垂线段的定义和性质

垂线的判定定理

垂线的判定定理是几何学中的一个重要概念，它涉及到直线与平面之间的垂直关系。

在三维空间中，垂线是指直线与平面相交，并且与平面内的任意一条直线都垂直的直线。

以下是一些关于垂线的判定定理：
1. 定义判定定理：如果一条直线与平面内的任意两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。

2. 性质定理：
- 性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

- 性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直于已知平面。

- 性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

- 性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

3. 三垂线定理：在平面几何中，如果一条直线与平面内的一条斜线的影子垂直，那么这条直线与斜线垂直。

4. 平行线公理：在欧几里得几何中，如果两条直线在同一平面内，且任意一条直线与平面内的另一条直线都垂直，则这两条直线平行。

5. 垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。

这些定理是解决与垂线相关的问题的基础，并且在几何学的学习和应用中非常重要。

在实际应用中，这些定理可以帮助我们判断直线的垂直关系，解决诸如建筑设计、工程测量和立体几何分析等问题。

2.2 垂线

2.2 垂线【知识精华点击】课标要求1. 了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；2. 了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.本节重点是两条直线互相垂直的概念、性质和画法，“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用；难点是画给定直线的垂线以及对点到直线的距离的概念的理解. 教材详析1.垂线(1)定义：当两条直线相交成的4个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

理解垂直要注意以下三点：①掌握垂直的表示法垂直用符号“⊥”来表示，如图 2.2-1，“直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O”可记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,OD C B A图2.2-1②理解垂直与相交的关系垂直是相交的特殊情形，即相交成的角是直角时就是垂直。

所以两条直线互相垂直就一定相交，反过来，两条直线相交就不一定互相垂直。

③弄清“互相垂直”与“垂线”的联系和区别“互相垂直”是两条直线间的一种特殊位置关系，“垂线”则是两条直线互相垂直时其中的一条直线对另一条直线的称呼。

两条直线“互相垂直”时，其中的一条直线就是另一条直线的“垂线”。

反之，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么这两条直线就一定互相垂直。

(2)几何推理：包括正用（判定）和反用（性质）的推理过程。

如图2.2-1，判定：∵∠AOB=90°,∴AB ⊥CD ；性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOB=90°。

(3)垂直的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(4) 垂线的画法①通过直线上的已知点画与这条直线垂直的直线（如图2.2-2（1））：第一步：把三角板的一条直角边与直线重合；第二步：沿着直线左右移动三角板，使直角顶点与直线上的已知点重合；第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。

垂直线的性质

垂直线的性质在几何学中，直线是最基本的几何要素之一，也是我们日常生活中常见的线段形态。

垂直线是直线的一种特殊类型，具有独特的性质和特征。

本文将探讨垂直线的性质，并分析其在几何学中的应用。

一、垂直线的定义首先，我们需要了解垂直线的定义。

在平面几何中，两条直线互相垂直，意味着它们之间形成了一个直角。

换句话说，如果两条直线相交，且对应的四个角中有一个角为直角（即90度），则这两条直线互相垂直。

二、1. 直角性质：两条垂直线交叉形成的角度为直角。

这意味着垂直线之间的夹角恰好为90度。

2. 垂直角性质：对于一条直线和一条与之相交的垂直线，形成的角被称为垂直角。

根据垂直线的定义，垂直角是90度的。

3. 垂直线的倾斜度：垂直线没有倾斜度，与水平线相比，其斜率为无穷大。

这意味着垂直线上的任意两点的纵坐标之差是相同的，而横坐标之差为零。

4. 垂直平分线性质：一条直线被一条垂直平分线分成两个相等的部分。

垂直平分线将原始直线分割成相等长度的两段，同时形成两个相等的角。

5. 垂直线的唯一性：通过给定点，可以画出一条与给定线段垂直的唯一直线。

这可以通过作垂线的方法来实现。

三、垂直线的应用垂直线的性质在几何学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 垂直线的判定：根据垂直线的定义和性质，我们可以通过判断角度是否为直角来确定两条直线是否垂直。

