ch4粘性流体运动1
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第十章：粘性流体的一元流动
第十章粘性流体的一元流动问题：同学们到开水房打开水，水龙头离锅炉的距离近还是短，灌满一壶水所花的时间短本章内容1．粘性流体流动的两种流动状态2．等截面圆管内的定常层流（泊肃叶流动）3．等截面圆管内的定常湍流4．水头损失5.湍流基本特征6.管路水力计算本章重点：1.两种流动状态的概念及其判别准则，临界雷诺数，转捩的概念。
2.平均速度，最大速度，摩擦速度，粘性底层的概念。
3.等截面圆管内定常层流的速度分布，切应力分布规律。
4.等截面圆管内定常湍流的速度分布，切应力分布规律。
5.湍流特征，湍流切应力在近壁面处的特征。
6.湍流度，时间平均值的概念。
7.沿程阻力、局部阻力产生的原因。
8.沿程阻力系数与雷诺数和粗糙度的关系。
10.水力光滑管的概念，平方阻力、自动模拟的概念。
11.简单管路的水力计算。
本章难点：1.湍流特征2.湍流应力的概念§10-1 管路计算的基本方程式第四章中已经将伯努利方程推广到有限大流束（粘性流体的伯努利方程）：w h gUa p z g U a p z +++=++222222221111γγ (10--1)推导如下：若设流线上1～2两点之间的水头损失为hw ，理想流体伯努利方程改写为：w h gvp z g v p z '+++=++2222222111γγ 上式各项乘于γdQ 在整个过流断面上积分：⎰⎰⎰'+++=++Q QwQ dQ h dQ gvp z dQ g v p z γγγγγ)2()2(22222111 (10--2)缓变流：过流断面上流线几乎为相互平行的直线。
否则称为急变流。
如下图所示，缓变流特性：在缓变流断面上，沿流线的法线方向有（证明略）常数=+γpz (10--3)则积分⎰+=+QQ pz dQ pz γγγγ)()( (10--4)现令积分⎰=Q Q gU a dQ g v γγ2222 (10--5)U 为过流断面上平均流速，v 为微小流束上流速。
第3章：粘性流体运动
以上给出了在直角坐标系中速度势函数和速度的关系，在柱
坐标系中
vr
r
，v
1 r
，
vz
z
， r, , z, t
有势流动的速度势函数与速度的线积分有密切关系。若
势流中有一曲线AB，速度沿该曲线积分为
ΓAB
B
A(vxdx vydy vzdz)
对流项 静止流场为0 蠕变流时≈ 0
单位质量流体 的体积力
扩散项（粘性力项） 对静止或理想流体为0 高速非边界层问题≈0
单位质量流体 的压力差
流体流动微分方程的应用
连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和 动量守恒的数学表达式。
N-S方程应用概述
封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数 的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。
引入：摩擦因数 4 f 64
Re
速度势和流函数
一 速度势函数
对于无旋流场，处处满足：
V
0
，由矢量分析知，任一标
量数函数的梯梯度度的，旋即度:恒为零，V 所 以速度
v
一定是某个标量函 （7－35）
因 V (x, y, z,t) vx i vy j vz k
dx
vx 1 h
h 0
vx dy
1 2
v0
(3-67)
流量
Q
v xWh
1 2
v0Wh
(3-68)
对(c)情形： v0=0，流体两端压力差 p = px－px+L
vx
1
2
dp dx
粘性流体一维流动
vcr ——下临界速度
第三节 粘性流体旳两种流动状态
二、流态旳鉴别
雷诺数
Recr
cr d
Re d
Re'cr
' cr
d
对于圆管流：Recr 2320
工程上取 Recr 2000
当Re≤2023时，流动为层流；当Re＞2023时，即以为流动是紊流。
对于非圆形截面管道： 雷诺数 Re de
得： 64 Re 可见 ，层流流动旳沿程损失与平均流速旳一次方成正比
七、其他系数:
因沿程损失而消耗旳功率：
P pqV
128LqV2 d 4
动能修正系数：
1 A
A
