即可知圆的内接平行四边形是矩形．故B正确，不符合题意．C．90︒的圆周角所对的弦是直径，故C正确，不符合题意．D．平分一条弦（非直径）的直径也垂直于该弦．故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及圆内接平行四边形的性质．熟练掌握这些知识是判断此题的关键．10．下列判断正确的个数有（）⊙平分弦的直径垂直于弦；⊙圆内接平行四边形是菱形；⊙一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；⊙如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据垂径定理可对⊙进行判断；根据圆内接四边形的性质及矩形的判定定理可对⊙进行判断；根据圆周角定理可对⊙进行判断；根据弧、弦、圆心角的关系可对⊙进行判断；综上即可得答案．【详解】平分弦（非直径）的直径垂直于弦；故⊙错误；⊙四边形内接于圆，⊙四边形的对角互补，⊙四边形是平行四边形，⊙对角相等，⊙四边形的四个内角都是直角，⊙四边形是矩形，故⊙错误，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故⊙正确，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等，故⊙错误，综上所述：正确的判断为⊙，共1个，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、矩形的判定及弧、弦、圆心角的关系，平分弦（非直径）的直径垂直于弦；并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周心相等；熟练掌握相关定理及性质是解题关键．11．下列命题：⊙垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；⊙在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；⊙在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；⊙圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质判断．【详解】解：⊙垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，本小题说法是真命题；⊙在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法是真命题；⊙在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，本小题说法是真命题；⊙圆内接四边形的对角互补，本小题说法是真命题；故选：A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据弦、弧与圆心角的关系逐一判断即可.【详解】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项正确；C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查弦、弧与圆心角的关系，此类试题难度不大，关键是掌握弦和圆心角等一些基本知识，容易混淆. 13．如图，线段AB 是⊙的直径，弦CD⊙AB ，⊙CAB ＝20°，则⊙BOD 等于（）A ．30°B ．70°C ．40°D ．20°【答案】C【分析】由线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，根据垂径定理可得BC BD =，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：连接OC ，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，∴BC BD =，222040BOD BOC CAB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，掌握圆的基本性质定理是解题的关键．14．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，⊙ABC ＝50°，则⊙BCD ＝（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°【答案】C【分析】连接AC ，然后根据圆内接四边形的性质，可以得到⊙ADC 的度数，再根据点D 是弧AC 的中点，可以得到⊙DCA 的度数，直径所对的圆周角是90°，从而可以求得⊙BCD 的度数．【详解】解：连接AC ，⊙⊙ABC ＝50°，四边形ABCD 是圆内接四边形，⊙⊙ADC ＝130°，⊙点D 是弧AC 的中点，⊙CD ＝AC ，⊙⊙DCA ＝⊙DAC ＝25°，⊙AB 是直径，⊙⊙BCA ＝90°，⊙⊙BCD ＝⊙BCA+⊙DCA ＝115°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．如图，BD 是O 的直径，点A ，C 在O 上，AB AD =，AC 交BD 于点G ．若126COD ∠=︒．则AGB ∠的度数为（）A ．99︒B ．108︒C ．110︒D ．117︒ 【答案】B【分析】先根据圆周角定理得到⊙BAD 90=︒，再根据等弧所对的弦相等，得到AB AD =，⊙ABD 45=︒，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到⊙CAD=63︒，⊙BAG=27︒，即可求解．【详解】解：⊙BD 是O 的直径⊙⊙BAD 90=︒⊙AB AD =⊙AB AD =⊙⊙ABD 45=︒⊙126COD ∠=︒ ⊙⊙1CAD 632COD =∠=︒ ⊙⊙BAG 906327=︒-︒=︒⊙⊙AGB 1802745108=︒-︒-︒=︒故选：B ．【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．16．如图，O 中，AB AC =，70ABC ∠=︒．则BOC ∠的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°【答案】C【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得⊙A的度数，然后根据圆周角定理可得⊙BOC=2⊙A，进而可得答案．