高二数学异面直线距离
10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册
【学生版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离． 【提示】； 【答案】例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离． 【提示】【答案】 【解析】【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______.5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【教师版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）22a ； 【解析】（1）连接EC ，ED ，因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△， 又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ， 因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，同理，可得EF ⊥AB ，又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以22EF a =，所以异面直线AB 与CD 的距离为22a .例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ， 再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解； 【答案】22a b -【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥， 因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥， 又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DCBC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥， 则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线， 在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>， 所以22BD a b =-； 【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【答案】22【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF =BF =32，于是得EF ⊥AB ， 同理可得EF ⊥CD ，即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝2231()()22-＝22， 即AB 、CD 之间的距离为22. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A22a （22a ） 【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线， 所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ， 由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ， 又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112222MO MG AB a ===，所以异面直线1A C 与11B C 距离为22a ； 故答案为：AB ；a ；11A D ；22a ； 4、设ab 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离； 【答案】3【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,90BDC ∠=︒所以62BC = 因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯ 代入可得()22186182cos 2232x x x ADM x +--+∠==⨯⨯ 所以222sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭而MN AD ⊥所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离 则2sin 3232MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）63；（2）322；（3）存在，63BP =. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图， 又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2， 2EG A B =''=，2221216EF =++=，6cos 3EG FEG EF ∴∠==， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63．（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离，连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离.因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以322BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 32. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο∠==332=，所以6x =， 故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο；。
向量法的三类求角公式和距离公式
③求向量EF在n上的射影d，则异面直线a、b间 的距离为
EF n d
F
b
na
n
E
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离： 直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
uuur r | A Pr n |
n
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
d
|
nv
uuur AP| nv
AcPo的 s绝对 就值 是 P到 点 平 的 面 距离。
也就是AP在法向量n上的投影的绝对值
二、直线到平面的距离
uuur r
l
d | A Pr n |
n
P
r
n
d
O A
uuur
r
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
uuur r
d | A Pr n |
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A
D1
B
u u u ru u u r
C D ,A B 与 的 关 系 ？
u u u ru u u r
D C ,A B 与 的 关 系 ？
结论： cos
uuu ruuu r
| cosCD ,AB|
高二数学异面直线距离
练
习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB' a
C'
⑵AB与CC'； (2) BC a A'
B'
⑶CD与B'C'； (3) CC’ a
⑷A'B与CD。 (4) BC a ⑸A'B与B'C' (5) OB'
O
D
C
要求：对于正方体、长方
体、正四面体中，已有的
A
B
公垂线段，能看出；简单
的公垂线段，能作出。
异面直线间的距离
例1 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1， D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。
A
O
O
D
A C
C
E
B
B
异面直线距离转化成线面距离或面面距离
例2.正方体中，
D'
C求' (1)异面直线 DB和AC 的距离;
A'
B' (2)异面直线 BC和AC 的距离。
(3)异面直线 AA和BD的距离。
D A
C B
异面直线间的距离
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2， 求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。
5.定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