( vl v
)3dA
16 r08
r0 0
(r02
r 2 )3 rdr
2
动量修正系数：
1
A
(vx )2 dA 8
v
r06
4. 方程旳两过流断面必须是缓变流截面，而不必顾 及两截面间是否有急变流。
第一节 粘性流体总流旳伯努利方程
伯努利方程旳几何意义：
2
1
1 2g
总水头线
p1
静水头线
g
hw
2 2
2 2g
p
2
g
z1
dA
z2
例题:
a
已知：a 4m/s；
0
0
H
h1 9m；h2 0.7m；
hw 13m
2 h1
求： H
de ——当量直径
第三节 粘性流体旳两种流动状态
三、沿程损失和平均流速旳关系
hf p g lg hf lg k m lg v
v vcr
hf kvn
ch4-1平板间流体的流动解析
u u ( y, z , t ) v w 0 p / y 0, p / z 0 p p ( x, t )
u u u
u ( y, z, t ) 0 x u 1 p 2 2 2 2 u , 2 2 t x y z 2u 1 p x
9
7.1.2 伯肃叶流动
1. 圆管
采用柱坐标， ux ux ( R)，uR u 0 p p( x ) 控制方程， 1 d du 1 dp R R dR dR dx
dux 2u x 2u x 2u x 1 p fx ( 2 2 2 ) dt x x y z duy 2u y 2u y 2u y 1 p fy ( 2 2 2 ) dt y x y z
duz 1 p 2u z 2u z 2u z fz ( 2 2 2 ) dt z x y z
6
2. 库埃特流动
上平板拖动流体运动：平板突然开始运动，经过一段短暂的瞬态 过程后趋于定常；只有 x 向速度分量，其余速度分量为零。 u u ( y ), v w 0； p const ., 设在 x 方向无压强梯度。
U
y
h
x
7
控制方程和边界条件
d 2u 0 2 dy 边界条件， u (0) 0 u ( h ) U
2
4.2 定常的平行剪切流动
流体质点作平行直线流动，
u 0 v w 0 u / x 0
ux u y uz 0 x y z
u 1 p u u 2u t x v 1 p u v 2v t y w 1 p u w 2 w t z
粘性流体运动讲义
任务：1、了解粘性流体流动的基本方程与基本感念； 2、边界层 3、湍流的基本概念与基本方程 4、应用分析（如层流边界层流动、射流、管道
流等）
§1-2概念
-研究流体宏观运动以及流体与该流体中运动物体之间 的相互作用
§1-3粘性流体中的作用力
1、作用在流体上的力 表面力：作用在流体外表面上，
与面积成正比； 质量力：作用在流体内部， 与质量成正比。
u v w x y z
§1-5本构方程(广义牛顿内摩擦定律)
作用在流体上的应力张量[τ]与变形张量[ε]之间的
函数关系。
牛顿内摩擦定律： u
y dy
y
u+du u
应力
应变
x
相当于：
yx
2
yx
( u
y
v ) x
斯托克斯假说：
1、流体连续，应力张量[τ]与变形张量[ε]之间的函数关 系是线形关系。
ut
α：刚体旋转角度（兰） ：流体变形角度(白)
旋转角速度：
v t y
t
y x
x α 刚体旋转
90 0角变形速度
t
由几何图形可以看出：
t v x / x x
t u y / y y
得：
(v u ) t / 2
x y
xx
[(u x
u) t
u t]/
张量知识简介： 1、是由三个线性无关的向量组成； 2、单位张量-单位矩阵； 3、对称张量、反对称张量； 4、并失 a b
a1b1 a1b2 a1b3 a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3
并矢是一个运算，并矢的值是一个张量。
结论：任何一个张量都可以分解成两个向量 的并矢-张量的运算可以用向量的运算来进行， 如点积、叉积等。
流等）
§1-2概念
-研究流体宏观运动以及流体与该流体中运动物体之间 的相互作用
§1-3粘性流体中的作用力
1、作用在流体上的力 表面力：作用在流体外表面上，
与面积成正比； 质量力：作用在流体内部， 与质量成正比。
u v w x y z
§1-5本构方程(广义牛顿内摩擦定律)