【详解】解：⊙AB AC，⊙AB=AC，⊙⊙ABC=⊙ACB=70°，⊙⊙A=180°-70°×2=40°，⊙圆O是⊙ABC的外接圆，⊙⊙BOC=2⊙A=40°×2=80°，故选C．【点睛】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．17．下列命题中真命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．相等的圆心角所对的弦相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可．【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键．18．下列命题：⊙长度相等的弧是等弧；⊙任意三点确定一个圆；⊙相等的圆心角所对的弦相等；⊙平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】由等弧的概念判断⊙，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断⊙；根据圆心角、弧、弦的关系判断⊙，根据垂径定理判断⊙.【详解】⊙同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故⊙是假命题；⊙不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故⊙是假命题；⊙同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故⊙是假命题；⊙圆两条直径互相平分，但不垂直，故⊙是假命题；所以真命题共有0个，故选A.【点睛】本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.19．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A．这两条弦所对的弦心距相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分【答案】D【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论．【详解】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选D.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，解题关键在于掌握其性质定理 .20．已知⊙O的半径为5，弦AB=6⊙P是AB上任意一点，点C是劣弧AB的中点，若⊙POC为直角三角形，则PB的长度（）A．1B．5C．1或5D．2或4【答案】C【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若⊙POC 为直角三角形，只能是⊙OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论．【详解】⊙点C是劣弧AB的中点，⊙OC垂直平分AB⊙⊙DA=DB=3⊙4=⊙若⊙POC为直角三角形，只能是⊙OPC=90°⊙则⊙POD⊙⊙CPD⊙⊙PD CD OD PD=⊙⊙PD2=4×1=4⊙⊙PD=2⊙⊙PB=3⊙2=1⊙根据对称性得，当P在OC的左侧时，PB=3+2=5⊙⊙PB的长度为1或5.故选C⊙【点睛】考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键．21．如图，AB是⊙O的弦，OA⊙OC是⊙O的半径，AC BC⊙⊙BAO=37°，则⊙AOC的度数是（）度.A．74B．106C．117D．127【答案】D【分析】连接OB，进而得出⊙AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙AOC 的度数．【详解】连接OB⊙⊙OA=OB⊙⊙BAO=37°⊙⊙⊙AOB=180°-2×37°=106°⊙⊙=AC BC⊙⊙⊙AOC=⊙BOC=3601062︒-︒⊙127°⊙故选D⊙【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．22．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊙AB⊙ON⊙CD，垂足分别为点M⊙N⊙BA⊙DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：⊙AB CD=⊙⊙OM=ON⊙⊙P A=PC⊙⊙⊙BPO=⊙DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】如图连接OB⊙OD⊙⊙AB=CD⊙⊙AB=CD，故⊙正确⊙OM⊙AB⊙ON⊙CD⊙⊙AM=MB⊙CN=ND⊙⊙BM=DN⊙⊙OB=OD⊙⊙Rt⊙OMB⊙Rt⊙OND⊙⊙OM=ON，故⊙正确，⊙OP=OP⊙⊙Rt⊙OPM⊙Rt⊙OPN⊙⊙PM=PN⊙⊙OPB=⊙OPD，故⊙正确，⊙AM=CN⊙⊙PA=PC，故⊙正确，故选D⊙23．下列说法中，结论错误的是（⊙A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B【分析】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；【详解】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选B．【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．二、填空题24．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，点P是GH上的任意一点，则⊙CPE的度数为____．【答案】45︒．【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角⊙COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．【详解】连接OD,OC,OE,⊙八边形ABCDEFGH是正八边形,⊙⊙COD=⊙DOE=3608︒=45°,⊙⊙COE=45°+45°=90°,⊙⊙CPE=12⊙COE=45°.⊙⊙⊙⊙⊙45°⊙【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．25．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是⊙AOB、⊙COD，若⊙AOB与⊙COD互补，弦CD＝4，则弦AB的长为_____．