江西省南昌铁路一中高中数学 2.7向量应用举例(第1课时)教学课件 北师大版必修4
北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.7.2向量的应用举例课件
-7-
7.2
1 2
向量的应用举例
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
3
3.向量在物理中的应用 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大 小和方向相同的两个力,如果作用点不同,它们就不相等.但是在不 计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因此,可用三角形法则和平行 四边形法则求两个速度的合速度.
3 4 4 4 1 3
所以������������ = ������������,且 D,E,F,B 四点不共线, 所以四边形 DEBF 是平行四边形.
反思本题是证明图形中线段平行与相等的问题,可以先选择适当的 一组基底,把未知向量逐步向基底方向进行分解,再利用向量相等 来证明四边形DEBF是平行四边形.
1
名师点拨平面几何中的向量方法: (1)几何法: ①证明线段相等常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法 则. ②证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常 运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0). ③证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两 直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a· b=0(或 x1x2+y1y2=0). ������ · ������ ④求与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ=
典例透析
随堂演练
1
1.向量在平面几何中的应用 由于向量的线性运算和数量积具有鲜明的几何背景,平面几何图 形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中 的一些问题.
高中数学北师大版必修4第2章7《向量应用举例》ppt课件
－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0(即向量b不与坐标轴平行)，则上式可
变形为
x1 y1
＝
x2 y2
，但当两向量与坐标轴平行时，不能应用a∥b⇔
xy11＝yx22，否则容易漏解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
• 已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C 上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝ 2AN，求点N的轨迹方程．
[解析] 设M(x0，y0)，N(x，y)，
由M→A＝2A→N得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)．
∴
x0＝3－2x， y0＝3－2y.
(1)设点P是过点A且与直线l平行的直线上的动点，P点坐 标为(x，y)，直线l的方向向量为v
则A→P＝(x＋1，y－2)． ∵所求直线与直线l平行，∴A→P∥v， 即1×(y－2)－43×(x＋1)＝0， 整理得4x－3y＋10＝0， 这就是所求的过A且平行于l的直线方程．
(2)设Q(x，y)为过点A且垂直于直线l的直线上任一点，则 A→Q＝(x＋1，y－2)为直线l的法向量，∴A→Q⊥v.
联系，将_几_何__问_题__转_化__为_向__量_问__题_________通过向__量_运__算___研究几何
元素之间的关系；还原到几何问题中作答．
• 3．向量在物理中的应用
• 力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的 ___________相类似，可以用向量的方法来解决．
减法与加法
1．若向量
向量在解析几何中的应用
已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正
高中数学第二章平面向量27向量应用举例课件北师大版必修4
解法二：(1)∵所求直线与向量 a＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝15(x－2)， 即 x－5y－7＝0. (2)∵所求直线与向量 a＝(5,1)垂直， ∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝－5(x－2)， 即 5x＋y－9＝0.
对直线 l：Ax＋By＋C＝0 的方向向量及法向量的两点说明 (1)设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P→1P2＝ (x2－x1，y2－y1)及其共线的向量 λP→1P2均为直线的方向向量．显 然当 x1≠x2 时，向量(1，yx22－ －yx11)与P→1P2共线，因此向量(1，－AB) ＝B1(B，－A)为直线 l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B， －A)为直线 l 的方向向量．
又因为点 M(x0，y0)在圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 上， 所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 所以(2x)2＋(2y)2＝4，即 x2＋y2＝1， 所以点 N 的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
——易错警示——
向量在几何应用中的误区
【例 5】
在 △ ABC
中，
已
知向
量
→ AB
(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用 向量 表示； ②转化为 向量问题 的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
[答一答] 3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？
提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为 数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学 模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的 数值去解释一些物理现象．
高一数学北师大版必修4课件2.7 向量应用举例
课程目标 1.会用向量的线性运算和数量积运算解决平面几 何问题、解析几何问题. 2.能用向量平行的条件解决直线的方向向量问 题、判断直线的位置关系问题. 3.理解用向量解答物理问题的模式,会用向量知 识解答物理问题.
