第9章 点的合成运动

牵连运动是指动系的运动，也指刚体的运动，而并非某一 点的运动。所以除非动系作平动，否则其上各点的运动都不完 全相同。如果想当然地讲：牵连运动的速度和加速度就是牵连 速度和牵连加速度，则在概念上是错误的。
同样的牵连运动——转盘的 转动，同样的相对运动——静 止。但他们所具有的速度并不 相同。因为他们每个人在转盘 上所站的位置并不相同。 1、牵连点 某瞬时，在动参考系上与动点相重合的那一点，称为 牵连点，又称瞬时重合点。
例4 圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动，支 承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。 圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。 求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速 度。
解：1、动点：M点。动系：框架 BACD 2、绝对运动：未知
相对运动：圆周运动（圆心O点）
边形求解，超过三个矢量，必须采用解析法求解； 3、加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）
法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。
四、注意问题
作业： 9-11，9-13
三、解题技巧
1、恰当地选择动点和动系，应满足选择原则，具体地有：
① 两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一点的坐 标系。 ② 运动刚体上有一动点，点作复杂运动。 该点取为动点，动系固结于运动刚体上。 2、速度问题，一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四
正确理解牵连点概念需把握的要点： （1）牵连点是动参考系上的点；
（2）牵连点具有瞬时性，动点在不同的瞬时有不同的牵连点。
2、牵连速度和牵连加速度
注：牵连速度、加速度是牵连点的绝对速度和绝对加速度。
设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一
起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体
的拖带或牵连而产生的速度和加速。
由速度合成定理：
牵连运动为平移时点的加速度合成定理
即：当牵连运动为平移时，动点 的绝对加速度等于牵连加速度与 相对加速度的矢量和。
由于 ∴一般式可写为：
§9-5 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
设动参考系O'x'y'z'以角速度e绕定轴转动，不 失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。
先分析 k 对时间的导数。 dr A vA e rA r r k A O dt drO dk e (rO k ) dt dt drO 因为 vO e rO dt dk 、 得 e k ， 同理可得 i j， 即 dt
解1 用运动方程求解。因推杆 作平移，其上各点的速度和加速 度都相同，现取推杆上与凸轮的 接触点M分析：
解2 取圆盘的中心C为动点，动系与 平底推杆AB固连。分析动点的速度和 加速度如图所示。
向y轴投影： 可求得：
本章小结：
一、概念及公式
1、一点、二系、三运动
点的绝对运动为点的相对运动 与牵连运动的合成．
2、速度合成定理
va ve vr
注意加速度切向 aa ae ar 和法向分量 a 2 v aa ae ar aC C e r
3、加速度合成定理 牵连运动为平移时: 牵连运动为转动时:
二、解题步骤
1、选择动点、动系和定系。 2、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 3、作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未 知量（速度, 角速度）。 4、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的 加速度、角加速度未知量。
得:
va ve vr
推导方法2（物理证明）：
得:
va ve vr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
例1 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑 块与铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
解：
1 动点：滑块A，动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（BC） 牵连运动：平动
2 速度：
va ve vr ?
√
大小 方向
r 0
√
?
√
vr ve va r0
BD
ve r0 BD l
3
加速度
aa ae aen ar 大小 方向
氏加速度的矢量和。
其中科氏加速度 aC 2e vr 大小 aC 2e vr sin
方向垂直与 e和vr， 指向按右手法则确定。
例1 如图所示平面机构中，曲柄OA=r,以匀角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。 已知：BC=DE，且BD=CE=l。 求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
绝对运动、相对运动和牵连运动的关系：
牵连轨迹
实例一：车刀的运动分析
动点：车刀刀尖 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动） 动系：工件
实例二：回转仪的运动分析 动点：小球 动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：空间曲线运动
实例三：凸轮顶杆机构
i e i ,
j e j, k e k
~2 d r i j k ar 2 x y z dt
d rM ae r x i y j z k O 2 dt d 2 rM aa 2 dt rO xi yj z k
动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮上 定系：固结在地面上 绝对运动：铅直运动
相对运动：曲线(圆弧)运动
牵连运动：凸轮直线平移
实例四：摇杆滑道机构
动点:销子A (CD上); 动系: 固结于OB。
绝对运动：点A的水平直线运动； 相对运动：点A沿OB轴线的运动； 牵连运动： OB杆的定轴转动。
作业：
va ve vr 大小 方向 ? OA ?
√ √ √
求：矿砂相对于传送带B的速度。
解：1、动点：矿砂M；动系：传送带B 2、绝对运动：直线运动 牵连运动：平动 相对运动：未知 3、
va ve vr 大小 方向
vr
v1
√
v2
√
?
？
2 2 va ve 2va ve cos 60 3.6 m s
沿y轴投影：
n aa sin 30 ae cos 30 ae sin 30
2 r0 2 ? l BD
?
√
√
√
√
ae
BD

a
a
aen sin 30 cos 30
2 30 r(l r ) 3l 2

2 30 r(l r ) 3l
ae BD
第九章
点的合成运动
§9-1 点的合成运动的概念
研究点和刚体的运动
不同参考系上观察物体 的运动会有不同的结果
实际问题中需要
地面为参考系
相对于地面运动 的物体为参考系
但各运动之间存在着必然的联系。在一定条件下，一种运 动可以看作其它几种运动的合成，该运动称为合成运动。
动点、动系和各种运动
作为研究对象的运动点称为动点。
解:
1．动点：滑块A
2. 运动分析
动系：摇杆AB
绝对运动: 绕O点的圆周运动 相对运动: 沿O1B的直线运动 牵连运动: 绕O1轴定轴转动 3.
va ve vr 大小 方向 r
√
?
√
?
√
ve va sin r sin
ve r 2 1 2 O1 A l r2
解题步骤：
（1）选取动点和动系；
（2）分析各种运动和速度（大小和方向是否已知）； （3）根据速度合成定理画速度平行四边形，求解。 恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。
动点、动系的选择原则：
① 动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则 绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成 运动。 ② 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
§9-3 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
速度合成定理的推导
推导方法1(数学证明)：
rM rO r
r xi yj z k
rM rM
M 为牵连点
~ dr i y j z k vr x dt


i y j z k 2 e x
2 e vr 得 aa ae ar 2e vr 令 aC 2e vr 称为科氏加速度。
有
aa ae ar aC
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加
速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科
i j k x y z k ) 2( x i y j z
2
因为 e i y e j z e k 2( x i y j z k ) 2 x
例2 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与 凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
解：1、动点：AB杆上A点。动系：凸轮 2、绝对运动：直线运动（AB） 相对运动：圆周运动（半径R） 牵连运动：定轴运动（轴O） 3、