存在性： 直线AB就是异面直线a, b 的公垂线
唯一性：
假如还有直线A’B’也是a, b 的公垂线，则
高二数学异面直线
D
C
O
A B
课堂小结：
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α）3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
C1
(1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1
D
A B
C
棱长为1的正四面体P——ABC中， 求点P到平面ABC的距离？
P
A B O C
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？ 外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂 直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
1
直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
唯一性：
b 假如还有直线A1B1也是a,b的公垂线，则
A1B1⊥a A1B1⊥b a1//a A1B1⊥a1 所以 A1B1⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A1B1 则 a,b共面 矛盾！
a1
B
B1
例 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 段 AA 的长度 d 。
D A' B' C'
D E A B
C
5.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面 的公垂线段的长 度，叫做两个平 行平面的距离。
A
A
A
A1
l
A
人教版数学高二数学选修2-1 3.2《空间向量》的应用空间
《空间向量》的应用空间湖南 高明生空间向量的应用空间：1．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。
2.用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈。
⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B α∈∈。
n 是平面α的法向量。
⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈。
n 是平面α的法向量。
⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量。
⑸点A 到直线a 的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量。
⑹两平行直线,a b 之间的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量。
3.用向量法证明 例题讲解：类型一：利用空间向量求异面直线所成的角例1． 如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( ) A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π解：以D 为原点建立坐标系)1,1,1(),1,0,1(1-=--=GF E A 01=⋅GF E A异面直线A 1E 与GF 所成的角是2π 类型二：利用空间向量求直线与平面 (法向量n )所成的角例2 在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．解：如图建立以三角形BCD 的中心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC设正四面体ABCD 的棱长为a ， 则336,,,23a a a a OF FC OD OA ==== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2a a a a C D A -∵E 为AD 的中点，∴36(0,,)a aE ∴ 36(,,)236a a aCE =-又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2sin cos ,3||||CE n CE n CE n θ⋅=<>==类型三：利用空间向量求锐二面角例3 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝BB 1＝1，E 为D 1C 1的中点，求二面角E —BD —C 的正切值．解：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面DBE 的方程为：0Ax By Cz ++=（过原点D=0）则202,0A B A B C B B C +=⎧⇒=-=-⎨+=⎩ ABCDEF HoxzyABCDA 1B 1C 1D 1EFMzy∴平面DBE 的一个法向量为(2,1,1)n =- 又因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m = 二面角E —BD —C 的余弦值为：6cos cos ,6m n θ=<>=∴tan θ=类型四：利用空间向量求异面直线之间的距离例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD BC BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =， 则由0BD n x y ⋅=+= 和10,BC n x z ⋅=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=- ∴异面直线BD 与B 1C 的距离：111|||cos ,|33BB n d BB BB n n ⋅=<>=== 类型五：利用空间向量求点到平面的距离例5 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC的距离解法一：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），∴(7,7,7)AD =--设平面ABC 的法向量n =（x ，y ，z ）， 则n ·AB =0，n ·AC =0，∴⎩⎨⎧=⋅=-⋅,0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-.,23064022z y z x z x z y x令z =－2，则n =（3，2，－2）∴由点到平面的距离公式：GFEABCDA 1B 1C 1D 1||AD n d n ⋅===1749∴点D 到平面ABC解法二：设平面ABC 的方程为：Ax By Cz D +++=将A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７）的坐标代入，得3230242063705A B A B C D A B C D C B A B C D D B ⎧=⎪+++=⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎪⎩， 取B ＝2，则平面ABC 的法向量n =(A,B,C)=（3，2，－2）又因为 (7,7,7)AD =-- ∴由点到平面的距离公式：||AD n dn ⋅===1749∴点D到平面ABC 类型六：用向量法证明例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC分析一：选基底，利用向量的计算来证明证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1111111111()()()222EF EB B F BB B D AA BD AA AD AB =+=+=+=+-＝(－a ＋b ＋c)/211AB AB AA =+＝a ＋b1EF AB ∴⋅＝(－a ＋b ＋c)/2•(a ＋b)＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，1EF AB ∴⊥，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)，1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)1EF AB ∴⋅＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0EF AC ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC例7 已知空间四边形OABC 中，BC OA ⊥，AC OB ⊥．求证：AB OC ⊥证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ∵BC OA ⊥，AC OB ⊥，∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -= ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA = ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0 ∴AB OC ⊥。
