18.1.2 平行四边形的判定1 第3课时三角形的中位线 导学案
三角形的中位线教案
18.1.2平行四边形的判定（3）三角形的中位线教案一、教材分析1、本节教材的地位与作用：本课时所要探究的三角形中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理。
因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学重点与难点：1、认识三角形的中位线，会画三角形的中位线；2、理解三角形的中位线性质，会用中位线性质去解决相关问题。
二、教学目标1、知识目标1）了解三角形中位线的概念。
2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。
2、能力目标1）经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展推理论证能力。
2）能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感目标通过问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；通过对三角形中位线的研究，体验数学活动充满探索性和创造性，在操作活动中，培养学生的合作精神。
三、教学方法与学法指导对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过猜测、探索等自主探究的方法，先获得结论再去证明。
在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。
四、教学过程（一）温故知新1、如图⑴，□ABCD中，AB=6，AD=10，∠B=40°，则CD= ,BC= ∠D= .2、如图⑵，□ABCD中, 对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD,AC=6，BD=8，则AB= 。
三角形的中位线 精选 精致导学案
B18.1.2 平行四边形的判定第3课时 三角形的中位线【学习目标】理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理及其应用.【学习重点】三角形中位线定理及其应用. 【学习难点】三角形中位线定理的证明.【学习过程】一．课前导学：学生自学课本47-49页内容，并完成下列问题： 1. 【探究一】：请同学们思考将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？2. 【探究二】：三角形中位线概念连接三角形 的线段叫做三角形的中位线. 思考：（1）三角形的中位线有几条？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？（3）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 3．【探究三】：三角形中位线定理如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 【思考】：如保将证明DE=21BC 转化为证明两条线段相等，你能构造平行四边形完成本题的证明吗？相信你能行！证明：4．三角形中位线定理：三角形的中位线 并且 .5．课本第49页练习T1、3 二、合作、交流、展示：1．例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．结论：顺次连结四边形所得的四边形是．2．例2：给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；思考：怎样发挥中点E、F的作用，另找中点将两个中点沟通起来.三、巩固与应用1.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m.2．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．3. 如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为.四、小结：（1）三角形中位线定义与定理.（2）遇中点常构造中位线．第十七章勾股定理17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想；2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想； 学习重点：勾股定理的简单计算. 学习难点：勾股定理的灵活运用. 学习过程一、自学导航（课前预习）1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
数学人教版八年级下册§18.1.2 平行四边形的判定(第一课时)教案
问题2：要求学生作业本上写出来。再口答。
教师多媒体出示图形和内容，学生在回顾问题1的基础上，写出几何语言。
自主达标题，学生当堂考试，评出成绩。
借助图形来理解，总结．
各抒己见，不拘泥于形式，师生互相补充，使语言表达的更准确完美，同时教师引导学生通过对平行四边形的判定的探索。
让学生体会到知识的获取过程，以及由性质引发出来的结论来。
学生自主练习
教师多媒体出示平行四边形性质定理的三个逆命题：(即平行四边形的判定定理)，学生用几何语言写出定理。
要求学生口答，引导学生逐步会用几何语言书写规范的推理的过程。
(1)你有什么收获？
掌握了哪些平行四边形的判定方法？
(2)积累了哪些解题经验，在数学思想方法上有哪些收获？
如何用判定定理证明四边形是否为平行四边形？
1．边的关系：
（１）证明两组对边分别平行
（２）证明两组对边分别相等
2．角的关系：证明两组对角分别相等．
3．对角线的关系：证明两条对角线互相平分．(多媒体出示图形)
教
学目Leabharlann 标1、知识与技能：（1）在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法．
（2）会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
2、过程与方法：经历平行四边形判定条件的探索过程，发展学生合情推理意识和表述能力。
3、情感态度与价值观：培养学生合情推理能力，经过严谨的规范书写表达，体会几何证明的逻辑关系，养成严谨的推理证明习惯。
2.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
(A)两组对边分别相等
(B)两条对角线互相平分
(C)两条对角线相等
18.1.2平行四边形的判定-三角形中位线(教案)
其次，在新课讲授环节，我尝试用理论介绍、案例分析和重点难点解析的方式，帮助学生理解三角形中位线与平行四边形之间的关系。但在这个过程中，我发现有些学生在分析案例时仍然存在困难。这可能是因为我讲解得不够透彻，或者课堂实践环节还不够充分。针对这个问题，我打算在接下来的课程中增加一些互动环节，让学生更多地参与到课堂实践中来，以提高他们的理解和应用能力。
举例：通过绘制具体图形，让学生观察并理解三角形中位线的定义；讲解如何利用中位线判定平行四边形，强调步骤和条件；设计实际情境题，让学生将所学知识应用于解决具体问题。
2.教学难点
-难点内容：三角形中位线判定平行四边形的逻辑推理过程，以及在实际问题中的应用。
-难点突破方法：
a.使用直观教具，如模型、图形等，帮助学生形成直观认识。
4.培养学生的合作交流意识：通过小组合作、讨论交流等形式，促进学生分享观点，提高合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：三角形中位线的性质及其与平行四边形的关系。
-重点细节：
a.理解并掌握三角形中位线的定义。
b.学会运用三角形中位线判定平行四边形。