【答案】【分析】作直径AE ，连接BE ，如图，利用等角的补角相等得到⊙BOE ＝⊙COD ，则根据圆心角、弧、弦的关系得到BE ＝CD ＝4，接着利用圆周角定理得到⊙ABE ＝90°，然后利用勾股定理计算AB 的长．【详解】解：作直径AE ，连接BE ，如图，⊙⊙AOB ＋⊙COD ＝180°，⊙AOB ＋⊙BOE ＝180°，⊙⊙BOE ＝⊙COD ，⊙BE ＝CD ＝4，⊙AE 为直径，⊙⊙ABE ＝90°，在Rt⊙ABE 中，AB =故答案为：【点睛】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题．26．如图，BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，AD 平分BAC ∠，连接BD 、CD ，若65ACB ∠=︒，则ABD ∠的度数为_________．【答案】70︒【分析】由BC 为直径，可得⊙BAC=⊙BDC=90°由AD 平分BAC ∠，可证BD=DC ，可得⊙DBC=⊙DCB=45°，65ACB ∠=︒，可求⊙ABC=90°-⊙ACB=25°，可求⊙ABD=⊙ABC+⊙DBC=70°即可．【详解】解：⊙BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，⊙⊙BAC=⊙BDC=90°⊙AD 平分BAC ∠，⊙⊙BAD=⊙CAD ，⊙BD DC =，⊙BD=DC ，⊙⊙DBC=⊙DCB=45°，⊙65ACB ∠=︒，⊙⊙ABC=90°-⊙ACB=90°-65°=25°，⊙⊙ABD=⊙ABC+⊙DBC=25°+45°=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．27．如图，若12∠=∠，那么AB 与BC __________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．【答案】一定【分析】根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．【详解】解：⊙⊙1=⊙2，⊙AB=AC,⊙AB=BC，故答案为：一定．【点睛】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．28．如图，AB为O的直径，2AC BC=，M为BC的中点，过M作//MN OC交AB于N，连接BM，则BMN∠的度数为__________．【答案】45°【分析】连接OM．根据弧与圆心角的度数求得⊙BOC的度数，然后利用M为BC的中点，求得⊙MOB=⊙COM=30°，结合平行线的性质和等腰三角形的性质求得⊙MNB，⊙B，即可解决问题．【详解】解：连接OM．⊙AB是直径，2AC BC=，⊙⊙BOC=13×180°=60°，⊙M为BC的中点，⊙BM CM=⊙⊙MOB=⊙COM=30°，⊙OM=OB，⊙⊙B=⊙OMB=12（180°-30°）=75°，⊙OC⊙MN，⊙⊙MNB=⊙COB=60°，⊙⊙BMN=180°-⊙BNM-⊙NBM=180°-60°-75°=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC ________2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＜【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系可得到AC与2CD之间的关系．【详解】解：连接AB、BC，如图，⊙AB BC CD==，⊙AB=BC=CD，⊙AB+BC＞AC，⊙2CD＞AC，即AC＜2CD．故答案为：＜．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．30．如图，ABC ∆是O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，若DA EB =，则DOE ∠的度数是____度．【答案】120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS 定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．【详解】连接OA ，OB ，作OH⊙AC ，OM⊙AB ，如下图所示：因为等边三角形ABC ，OH⊙AC ，OM⊙AB ，由垂径定理得：AH=AM ，又因为OA=OA ，故⊙OAH ≅⊙OAM （HL ）．⊙⊙OAH=⊙OAM ．又⊙OA=OB,AD=EB,⊙⊙OAB=⊙OBA=⊙OAD,⊙⊙ODA ≅⊙OEB （SAS ）,⊙⊙DOA=⊙EOB,⊙⊙DOE=⊙DOA+⊙AOE=⊙AOE+⊙EOB=⊙AOB ．又⊙⊙C=60°以及同弧AB ，⊙⊙AOB=⊙DOE=120°．故本题答案为：120．【点睛】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握． 31．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．【答案】【分析】如图，连接AD ，P A ，OD ．先证明P A ＝PB ，再根据PD +PB ＝PD +P A ≥AD ，求出AD 即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD ，P A ，OD ．⊙OC ⊙AB ，OA ＝OB ，⊙P A ＝PB ，⊙COB ＝90°，⊙BD =2CD ，⊙⊙DOB 23=⨯90°＝60°， ⊙OD ＝OB ，⊙⊙OBD 是等边三角形，⊙⊙ABD ＝60°⊙AB 是直径，⊙⊙ADB ＝90°，⊙AD ＝AB •cos⊙ABD ＝，⊙PB +PD ＝P A +PD ≥AD ，⊙PD +PB⊙PD +PB 的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC 为AB 的垂直平分线得到AD 为BP DP +的最小值是解题的关键．32．如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交弧BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】.3π【分析】如图，先作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，再分别求解,AD CD 的长即可得到答案．