2021上海新高二暑期数学讲与练 第5讲 异面直线间的距离(巩固基础+能力提升练习)解析版
第5讲 异面直线间的距离(巩固基础+能力提升练习）【巩固基础】一、单选题1．（2021·天津高二期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）ABCD ．67【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC 和1BC 的公垂线的方向向量n ，求出AB ，再由AB nd n ⋅=可求出.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =， ()0,1,0AB =， 67AB nd n ⋅∴==. 故选：D.【点睛】本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.2．（2018·全国高三竞赛）正方体表面正方形的对角线中存在异面直线.如果其中两条异面直线的距离是1，那么，正方体的体积为（ ）A ．1B ．C ．1或D ．【答案】C【详解】设正方体的棱长为x ，若异面直线AC 与''B D 的距离为1，则1x =，从而体积31V x ==.若异面直线AC 与'BC 的距离为11x =，x =3V x ==即正方体的体积为1或.选C.二、填空题3．（2020·上海松江区·高二期末）已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BBa = 故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.4．（陕西高二专题练习）在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离____．【答案】3试题分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =，1(2,0,2)C B =，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=，则110{0n D E n C B ⋅=⋅=，即20{220λμ+=+=，2{1λμ=-∴=-，(1,2,1)n ∴=--，又11(0,2,0)DC =，11436D C nn ⋅∴==，所以异面直线1D E 和1BC 间的距离为3． 考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识．点评：法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．5．（辽宁高三竞赛）在长方体1111ABCD A BC D -中,已知14, 3.AB AA AD ===则异面直线1A D 与11B D 的距离为______.【详解】由B 1D 1∥BD,知B 1D1∥平面1A BD .故直线11B D 到1A D 的距离等于11B D 到平面1A BD 的距离,记为h.由条件知115,A D BD A B ===则11113A BD B A DB V S h -==三棱锥, 1111111183A B B B A DB B A B B V V S AD --===三棱锥三棱锥故h = 6．（2019·全国）已知正方体1111ABCD A BC D -表面正方形的对角线中存在异面直线．若其中两条异面直线的距离为l ，则正方体的体积为______．【答案】1或【详解】设正方体的棱长为x ．若异面直线AC 与11B D 的距离为l ，则1x =．从而，正方体的体积为1．若异面直线AC 与1BC 的距离为11x =，x =从而，正方体的体积为．故正方体的体积为1或7．（2018·全国）设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知72AD BE CF ===、则异面直线a 与b 之间的距离为______.【详解】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则=解得x =三、解答题8．（2018·全国）单位正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点．求异面直线DE 与1BC 的距离．【详解】如图，连接111AC A D A E 、、．由11B C A D ，知1B C 平面1A DE ．设异面直线DE 与1B C 的距离为d ．则点C 到平面1A DE 的距离也为d ． 注意到1122CDE ABCD S S ∆==四边形，1112A DE S A ∆=12== 由11C A DE A CDE V V --=，有1111332d d =⨯⨯⇒=． 故异面直线DE 与1B C． 【能力提升】1．（辽宁高三竞赛）在长方体1111ABCD A BC D -中, 11,2AB AA AD ===.则异面直线1A D 与11B D 间的距离为A ．1B ．12C ．23D ．32【答案】C 【详解】设1A B 与1AB 交于点O ,过点1B 作1B M DO ⊥于点M .因为11A B AB ⊥,1A B AD ⊥,所以,AB ⊥平面111ADC B A B BM =⊥.又BM DO ⊥,于是,BM ⊥平面ADB .由//BD BD ,知1//B D 平面ADB .从而,1B M 为1A D 与11B D 间的距离.由1OB ==1B =OD ==， 得2221111123OB OD B D cos B OD OB OD +-∠==⋅13sin B OM ⇒∠=， 11123B M OB sin B OM ⇒=∠=. 2．（2018·全国）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 、F 分别是面11BB C C 和ABCD 的中心．则异面直线EF 与11AC 的距离为（ ）．A ．2a B．2a CD．4a 【答案】C【详解】如图，连1AC 、1AB ．由11AC AC ，知直线EF 与11AC 的距离等于直线11AC 与面1ABC 的距离，也等于点1A 与面1ABC 的距离，设这个距离为h ．则111213A AB C AB CV h S h -=⋅=． 又111231326A ABC C AA B a a V V a --==⋅⋅=．从而，3266a a h =，3h a =．选C. 3．（2020·天津市第五十五中学高二月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体1111ABCD A BC D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）A ．2B ．3C ．12D ．13【答案】B【分析】在AC 上任取点M ，作1MN BC ⊥，设AM AC λ=， 1BN BC μ⊥，根据1MN BC ⊥得出λ和μ的关系，从而可得||MN 关于μ(或)λ的函数关系，再求出此函数的最小值即可.【详解】设M 为直线AC 上任意一点，过M 作1MN BC ⊥，垂足为N ，设AM AC AB AD λλλ==+，11BN BC AD AA μμμ==+，则1(1)()MN AN AM AB BN AM AB AD AA λμλμ=-=+-=-+-+，11BC AA AD =+，1MN BC ⊥，∴1·0MN BC =，即11[(1)()]()0AB AD AA AD AA λμλμ-+-+⋅+=， 221()0AD AA μλμ∴-+=，即0μλμ-+=，2λμ∴=， ∴1(12)MN AB AD AA μμμ=--+，(1MN ∴===，∴当13μ=时，||MN 3=，故直线AC 与1BC 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是运用向量的线性表示方法表示相关向量，然后结合题意建立函数表达式，运用最值方法求出结果.4．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二期末）在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线11,AA BB 的距离之和为60APB ︒∠=，则点P 到直线AB 的距离为（ ）A ．2B ．3CD ．2【答案】B【分析】在平面ABCD 内，到直线11,AA BB 的距离即为到点A ，B 的距离，可得到动点P的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆及其方程， 且60APB ︒∠=，结合21tan 2APB AP b B S ∆∠==. 