c.掌握三角形中位线与平行四边形之间的关系，并能应用于解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探究三角形中位线性质，使学生能够运用逻辑推理，理解并掌握平行四边形的判定方法。
2.提升学生的空间想象力：借助实物模型、图形绘制等手段，帮助学生形成对三角形中位线和平行四边形的空间想象，培养空间思维能力。
人教版数学八年级下册18.1.2第3课时《 三角形的中位线》教学设计
人教版数学八年级下册18.1.2第3课时《三角形的中位线》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.1.2第3课时《三角形的中位线》是初中数学的重要内容，主要介绍了三角形的中位线的性质和作用。
本节课的内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质以及特殊三角形的性质的基础上进行学习的，为后续学习三角形的全等、相似等知识奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质以及特殊三角形的性质，具备了一定的观察、分析、推理的能力。
但是，对于三角形的中位线的性质和作用，以及如何运用中位线解决问题，学生可能还不够了解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、推理等活动，发现并理解三角形的中位线的性质，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形的中位线的性质，能够运用中位线解决问题。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、推理的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中位线的性质。
2.难点：如何运用中位线解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等活动，发现并理解三角形的中位线的性质。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.三角板。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察并思考：这些三角形有什么共同的特点？你想到了哪些与三角形有关的性质？2.呈现（10分钟）利用PPT展示三角形的中位线的定义和性质，引导学生观察并思考：三角形的中位线有什么特殊的性质？它们之间有什么关系？3.操练（10分钟）学生分组合作，利用三角板和直尺，画出三角形的中位线，并测量它们的长度。
然后，引导学生进行推理：如何证明三角形的中位线等于第三边的一半？4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师巡回指导。
第十八章导学案定稿
课题18.1.1平行四边形的性质（1）课型新授课主备人韩自鸣上课时间学习目标1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题.3.理解两条平行线间的距离.学习重点理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．学习难点解决简单的平行四边形的计算问题.学习过程一、温故知新1.思考：以前我们学习四边形的内容有哪些？2.我们在三角形全等的性质和判定有哪些？二、新知探究、合作交流1.认识平行四边形阅读课本P41思考平行四边形与一般的四边形有什么异同？给同桌说出平行四边形的定义和表示方法。
探究1 平行四边形的性质度量一下：这个平行四边形它的对边、对角之间有什么关系？你猜想一下你的结论？⑵证明你的猜想：已知：如图ABCD，求证：由此得到：平行四边形性质1平行四边形的平行四边形性质2 平行四边形．探究2 平行线之间的距离1、如图：直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，教学流程或学生纠错AB C DAB CD交直线b于点C，点D，（1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？（2）比较线段AC，BD的长。
归纳：_________________________________________________________三、学习反馈1.在ABCD中，⑵A=50，则⑵B= 度，⑵C= 度，⑵D= 度．2.如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2⑵5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，AD= cm．3.如图，在平行四边形ABCD中，CE⑵AB，E为垂足，如果⑵A=125°,则⑵BCE等于_______4.如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．四、拓展延伸1如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE.三、课堂小结我学会了......；我感受到了......；我还有的疑惑是.......知识网络（板书设计）课后反思课题18.1.2平行四边形的性质（2）课型新授课主备人韩自鸣上课时间学习目标1、经历探索“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的过程，发展探究意识。
《18.1.2 平行四边形的判定—三角形的中位线》教学设计
《18.1.2 平行四边形的判定—三角形的中位线》教学设计凉州区高坝镇六坝九年制学校刘鹏【教学设计】《18.1.2 平行四边形的判定—三角形的中位线》教学设计教学内容：人教版八年级数学下册第十八章第1节第2部分《平行四边形的判定》第三课时——三角形的中位线。
教材分析：本课是人教版八年级数学下册第十八章第1节平行四边形的判定第二部分内容——三角形的中位线。
主要包括三角形中位线的概念、性质定理及其证明方法和定理的应用。
本课是在已经学完平行四边形的性质和判定之后的一节新课，它是以平行四边形的有关性质和判定为依据来研究的，是对平行四边形的性质和判定的综合运用。
它不但是学习梯形中位线定理的基础，同时也是证明一些四边形问题和中点问题的重要依据。
所以本节内容放在四边形知识体系中，既承上启下，又能使研究四边形的方法更灵活多变。
学情分析：1.学生已经学习了全等三角形的性质与判定和平行四边形的性质与判定等有关知识和方法，为本节课的学习奠定了基础。
2.学生基础相对较好，他们善于观察、操作、猜想，但演绎推理、归纳和运用数学知识解决问题的能力比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺。
再加上近几年来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的非常被动，几乎不重视学习方法，不注意归纳总结，不善于思考，无法体验学习的乐趣。
所以我想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐。
3.通过合理运用现代化教育辅助手段，调动学生思维的积极性，尽可能多的给他们活动时间，激发学生内在的思维潜力，提高学习的兴趣，培养学生自主探究和合作学习的能力。
教学目标：知识与技能目标：1.通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理。
2.通过三角形中位线性质的探索、证明、应用，渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力。
3.通过进行三角形中位线定理有关的论证和计算，培养学生观察问题、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力。