【详解】解：C 阴影＝,CE DE CD ++∴ C 阴影最短，则CE DE +最短，如图，作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，则,CE AE =,CE DE AE DE AD ∴+=+=此时E 点满足CE DE +最短，60,COB AOB OD ∠=∠=︒平分,CB30,90,DOB DOA ∴∠=︒∠=︒2,OB OA OD ===AD ∴==而CD 的长为：302,1803ππ⨯=∴ C 阴影最短为.3π故答案为：.3π【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题33．如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 等于弧BC ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，CD 与CE 相等吗？为什么？【答案】相等，理由见解析【分析】根据弧与圆心角的关系，可得⊙AOC=⊙BOC ，又由D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点，可得OD=OE ，利用SAS 判定⊙DOC⊙⊙EOC ，继而证得结论．【详解】解：CD=CE ，理由如下：⊙弧AC 和弧BC 相等，⊙⊙AOC=⊙BOC ，又⊙OA=OB ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，⊙OD=OE ，在⊙DOC 和⊙EOC 中，OD OE AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DOC⊙⊙EOC （SAS ），⊙CD=CE ．【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 34．已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，⊙CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（⊙）如图⊙，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（⊙）如图⊙，若⊙CAB＝60°，求BD的长．【答案】（⊙）求AC＝8，BD＝CD＝；（⊙）BD＝5【分析】（⊙）利用圆周角定理可以判定⊙CAB和⊙DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知⊙DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝；（⊙）如图⊙，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知⊙OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．【详解】解：（⊙）如图⊙，⊙BC是⊙O的直径，⊙⊙CAB＝⊙BDC＝90°．⊙在直角⊙CAB中，BC＝10，AB＝6，⊙由勾股定理得到：AC8=⊙AD平分⊙CAB，⊙CD BD=，⊙CD＝BD．在直角⊙BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，⊙易求BD＝CD＝（⊙）如图⊙，连接OB，OD．⊙AD平分⊙CAB，且⊙CAB＝60°，⊙⊙DAB＝12⊙CAB＝30°，⊙⊙DOB＝2⊙DAB＝60°．又⊙OB＝OD，⊙⊙OBD是等边三角形，⊙BD＝OB＝OD．⊙⊙O的直径为10，则OB＝5，⊙BD＝5．【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得⊙OBD 是等边三角形．35．阿基米德（Archimedes ，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯A1-Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，前苏联在1964年根据A1-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图⊙，已知AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是O 的一条折弦），,BC AB M >是ABC 的中点．那么从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明思路：证明：如图⊙，在CB 上截取CG AB =，连接,MA MB ，…………（定理证明）按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程．（问题解决）如图⊙，等边ABC ∆内接于,3,O AB D =为AC 上一点，45ACD ∠=︒．求BDC ∆的周长．【答案】【定理证明】：见解析；【问题解决】：BDC ∆的周长为3+【分析】（1）首先证明⊙MBA⊙⊙MGC （SAS ），进而得出MB=MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD ，即可得出答案；（2）首先证明⊙ABF⊙ACD （SAS ），进而得出AF=AD ，以及CD+DE=BE ，进而求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：（1）如图⊙，连接,MC MG ．可得A C ∠=∠．由M 是ABC 的中点，可求得MA MC =．CG AB =，MBA MGC ∴∆≅∆．MB MG ∴=．MD BC ⊥，BD GD ∴=．CG GD AB BD ∴+=+．即CD AB BD =+．（2）如图⊙，作AE BD ⊥．由AB AC =，可得AB AC =．由阿基米德折弦定理，可得BE ED DC =+．由于45,3ACD ABD AB ∠=∠=︒=，所以，在Rt ABE ∆中，可求得BE =故BDC ∆的周长为3+．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．36．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 与AB 分别交于点E 、F ，且AE BF =．求证：AC BD =．【答案】见解析【分析】取AB 中点G ，联结OG 并延长与⊙O 交于H ，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到AH BH =，再根据AE BF =及垂径定理求解即可；。