【详解】在平面ABCD 内，到直线11,AA BB 的距离即为到点A ，B 的距离，且动点P 到直线11,AA BB 的距离之和为即动点P 到点A ，B 的距离之和为由椭圆的定义，动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆的一部分，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为圆心建立平面直角坐标系，如图，(1,0),(1,0)A B - 因此椭圆的方程为：2212x y +=且26031tan 2APB A S b PB APB ︒∆∴=∠=∠= 设点P 到直线AB 的距离为h ，则12h AB h ⋅== 故选：B【点睛】本题考查了立体几何和解析几何综合，考查了学生综合分析，转化划归，空间想象，数学运算的能力，属于较难题.二、解答题5．（2021·江苏徐州市·徐州一中高三期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）求点F 到平面BDE 的距离．【答案】（1）2；（2）3；（3【分析】（1）取BD 中点G ，连接GC ，FG ，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线，再由题中数据，计算出EF 的长，即可得出结果；（2）连接1ED ，由（1）得到EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，根据等体积法，由11E DBD D DBE V V --=求出d ，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，由1sin d BD θ=即可得出结果； （3）由（2）得到1D 到平面BDE 的距离d ，根据题中条件，得到F 到平面BDE 的距离为2d ，即可得出结果. 【详解】（1）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，取BD 中点G ，连接GC ，FG ， ∵F ，G 分别为1,BD BD 的中点，∴1//FG D D 且112FG D D =， 又1//CE D D ，112CE D D =，所以//FG CE 且FG CE =，则四边形EFGC 为平行四边形，又CE ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴CE CG ⊥，∴四边形EFGC 为矩形，∴1EF CC ⊥，∵11//D D C C ，∴1EF DD ⊥，又CG BD ⊥，//EF CG ，BD ⊂平面1BDD ，1D D ⊂平面1BDD ，1BD D D D ⋂=， ∴EF ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，∴1EF BD ⊥，∴EF 为1BD 与1CC 的公垂线，且1E CC ⊂，1F BD ⊂，∴异面直线1BD 与1CC的距离为||2EF =． （2）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，连接1ED ，则11E DBD D DBE V V --=，由（1）知EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，∵12AA =，1AB =，∴BD BE ED ===EF =1BD =∴1122DBD S ==21222DBE S =⨯⨯=， 从而1DBE DBD S d S EF ⨯=⨯，∴3d ==， 记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，则1sin 3d BD θ===， ∴直线1BD 与平面BDE（3）由（2）知，1D 到平面BDE 的距离d =F 是1BD 的中点，且B ∈平面BDE ，∴F 到平面BDE 的距离为23d =． 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.。
高二数学用平面法向量求空间距离
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂
ห้องสมุดไป่ตู้
线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
a
O A
| PA | | n PA | | n || PA |
| n PA| |n|
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
z S
B
Ay
xC
D
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行
高二数学异面直线距离.docx
二手泵车：https:///[单选]信息资源的开发利用和信息技术应用的基础是（）。
A.信息化人才队伍B.国家信息网络C.信息技术与产业D.信息化政策法规和标准规[判断题]接地装置引下线的导通检测应5年进行一次。
A.正确B.错误[单选]下列各项不属于地方行政立法主体的是（）。
A.省、自治区、直辖市的人民政府B.省、自治区、直辖市的人民代表大会C.国务院批准的较大的市的人民政府D.省、自治区人民政府所在地的市人民政府[单选,A4型题,A3/A4型题]男，29岁，火焰烧伤3小时，烧伤总面积80%，其中深Ⅱ°30%，Ⅲ°50%，伤后无尿，心律148次/分，呼吸32次/分，伤后头8小时输液4500ml(其中胶体1800ml)后仍无尿。
感染的威胁将持续到创面的入性感染的威胁，目前对深度烧伤创面的基本措施是()A．早期切痂、削痂与植皮B．联合应用抗生素和支持治疗，避免创面感染C．对烧伤创面进行彻底清创D．保护肠粘膜屏障，防止内源性感染E．应用包扎疗法，避免创面污染[单选,A2型题,A1/A2型题]自杀意念是指（）A.有寻死的愿望，但没有采取任何实际行动B.有毁灭自我的行为，但并未导致死亡C.采取有意毁灭自我的行为，并导致了死亡D.有意或故意伤害自己生命的行为E.反映死亡愿望并不强烈[单选]复治涂阴肺结核的治疗方案可写为（）A.2HRZES／4～6HRB.4HRZES／4～6HREC.2HZES／4～6HRED.2HZES／4～6HRSE.2HRZES／4～6HRE[单选,A2型题,A1/A2型题]以下哪项不适用于银屑病的治疗（）A.水疗B.中频电C.红外线D.三联疗法E.PUVA疗法[名词解释]分乘[单选]中国药典制剂通则包括在下列哪一项中A、凡例B、正文C、附录D、前言E、具体品种的标准中[单选,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》是什么时间公布执行的（）A.2010年1月7日B.2012年1月7日C.2012年6月26日D.2012年8月27日E.2012年10月20日[单选]关系数据库设计理论主要包括3个方面的内容，其中起核心作用的是（）A.范式B.关键码C.数据依赖D.数据完整性约束[单选]多人采用走访形式提出共同的信访事项的，应当推选代表，代表人数不得超过（）。
高二数学异面直线距离
高二数学用平面法向量求空间距离
⑤异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。
结论1
点 P 到平面a的距离可以通过，
在平面a内任取一点 A，求向量PA在
平面a的法向量n上的投影来解决.
例3、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
练习: SA 平面ABCD，DAB ABC 90，
SA AB BC a，AD 2a, z 求A到平面SCD的距离。 S
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
②点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。
③直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
d AB cos AB, n
n
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
练习:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
A
B x
高二数学异面直线距离
向量法的三类求角公式和距离公式
2
An
思考：
B O
n, BA 与的关系？
AB n
结论： sin
| cos n, AB | AB n
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
A
O
B n1
n2 n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |•线Leabharlann 角•线面角•二面角
•小结
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos | cos CD, AB |
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
l
d | AP n |
n
P
n
d
O
A
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d O
四、异面直线的距离
d | AP n | a
n
AP ?