18.1.2平行四边形的判定3___三角形中位线导学案
18.1.2 平行四边形的判定3 -----三角形中位线【学习目标】1．．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质；2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．【重、难点】重点：掌握和运用三角形中位线的性质。
难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）。
【学习过程】一、上节知识回顾我们共学习了 种证明平行四边形的方法，用数学语言表示：①∵ __， __∴ __ __②∵ __， __∴ __ __③∵ __， __∴ __ __④∵ __， __∴ __ __⑤∵ __， __∴ __ __二、合作探究：1. 三角形中位线定义:（1）画一个三角形记为△ABC ； （2）分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接DE ； 像DE 这样，连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．想一想：①一个三角形的中位线共有 条。
②三角形的中位线与中线有什么区别？中位线 ；中线 ；2.三角形中位线定理:（1）动手操作:沿DE 将△ABC 剪成两部分，将△ADE 绕点E 旋转180°，得四边形BCFD ，如图1，（2）观察思考:①四边形BCFD 是平行四边形吗？为什么？②线段DE 、BC 有何数量关系和位置关系?图1（3）归纳：三角形中位线定理： ． 符号语言：三、新知运用1、 在三角形△ABC 中；D 、E 、F 分别死AB 、BC 、CA 的中点，一这些点为顶点，在图中你能画出几个平行四边形？为什么?2．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，（1）若EF=5cm ，则AB= cm ；若BC=9cm ，则DE= cm ；（2）中线AF 与中位线DE 有什么特殊的关系？证明你的猜想．四、当堂训练1．如图所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）．A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m2．如图,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ）．A ．10B ．20C ．30D ．403.已知三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长 ．4、 已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．BC五、回眸学习过程，清点学习收获本节课我们学习了…….六、布置作业:1、必做题：习题18.1 第5题。
三角形中位线定理教案
第十八章平行四边形18.1.2平行四边形的判定(3)------三角形中位线定理及其应用一、教学目标：1.使学生掌握三角形中位线概念,理解中位线定理,会运用它进行有关论证和计算.2.掌握添加辅助线解题的技巧.3.提高学生分析问题,解决问题的能力,增强学习兴趣.二、教学方法探究式自主学习：以学生的自主探究为主，教师加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力,使学生更好的适应新课程标准三、教学内容﹑教材重、难点分析：三角形中位线定理的学习是继学习平行四边形与平行线的性质之后的一个新内容,教材首先给出了三角形中位线的定义,并与三角形中线加以区分,接着以同一法的思想探索出三角形中位线定理,最后是利用中位线定理解答例一所给的问题. 在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和线段倍分等问题.本节课的重点是三角形中位线定理,难点是定理的证明,关键在于如何添加辅助线,在今后的学习中要经常运用这个定理解决有关直线平行和线段倍分等问题.四、教学媒体的选择和设计通过多媒体课件，打开学生的思路,增加课堂的容量,提高课堂效率。
以实际生活为出发点,激发学生的思维从而引出本节课的内容.通过媒体动态的效果引发学生的思路,猜想出结论,并且从添加辅助线的角度思考开始，分析条件,得出证明的方法,帮助学生用多种方法解题.再借助多媒体帮助学生分析题意,学生自己动手尝试利用三角形中位线解决实际问题.特点是：打破以前数学课上老师一言谈的现象,学生能够积极参与学习,并且在媒体的作用下,学生的思维可以得到充分的展示,媒体动态的演示教会学生探究知识的方法:猜想—归纳—研究—结论.同时运用多媒体大大增强了课堂的容量,这是一般教学所难以实现的.五、教学步骤（一）导入新课：复习平行四边形的判定定理（二）学习新课1.三角形中位线概念，它与三角形中线有什么区别?2．三角形中位线性质3. 三角形中位线性质证明4. 三角形中位线定理5.解决疑难:①如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．（1）若DE=5，则BC= ______（2）若∠B=65°，则∠ADE=_____（3）若DE+BC=12，则BC= ______②如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？③已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．6.探究提高如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 中点．求证：四边形EFGH是平行四边形(三)课堂小结:三角形中位线定理的结论有两个方面:①证明平行；②证明倍数关系.（四）布置作业课本49页：第1题课本50页：第5题。
人教版八下数学18.1.2 课时1 平行四边形的判定(1)教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)教案【教学目标】1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【教学重点】经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.【教学难点】掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究知识点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形例1如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF ＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC ＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．知识点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形例2如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB ＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D ＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．知识点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形例3如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ；(2)四边形AFBE 是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 即可．