高考专题复习思想方法：数形结合(精华版)

数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、（集合中的数形结合）已知集合{}{}0103,22<--=+<<=xxxBaxaxA，当∅≠⋂BA，求实数a的取值范围.参考解答：画数轴分析可得45a-<<.例2、（函数中的数形结合）设()222f x x ax=-+，当[)1,x∈-+∞时，()f x a>恒成立，求a参考解答：解法一：由()f x a>，在[)1,-+∞上恒成立2x⇔考查函数()222g x x ax a=-+-的图像在[1,-不等式的成立条件是：1）()()244202,1a a a∆=--<⇒∈-；2）()(]13,210a ag∆≥⎧⎪<-⇒∈--⎨⎪->⎩；综上所述()3,1a∈-解法二：由()()2221f x a x a x>⇔+>+，令),l m对应的a的值分别为3,1-，故直线l对应的a∈例3、（方程中的数形结合）若方程()()2lg3lg3x x m x-+-=-在x∈内有唯一解，求实数参考解答：原方程变形为23033xx x m x->⎧⎨-+-=-⎩，即()3021xx m2->⎧⎪⎨-=-⎪⎩，作出曲线()212y x=-，()0,3x∈和直线21y m=-的图象，由图可知：①当10m-=时，有唯一解1m=；②当114m ≤-<时，即30m -<≤时，方程有唯一解. 综上可知，1m =或30m -<≤时，方程有唯一解.例4、（不等式中数形结合）不等式0222>++-a a ax x 在()2,0∈x 时恒成立，求a 的取值范围.参考解答：(][),10,-∞-⋃+∞例5、（解析几何中的数形结合）已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的最大值与最小值. 参考解答：对于二元函数3y x -在限定条件2211625x y +=下求最值问题，常采用构造直线截距的方法来求之.令3y x b -=，则3y x b =+，原问题转化为：在椭圆2211625x y +=上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y 轴上截距最大或最小，由图可知，当直线3y x b =+与椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距.由可得0∆=，得13b =±，故3y x -的最大值为13，最小值为13-.例6、设0b >，二次函数2y ax =②(A ()B例7、线段AB 的两个端点为(1,1A 点，求a 的取值范围.参考解答：不论a 取何值，直线l 恒过定点(P需要l 由直线PA 的位置（绕P l 的倾斜角先逐渐增大到2π（从而l 依然逐渐增大，因此其正切值（l 故(][)2,42,a ∈-∞-⋃+∞，即例8、已知()1,1A为椭圆22195x y+=内一点，1F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求1PF PA+的最大值和最小值.参考解答：由椭圆的定义知121266PF PF PF PF+=⇒=-，122266,6PF PA PF PA AF AF+=-+∈⎡-+⎤⎣⎦即()1min6PF PA+=，()1max6PF PA+=【配套练习】1、方程1sin44x xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭的解的个数为（C）()A1()B2()C3()D4 2、如果实数,x y满足()2223x y-+=，则yx的最大值为（D）()A12()B()C()D参考解答：等式()2223x y-+=有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为()2,0，半径3r=如图，y yx x-=-表示圆上的点(),x y与坐标原点()0,0的连线的斜率. 如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以()2,0为圆心，以r=OA的斜率的最大值，由图可见，当A∠在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算得最大值为tan60︒=3、已知函数()()2log1f x x=+，若0a b c<<<，则()()(),,f a f b f ca b c的大小关系为()()()f c f b f ac b a<<.4、设函数()2020x bx c xf xx⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f-=，()2f-=则关于x的方程()f x x=的解的个数为（C）()A1()B2()C35、函数y=D）()A2()B1+()C6、已知函数aaxxy-++=22在区间(]3,∞-内递减，则实数a参考解答：如图所示，可知对称轴362ax a=-≥⇒≤-7、设α、β分别是方程2log40240xx x x+-=+-=和的根，则αβ+＝4.8、如果关于x 的方程0232=-++a ax x 有两个实数根21,x x ，并且()()2,0,1,21∈-∞-∈x x ，求实数a 的取值范围.参考解答：令()232f x x ax a =++-，由题()()()1043030032022070f a f a a f ⎧-<-<⎧⎪⎪<⇒-<⇒>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩.9、求函数2cos 2sin -+=x x y 的值域.参考解答：2cos 2sin -+=x x y 的形式类似于斜率公式2121y y k x x -=-，表示过两点()02,2P -，()cos ,sin P x x 的直线的斜率，由于点P 在单位圆122=+y x 上，显然B P A P k y k 00≤≤，设过0P 的圆的切线方程为)2(2-=+x ky ，则有11|22|2=++k k ，解得374±-=k ，即0P Ak =，0P Bk =，所以374374+-≤≤--y ，所以函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---374374，. 10、已知集合(){}()(){}22,1,,,,1,,P x y x y x R y R Q x y x a y x R y R=+≤∈∈=-+≤∈∈，求满足下列条件时实数a 的取值范围.⑴∅≠⋂QP ；⑵P Q ；参考解答：画区域分析问题，⑴[]2,2a ∈-，⑵0a =【高考真题】1、若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<⎩⎨⎧===)0(s i n 3c o s 3)(πθθθy x y x M ，，集合}|){(b x y y x N +==，，且∅≠N M ，则实数b 的取值范围为(-.