这在解题和证明几何学中非常常见。

2. 图形构造：如果我们需要构造一个垂直线，只需通过给定点作垂线即可。

这在建筑与设计等实际应用中非常常见。

3. 角度计算：当涉及到多个直线相交时，通过垂直线的性质，我们可以计算出各个角度的大小，以及它们之间的关系。

4. 地质勘探：在地质勘探中，垂直线的使用是至关重要的。

通过垂直线的引入，我们可以测量地层的倾角和地层的关系。

5. 建筑测量：在建筑测量中，垂直线的作用不可或缺。

在建筑规划、地理测量和土地测量等领域中，垂直线的性质被广泛应用。

总结：垂直线作为几何学中的一个基本要素，具有许多重要的性质和应用。

垂直线的性质与判定

垂直线的性质与判定垂直线是几何学中的一个重要概念，在解题过程中经常会涉及到垂直线的性质和判定。

本文将探讨垂直线的定义、性质以及如何准确判定两条直线是否垂直的方法。

一、垂直线的定义在平面几何中，垂直线又称为垂直于某一直线或垂直于某一平面的线段。

当两条直线的交角为90度时，我们可以称这两条直线垂直。

垂直线以其与其他线段之间的垂直关系而得名，具有以下几个重要性质。

二、垂直线的性质1. 互相垂直线的斜率的乘积为-1若两条直线的斜率分别为k1和k2，且k1*k2=-1，则这两条直线互相垂直。

2. 垂直线段的端点连线长度相等若两个线段的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD垂直，则AC的长度等于BD的长度。

3. 垂直线的特殊性质垂直线与直线组成直角。

在平面几何中，如果有一直线与另一直线垂直相交，则两直线之间形成的角为直角。

三、判定垂直线的方法1. 斜率判定法如果两条直线的斜率乘积为-1，即k1*k2=-1，则两条直线垂直。

2. 互相垂直线段端点连线长度相等法如果有两个线段，它们的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD互相垂直，那么这两个线段长度相等。

3. 垂直线的特殊性质判定法如果一条直线与另一直线形成的角为90度，则两条直线垂直。

四、示例以下是一些关于判定垂直线的示例问题。

1. 已知直线L1的斜率为2，判断直线L2是否与L1垂直。

解答：如果直线L2的斜率为-1/2，则L2与L1垂直。

2. 在平面直角坐标系中，已知线段AB与线段BC相交于点B，且AB与BC的长度相等，判断线段AB与BC是否垂直。

解答：线段AB与BC垂直的判据是线段AB与BC的端点连线长度相等。

3. 以AB为直径的圆与MN相交于点C，若MC的长度为8cm，判断AC与BC是否垂直。

解答：判定AC与BC垂直的方法是通过角度判断，即判断∠ACB 是否为90度。

五、总结垂直线作为几何学中的重要概念，其性质和判定方法在解题过程中起到重要的作用。

本文讨论了垂直线的定义、性质和判定方法，并通过示例问题对判定垂直线的方法进行了说明。

细说垂线、垂线段、点到直线的距离

细说垂线、垂线段、点到直线的距离作者：钱振洪来源：《初中生世界·七年级》2014年第02期关于垂线，同学们在小学里已接触过，但那仅仅停留在感性认识上，没有对垂线进行概念描述. 七年级上册教科书通过图片及“议一议”活动，带大家一起回忆了小学里学过的相关知识，并遵循从感性到理性的认知规律归纳了垂线的定义，进而引出垂线段、点到直线的距离等概念. 由于同学们的认识水平有限，往往会对这三个概念认识模糊，混淆不清，下面我们来一探究竟.一、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.二、垂线、垂线段、点到直线的距离的区别1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.三、概念辨析1. 下列判断错误的是（）.A. 一条线段有无数条垂线B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直D. 若两条直线相交，则它们互相垂直【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.【正确解答】D.2. 下列判断正确的是（）.A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.【正确解答】D.四、生活中的应用通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N 最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.。

