北师大版数学高二选修4-4讲义第二讲参数方程3参数方程化成普通方程习题解答

习题2－3 第42页

A 组

1.解 (1)2x －y －7＝0，直线.

(2)x 216＋y 29＝1，椭圆.

(3)x 2a 2－y 2

b 2＝1，双曲线.

(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，

所以y －2x －1＝4. 所以4x －y －2＝0，直线.

(5)⎝ ⎛⎭

⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.

3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225

＝1，焦距为221. 4.椭圆的普通方程为（x －1）216

＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0). 5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24

＝1，中心坐标(2，1). 6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23

＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.

7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.

8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b 2，

点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).

B 组

1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，

即x 2＋y 2＝2. 2.解 设动点M (x ，y )，则⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2.

所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53

（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25. 即（x ＋1）225＋（y －2）29

＝1. 3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1).

所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24

＝1. 4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20

x 2，射程为3v 202g ， (2)证明略.