参考解答：集合}109|){(22≤<=+=y y x y x M，，，显然，M 表示以()0,0为圆心，以3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率1k =，纵截距为b ，由图形易知，欲使M N ⋂≠∅，即直线y x b =+与半圆有公共点，显然b 的最小逼近值为3-，最大值为233≤<-b .2、已知()()2f x x a x b =---（其中a b <），且,αβ是方程()0f x =的两根（αβ<），则实数(),a αβ∈，且b ∈(),αβ.3、点M 是椭圆1162522=+y x 上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则ON =（C ） ()A 32()B 2()C 4()D 8参考解答：设椭圆另一焦点为2F ，（如下图），则122MF MF a +=，而5a =，因为12MF =，所以28MF =，又注意到,N O 各为112,MF F F 的中点，所以ON 是12MF F ∆的中位线，因此4||21||2==MF ON .4、关于x 的方程()ax k x =-22在(]()*21,21x k k k N ∈-+∈上有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.()1 ()2 ()3 ()4()A ()()()(),2,3,4c a b d ----1 ()B ()()()(),2,3,4a b c d ----1 ()C ()()()(),2,3,4b d a c ----1 ()D ()()()(),2,3,4b c d a ----18、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则（A ）()()A ,0b ∈-∞ ()()0,1B b ∈()()1,2C b ∈()()2,D b ∈+∞参考解答：本题可将图形转化为具体数值，由图像过3个特殊点及与x ⑴()00f =，即0d =；⑵()10f =，即0a b c ++=； ⑶()20f =，即8420a b c ++=；⑷()()()12f x ax x x =⋅-⋅-；⑸当()(),01,2x ∈-∞⋃时，()0f x <，由()10f -<得0a b c -+-<，⑹当()()0,12,x ∈⋃+∞时，()0f x >，()30f >，可推得0a >.巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法：方法一：⑵⑶得3b a =-，再由⑹推得0b <，选A ；方法二：⑵⑸推得0b <；方法三：由⑷比较同次项系数得3b a =-，再由⑹得3b a =-.数学思想方法：数形结合数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、（集合中的数形结合）已知集合{}{}0103,22<--=+<<=x x x B a x a x A ，当∅≠⋂B A ，求实数a 的取值范围.例2、（函数中的数形结合）设()222f x x ax =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x a >恒成立，求a 的取值范围.例3、（方程中的数形结合）若方程()()2lg3lg 3xx m x -+-=-在()0,3x ∈内有唯一解，求实数m 的取值范围.例4、（不等式中数形结合）不等式0222>++-a a ax x在()2,0∈x 时恒成立，求a 的取值范围.例5、（解析几何中的数形结合）已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的最大值与最小值.例6、设0b >，二次函数2y ax =②(A ()B 例7、线段AB 的两个端点为()()1,1,1,3A B -，直线:21l y ax =-，已知直线l 与线段AB 有公共点，求a 的取值范围.例8、已知()1,1A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点，求1PF PA +的最大值和最小值.【配套练习】 1、方程1sin 44x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解的个数为（） ()A 1()B 2()C 3()D 42、如果实数,x y 满足()2223x y -+=，则y x的最大值为（）()A 12()B()C()D 3、已知函数()()2l o g 1f x x=+，若0a b c <<<，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系为 .4、设函数()2020x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f -=，()22f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（）()A 1()B 2()C 3()D 35、函数y = ）()A 2()B 1+()C()D 6、已知函数aax x y -++=22在区间(]3,∞-内递减，则实数a的取值范围为 . 7、设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根，则αβ+＝ .8、如果关于x 的方程0232=-++a ax x 有两个实数根21,x x ，并且()()2,0,1,21∈-∞-∈x x ，求实数a 的取值范围.9、求函数2cos 2sin -+=x x y 的值域.10、已知集合(){}()(){}22,1,,,,1,,P x y x y x R y R Q x y x a y x R y R=+≤∈∈=-+≤∈∈，求满足下列条件时实数a 的取值范围.⑴∅≠⋂Q P ；⑵P Q .【高考真题】1、若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<⎩⎨⎧===)0(s i n 3c o s 3)(πθθθy x y x M ，，集合}|){(b x y y x N +==，，且∅≠N M ，则实数b 的取值范围为 .2、已知()()()2f x x a x b =---（其中a b <），且,αβ是方程()0f x =的两根（αβ<），则实数(),a αβ∈，且b (),αβ.3、点M 是椭圆1162522=+y x 上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则ON =（）()A 32()B 2 ()C 4 ()D 8 4、关于x 的方程()ax k x =-22在(]()*21,21x k k k N ∈-+∈上有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.5678、已知函数f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则（）()()A ,0b ∈-∞ ()()0,1B b ∈ ()()1,2C b ∈ ()()2,D b ∈+∞。