垂直线的判定与性质

垂直线的判定与性质在几何学中，垂直线是一个重要的概念。

在本文中，我们将讨论如何判定两条线是否垂直以及垂直线的性质。

通过了解垂直线的定义和性质，我们可以更好地理解几何学中的垂直关系。

一、垂直线的定义垂直线是指两条线或线段之间的夹角为90度的线。

当两条线或线段的夹角等于90度时，我们就可以说它们是垂直的。

这个定义告诉我们如何判定两条线是否垂直。

二、垂直线的判定方法1. 几何推理法：通过几何推理的方法，可以快速判定两条线是否垂直。

如果两条线段之间的夹角为90度，那么它们就是垂直的。

通过观察几何图形的形状和角度，我们可以轻松判定线段是否垂直。

2. 斜率法：在解析几何中，我们可以使用斜率来判断两条线段是否垂直。

如果两条线段的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。

具体的计算方法是比较两条线段的斜率乘积是否等于-1，如果等于-1，则说明它们是垂直的。

三、垂直线的性质1. 互补角性质：两条垂直线之间的夹角是互补角，即它们的和等于90度。

这个性质使得我们可以通过已知其中一条垂直线的角度，快速计算出另一条垂直线的角度。

2. 线段垂直平分性质：如果一条线段与另外两条垂直线相交，并将它们分成两部分，那么这条线段就是这两条垂直线的垂直平分线。

这个性质在几何证明中经常被使用，它说明了垂直线的重要性。

3. 垂直线的延伸性：垂直线可以无限延伸。

无论在平面内或空间中，一条垂直线都可以一直延伸下去，没有止境。

这个性质使得垂直线在几何学中具有独特的特点和应用。

四、垂直线的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直线的应用非常广泛。

例如，在建造一栋建筑物时，垂直线被用来确保墙面的垂直和地面的垂直。

通过使用垂直线，可以保证建筑物的结构稳定和美观。

2. 地图标示：在地图上，垂直线通常用来标示方向。

例如，纬度线和经度线是垂直于彼此的线，它们被用来确定地球上任意一个地点的位置。

通过使用垂直线，我们可以准确地定位和导航。

3. 几何证明：在几何证明中，垂直线经常被用来推导其他几何命题。

垂线-数学-人教版新教材-下册-初中-一年级-第五章-第一节

P
A
A ，垂线段PA的长度就
是该同学的跳远成绩.
例1、选择题：
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、 CD中最短的是( C )
(A)、AC (B)、BC、(C)、CD (D)、不能确定 C
A
M
B ∴直线MF为所
求垂线。
CN
FD
拓展应用1
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓展应用2
G
D
C
问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线。并说明理由。
C
∴ AC＜AB（垂线段最短）
又∵ CD⊥AD于D(已知）
E
∴ CD＜AC（垂线段最短）
∵ DE⊥BC于E(已知）A
D
B
∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
m
30
m
20
例4、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离。
A
25m
8m C 答:……。 B
m
0m 10
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
∠ EOF、 ∠ COF的度数.
E
解: ∵ AB⊥OE （已知）
D
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠DOE= 50° （已知）
AO
B
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)

垂线段的定义和性质

垂线段的定义和性质
垂线段的定义及性质：
一、定义：
1.垂线段是指由一点拉垂直在另一条直线上的线段。

2.根据叉乘定理，一条垂线段与被垂直的直线夹成一小角。

二、性质：
1.垂线段与其垂直的直线具有相交的关系，即垂线段的端点位于垂直的直线上。

2.垂线段的上端点位于垂直的直线的端点处，下端点位于垂直的直线的中点处。

3.垂线段的长度只和垂直的直线的长度有关，不受其它因素的影响。

4.垂线段的斜率与垂直的直线的斜率完全相反，垂线段和垂直的直线必须成90度。

5.垂线段完全可以用来解决空间中的未知数，也可用于在空间中计算距离drop。

6.垂线段的可用性受到其他已知的空间特征的影响，比如距离、斜率、角度等。

7.任何一条垂线段都可以看成一条从原点拉垂上的直线，所以可以求出该垂线段的函数定义。

垂直线与垂直线性质的判定

垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。

其中一条直线称为另一条直线的垂线。

2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。

二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。

三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。

四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。

五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。

（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。

4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。

（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。

数学中垂线的主要性质

数学中垂线的主要性质
答：垂线有两个性质：
（l）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

（简说成：垂线段最短）。

垂线的第一条性质，是说垂线的存在性和唯一性，它是垂线作图的理论基础和保证。

以后在画一条线段或射线的垂线时，就是画它们所在直线的垂线，有时过线段外一点画这条线段的垂线，需要先延长线段，使垂足在这条线段的延长线上。

今后如果遇到两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直或线段、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线互相垂直。

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

（例1）如图1，画AE⊥BC，E为垂足，画CF⊥AD，F为垂足。

解：画AE与BC相交，并且有一个角是直角，可用三角板，画出∠AEC=90°。

在画CF⊥AD时，要先画AD的延长线，因为垂足F要在AD的延长线上。

图1中的AE、CF即所求。

[例2] 已知∠AOB，点D、E分别在OA和OB边上，如图2.画出DF⊥OB，F为垂足，EG⊥OA，G为垂足。

D到直线OB的距离指的是什么？
解：作∠DFO=90°，并且顶点F在OB上，作∠EGO=90°，并且G在OA上，
则DF⊥OB
EG⊥OA且F、G分别为垂足
点D到直线OB的距离指的是线段DF的长度。