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎨⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．知识点四：平行四边形的判定定理(1)的应用【类型一】 利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等例4如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，点F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段DE ，BF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE 是平行四边形，从而得出DE ＝BF ，DE ∥BF .解：DE ＝BF ，DE ∥BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ，DE ∥BF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．【类型二】 平行四边形的判定定理(1)的综合运用例5如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS ”可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF .再利用已知得出△ADE ≌△CBF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AAS)；(2)解：四边形BFDE 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAC＝∠BCA .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，∴DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．三、教学小结本节课我们主要学习了平行四边形的判定方法:平行四边形的定义文字语言:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.符号语言:∵AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理1文字语言:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB =CD ,AD =BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理2文字语言:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠A =∠C ,∠B =∠D ,∴四边形ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理3文字语言:对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.四、学习检测1..如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC=cm,CD=cm时,四边形ABCD为平行四边形;(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO=cm,DO=cm时,四边形ABCD为平行四边形.解析:(1)此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,即可确定BC,CD的长.(2)此题主要考查了平行四边形的判定定理的应用.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可确定AO,DO的长.答案:(1)84(2)4 52.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件: (只添加一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.解析:答案不唯一.所填条件能使△AOB≌△COD,或者△AOD≌△COB即可.可填:①AB∥CD,②AD∥BC,③∠BAO=∠DCO,④∠ABO=∠CDO,⑤∠ADO=∠CBO,⑥∠DAO=∠BCO等.故可填AB∥CD.3.如图所示的是由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察、分析发现:①第4个图形中平行四边形的个数为.②第8个图形中平行四边形的个数为.解析:根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可以判断图中的平行四边形的个数.通过观察、分析,寻找规律,即可解决问题.答案:①6②204.如图所示,在▱ABCD中,点E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证∠EBF=∠FDE.解析:要证明∠EBF=∠FDE,根据平行四边形的性质,只要证明四边形BEDF是平行四边形即可.由AE,CF在▱ABCD的对角线上,可考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,证明EF与BD互相平分即可.证明:连接BD交AC于点O,如图所示,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形,∴∠EBF=∠FDE.【板书设计】18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)征1．平行四边形的判定定理(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形．2．平行四边形的判定定理(1)的应用【教学反思】在本节数学课的教学中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定课时1 平行四边形的判定(1)学案【学习目标】1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【学习重点】经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.【学习难点】掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．【自主学习】一、知识回顾1.平平行四边形的定义是什么？有什么作用？2.除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？二、自主探究知识点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形猜一猜将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?证一证已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连接AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD ，AC=CA，∴△ABC_____△CDA(________).BC=DA，∴∠1____∠4 , ∠ 2_____∠3，∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是_________________.