数形结合的思想方法

数形结合的思想方法每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

一、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

初中数学思想方法篇——数形结合

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。

3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。

给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。

则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。

(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

“数形结合”方法归纳总结

“数形结合”方法归纳总结一、以数助形“数(代数）”与“形(几何）”是中学数学的两个主要研究对象,而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数"与“形"好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形"各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形"常见的结合点，，从“以数助形"角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时,更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜"的效果,使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面:（1）利用几何图形帮助记忆代数公式,例如:正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．(2)利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如:绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离;数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；利用函数图像的特点把握函数的性质:一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等;一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点;函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点（函数在x=0时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．。

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题27 数形结合

专题27数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题；2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形()A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111.（湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L c S c b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L xS x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1.不查表可求得tan 015的值为__________.2.如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________.（太原市竞赛试题）6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是()A.(13，13)B ．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m +=()A.25B.128C.153D.243E.256（美国数学统一考试题）8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是()A ．∠B ＞2∠AB ．∠B=2∠AC ．∠B ＜2∠AD ．不确定9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ()A ．a 1127B ．a 1128C ．a 1129D ．a 113010.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()A.1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO .(1)求这个二次函数的解析式；(2)以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求证：a B十b C＋c A＜k2.13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．（美国数学邀请赛试题）14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出t可以取的一切值：_______________（单位：秒）．15.如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2).在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）专题27 数形结合例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B '(2,-3)，连结 AB '交 x 轴于 C ，则 AB '=AC 十 CB ' 为所要求的最小值.例2D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b =12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8).例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3,BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可.例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点.例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222①,知正数c b a ,,适合方程.2L x sx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac sa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证.例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32-提示:构造含15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ,F .设OE =a ,BF =b ，则AE =a 3,CF =b 3，所以点A ,C的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴33233332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.363b a ∴点D 坐标为()0,62.3.52-提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值.4.ax b ≤≤5.36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC .6.C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14.7.A8.B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9.D10.C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则abk b a b a 2122∙=+++(k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11.(1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥EH 于M ，连结DG ,2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH =2FG .由4EF //x 轴，设H 为(x ,t )，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去).12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13.AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得•CD ＝CF •CG•BE ＝BI •BH (16－x )＝1×14(16－y )＝6×13.＝10－22＝6－22.故DE ＝16－(x ＋y )＝222.14.t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8.提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AEAC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB ＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )•S △ABE ＝m (1－m )•S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）,则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4(12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。

数形结合法解几何问题

数形结合法解几何问题
数形结合法是一种解决几何问题的有效方法，它的基本思路是通过数学的知识和图形的特点相结合，从而推导出几何问题的解答。

具体说来，数形结合法通常包括以下步骤：
1. 对几何问题进行分析，明确所求的量以及已知的条件。

2. 结合图形的特点，运用数学知识，列出相应的方程或不等式。

3. 将方程或不等式进行化简和变形，得出所求的未知量或关系式。

4. 验证结果是否符合原问题的要求及已知条件。

例如，对于一个求解三角形面积的问题，我们可以先利用三角形的面积公式S=1/2×底×高，得到面积与底和高的关系，然后通过已知的条件列出方程，最后解出未知量即可得到答案。

除了数学知识和图形特点的结合，数形结合法还可以借助计算机软件进行模拟和验证，大大提高几何问题的解决效率和准确性。

因此，数形结合法在实际应用中具有广泛的应用前景，可以为许多领域的研究提供有力的工具和方法。

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