垂线段知识点总结

垂线段知识点总结一、垂线段的定义垂线段是指一个线段与另一个线段交点为90度的线段。

在平面内，如果两条线段的交点形成一个直角，则这两条线段互相垂直，即它们是垂直线段。

二、垂线段的性质1. 互相垂直：如果一条线段与另一条线段垂直，则这两条线段互相垂直。

2. 垂线段的斜率：如果两条线段互相垂直，它们的斜率乘积为-1。

3. 垂线段的长度：如果两条线段互相垂直，它们的长度符合勾股定理，即a²+b²=c²。

三、垂线段的求解1. 已知两个点坐标求垂线段：如果已知直线上两个点的坐标，可求垂线段的斜率，然后用斜率在垂线段上求解。

2. 已知线段斜率求垂线段：如果已知直线的斜率，可求垂线段的斜率，然后用斜率在垂线段上求解。

四、垂线段的相关定理1. 直线的倾斜度为k，沿着其斜率为-k的直线方向，这两条直线互为垂线段。

2. 如果一线段垂直于一平面，则这个线段与平面相交的直线的两个直线也互相垂直。

3. 如果在一个三角形内，两条垂直的边，则他们的第三边是斜边，他们可能构成直角三角形。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度就是垂直边的长度乘以2次方再加上水平边的长度的2次方。

五、垂线段的应用1. 解决几何问题：在解决几何问题中，垂线段的性质可以帮助我们解决很多有关角度和距离的问题。

2. 实际应用：垂线段在地图绘制、建筑设计、工程测量等领域有着广泛的应用。

比如在建筑设计中，垂线段可以帮助我们确定建筑物的水平、垂直方向，确保建筑物的稳定和美观。

总之，垂线段是平面几何学中一个重要的概念，它有着丰富的性质和应用。

掌握垂线段的定义、性质和相关定理，对于我们理解和解决几何问题有着重要的意义。

希望通过本篇知识点总结，能够让读者对垂线段有更深入的理解，并能够灵活运用垂线段的知识解决实际问题。

冀教版数学七年级下册相交线第2课时垂直垂线段

求证：AE⊥BE。
2023
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2023
垂直与垂线段
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2023
目录
• 垂直与垂线段的定义 • 垂线段的性质 • 垂线段的作法 • 垂直与垂线段的应用 • 练习与巩固
2023
PART 01
垂直与垂线段的定义
REPORTING
垂直的定义
01
两条直线或线段在平面上相交，如果它们之间的夹角为90度，则称这两条直线或线段互相垂直。
题目2
已知直线AB与CD平行，直线EF与 AB垂直，那么直线EF与CD的关系是什么？
题目3
在直角三角形ABC中，∠C=90°， CD是∠ACB的角平分线，DE⊥AC 于E，DF⊥BC于F，则四边形DECF 是正方形吗？为什么？
提高练习题
题目1
在四边形ABCD中，已知 AB⊥BC，CD⊥BC，且 ∠BAD=60°，∠BCD=30°，求
02
垂直是线与线之间的一种特殊位置关系，它描述了两条直线或线段之间的角度关系。
垂线段的定义
垂线段是指一条线段与另一条直线垂直相交，该线段称为垂线段。
垂线段是连接两条垂直线段或直线上的一个点，它是一条特殊的线段。
垂直与垂线段的关系
垂直是两条直线或线段之间的位置关系，而垂线段是描述这种位
置关系的一种具体表现形式。
垂足的性质
• 垂足的性质包括：垂足是两条垂直相交直线形成的交点，它具有唯一性；在同一条直线上，任意两点与另一直线上的某一点所连的线段互相垂直，则这三点共线；在三角形中，任意一边的中点与这边所对的角的顶点之间的连线互相垂直，则这个三角形是直角三角形。