b
n? A
n 是与 a, b 都垂直的向量
n
P
方法指导:
①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量 n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
空间向量
高二数学备课组
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
专题一：
利用向量解决 空间角问题
高二数学空间向量解决空间距离问题
0,
(1, 2,3)
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A
x
D
得 A 1E与 BD 1的 距 离d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
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伢子在后面掩上院门，快步走到车前从耿正手里接过缰绳和马鞭。耿正紧走两步，上前给娘娘和小青深深施礼，哽咽着说： “娘娘，姐姐，你们可好！”耿直和耿英眼看着乔氏和小青的脸陡然变色了！乔氏颤声问道：“正伢子，你爹呢？”小青结结 巴巴地问：“耿，耿正，伯，伯伯呢？这，这，这车怎么……”耿正兄妹三人再也忍不住了，痛失父亲的悲与伤在亲人一般的 娘娘和姐姐面前不再需要遮掩什么了。七年半了，他们的眼泪再一次犹如决堤的洪水……一瞬间，乔氏和小青全都明白了…… 娘儿俩一起颤抖着挪动沉重的双腿，结结巴巴地说：“打，打开篷，篷布，让我们看，看看……”兄妹三人赶快扶娘娘和小青 站住。耿英哭着说：“不，不，这不是，爹去了已经七年半了，就在刚离开的那年夏天……”乔氏伸着颤抖的双手说：“那， 这，这车怎么……”耿正哽咽着说：“只是为了路途安全，用一口寿棺装了细软……”耿直也哭着说：“我们三人也装扮成了 护送早已经去世，并且连尸骨也找不到的爹爹回老家去……”除了小东伢，所有的人都痛哭失声了……忽然听到院子的南边一 阵“嗬儿嗬儿”的骡子欢叫声，耿正兄妹三人擦一把眼泪，这才发现院子的南边新盖了一排宽敞的棚房，一挂挺大的平板车停 在棚房的一边；在另一边的马厩里，一头枣红色高头大骡子正在朝这边的大白骡友好地打招呼呢！耿正说：“东伢子你也养骡 车啦！”东伢子憨憨地擦了把眼泪，说：“哦，去年才养的。菜地扩大了不少，批发送菜的需要个大骡车，为此还新修了院门 儿。”说着话，东伢子看看略显疲乏的大白骡，对小青说：“你和姆妈快招呼耿直和耿英进屋里说话吧，我和耿正先卸了车， 给白骡喂些草料。看它这样子，是有些疲累了呢。”耿正也对乔氏和小青说：“娘娘和姐姐不要着急，我们回头慢慢细说！” 耿直提起软皮箱扶着乔氏，耿英拉着小东伢扶着小青，一起慢慢地进西边的老房子里去了。老房子的过厅里还是老样子。进入 西边的屋子里，发现屋子里边的一切摆设也没有一点儿变化。圆桌上已经摆放了两盘子炒菜和四副碗筷，揭开的锅里，冒着热 气儿的米饭还没有人动过！想起来临别之前娘娘曾经说过，她要永远住在这个与白幺爹共同生活过的老房子里。再看着眼前的 一切，耿英和耿直的心里阵阵作痛……耿直扶乔氏坐在床边上，抱歉地说：“娘娘，我们回来的真不是时候，你们连午饭也没 有吃好！”乔氏有气无力地说“傻伢子，你说什么呢，娘娘做梦都希望你们能早点儿回来啊！”小青进屋后，也软软地跌坐在 了圆桌边的一把椅子上。耿英擦干眼泪轻轻地说：“娘娘，姐姐，你们也不要太难过了，这都过去这么多年了……”乔氏叹口 气无力地说：“唉，这都是天意啊，没有法子的事情。青丫头，起来吧，咱
高二数学异面直线距离
高二数学异面直线距离(PPT)4-2
练
习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB' a
C'
⑵AB与CC'； (2) BC a A'
B'
⑶CD与B'C'； (3) CC’ a
⑷A'B与CD。 (4) BC a
⑸A'B与B'C' (5) OB'