作用在流体上的应力张量[τ]与变形张量[ε]之间的
函数关系。
牛顿内摩擦定律： u
y dy
y
u+du u
应力
应变
x
相当于：
yx
2
yx
( u
y
v ) x
斯托克斯假说：
1、流体连续，应力张量[τ]与变形张量[ε]之间的函数关 系是线形关系。
ut
α：刚体旋转角度（兰） ：流体变形角度(白)
旋转角速度：
v t y
t
y x
x α 刚体旋转
90 0角变形速度
t
由几何图形可以看出：
t v x / x x
t u y / y y
得：
(v u ) t / 2
x y
xx
[(u x
u) t
u t]/
张量知识简介： 1、是由三个线性无关的向量组成； 2、单位张量-单位矩阵； 3、对称张量、反对称张量； 4、并失 a b
a1b1 a1b2 a1b3 a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3
并矢是一个运算，并矢的值是一个张量。
结论：任何一个张量都可以分解成两个向量 的并矢-张量的运算可以用向量的运算来进行， 如点积、叉积等。
4黏性流体运动规律
复习
• 水力光滑管、水力粗糙管、层流底层 • 绝对粗糙度、相对粗糙度 2 • 沿程损失 l c hf d 2g • 关键：沿程阻力系数λ
4-5 局部阻力损失计算0
• 一．局部阻力损失——由于过流断面突然变化在局部区域 造成的能头损失。 断面突然变化：方向、面积大小。 损失原因：撞击、涡流等。 • 二．局部阻力计算 c2 局部阻力损失： h j 2g 局部阻力系数—— 。 表4-（2、3、4、5、6、7、）截面变化局部阻力系数 P122-124 注意规定截面的速度。 练习查表……
4-4 沿程阻力——紊流
2．莫迪图 实验数据更适用于工业管道。图-12 P119
4-4 沿程阻力——紊流
• 例题4-（4、5、）求沿程损失。 P118 • 注意：有些工程计算需要假设阻力系数， 校核更正后反复计算。 • 例如已知损失求流量时，需要先设阻力系 数，试算出流量，再核实阻力系数，误差 过大时调整后再计算，直至精确。
1.139 * 0.000001
64 64 0.0331 Re 1932
l c2 22 0.112 hf 0.0331 * * 0.0225 (mH2 O) 0.22kPa d 2g 0.02 2 g
4-2 圆管内层流
• 非有压圆管：
• 当量直径： （湿周、水力半径）
1 c1 A1 2 c2 A2
c12
2 p1 c2 p2 z1 z 2 hw 2g g 2g g
F qv (c2 c1 )
• 应用方法： • 面、线、点；坐标（动量方程）；灵活分析。 • 实际流体——损失？
4-1 两种流态
• 三．雷诺数的物理意义 粘性力—— ν主导：层流 惯性力—— cd主导：紊流 • 例题4-1、4-2、 P111：求流态。若保持 层流求管径。 • 四．流态与沿程损失的关系 层流：与流速的一次方成正比； 紊流：与流速的1.75到2次方成正比。
黏性流体的运动
二、 黏性流体的运动规律 已知黏性流体作定常流动时，流体作用于流体块 前、后的压力所作的功
ΔA = ( p1 − p2 )
Δm
ρ
Δm 黏性流体，黏性 ΔA ′ = − w 力所作的功为： ρ
w是单位体积的流体块从截面S1流到截面S2黏力 作的功，称为黏性损耗。
5
根据功能原理，有 ΔE = ΔA + ΔA′ 整理后 1 1 2 2 p1 + ρ v1 + ρ gh1 = p 2 + ρ v 2 + ρ gh 2 + w 2 2 上式即黏性流体作定常流动时所遵从的规律。 也称做实际流体的伯努利方程。 如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动
匀速下落时的速度为终极速度(terminal velocity) 或沉降速度(sedimentation velocity)。 假如测出速率v，可求液体的黏度η ; 若流体黏度 已知，v已测出，可求得小球(或液滴)的半径。
11
2
或黏滞系数 , 是流体黏性的 量度，与温度有密切关系。
O
y
3
黏度单位（SI制）：Pa·s（帕·秒），有时用P （Poise，泊）表示，1P=0.1Pa·s，黏度大小取决于 流体的性质。 不同的流体的黏度一般不同。 同种液体的黏度随着液体温度的升高而减小，而 气体的的黏度随着液体温度的升高而增加。