【典例探究】例1如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．例2 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．【跟踪练习】如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.知识点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形猜一猜对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?证一证已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°，又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴___∠A+___∠B=_______°，即∠A+∠B=______°，∴ AD_____BC.同理得 AB_____CD，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵∠A=______，∠B=______,∴四边形ABCD是_______________.【典例探究】例3如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．【跟踪练习】1.判断下列四边形是否为平行四边形：2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（）A. 1:2:3:4B. 1:4:2:3C. 1:2:2:1D. 3:2:3:2知识点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形猜一猜如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？证一证已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC，∠AOB=∠COD，∴△AOB______△COD(________).OB=OD，∴∠BAO_____∠OCD , ∠ ABO_____∠CDO,∴AB_____CD , AD_____BC，∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO_____CO,DO_____BO,∴四边形ABCD是______________.【典例探究】例4(教材P46例3变式题)如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC 于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由.例5昨天林莉同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,她想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是她想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)【跟踪练习】1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是（）A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分C.两条对角线相等D.两组对边分别平行2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形( )(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形（）(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形( )(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形( ）2.下列命题中,正确的是()A.两组角相等的四边形是平行四边形B.一组对边相等,两条对角线相等的四边形是平行四边形C.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:①如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;③如果再加上条件“OA=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.其中正确的说法是()A.①②B.①③④C.②③D.②③④4.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形（）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=COC．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD5.如图，在四边形ABCD中，(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 __________.(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是___ _______.(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.6.如图所示,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,求证四边形AECF是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D,∵E,F分别为AB,CD的中点,∴AE=BE=AB,CF=DF=CD.∴AE=CF,BE=DF,在△ADF和△CBE 中,AD=BC,∠B=∠D,BE=DF,∴△ADF≌△CBE(SAS).∴AF=CE,∴四边形AECF 是平行四边形.7.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．求证：四边形AB PE是平行四边形．第4题图第5题图8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是OA,OC的中点,求证BM∥DN,且BM=DN.证明:连接DM,BN,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵M,N分别是OA,OC的中点,∴OM=OA,ON=OC,∴OM=ON.∴四边形BMDN是平行四边形,∴BM∥DN,且BM=DN.9.如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．10.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．11.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？12.如图,在▱ABCD中,E,F,G,H分别是四条边上的点,且满足AE=CF,BG=DH,连接EF,GH.(1)猜想EF与GH的关系;(2)证明你的猜想.(1)解:EF与GH互相平分.(2)证明:连接EG,GF,FH,HE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C.又∵DH=BG,∴AD-DH=BC-BG,即AH=CG.又∵AE=CF,∴△AEH≌△CFG.∴EH=FG,同理可证明HF=GE.∴四边形EGFH是平行四边形.∴EF与GH互相平分.。