于春夏季开放，但花粉传到雌球花上后，要到第二年初夏才萌发，使雌花受精，发育成球果（俗称松塔或松球，不是果实）。球果于秋后成熟，种鳞张开， 每个种鳞具两粒种子。 松树树干 松树树干 松属植物中的多数种类是高大挺拔的乔木，而且材质好，不乏栋梁之材。中国东北的“木材之王”——红松、北 美西部广为分布的； 织梦模板下载网站 www.mo-ban.top 织梦模板下载网站 ；高大树种（高达7米）—西黄松、原产于美国加州沿海生长速度最快的松树— —辐射松、原产于美国东南部的湿地松、美洲加勒比海地区原产的加勒比松、广布于欧亚大陆西部和北部的欧洲赤松等等，都是著名的用材树种。 松树的观 赏价值也是有目共睹的。在中国，从皇家古典园林到现代居民家中都能见到松树的倩影，例如北海、颐和园中的油松、白皮松，树桩盆景中广泛使用的五针 松等，一些名山胜地，更是山以松壮势、松以山出名。黄山的迎客松、华山的华山松、长白山的美人松……无一不令游人赞叹。另外，松树的树根部位常常会 有大型真菌生长。它们有的是木腐菌，可以对松树进行分解，造成树木根腐；有的是外生菌根菌，可以与松树互换营养，防止树木营养缺乏，从而导致影响 生长。成熟后高达4米，胸径.米；树皮红褐色，下部灰褐色，裂成不规则的鳞状块片；枝平展或斜展，树冠宽塔形或伞形，枝条每年生长一轮，但在广东南 部则通常生长两轮，淡黄褐色，无白粉，稀有白粉，无毛；冬芽卵状圆柱形或圆柱形，褐色，顶端尖，芽鳞边缘丝状，先端尖或成渐尖的长尖头，微反曲。 、
高二数学异面直线距离
热力管道直接埋地敷设时，其敷设的地区应符合的条件为。A.土壤渗水性较差B.土壤腐蚀性小C.土壤地下水位低D.不受腐蚀性液体侵入 在HIV-1分型中，当今流行于世界各地的病毒株的是A.M组B.N组C.O组D.P组E.Q组 [配伍题,B型题]槟榔配木瓜治疗病证是</br>槟榔配木香治疗病证是A.泻痢后重B.水肿胀满C.食积不消D.脚气肿痛E.疟疾寒热 男性，8岁。于8月19日开始发热，头痛，当时测体温38℃，在外院诊断为上感，给予布洛芬退热，头孢菌素静滴无效，8月22日出现嗜睡，体温高达40℃，8月23日因昏迷伴抽搐入院。查体：神志不清，压眶有反应，体温40.5℃，血压、呼吸正常，双瞳孔等大，皮肤黏膜无出血点，颈强阳性，克氏 征阴性。近期有结核患者接触史。该患者入院后急查实验室检查结果：血常规：WBC14.5×109/L，N87%。CSF：细胞数286×106/L，蛋白0.54g/L，糖3.5mmol/L，氯化物129mmol/L。下列处理正确的是。A.物理降温为主，药物降温为辅，肛温控制在38℃为宜B.抗结核治疗C.氨苄西林静脉点滴D.室 在30℃以上E.应用红霉素静滴 在施工过程中，发生事故后，事故报告应当包括的内容有。A.事故发生单位概况B.事故发生的时间、地点以及事故现场情况C.事故已经造成或者可能造成的伤亡人数(包括下落不明的人数)和初步估计的直接经济损失D.已经采取的措施E.已经处分的相关责任解决争议的。则争议发生后双方只能通过仲裁的方式解决争议B．合同约定通过诉讼解决争议的，但争议发生后双方又达成仲裁协议时，也只能通过诉讼解决C．仲裁协议独立存在，合同的变更、解除、终止或者无效，不影响仲裁协议的效 作出后，但是人就同一纠纷再申请诉讼的，人民法院不予受理E．裁决被人民法院依法裁定撤销，但是人就该纠纷可以向人民法院起诉 进行底物磷酸化的反应是A.丙酮酸→乙酰辅酶AB.琥珀酰CoA→琥珀酸C.葡萄糖→6-磷酸葡萄糖D.6-磷酸果糖→1，6-二磷酸果糖E.3-磷酸甘油醛→1，3-二磷酸甘油醛 肺动脉血栓栓塞症(PE)依靠下列哪种检查，才能作出正确诊断A.B.X线胸片C.D.E. 下列哪种情况经常会出现轴突支芽因迷走而成为神经瘤A.神经失用B.轴突断伤C.神经断伤D.神经嵌压性损伤E.神经节段性脱髓鞘 以下不是过敏性鼻炎的主要特点的是A.起病急骤B.鼻腔发痒C.频繁喷嚏D.每次持续数天E.有时异味可诱发 什么叫临边作业？ 以铸造生铁为原料，经化铁炉重熔并铸造成型的高碳系铁合金称为。 国际货物运输保险 下列不属于建筑施工企业的特种作业人员的是()。A.建筑电工B.架子工C.起重机械司机D.钢筋工 共用题干题]患者男，58岁，因“上腹不适，偶伴疼痛6个月，进食不畅2个月”来诊。近15d只能进流食，3个月内体重减轻7kg。既往史无特殊。查体：T36.3℃，P80次/min，R22次/min，BP85/130mmHg；ECOG＝1；浅表淋巴结无肿大；双肺无异常，HR80次/min，律齐；腹部未触及肿物，无压痛 疗前T分期最为重要的检查是（提示CEA10.2U/L。上消化道钡餐造影：食管下段、贲门、胃底肿物，余未发现异常。胃镜：距门齿38~42cm贲门部肿物，侵及食管下段和胃底、胃小弯，活检：中分化腺癌。）。A.胸部CTB.胃超声内镜C.腹部B型超声D.腹部CTE.腹部MRIF.PET-CT 患者，女，27岁，已婚，急性腹膜炎后7天，体温升至38．9℃，自觉全身不适，食欲差，大便次数增多并有里急后重感，今天出现膀胱刺激征，最简便的检查手段是A.腹部B超检查B.肛门镜检查C.腹腔穿刺D.后穹隆穿刺E.直肠前壁穿刺 速发性免疫性输血不良反应是。A.细菌污染反应B.输血相关性急性肺损伤C.枸橼酸盐中毒D.输血相关性移植物抗宿主病E.输血后紫癜 在桥梁基础工程施工中，沉井施工的主要质量控制点有。A.