学习脉络
1.点到直线的距离公式 若 M(x0,y0)是平面上一定点,它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d 为 d=
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 向量在平面解析几何中的应用
利用向量的运算解决几何问题时,要理解几何关系与向量表示的内在 联系,正确理解向量条件是解题的基础.向量的坐标表示使向量成为解决解 析几何问题的有利工具,对于证明垂直、求夹角、 写直线方程等问题显示出 了它的优越性.在处理解析几何问题时,要将向量用点的坐标表示,利用向量 的有关法则、性质列出方程,从而使问题解决.
3.向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助于向量求 和的三角形法则或平行四边形法则求解. (2)用向量方法解决物理问题的步骤: ①把物理问题中的相关量用向量表示; ②转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决; ③结果还原为物理问题.
思考 3 向量可以解决哪些物理问题?
提示:解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问 题,以及与力做功相关的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求点到直线的距离
先把直线化成一般式 :Ax+By+C=0,利用公式 d=
|������������0+B������0+C| ������2+������2
求出点
M(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离,两平行线间的距离常转化为点到直线 的距离去求.
高中数学北师大版必修四课件 §2.7向量应用举例
4．河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．
解析：设小船的静水速度为 v，依题意|v|＝ 22＋102＝2 26. 答案： 2 26 m/s
5 ．一质点受到平面上的三个力 F 1 ，F 2，F 3( 单位：牛顿) 的作用而处于平衡状态，已知 F 1、F 2 成 60° 角，且 F 1、F 2 的 大小分别为 2 和 4，则 F 3 的大小为________．
1．已知▱ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，试求对 角线AC的长．
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作 为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何
问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的
思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平 行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
解析：由向量加法的平行四边形法则知 F3 的大小等于以 F1、F2 为邻边的平行四边形 的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|· cos 60° ＝4＋16＋8＝28， ∴|F3|＝2 7. 答案： 2 7
6．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b. 若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.
1．点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是一平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0
|Ax0＋By0＋C| 的距离d＝ A2＋B2 .
2．直线的法向量 (1)定义：称与直线的方向向量 垂直的向量为该直线的法向 量．
(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－
A)，则直线l的法向量n＝ 3．向量的应用 向量的应用主要有两方面：一是在几何 中的应用；二是在 物理中的应用． (A，B) ．
高中数学向量应用举例北师大必修PPT课件
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(6分)
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(2)如图乙，设此人的实际速度为OB，水流速度为OA.
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB－OA＝ AB，
在 Rt△AOB 中，| AB |＝4 3，|OA |＝4，|OB |＝4 2.
∴cos∠BAO＝ 33，
(10 分)
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为 33，且逆着水
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1．确定直线的方向向量与法向量是用向量法解 决直线问题的关键．
2．用向量法解决几何问题或物理问题的关键是 转化为向量问题，即建立向量模型，解决向量问题后 再作出相应问题的结论．
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[例1] 已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为 n＝(－2,1)．
2．用向量解决物理问题需注意： (1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理 量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题 转化为数学问题求解． (3)最后要将数学问题还原为物理问题．
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2．已知直线l1；ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝ 0平行，求实数a的值． 解：直线l1的法向量n1＝(a,2)， 直线l2的法向量n2＝(1，a－1)， ∵l1∥l2，∴n1∥n2， ∴a(a－1)－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.
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当a＝－1时，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0， ∴l1∥l2. 当a＝2时，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0. ∴l1与l2重合，舍去a＝2. 综上所述，a＝－1.