4
p1 + ρ gh1 = p2 + ρ gh2 + w
或
( p1 − p2 ) + ρ g (h1 − h2 ) = w
可见，由于黏力的存在， 要流体在管道中作定常 流动，须保证管道两端的压强差 (p1−p2) 或保证管道 两端的高度差 (h1−h2) 或者两者兼而有之。 6
粘性流体-PPT
现在,我们将考虑定常流。例如,若讨论绕固体得流动(为 确定起见,下面我们将讨论这种情况),则来流速度应为常数。 此外还假设流体就是不可压缩得。
在流体动力学方程组(纳维-斯托克斯方程组)里,就表征流
体本身特性得参数而言,只出现运动粘性系数
。还有,求
解这个方程组所必须确定得未知函数就是速度 和 ,这里
类似得,我们可以写出流体中得压力分布公式。为此, 我们必须由参数 和 作出某个量纲为压力除以密度得 量,比如,这个量可以就是 。于就是, 就是无量纲变 量 和无量纲参数R得函数,所以
最后,类似得考虑也可适用于这样一些量:她们描写流
动得特性,但不就是坐标得函数。例如作用在物体上得阻力
F就就是这样一个量。我们可以说,阻力F与用
不难写出周围流体作用于固体表面得力得表达式。 一个面元上所受得作用力恰等于通过这个面元得动量通 量。通过面元 得动量通量就是
把 写成
得形式,这里 就是沿法线得单位
矢量,并考虑到在固体表面上
,我们得到作用在单位
面积上得力 为
其中等式右边第一项就是普通得流体压力,而第二项就是由 于粘性引起得作用在固体表面上得摩擦力。式中 就是单 位矢量,她沿流体界面得外法线,即沿固体表面得内法线。
组成得并具有力得量纲得某个量之比必定只就是雷诺数得
函数。比如,
组合成力得量纲可以就是
。
因而
若重力对流动有重要作用,则流动不就是由三个参数确
定,而就是由
和重力加速度 这四个参数确定。由
这四个参数可构成两个独立得无量纲量,而不就是一个。比
如,这两个量可以就是雷诺数和弗劳德数,弗劳德数为
最后,提一下非定常流。要描述一个确定类型得非定常
第四节 两个旋转圆柱面之间得流动
粘性流体的一维定常流动
hg
133000 0.45 V22
g
2g
hw
133000 0.45 0.942 Nhomakorabea
0.5
9806
2 9.806
2019/11/23
5.56 工（程m流H体2力O学）
第二节 黏性流体的两种流动型态
从上节式（6-8）的黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想
应用此关系式计算有关工程实际问题，必须计算能量损失hw项，
工程流体力学
一、雷诺实验
雷诺实验装置如图6-5所示。实验的步骤如下：
(1) 首先将水箱A注满水，并利用溢水管H保持水箱中的水位恒定，然后微微 打开玻璃管末端的调节阀C，水流以很小速度沿玻璃管流出。再打开颜色水瓶 D上的小阀K，使颜色水沿细管E流入玻璃管B中。当玻璃管中水流速度保持很 小时，看到管中颜色水呈明显的直线形状，不与周围的水流相混。这说明在 低速流动中，水流质点完全沿着管轴方向直线运动，这种流动状态称为层流， 如图6-6(a)所示。
g g 2g 2g
（a）
由连续性方程
VA AA VB AB
所以
VA
VB
AB AA
VB
dB dA
2
（b）
2019/11/23
工程流体力学
水银差压计1—1为等压面，则有
pA （z 0.36）g pB （0.76 z）g 0.36Hg g
由上式可得
掌握了缓变流动的特性之后，就可以将黏性流体微元 流束的伯努利方程应用于总流，从而推导出适用于两个缓 变流有效截面的黏性流体总流的伯努利方程。
2019/11/23
工程流体力学
以总流中每一微元流束的任意两个截面可以写出
粘性流体动力学基本方程组
(dxdydz) dxdydz
t
t
根据质量守恒定律,由微元体表面流出的质量流率应等于微元
体内质量的负增加率,则将有关各项除以dxdydz后,可得
(u) (v) (w) 0
t x y z
此即三维可压缩流的连续方程.此式也可用算符表示,即
(u) 0
t
或根据散度的定义,此式也可写为
xi 为一不变量,表示微元体体积的变化率.此变化率为零表示 微元体体积不变,这正是不可压缩流体的特征.