人教版数学八下18.1.3 平行四边形的判定(三)三角形的中位线 配套教案设计
教学内容 18.1.2 平行四边形的判定——三角形中位线教学目标： 1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质定理．2.能应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．教学重难点：重点：明确中位线定义及定理内容.难点：利用中位线灵活解决相关的数学问题.教学过程：一、创设情境,导入新课1.A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？如图，在池塘外选一点C，连结AB、AC、BC连结AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB的距离了。
同学们知道AB是多少米吗？为什么？2.中位线的定义：连结三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线问题1：你还能画出几条三角形的中位线？问题2：三角形的中位线和三角形的中线有什么区别和联系？（1）相同之处——都和____的中点有关；（2）不同之处：三角形中位线的两个端点都是______的中点；三角形中线只有一个端点是____的中点，另一端点是三角形的______.二、合作探究、发现规律（一）△ABC 中,若D 是AB 的中点时,E 也是AC 的中点,则DE 与BC 存在何种关系?（温馨提示：从数量关系及位置关系考虑）⎩⎨⎧____________:____________:位置关系数量关系关系和猜想：BC DE 验证猜想：如图：在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，则有：DE∥BC ，DE=21BC （做辅助线：延长DE 到点F ，使EF=DE ，连接FC,DC,AF.） 证明：∵AE=EC, DE=EF∴四边形ADCF 是平行四边形∴ CF ∥DA ，CF=DA∴CF ∥BD ，CF=BD∴四边形DBCF 是平行四边形∴ DF ∥BC ，DF=BC又DE=21DF ∴DE ∥BC 且DE=21 BC结论：三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
平行四边形的判定三角形的中位线导学案
19.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线导学案一、 教学目标：1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．二、 复习巩固1、说说平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2、你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？图中有几个平行四边形？你是如何判断的？三、新课学习例1（教材P98例4） 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．下面同学们尝试进行证明。
方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ；（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ；定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．思考：1、什么是点到点的距离？什么是点到线的距离？几何中的“距离”有何特点？2、那么什么是两平行线间的距离呢？四、课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．五、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．11、已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．9、如图，已知在平行四边形ABCD中E、F分别是ad.bc的中点，求证MN∥BC12、（2004•哈尔滨）如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB=2OF．(自己画图)13、已知平行四边形ABCD中，AB=8，BD=24，CE=5，求AB和CD间的距离。
八年级数学下册18.1.2平行四边形的判定第3课时三角形的中位线导学案
第十八章 平行四边形.. .∠ADCDE..1.2DE BC DE BC 求证：∥，分析：证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ．∵AE=EC ，DE=EF ，∴四边形ADCF 是_______________．∴CF ∥AD ,CF=AD，∴CF_____BD ,CF_____BD ，∴四边形BCFD 是________________， ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12DE DF =又∵，∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ．∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ，∴△ADE_____△CFE ．∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF.∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC.12DE DF =又∵，∴DE_____BC ,DE=______BC.要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12=.DE BC DE BC 则，重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE.②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.例1如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB，交DE 于点F.若DF ＝3，求AC 的长.例2 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 、P分别是AD 、BC 、BD 的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN 的度数．例3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为AB的中点，在AB 的延长线上取一点D ，使BD ＝AB ，求证：CD ＝2CE.方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．1. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC中点． （1）若DE=5，则BC=________．（2） 若∠B=65°，则∠ADE=_________°. （3） 若DE+BC=12，则BC=_________.2. 如图，A ，B 并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20m ，那么A ，B 两点间的距离为______m ．探究点2：三角形的中位线的与平行四边形的综合运用BC至点F，使CF=1BC，21.如图，在△ABC中，点E、F 分别为AB 、AC 的中点．若EF 的长为2，则BC 的长为 （ ）A.1B.2C.4D.82.