高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例2.7.2向量的应用举例教案北师大版
2.7.2 向量的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.推进新课应用示例例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?图1活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中,F 为F 1、F 2的合力),就得到了问题的数学解释.在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 cos 2cos 2||||||||21211θθG F F G =⇒=.通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v 1)=v-v 1. 令AB =-v 1,=-2v 1,实际风速为v . ∵DA +AB =DB , ∴=v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵DA +AC =DC , ∴DC =v -2v 1,这就是当车的速度为40km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°. ∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h.答:实际的风速v 的大小是202km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.② 联立①②解得|v |=m mM gh 2.又因为m 相对于M 很小, 所以|v|≈m Mgh 2, 即子弹的速度大小约为m Mgh 2.例3 一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地,然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A,C 两地相距2 000 km,求飞机从B 地到C 地的位移.图4解:如图4,设A 在东西基线和南北基线的交点处.依题意,AB 的方向是北偏西60°,｜AB ｜=1 000 km;的方向是南偏西60°,｜｜=2 000 km,所以∠BAC=60°.过点B 作东西基线的垂线,交AC 于D,则△ABD 为正三角形.所以BD=CD=1 000 km, ∠CBD=∠BCD=21∠BDA=30°. 所以∠ABC=90°, BC=ACsin60°=2 000×23=1 0003(km), ｜｜=1 0003 km.答:飞机从B 地到C 地的位移大小是1 0003km,方向是南偏西30°.例4 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)图5解:如图5,设木块的位移为s,则F ·s =｜F ｜｜s ｜cos30°=50×20×23=5003(J). 将力F 分解,它在铅垂方向上的分力F 1的大小为 ｜F 1｜=｜F ｜sin30°=50×21=25(N), 所以,摩擦力f 的大小为｜f ｜=｜μ(G -F 1)｜=(80-25)×0.02=1.1(N).因此f ·s =｜f ｜｜s ｜cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).答:F 和f 所做的功分别是5003J 和-22 J.知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( ) A.215 km B.6 km C.84km D.8 km2.如图6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =____________.图63.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)3.解:如图7所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.图7因为四边形OACB 为矩形,所以||=||·cot30°=||·cot30°=53≈8.66 km/h, ||=233530cos || OA =10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .作业1.课本习题2—7 A 组4,B 组2.2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.设计感想1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1,M 2,它们的质量分别是m 1,m 2,由物理学知识,这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即,1221m m MM M M =或m 1221MM m M M = 现设点M 1、M 2、M,对应的向量分别是r 1、r 2、r ,则上式可以写成m 1(r -r 1)=m 2(r 2-r ).所以r =212211m m r m r m ++,点M 处的质量为m 1+m 2. 现求三个质点的重心问题.三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3,所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3,我们可设M 1,M 2的重心在点D 处,该处对应的向量为r D =212211m m r m r m ++,该点的质量为m 1+m 2,然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r,易得r =321332211m m m r m r m r m ++++. 二、备用习题1.作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|=5,|F 2|=3,夹角为60°，则F 1+F 2的大小为_________.2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.3.在半径为15 cm 的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm,圆洞的半径是5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.如图13所示,重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.图13参考答案:1.72.如图14所示,设AB 表示船垂直于对岸的速度,则AB +=,图14 知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h), 所以在Rt△ABC 中,||=2 km/h,|AC |=8÷2=4 km/h,则|BC |=32km/h. 答:河水的流速为32km/h.3.如图15所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O 1(0,0),O 2(8,0),圆O 2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m 1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m 2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O 3.图15根据物理学知识,知O 3在直线O 1O 2上,即可设O 3(x 3,0),且满足2113O O O O λ=,其中λ=812002521==m m .由定比分点坐标公式,知0=8118813+⨯+x ,解得x 3=-1,即O 3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.对小球的受力分析如图13所示,重力为G ,斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上),木板弹力N 1(垂直于木板),其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G ′|,方向向上,N 2的方向始终不变,随着木板的转动,N 1的方向始终垂直于木板,N 1的大小在变化,且满足θsin |'|sin ||1G a N =, 又|G ′|=|G |,∴|N 1|=θsin sin ||a G . ∴当sin θ取最大值1时,|N 1|min =|G |sin α,此时θ=2π.。
高中数学第2章平面向量7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例课件北师大版必修
知识点一 向量在物理中的应用
1．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度 为( )
A．v1－v2 C．v1＋v2
B．v2－v1 D．|v1|－|v2|
答案：C
2．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力→F1，
→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
【方法总结】 用向量的方法解决相关的物理问题，要将 相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数 学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还 原为物理问题．
如图所示，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上，平衡后，G 点 距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的质量忽略 不计)．
解：设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b. 而|B→D|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－ 2a·b＝4，所以 2a·b＝1. 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋ |b|2＝5＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第二章 平面向量
§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问 题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等 问题.