初始平面位置的控制B.刃脚质量C.下沉过程中沉井倾斜度与偏位的动态控制D.封底混凝土的浇筑工艺确保封底混凝土的质量E.基底表面松散层的清理 具有“贯心脉行血气”功能的是A.元气B.心气C.宗气D.营气E.卫气 产品成本计算的基本方法各包括哪些方法？各自的适用条件是什么？ 划分计算机发展四个时代的主要依据是A、价格B、体积C、存储容量D、电子元器件 在GZ～θ曲线上，稳性范围是指。A．0°～30°B．0°～稳性消失角C．0°～甲板浸水角D．甲板浸水角与稳性消失角间的横倾角范围 电气设备铭牌上的绝缘等级是依据所使用绝缘材料的而分的等级。A．防霉菌性能/绝缘B．击穿电压/绝缘C．最高允许温度/耐热D．耐潮湿性/抗潮湿 [问答题,论述题]为什么说平面向量改变了中学数学内容的结构？ 在新科技革命的影响下，以劳动和资本密集型为特征的“大烟囱工业”“夕阳工业”比重逐渐下降，而电子、核能、激光、人工合成原料等“朝阳工业”则迅猛发展，它充分说明科技革命使A．政府对科技日益重视B．工业对国家经济发展的作用不断减弱C．工人的劳动条件和劳动手段不断改进D．社会经济 重大变化 妊娠合并外科疾病，下列哪种不常见A.卵巢囊肿B.上消化道穿孔C.子宫肌瘤D.急性阑尾炎E.急性胆囊炎 包装一般可分为：商业包装、。A．出售包装B．储存包装C．运输包装D．简单包装 代理的种类有哪些？ 关于前列腺增生，下列哪项是正确的A.根据前列腺大小，即可判断梗阻程度B.残余尿量与梗阻程度成正比C.都需要手术治疗D.凡前列腺增生者，直肠指诊都可以触及增大的前列腺E.男性老年患者如无排尿困难即可排除前列腺增生 多轴飞行器悬停时的平衡不包括A.俯仰平衡B.方向平衡C.前飞费阻力平衡 供应小脑的动脉中错误的是A.小脑下后动脉B.小脑下中动脉C.小脑下前动脉D.小脑上动脉E.基底动脉 患者，男性，43岁。因膝关节酸痛而口服阿司匹林2片／次，3次／日。1小时前恶心、呕吐，呕吐物为咖啡样，约500ml。柏油样便，量约700g。查体：脉搏120次／分，血压90／75mmHg，神清，贫血貌。四肢湿冷，上腹压痛。提示：本病人诊断为急性糜烂出血性胃炎，失血性休克。提问：急诊 佳时机为A.12小时以内B.12至24小时内C.24至48小时内D.48至72小时内E.6小时内F.1周以后 依法治国作为我国一项基本制度，其形成标志包括。A、完备的社会主义法律体系B、健全的民主制度和监督制度C、严格的行政执法制度和公正的司法制度D、高素质的执法队伍和较高的全民法治意识 高副的特点是。A.承载能力大B.能传递复杂运动C.磨损小D.寿命长 颤震的风阳内动证的治法为A.清热化痰熄风B.活血化瘀，熄风定颤C.填精益髓D.补益气血，熄风定颤E.育阴潜阳 杭雅小说网：https:///
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6.定理二：两条异面直线的公垂线段 是分别连结两条异面直线上两点的线 段中最短的一条。
B
A
C
a
c E
D b
二、异面直线的距离
α
1.定义：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异 面直线的距离。
2. 距离的求法1： 找出或作出它们的公垂线段，再求出其长。 距离的求法2： 将异面直线的距离转化为线面距离、点面 距离。
; / 保镖公司
娘。就在玉盈为难得不知如何是好の时候，她の大救星――凝儿回来咯！水清和吟雪壹路紧赶慢走，好不容易才回来，赫然见到姐姐壹各 人呆呆地立在院子中间，惊得她瞪大咯眼睛。刚刚跑咯壹路，正是上气不接下气の时候，可是她还是急急地问咯姐姐：“姐姐，您，您， 怎么在院子，里？”“凝儿，你走这么急做啥啊？别把身子累坏咯！刚刚膳房送咯晚膳过来，我这不是……”“啊？晚膳已经送来咯？那 爷回来咯吗？”“嗯，爷已经回来咯，刚回来の，刚进屋。”“噢，那，那我先去服侍爷晚膳咯。姐姐您先回屋里去歇着吧。”“凝儿， 你哪里做得来这些，还是我去吧。”“姐姐！这些事情怎么能由您来做呢？您又不是真の奴……”“凝儿，假如姐姐不做の话，怎么跟别 人交代？壹各丫环躲在屋子里睡大觉，你壹各侧福晋忙前忙后？”“那，那，那您只能看，不能动，您啥啊也不许做。”“行咯，行咯， 赶快进去吧，爷都等急咯。”两各人就这么壹前壹后地进咯屋。壹进门，三各人赶快先给爷请咯安。刚刚她们俩各人在院子里の对话，他 全都听见咯，更是被这各半路杀出来“程咬金”气得差点儿背过气去：这天底下怎么会有这么不识相の人！爷越是不待见你，你还越要往 爷の跟前凑？恼恨完水清，他又开始迁怒玉盈：刚刚你杵在院子里不进来，假如早早进来の话，现在还不早就用完咯晚膳，哪里还用得着 爷要看年氏在这里碍眼？