§2-2 粘性流体的运动方程 ——动量守恒定律
粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律 的数学表述，它可由牛顿第二定律推出。以微元体为分析对 象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量与加速度的 乘积等于该微元体所受外力的合力。对于流体运动应考虑两 类外力：一为彻体力，它是作用在微元体内所有质量上的力， 如重力：另一类为表面力，它是作用在微元体界面上的力， 如压力，摩擦力等。若F表示作用在单位质量上的彻体力， P表示作用在单位容积上的表面力，则运动方程可写为如下 向量形式：
u u dx x
同样,在Q点单位面积的质量流率可表示为
u (u) dx
x 同样, 流体通过以Q点为中心的微元面流出微元体的质量流率为
u +
(u)
x
dx
dydz
由于流体通过以P点为中心的微元面进入微元体的质量流率为
udydz
因此,x方向的速度分量输运出微元体的净质量流率为
u+
(u)
x
dx
dydz
对流体运动的描述有两种基本方法，即拉格朗日法和 欧拉法；对基本定律的数学表述也有两种基本形式， 即积分形式和微分形式。
本书将以欧拉法和微分形式为主，间或采用拉格朗日法和积 分形式。现用欧拉法研究守恒定律。
粘性流体运动基本性质
Dt
当边界为静止的固体壁面时，上述方程组的边界条件为
un 0 ， ut 0
由以上方程组及其边界条件可以解出速度场u和压强场p。
4.1 粘性流体运动的有旋性
先假设流动无旋，然后证明基本方程组与边界条件相 矛盾，则可证明粘性流体流动通常是有旋流动。
如果运动是无旋的，则必存在速度势函数φ，且
u
连续性方程变成
4.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
如果质量力有势，f = -U，则有
f U 0
涡量方程变成
DΩ Ω u 2 Ω
Dt
4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
不可压缩理想流体流动的涡量方程为
DΩ Ω u 0
Dt
比较发现，粘性流体流动涡量方程的右侧不等 于零，即涡量不守恒。由于具有粘性，旋涡总是从 旋涡强度大的地方向旋涡强度小的地方扩散，直至 旋涡强度处处相等为止，这就是旋涡扩散现象。
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (1) 若流动边界为静止固体壁面，则粘性流体 运动必然有旋。 用反正法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则连续性方程为
2 0 而粘性流体流动时静止固体壁面的边界条件为u=0 或φ=0，因此，边界上的速度势函数φb为常数。
4.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析：
C2 e 4t
因此
Ω
C
r2
e 4t
t
式中 C Γ0C2 。
4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
现确定积分常数C。考虑到平面对称圆运动的条件，并 利用斯托克斯公式：
L u d l AΩ ndA
有
u 1
2r
2 0
r
rd
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求解上述定解问题， u( y ) y U h 线性速度分布。
U
粘性力处于平衡状态
d 2u 1 dp 2 dy dx
y
h
x
9
3.库埃特－泊肃叶流动
h2 dp P 2U dx
上平板拖动 + 压强梯度
由于控制方程是线性的, 上 述两种流动的解可以迭加,
P0
P0
U
P0
u( y ) y y y P 1 U h h h dp P0 0 , 线性速度分布； dx dp P0 0 , 压强梯度作用和上平板拖动方向一致； dx dp P0 0 , 压强梯度作用和上平板拖动方向相反。 dx
第4章 粘性不可压缩流体流动
4. 1 基本方程组
u x u y u z 0 x y z
u 0 u 1 2 (u )u p u f t
dux 2u x 2u x 2u x 1 p fx ( 2 2 2 ) dt x x y z duy 2u y 2u y 2u y 1 p fy ( 2 2 2 ) dt y x y z
粘性流动一般不是势流，伯努利方程不再适用。
1
边界条件和初始条件
边界条件：就是在所研究的运动流体的边界上，封闭方 程组的解必须满足的条件。运动流体的边界，一般来说可大致 归纳为三种：