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
答案：C
知识点二 向量在解析几何中的应用
3．已知直线 l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与 l 平行，则
北师版高中数学高一必修4课件2.7.2向量的应用举例
探要点·究所然 情境导学 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当 向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为 代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极 大的方便.本节专门研究平面几何以及物理中的向量方法.
明目标、知重点
探究点一 平面向量在几何中的应用
导引 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点 共线、线共点以及角度等问题时有独到之处,且解法思路清 晰、简洁直观.其基本方法是： (1)要证明线段 AB＝CD,可转化为证明|A→B|＝|C→D|. (2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,使得A→B ＝λC→D,且 A、B、C、D 不共线即可.
明目标、知重点
思考3 请利用向量的方法解决下列问题：如图所示,
在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子 与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况； 答 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则, 得－G＝F1＋F2,|F1|＝co|Gs |θ, |F2|＝|G|tan θ, 当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角,α
为锐角),
所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20 3 km/h.
明目标、知重点
跟踪训练2 某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速
为4 3 km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方 向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示,设此人的实际速度为O→B,水流速度为O→A.
明目标、知重点
1234
1234
3. 正 方 形 OABC 的 边 长 为 1, 点 D 、 E 分 别 为 AB 、 BC 的 中 点 , 试 求
高中数学 2.7向量应用举例课件 北师大版必修4
AB 10, AC 9t, BC 21t.
因为
所以 BC AC AB,
2
2
即 BC AC AB ,
所以B(2C12 t)2A=C(29t)22A-C2×A9Bt×1A0B×2.cos 120°+100.
第二十九页，共48页。
化简得36t2-9t-10=0,
即(3t-2)(12t+5)=0.
AP
因为 ∥a，所以(x＋2)×1－3(y－1)＝0.
即所求直线方程为x－3y＋5＝0.
第十二页，共48页。
【补偿训练(xùnliàn)】求证直线l1:y=3yx-1与1 xl2:2
互
相垂直.
3
【证明】在y=3x-1中，分别令x1=0,x2=1，得y1=-1,y2=2.则
A(0,-1),B(1,2)是直线l1上的两个点，类似地，可得l2上的两点
(1, 4) 3
第三页，共48页。
【自主解答】(1)设M(x,y)是直线l上任(shàng rèn)一点， 则 =(x-1,y-1),
PM
又n⊥ ，故(4，-3)·(x-1,y-1)=0，即4x-3y-1=0.
答案：4PMx-3y-1=0
第四页，共48页。
(2)方法(fāngfǎ)一：直线l的k斜 率4 , 向量u(1=，4) 与直线l平行. ①设P是过A且与l平行的直线上的3 动点，P的坐3标是(x,y)，则
第二十页，共48页。
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos θ=
a b如，求三角形的面积用公式S= ab1sin C时，可能会利用 夹| a角|| b公| 式求出cos C，进而求出sin C2.
(5)向量的坐标(zuòbiāo)法，对于有些平面几何问题，如矩形、正 方形、 直角三角形等，可建立平面直角坐标(zuòbiāo)系，把向量用坐标 (zuòbiāo)表示， 通过代数运算解决几何问题.
高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课件北师大版必修
探究一
探究二
探究三
(方法二)设正方形边长为1,
由图形知������������
=
������������
+
������������
=
������������
+
1 2
������������ ,
������������
=
������������
+
������������
=
������������
+
1 2
-
7 2
,-2
,则������������与������������(
)
A.不共线
B.平行
C.相交
D.以上均不对
解析:������������ =
2,
8 3
, ������������=(-3,-4),
由于 2×(-4)=83×(-3),因此,������������ ∥ ������������.
探究一
探究二
探究三
解:以 O 为原点,正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系,
如图所示,则 F1=(1, 3),F2=(2 3,2),F3=(-3,3 3), 所以 F=F1+F2+F3=(2 3-2,2+4 3). 又位移 s=(4 2,4 2), 故合力 F 所做的功为 W=F·s=(2 3-2)×4 2+(2+4 3)×4 2 =4 2×6 3=24 6(J). 即合力 F 所做的功为 24 6 J.