如图，在▱ABCD 中，AD=8，点E ，F 分别是BD ，CD 的中点，则EF 等于 （ ） A.2 B.3 C.4 D.53.如图，点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B=____________°；（2）已知三边AB 、BC 、AC 分别为12、10、8，则△ DEF 的周长为_____________. 4.在△ABC 中，E 、F 、G 、H 分别为AC 、CD 、 BD 、 AB 的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH 的周长是______________.5. 如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=10cm ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，BD 的延长线交AC 于点F ，E 为BC 的中点，求DE 的长．6.如图，E 为▱ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、 G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．7.如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，BD=12，AC=16，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求EF 的长．。
人教版八年级数学下册 第3课时 三角形的中位线(导学案)
18.1.2 平行四边形的判定第3课时三角形的中位线一、新课导入1.导入课题同学们，前面我们学习平行四边形时，常把它分割成三角形来研究，今天我们反过来利用平行四边形来研究三角形的有关问题.2.学习目标（1）知道什么是三角形的中位线.（2）知道三角形中位线的性质.3.学习重、难点重点：三角形的中位线及其性质.难点：三角形中位线性质的运用.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P47练习下面至P48探究上面的内容.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：看书，看图，认识三角形中位线的意义.（4）自学参考提纲：①画图说明什么是三角形的中位线，一个三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么不同？怎么区分？②如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、DF、AE、BF、CD，则图中的中线是AE、BF、CD，中位线是DE、DF、EF.2.自学：结合自学参考提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握中位线的准确含义.②差异指导：指导中位线与中线的区别.（2）生助生：学生之间相互交流、研讨疑难之处.4.强化:三角形中位线的意义.1.自学指导（1）自学内容：三角形中位线与第三边的位置和大小关系.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：测量中位线长、第三边长并猜想.（4）探究提纲：①任画一个三角形，取三边的中点并相互连接，然后量中位线长和第三边长，重复画几次，看结果如何.②通过测量一条中位线长与第三边的长，你有什么发现吗？③如右图，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，试量一下DE 、BC 的长，比较量出的数据，你有什么发现？DE 与BC 在位置上有什么关系吗？说出你的猜想.④结合你的实验猜想出三角形的中位线的性质是1,2DEBC DE BC =. 2.自学：学生结合探究提纲自主探究学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生画图、度量的情况及判断总结的结论是否合理.②差异指导：指导学生结合测量数据进行猜想并归纳.（2）生助生：学生研讨疑难之处.4.强化：三角形中位线的性质.1.自学指导（1）自学内容：探究三角形中位线性质的证明方法.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：由DE=12BC 思考DE 怎么处理可使BC=2DE.（4）探究提纲：如右图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点， 求证：12DE BC DE BC =，. ①将DE 如何处理(延长)得到与BC 相等的线段？②又由AE=CE ，联想四边形ADCF 是什么四边形？由此可得到CF 与BD 是什么关系？③由②中探讨的CF 、BD 的关系可得四边形DBCF 是什么四边形？∴DE ∥BC，∵DE=12DF，∴DE=12BC.2.自学：学生结合探究提纲自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生的探究思路和方法是否正确，思考过程中的难点在哪里？②差异指导：由DE=12BC启发延长DE多少？由AE＝CE思考四边形ADCF是什么样的四边形？由此可得到什么？找到与BC相等的线段.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化（1）三角形中位线的意义.（2）三角形中位线的性质.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和困惑之处..2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在课堂学习中的态度、方法和收效进行点评.（2）纸笔评价：评价作业.3.教师的自我评价(教学反思).本课时的核心是三角形中位线的意义及性质的运用.若已知条件中的中点较多，要联想“三角形的中位线”.不是中位线的，可以通过辅助线构造.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.(20分)如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=5cm，DF=4cm，DE=6cm，△DEF的周长为15cm .2.(10分)△ABC中，AB=4，BC=5，CA=7，顺次连接三边中点得△DEF的周长为8 .3.(10分)三角形的三条中位线将其分成4 个全等三角形.4.(10分)直角三角形的两条直角边长分别6cm，8cm，则连接这两边中点的线段长为5 cm.5.(10分)三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，6cm，则这个三角形的周长为26 cm.二、综合应用（20分）6.已知：如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的中点.求证：AD 与EF 互相平分.(提示：连接ED ，FD ，先证四边形AEDF 是平行四边形)证明：如图，连接ED 、FD,∵E 、D 分别为△ABC 的中点，∴ED=12AC ，ED ∥AC,即ED ∥AF. 又∵F 为AC 的中点，∴ED=AF.∴四边形AEDF 为平行四边形，∴AD 与EF 互相平分.三、拓展延伸（20分）7.如图，在△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，试探究BO 与OD 的大小关系.(提示：分别取OB 、OC 的中点M 、N)解：OB=12OD, 如图，取OB 、OC 的中点M 、N ，连接EM 、MN 、ND.∵E 、D 分别为△ABC 的中点，∴ED ∥BC,ED=12BC,∵M 、N 是△OBC 的中点，∴MN ∥BC,MN=12BC. ∴ED ∥MN,ED=MN.∴四边形EDNM 是平行四边形.∴OD=OM=BM.∴OB=2OD.。