5.1.3 垂线——垂线段

．线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离
知2－讲
导引：A项是判断PB是不是点P到直线l的垂线段；B项是判断PA，PB，PC中，哪条线段是点P到直线l 的垂线段；C项是判断AC是不是点P到直线l的垂线段；D项是判断线段PA是不是点A到直线PC的
垂线段．
知2－讲
画出P，Q两点的位置．
知3－讲
解：P，Q两点的位置如图所示．
知3－讲
例4 (实际应用题)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位
置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据．
知3－练
3 如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P
可以在直线BC上自由移动，则AP的长不可能是
(
)
B．3 C．4 D．5
A．2.5
垂线、垂线段和点到直线的距离的区别与联系：区别：它们是三个不同的概念，不能混淆，垂线是直线；
垂线段是线段；点到直线的距离是垂线段的长度，是一
个数量．联系：它们都与垂直相联系．
第 5章
相交线与平行线
5.1
相交线
第 3 课时
垂线——垂
线段
1
课堂讲解
垂线段点到直线的距离垂线段的基本事实
2
课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
知1－讲
知识点
1
垂线段
1.垂线段的定义：在图所示的方格纸中，点A是直线l外一点， AB与直线l垂直，点B为垂足.点A与直线l上各点的距离长短不一，我们可以发
所以AC· BC＝AB· CD，进而可得CD＝2.4 cm.

5[1].1.2_垂线(2)

4、如图，已知AB、 CD相交于O,° OE⊥CD D 于O,∠AOC=36°，则∠BOE=____ （A）36° (B) 64°
(C)144°
(D) 54°
D O
A C
B
E
30 m 20 m
画一画：
A
25m B
0m
8m
∟ C
10 m
小结：
1、垂线段的定义由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。 2、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离.
3、垂线的性质（2）垂线段最短
堂清：
1、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点P来建火车站，并说明理由。
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。
例如：如图，PA⊥l于点 A ，线段PA叫做点P到直线l的垂线段.
P l
A
要找垂线段，先把点来看。过点画垂线，点足垂线段。
结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.（垂线性质2）简单说成: 垂线段最短.
祝同学们学习进步
温故知新：
1.垂直定义： 2.垂直的表示： 3.垂直的书写形式： 4、垂线的性质（1）
a
α
O
b
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
拓展应用
问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线。并说明理由。 C

七年级数学上册6.5垂直什么叫垂线段？素材苏科版解析

什么叫垂线段？
难易度：★★★
关键词：相交线
答案：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段
【举一反三】
典例：下列说法中，正确的是（）
A、垂线最短
B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C、同角的补角（余角）相等
D、两点之间直线最短
思路引导：根据垂线段最短、垂线的性质、余角的性质和两点之间线段最短，分析、判断各选项的正确与否，再作选择． A、垂线段最短，故错误；B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；C、正确；D、两点之间线段最短，故错误．故选C．
标准答案：C
1。

垂线(2)

6、如图，点M、N分别在直线AB、CD上，
用三角板画图，
1)过M点画CD的垂线交CD于F点,
2)M点和N点的距离是线段M__N__的长， 3)M点到CD的距离是线段M__F__的长。
A
M
B ∴直线MF为所求
垂线。
CN
FD
四、拓展应用
1、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
G D
M· ·
A
问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线。并说明理由。
F问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱 C BC上，你认为它的最佳路线是
什么？
┏
N
E 问题3：若蚂蚁在点M处，想爬
到棱BC上，请你设计一条最佳
B 路线。
课堂小结：
1、垂线段的定义由直线外一点向直线引垂线，这个点与垂足间的线段叫做垂线段。 2、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离. 3、垂线的性质（2）：
垂线段最短
祝同学们学习进步
C
∴ AC＜AB（垂线段最短）
又∵ CD⊥AD于D(已知）
E
∴ CD＜AC（垂线段最短）
∵ DE⊥BC于E(已知）A
D
B
∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
5、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离,
A （2）货场B到铁道的距离。
8m C 答:……。 B
0m 10
20
30
m
m
m
25m
2.垂直的表示例如：如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：

5.1.2_垂线(2)--

C
想一想：
已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？
A
答：不能。
B D EC
例3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC 于E,试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小。
解： ∵ AC⊥BC于C(已知） ∴ AC＜AB（垂线段最短）又∵ CD⊥AD于D(已知） ∴ CD＜AC（垂线段最短）
一端是垂足。
结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成: 垂线段最短.
A
B C3 C1
D
O
C2
C4
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 P
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离. 例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示?
l A
l A
解:过P点作PA⊥l于点
A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
P
例1、选择题： 1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D )
A. 1条 B. 2条 ∠ACB=900, CD⊥AB, 线段AC、 BC、CD中最短的是 ) C (
(A)、AC (B)、BC、(C)、CD (D)、不能确定 C A
C
E
B
∵ DE⊥BC于E(已知） A D ∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
例4、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离。
30 m 20 m
A
25m
8m 答:……。 B
C
0m
10 m
例5、如图， 1)画出线段BC的中点M，连结AM； 2)比较点B与点C到直线AM的距离。