(1) 边界为固体壁面时的边界条件； (2) 边界为不同流体分界面时的边界条件； (3) 边界为流动的进口截面和出口截面时的边界条件。 对应每一种边界又可分为：在边界上给出与力有关的条件，称 为动力学边界条件；在边界上给出与速度有关的条件，称为运动学 边界条件；在边界上给出与温度有关的条件，称为热力学边界条件。 视具体问题的不同需要给出相应的边界条件。 初始条件：就 是在初始时刻，封 闭方程组的解应该 等于该时刻给定的 函数值，
u 0
u u u
u ( y, z, t ) 0 x u 1 p 2 2 2 2 u , 2 2 t x y z 2u 1 p x
u 1 p u u 2u t x v 1 p u v 2v t y w 1 p u w 2 w t z
u x,y,z,t 0 u 0 x,y,z vx,y,z,t 0 v 0 x,y,z wx,y,z,t 0 w0 x,y,z px,y,z,t 0 p 0 x,y,z ρx,y,z,t 0 ρ 0 x,y,z T x,y,z,t 0 T0 x,y,z
定常流动时
上式一侧是 y 和 z 的函数，一侧是 x 的函数，欲使两侧恒相等，它 们均需等于常数。
4
4.2 两平行平板间的库埃特－泊肃叶流动
1.泊肃叶流动
x 方向压力差推动流体运动,定常流动；
x 方向线性尺寸远大于h；
z 方向长度远大于 h，速度不依赖于z；
流体质点作平行直线运动 u u ( y)
10
7.1.2 伯肃叶流动
1. 圆管
采用柱坐标， ux ux ( R)，uR u 0 p p( x ) 控制方程， 1 d du 1 dp R R dR dR dx
2u
1 dp dx
y
a
x
R
11
2. 圆管
速度场
1 d du 1 dp R R dR dR dx 方程一边是 R 的函数，一边是 x 的函数，欲使左右相等，两边均 为常数。积分上式， 1 dp R 2 u c1 ln R c2 dx 4
边界条件：u(0) 0 c2 0； u(h) 0 c1 h 2
u( y ) 1 dp y (h y ) 2 dx
6
1. 两平行平板间的粘性流动 速度场
u( y)
1 dp y(h y) 2 dx
u( y) h 2 dp y y y y 1 P 1 U 2U dx h h h h U，参考速度； h 2 dp P , 无量纲压强参数； 2 U dx 速度指向压强降落方向, 速度分布为抛物线； 最大速度在中线处, 等于 PU / 4；平均速度PU / 6； 最大速度与平均速度之比，3/2。
1 p 2u 0 2 g sin (1) x y 1 p 0 g cos (2) y y 0, u 0；y h, du / dy 0, p pa (3)
由边界条件 y h, p pa c pa gh cos p ( y ) g (h y ) cos pa 可知 p / x 0。积分（）式， 1 2 g y u ( y ) sin Ay B v 2 gh 由边界条件 (3) 得 B 0，A sin , 于是, v y 1 y 2 gh 2 u( y) sin h 2 h
1 p 2u x d 2u 1 p dy 2 x
y
h
x
粘性力和压力相平衡。
5
1. 两平行平板间的粘性流动
速度场
d 2u 1 dp dy 2 dx
方程一边是x的函数，一边是y的函数，欲使左右相等，两边均为常数。 积分上式，
1 dp y 2 u c1 y c2 dx 2
边界条件， u ( a ) 0 1 dp a 2 c1 0, c2 dx 4 u(0) 有限值 1 dp 2 u( R ) (a R 2 ) 4 dx a 2 dp a 2 dp u ，umax 8 dx 4 dx umax / u 2
7
2. 库埃特流动
上平板拖动流体运动：平板突然开始运动，经过一段短暂的瞬态 过程后趋于定常；只有 x 向速度分量，其余速度分量为零。 u u ( y ), v w 0； p const ., 设在 x 方向无压强梯度。
U
y
h
x
8
控制方程和边界条件
d 2u 0 2 dy 边界条件， u (0) 0 u ( h ) U
duz 1 p 2u z 2u z 2u z fz ( 2 2 2 ) dt z x y z
流体在运动前是均质的，由于不可压缩流体的假设，在运动开始后仍然 是均质的， 为常数。 4个未知数,u , p；4个方程, 方程组是封闭的； 由于不可压缩流体假设, 使得流体动力学和热力学问题可以分开来求解。
2
4.1.2 求解途径
1、解析解 2、近似解 3、数值解
4.1.3 黏性流体运动的基本性质 一、粘性流体运动的有旋性 二、机械能的耗损性
三、涡量的扩散性
3
4.2 定常的平行剪切流动
流体质点作平行直线流动，