八年级数学下册-18-1-2-平行四边形的判定-第2课时-三角形的中位线导学案-(新版)新人教版
第2课时三角形的中位线1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.自学指导：阅读课本47页至49页，完成下列问题.知识探究1.连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.2.三角形的每一条中线把三角形的面积平分.3.三角形的中线相交于同一点.4.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.5.三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.6.平行线间的距离相等.7.一个三角形有三条中位线.活动1 小组讨论例1如图，点D、E分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=12 BC.解：方法(1)：图1延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=12DF，所以DE∥BC且DE=12BC.方法(2)：图2延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC，且AD=FC.因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC.所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=12DF，所以DE∥BC且DE=12BC.三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.例2如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点.求证：(1)∠A=∠DEF；(2)四边形AFED的周长等于AB+AC.解：(1)由中位线定理可知，EF∥AB且FE=AD,得四边形AFED是平行四边形，所以∠A=∠DEF；(2)同理可知EF=BD,DE=FC，所以AD+BD+AF+FC=AD+EF+AF+DE，即：四边形AFED的周长等于AB+AC.例3如图，AD是△ABC的中线，EF是中位线.求证：AD与EF互相平分.解：连接ED，FD，根据中位线定理得出四边形AEDF是平行四边形，根据平行四边形性质判断AD与EF互相平分.例4如图，a,b是两条平行线，从直线a上的任意一点A向直线b作垂线l，垂足为点B，我们得到线段AB.按同样的方法我们做出线段CD，你能发现AB与CD的关系吗？解：发现AB=CD.证明：∵∠ABD=90°,∠CDB=90°,∴AB∥CD.又AC∥BD.∴四边形ABDC是平行四边形.∴AB=CD.活动2 跟踪训练1.如图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=10 cm，则DE=5 cm.2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,∠B=70°,则∠AED=60°.3.三角形的周长为18 cm，这个三角形的三条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？解：三角形的周长是9 cm，因为三角形的中位线等于第三边的一半.4.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10 cm，那么OE=5cm.5.求证顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点.求证：EFG H是平行四边形.证明：连接BD，根据中位线定理判断EH∥BD且EH=12BD，FG∥BD且FG=12BD.即可判断EH FG，便可推出四边形EFGH为平行四边形.此题验证：任意四边形四边中点顺次连线所得的四边形一定是平行四边形.能力提升1.已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC、BD于点F、G，连接AC 交BD于O，连接OF.求证:AB=2OF.证明△ABF≌△ECF,得BF=CF,再证OF是△ABC的中位线.2.如图，AB两点不能直达，你能用哪些方法测量出AB间的距离？在A、B一侧，选一点C.找出AC、BC的中点，连接中点，测出距离，再根据中位线定理得出AB值.活动3 课堂小结1.三角形的中位线定理.2.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的位置关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.。
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B C A 18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
【学习目标】
理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理及其应用.
【学习重点】三角形中位线定理及其应用.
【学习难点】三角形中位线定理的证明.
【学习过程】
一．课前导学：学生自学课本47-49页内容，并完成下列问题：
1. 【探究一】：请同学们思考将任意一个三角形分成四个全等的三角形，
你是如何切割的？
2. 【探究二】：三角形中位线概念
连接三角形 的线段叫做三角形的中位线.
思考：（1）三角形的中位线有几条？
（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
（3）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
3．【探究三】：三角形中位线定理
如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE =
21BC ． 【思考】：如保将证明DE =2
1BC 转化为证明两条线段相等，你能构造平行四边形完成本题的证明吗？相信你能行！
证明：
4．三角形中位线定理：三角形的中位线 并且 .
5．课本第49页练习T 1、3
二、合作、交流、展示：
1．例1 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
结论：顺次连结四边形所得的四边形是．
2．例2：给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接
EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
思考：怎样发挥中点E、F的作用，另找中点将两个中点沟通起来.
三、巩固与应用
1.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC 的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m.
2．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF
的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．
3. 如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD
的中点．BO=12．则△DOE的周长为.
四、小结：（1）三角形中位线定义与定理.
（2）遇中点常构造中位线．。