第壹卷 第228章 晚膳心怀对水清の严重不满，还有对玉盈の丝丝抱怨，面对眼前规规矩矩地向他行礼请安の姐 妹俩人，他无可奈何，只是闷闷地说咯壹句：“都起来吧。”水清起身后，赶快努力回忆着平时吟雪和月影这两各丫环是如何伺候她用膳 の每壹各细节。正愣神儿の功夫，吟雪已经迅速地准备咯热巾打算为爷净手，玉盈正将晚膳从食盒里壹壹地取出来，放到桌子上。再没有 经验，再不知道如何服侍王爷，水清也算是终于开咯窍儿：现在三各人需要分头行动、各负其责！于是她赶快去接应玉盈，负责给爷布菜。 爷爱吃啥啊菜？她根本就不清楚，而且脑子里是壹点儿概念都没有！望着壹桌子の菜，她简直就像是面对壹只浑身长满咯刺の刺猬，不知 道如何下手。心急如焚の她冒咯壹头の汗，脸上也跟着火烧云似の红咯起来。王爷早就净好咯手，看着水清在眼前晃悠来晃悠去，他真是 大倒胃口，壹点儿食欲也没有，真想拂袖而去，可是当着玉盈の面，他又实在是无法给她冷脸色，只好强忍着烦燥の情绪，重重地叹咯壹 口气。听到爷の那壹声叹息，水清知道爷等急咯，只好硬着头皮，准备先胡乱地随便端壹各菜放到爷の面前去充数，看看爷の反应再说。 就在她壹跺脚壹闭眼，大义凛然地准备硬行给爷摊派壹各菜盘之际，只见
A
O
D C
B
异面直线间的距离
例1 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1， D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。
O
A O
D
A C E B
C
B
异面直线距离转化成线面距离或面面距离
例2.正方体中，
D' C' B'
求(1)异面直线DB和AC 的距离;
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为a，
求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。 (2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1 P D B1 C1
C A B
异面直线 距离的求法1：
方法1：找出或作出它们的公垂线段， 再求出其长。 方法2；将异面直线的距离转化为线面 距离、点面距离等求解。 作业：P56----No.3、4。上面例3
A B A1
C
5.定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 存在性： 直线AB就是异面直线a, b 的公垂线 唯一性： 假如还有直线A’B’也是a, b 的公垂线，则 ∴ A’B’⊥平面α
α
β A’ A Q B M P B’ b
a c a’
A’B’⊥a ，A’B’⊥b ，∵ a’//a ， ∴A’B’⊥a’ 又∵AB ⊥平面α ∴AB//A’B’ ， 则 a, b共面， 得矛盾！ 一个有用结论： 经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平 面有且只有一个。
A'
(2)异面直线BC和AC 的距离。
( 3) 异 面 直 线 AA和BD的 距 离 。
D
C
A
B
异面直线间的距离
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2，
求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。 (2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1 N D B1 M C1
C A B
异面直线间的距离
9.8.3空间距离的类型和求法 -----异面直线的距离
一、异面直线的Βιβλιοθήκη 垂线1. 特例 在正方体A1C中，直线AB 与异面直线AA1，BC 都垂直相交。 2.异面直线的公垂线： 和两条异面直线都垂直相交的 直线叫做两条异面直线的公垂线， 3.异面直线的公垂线段： 公垂线夹在异面直线间的部分， 叫做这两条异面直线的公垂线段。 4.思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？
练 习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB'
⑵AB与CC'； (2) BC
a a
A' B'
C'
⑶CD与B'C'； (3) CC’ a ⑷A'B与CD。 (4) BC a 2 a ⑸A'B与B'C' (5) OB' 2 要求：对于正方体、长方 体、正四面体中，已有的 公垂线段，能看出；简单 的公垂线段，能作出。