一二三四
四、向量方法在物理中的应用 1.力、速度、加速度、位移都是向量. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的线性运算, 运动的叠加也用到了向量的合成. 3.功即是力F与所产生位移s的数量积.
江西省南昌铁路一中高中数学 2.7向量应用举例(第1课时)教学课件 北师大版必修4
AF D
方法2：（余弦定理法） 方法3：（坐标法） 如图建坐标系： A
设B(a,0), D(b,c), 则C(a+b,c). ∴AC2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,
y D
BD2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2. ∴AC2+BD2=2a2+2(b2+c2) =2(AB2+BC2) A o
即证 AC2+BD2=2(AB2+BC2)
C BE
C B
C
Bx
方法4：（向量法）
设 AB a，AD b，则 AC a b，BD a b，
AC 2 DB 2 (a b )2 (a b )2
2( a 2
2
b ) 2(
AB 2
AD 2 ).
向量法解决几何问题的步骤：
D
a
A
b
C B
1.建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将几何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
3.把运算结果“翻译பைடு நூலகம்成几何关系.
形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2.如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC 之间的关系吗？
§7 向量应用举例（一）
1.点到直线的距离公式
y
若M(x0,y0)是平面上一定点，它到 l 直线l：Ax+By+C=0的距离d为
《向量应用教材PPT举例》ppt(精选)北师大版1
D
a+ b+ c =0
《 向 量 应 用 举例》 ppt(精 选)北师 大版1
《 向 量 应 用 举例》 ppt(精 选)北师 大版1
例3：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下：
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课堂总结
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《 向 量 应 用 举例》 ppt(精 选)北师 大版1 《 向 量 应 用 举例》 ppt(精 选)北师 大版1
再见
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《 向 量 应 用 举例》 ppt(精 选)北师 大版1
练习；
（1）如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 ——10—N —。
2.如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河
边P处，从这里起，在下游l =80m处河流有
1
《 向 量 应 用 举例》 ppt(精 选)北师 大版1
例4：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h，水流
的速度 v2 = 2km/h。
问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？ 500m
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
《 向 量 应 用 举例》 ppt(精 选)北师 大版1
练习4．已知一物体按向量 a =（3，4）
方向以大小为10m/s的速度前进了30s，物 体由于受外力的作用，速度大小不变，方
北师版数学高一-教学设计2.7.2向量的应用举例
7.2 向量的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.推进新课应用示例例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?图1活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中,F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 cos 2cos 2||||||||21211θθG F F G =⇒=.通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1.令=-v 1,AC =-2v 1,实际风速为v .∵+=,∴=v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA +=DC ,∴DC =v -2v 1, 这就是当车的速度为40km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA =45°,DB ⊥AB ,AB =BC ,∴△DCA 为等腰三角形,DA =DC ,∠DAC =∠DCA =45°.∴DA =DC =2BC =202.∴|v |=202 km/h.答:实际的风速v 的大小是202km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m |v |=(M +m )|v 0|.①由于机械能守恒,所以21(M +m )v 02=(M +m )g h .② 联立①②解得|v |=m mM 2g h .又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈m M2g h ,即子弹的速度大小约为m M2g h .例3 一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地,然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A ,C 两地相距2 000 km,求飞机从B 地到C 地的位移.图4解:如图4,设A 在东西基线和南北基线的交点处. 依题意,AB 的方向是北偏西60°,｜AB ｜=1 000 km;AC 的方向是南偏西60°,｜AC ｜=2 000 km ,所以∠BAC =60°.过点B 作东西基线的垂线,交AC 于D ,则△ABD 为正三角形.所以BD =CD =1 000 km, ∠CBD =∠BCD =21∠BDA =30°. 所以∠ABC =90°,BC =AC sin60°=2 000×23=1 0003(km), ｜BC ｜=1 0003 km.答:飞机从B 地到C 地的位移大小是1 0003km,方向是南偏西30°.例4 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g =10 m/s 2)图5解:如图5,设木块的位移为s ,则F ·s =｜F ｜｜s ｜cos30°=50×20×23=5003(J). 将力F 分解,它在铅垂方向上的分力F 1的大小为｜F 1｜=｜F ｜sin30°=50×21=25(N), 所以,摩擦力f 的大小为｜f ｜=｜μ(G -F 1)｜=(80-25)×0.02=1.1(N).因此f ·s =｜f ｜｜s ｜cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).答:F 和f 所做的功分别是5003J 和-22 J.知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( ) A.215 km B.6 km C.84km D.8 km【答案】B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.2.如图6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N ;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =____________.图6【答案】41 (5,4)3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解:如图7所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度, ∠AOC =30°,|OB |=5 km/h.图7因为四边形OACB 为矩形,所以||=||·cot30°=||·cot30°=53≈8.66 km/h,|OC |=233530cos || OA =10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv是数乘向量,冲量Δt F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.作业1.课本习题2—7 A组4,B组2.2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.设计感想1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.。
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解法一：如图， AB AC, AB AC 0 C
Q
BP CQ (AP - AB) (AQ - AC)
AP AQ AP AC AB AQ+AB AC
a2 AP AC+AB AP
A
B
a2 + AP ( AB AC ) a2 + 1 PQ BC
a2 +a2 cos .