v w 0 u / x 0 u u ( y, z , t ) v w 0 p / y 0, p / z 0 p p ( x, t )
12
例1. 无限长的平板与水平面的夹角为，其上有一层厚度为 h 的均质不可压缩粘性流 体在重力作用下平行于平板面流动，其上为自由面，h 为常数。求此定常流动的速度 和压强分布。液体密度和粘性系数分别为 和 。
解：液体因重力作用而沿壁面流下，因此方程中需计 及重力影响。取坐标系如图，由流场几何形状知， u u ( y )， v w 0 是平行剪切流动，速度分布自动满பைடு நூலகம்连续方程。重力 可沿 x 和 y 轴分解如下， f g sin ex g cos ey
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y
g
h
x
于是N－S方程和边界条件分别为
1 p 2u 0 2 g sin x y 1 p 0 g cos y du y 0, u 0；y h, 0, p pa dy (1) (2) (3)
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积分（2）式， p gy cos c ( x )
U
粘性力处于平衡状态
d 2u 1 dp 2 dy dx
y
h
x
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3.库埃特－泊肃叶流动
h2 dp P 2U dx
上平板拖动 + 压强梯度
由于控制方程是线性的, 上 述两种流动的解可以迭加,
P0
P0
U
P0
u( y ) y y y P 1 U h h h dp P0 0 , 线性速度分布； dx dp P0 0 , 压强梯度作用和上平板拖动方向一致； dx dp P0 0 , 压强梯度作用和上平板拖动方向相反。 dx
第4章 粘性不可压缩流体流动
4. 1 基本方程组
u x u y u z 0 x y z
u 0 u 1 2 (u )u p u f t
dux 2u x 2u x 2u x 1 p fx ( 2 2 2 ) dt x x y z duy 2u y 2u y 2u y 1 p fy ( 2 2 2 ) dt y x y z
粘性流动一般不是势流，伯努利方程不再适用。
1
边界条件和初始条件
边界条件：就是在所研究的运动流体的边界上，封闭方 程组的解必须满足的条件。运动流体的边界，一般来说可大致 归纳为三种：
(1) 边界为固体壁面时的边界条件； (2) 边界为不同流体分界面时的边界条件； (3) 边界为流动的进口截面和出口截面时的边界条件。 对应每一种边界又可分为：在边界上给出与力有关的条件，称 为动力学边界条件；在边界上给出与速度有关的条件，称为运动学 边界条件；在边界上给出与温度有关的条件，称为热力学边界条件。 视具体问题的不同需要给出相应的边界条件。 初始条件：就 是在初始时刻，封 闭方程组的解应该 等于该时刻给定的 函数值，
u 0
u u u
u ( y, z, t ) 0 x u 1 p 2 2 2 2 u , 2 2 t x y z 2u 1 p x
u 1 p u u 2u t x v 1 p u v 2v t y w 1 p u w 2 w t z
u x,y,z,t 0 u 0 x,y,z vx,y,z,t 0 v 0 x,y,z wx,y,z,t 0 w0 x,y,z px,y,z,t 0 p 0 x,y,z ρx,y,z,t 0 ρ 0 x,y,z T x,y,z,t 0 T0 x,y,z
定常流动时
上式一侧是 y 和 z 的函数，一侧是 x 的函数，欲使两侧恒相等，它 们均需等于常数。
4
4.2 两平行平板间的库埃特－泊肃叶流动
1.泊肃叶流动
x 方向压力差推动流体运动,定常流动；
x 方向线性尺寸远大于h；
z 方向长度远大于 h，速度不依赖于z；
流体质点作平行直线运动 u u ( y)
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7.1.2 伯肃叶流动
1. 圆管
采用柱坐标， ux ux ( R)，uR u 0 p p( x ) 控制方程， 1 d du 1 dp R R dR dR dx
2u
1 dp dx
y
a
x
R
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2. 圆管
速度场
1 d du 1 dp R R dR dR dx 方程一边是 R 的函数，一边是 x 的函数，欲使左右相等，两边均 为常数。积分上式， 1 dp R 2 u c1 ln R c2 dx 4
边界条件：u(0) 0 c2 0； u(h) 0 c1 h 2
u( y ) 1 dp y (h y ) 2 dx
