江苏省高邮中学2020届高三下学期开学考试数学试题Word版含答案

江苏省高邮中学2020届下学期开学考试高三数学试题I 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝ ． 2.己知复数iz -=12，则z 的虚部为 ． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5． 函数22log (32)y x x =--的定义域为 ．6.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为 ． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。

下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 ．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。

若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线C 的离心率为 ． 10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=，则m 的值为 ．11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+=上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ．13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD . (1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +u u u r u u u r 的最小值；（2）若x ∈[0，2π]，向量BC m =u r u u u r ，n =r (1cos x -，sin 2cos x x -)，求m n ⋅u r r 的最小值及对应的x 值．17. 如图，一楼房高AB 为193米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60︒，安装过程中，一身高为3米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值．18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2= 60°，124EF EF ⋅=u u u v u u u v.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。

问：是否存在定点M ，使当直线l 绕点M 任意转动时，2211+||||AM BM 为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，说明理由。

19. 设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。

如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。

(1)设函数)(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数。

(i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

20.已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列. 数列{a n }的前n 和为n S ，且满足5452S a a =+，934a a a =+. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）在数列{a n }中，若12,,m m m a a a ++成等差数列，求整数m 的值； （3）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好是{a n }的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在说明理由.II 试题（附加题）1.求曲线1x y +=在矩阵M ＝1 010 3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．2.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为212 (22x t t y t =-⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=； （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，设点()1,0P ，求11PA PB+的值．3.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；4.记函数2()1,1,22!!nn x x f x x n n =+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅（1）证明：4()0f x >；（2）证明：当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根；当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根.江苏省高邮中学2020届下学期开学考试高三数学试题答案1．{1，2，4，5} 2.1 3．64 4. 16 5． ()3,1- 6. 717. 27 8.34π9．2 10. 10m =． 11. 10 解析：由已知BD ＝2，AD ＝1，设DC ＝x ，∠BDC ＝θ，则DB →·DC →＝2xcos θ＝3.又4＝4＋x 2－4xcos θ，可得x ＝6，cos θ＝64，则在△ADC 中，AC 2＝12＋(6)2－2×1×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－64＝10，故AC ＝10. 12. 4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 13． 83⎛ ⎝14.解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，0)上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，＋∞)上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f (2－x )＋2x 可得F (x )≥F (2－x )，解得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(－∞，1]上有解， 即a ＝e x＋2x 在(－∞，1]上有解，令h (x )＝e x＋2x ，x ∈(－∞，1]，则h ′(x )＝e x＋2>0，故h (x )＝e x ＋2x 在(－∞，1]上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e ＋2。

15证明：⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C I 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AAC C ，又因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以1BD AA ⊥．⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，又因为在四边形ABCD 中，AB BC CA ===，1DA DC ==， 所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE P DC ， 因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE P 平面11D DCC ．16. 解：（Ⅰ） 设(,0)D t （01t ≤≤），又22(,)22C -所以22(,)22OC OD t +=-+u u u r u u u r 所以 22211||22122OC OD t t t t +=-++=-+u u u r u u u r ……………3分 221()(01)2t t =-+≤≤所以当22t =时，||OC OD +u u u r u u u r最小值为22 ………………6分（Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+u r u u u r则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--u r r12sin(2)4x π=-+……………9分因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤……………10分所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1 所以8x π=时，12sin(2)4m n x π⋅=-+u r r 取得最小值12-所以m n ⋅u r r的最小值为12-，此时8x π=…………………………14分17. 解析：（1）作CG AE ⊥于G ，作FH AB ⊥于H ，交CG 于M ，作BN CG ⊥于N ，则CFM BFH θ=∠-∠； 在直角BCN ∆中，4BC =，60CBN ∠=︒， 则2BN =，23CN =； 在直角CFM ∆中， 有203tan CM CN NM CFM MF AE BN +∠===-； 在直角BFH ∆中，有183tan BH BFH HF ∠==； ∴tan tan tan tan()1tan tanCFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠=∠-∠=+∠⋅∠2031832336322031831x x x -+-==+⋅； 再由题意可知：监理人员只能在G 点右侧，即(2, )x ∈+∞．……………………… 7分 （2）由（1）得：22336318tan 2321080x x x x θ++==⨯-+； 令18t x =+，则(20, )t ∈+∞；∴2213tan 2323231440(18)2(18)108038144012101938t t t t t t t tθ=⨯=⨯=⨯≤---+-+-+-， 当且仅当1440t t=即1210t =时，等号成立；此时，121018x =-； 又易知：θ是锐角，即(0, )2πθ∈，而tan y θ=在(0, )2πθ∈是增函数；∴当121018x =-时，θ取最大值．■ ………………………… 14分18.19. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。