2
故当cosθ=1，即θ=0时， BP CQ最大，P
BC ( c, b), PQ ( 2x, 2 y).
BP CQ ( x c) ( x)+y( y b)
A
( x2 +y2 ) cx by.
cos
PQ BC PQ BC
cx by a2
,
cx by a2 cos . BP CQ a2 +a2 cos .
故当cosθ=1，即θ=0时， BP CQ最大，
DF ER T
C
y A
A
B
例3.如图，已知在等腰△ABC中， BB′、 CC′是两腰上的中线，且 BB′⊥ CC′，求顶角A的余弦值.
C′
B′
B
o
Cx
练习3.如图，在Rt△ABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点
A为中点，问：PQ与BC的夹角θ取何值时，BP CQ 的值最大？
并求出这个最大值.
这时，PQ与BC的方向相同， 其最大值为0.
解法二：如图，建立直角坐标系，
y
设 AB c , AC b, 则A(0,0),B(c,0),C(0,b), C
且 PQ 2a , BC a . 设点P的坐标为 (x, y),
则Q(-x, -y). BP (x c, y),CQ (x, y b),
C B
1.建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将几何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
3.把运算结果“翻译”成几何关系.
形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2.如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC 之间的关系吗？
AF D
方法2：（余弦定理法） 方法3：（坐标法） 如图建坐标系： A
设B(a,0), D(b,c), 则C(a+b,c). ∴AC2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,
y D
BD2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2. ∴AC2+BD2=2a2+2(b2+c2) =2(AB2+BC2) A o
练习2.若将函数 y=f(x)的图像按向量a平移,使图像上点的坐
标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为_y___f_(_x___1_) __2_.
2.向量在几何方面的应用
提出问题：如图，在平行四边形ABCD
D
中，你能观察、发现并猜想出对角线的
长度与两邻边长之间有什么关系？ 猜想： AC2+BD2=2(AB2+BC2) 方法1：（平面几何法）
§7 向量应用举例（一）
1.点到直线的距离公式
y
若M(x0,y0)是平面上一定点，它到 l 直线l：Ax+By+C=0的距离d为
d Ax0 By0 C A2 B2
o
n
M(x0, y0)
n0 d
P(x, y)
x
例1.求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.
练习1.P100/1、2、3.
即证 AC2+BD2=2(AB2+BC2)
C BE
C B
C
Bx
方法4：（向量法）
设 AB a，AD b，则 AC a b，BD a b，
AC 2 DB 2 (a b )2 (a b )2
2( a 2
2
b ) 2(
AB 2
AD 2 ).
向量法解决几何问题的步骤：
D
a
A
b
这时，PQ与BC的方向相同，其最大值为0.
练习4.P102练习1，2.
Q Bx
3.小 结 （1）点到直线的距离公式 若M(x0,y0)是平面上一定点，它到 直线l：Ax+By+C=0的距离d为：
d Ax0 By0 C A2 B2
（2）向量法解决几何问题的步骤：
形到向量
向量的运算
向量和数到形