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1. 两平行平板间的粘性流动 速度场
u( y)
1 dp y(h y) 2 dx
u( y) h 2 dp y y y y 1 P 1 U 2U dx h h h h U，参考速度； h 2 dp P , 无量纲压强参数； 2 U dx 速度指向压强降落方向, 速度分布为抛物线； 最大速度在中线处, 等于 PU / 4；平均速度PU / 6； 最大速度与平均速度之比，3/2。
1 p 2u 0 2 g sin (1) x y 1 p 0 g cos (2) y y 0, u 0；y h, du / dy 0, p pa (3)
由边界条件 y h, p pa c pa gh cos p ( y ) g (h y ) cos pa 可知 p / x 0。积分（）式， 1 2 g y u ( y ) sin Ay B v 2 gh 由边界条件 (3) 得 B 0，A sin , 于是, v y 1 y 2 gh 2 u( y) sin h 2 h
1 p 2u x d 2u 1 p dy 2 x
y
h
x
粘性力和压力相平衡。
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1. 两平行平板间的粘性流动
速度场
d 2u 1 dp dy 2 dx
方程一边是x的函数，一边是y的函数，欲使左右相等，两边均为常数。 积分上式，
1 dp y 2 u c1 y c2 dx 2
边界条件， u ( a ) 0 1 dp a 2 c1 0, c2 dx 4 u(0) 有限值 1 dp 2 u( R ) (a R 2 ) 4 dx a 2 dp a 2 dp u ，umax 8 dx 4 dx umax / u 2
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2. 库埃特流动
上平板拖动流体运动：平板突然开始运动，经过一段短暂的瞬态 过程后趋于定常；只有 x 向速度分量，其余速度分量为零。 u u ( y ), v w 0； p const ., 设在 x 方向无压强梯度。
U
y
h
x
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控制方程和边界条件
d 2u 0 2 dy 边界条件， u (0) 0 u ( h ) U
duz 1 p 2u z 2u z 2u z fz ( 2 2 2 ) dt z x y z
流体在运动前是均质的，由于不可压缩流体的假设，在运动开始后仍然 是均质的， 为常数。 4个未知数,u , p；4个方程, 方程组是封闭的； 由于不可压缩流体假设, 使得流体动力学和热力学问题可以分开来求解。
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4.1.2 求解途径
1、解析解 2、近似解 3、数值解
4.1.3 黏性流体运动的基本性质 一、粘性流体运动的有旋性 二、机械能的耗损性
三、涡量的扩散性
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4.2 定常的平行剪切流动
流体质点作平行直线流动，
v w 0 u / x 0 u u ( y, z , t ) v w 0 p / y 0, p / z 0 p p ( x, t )
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例1. 无限长的平板与水平面的夹角为，其上有一层厚度为 h 的均质不可压缩粘性流 体在重力作用下平行于平板面流动，其上为自由面，h 为常数。求此定常流动的速度 和压强分布。液体密度和粘性系数分别为 和 。
解：液体因重力作用而沿壁面流下，因此方程中需计 及重力影响。取坐标系如图，由流场几何形状知， u u ( y )， v w 0 是平行剪切流动，速度分布自动满பைடு நூலகம்连续方程。重力 可沿 x 和 y 轴分解如下， f g sin ex g cos ey
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y
g
h
x
于是N－S方程和边界条件分别为
1 p 2u 0 2 g sin x y 1 p 0 g cos y du y 0, u 0；y h, 0, p pa dy (1) (2) (3)
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积分（2）式， p gy cos c ( x )