3.3.3简单的线性规划2

资源 一级子棉（ 一级子棉（吨） 二级子棉（ 二级子棉（吨） 利润（ 利润（元）
产品 甲种棉纱 乙种棉纱 资源限额 （吨） （吨） （吨） 2 1 600 1 2 900 300 250
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额 设生产甲、乙两种棉纱分别为 吨 吨 y 为z元，则目标函数为： 元 则目标函数为：
Z = 600 x + 900 y
约束条件为： 约束条件为： 2 x + y ≤ 300 x + 2 y ≤ 250 x ≥ 0 y ≥ 0
2 Z 由Z = 600 x + 900 y得：y = − x + 3 900
2 x + y = 300
M
x + 2 y = 250
o
2 y=− x 3
x − 4 y ≤ −3 例5、已知x、y满足 3 x + 5 y ≤ 25 ，求 z 、已知 满足 x ≥ 1
解析：本题属于目标函数非线性的 解析： 非线性规划问题。 非线性规划问题。
z = x 2 + y 2 = ( x − 0) 2 + ( y − 0) 2
=x +y
2
2
的最大值。 的最大值。
o
x
Z的几何意义 的几何意义
由图可知，当直线过 点时 点时， 最小 当直线过D点时 最小； 点时， 最大 最大。 由图可知，当直线过C点时，k最小；当直线过 点时，k最大。
1 ∴ ≤k ≤3 4
1、线性规划的应用 、 注意整数解的求解方法。 注意整数解的求解方法。 2、非线性规划 、 (1)目标函数非线性 目标函数非线性 (2)约束条件非线性 约束条件非线性 (3)目标函数和约束条件都非线性 目标函数和约束条件都非线性 3、简单规划问题的三种类型： 、简单规划问题的三种类型： 几 目 (1)截距型 截距型 何 标 意 的 (2)斜率型 斜率型 义 (3)距离型 距离型
y
5 4 3 2 1
x +4y=11
1.课本 页第 题 课本91页第 课本 页第2题
0
1
2
3
4
5
3x +２y=10
x
x − 4 y ≤ −3 例4、已知 、y满足 3 x + 5 y ≤ 25 ，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ 、已知x 满足 ， x ≥ 1
取得最大值时，对应点有无数个， 的值。 取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
∴ A(5，) 2
2 例6、函数 y = x 与直线 y = x + 2 围成一个封闭区域D。若 、 围成一个封闭区域 。
( x，y ) ∈ D 求 z = − x + 2 y 的最大值。 的最大值。
解析： 解析：本题属于约束条件非线性的 非线性规划问题。 非线性规划问题。
y
y = x2
B
y = x+2
除了线性规划，我们还会遇到非线性规划。包含： 除了线性规划，我们还会遇到非线性规划。包含： 1.目标函数非线性 目标函数非线性 2.约束条件非线性 约束条件非线性 3.目标函数和约束条件都非线性 目标函数和约束条件都非线性 简单的非线性问题，可以采用线性规划的方法做。 简单的非线性问题，可以采用线性规划的方法做。
生活中的规划欣赏
科学配餐 资源调配 道路交通规划 生产安排规划
给定一定量的 人力.物力 物力, 人力 物力 资金等资源
精打细算 最优方案
完成的任务量最大 经济效益最高
统筹安排
给定一项任务
最佳方案
所耗的人力. 所耗的人力 物力资源最小 获取最大的利润
降低成本
例1、 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1 需耗一级子棉2 二级子棉1 需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉 二级子棉2 吨甲种棉纱的利润是600 600元 1吨、二级子棉2吨。每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙 种棉纱的利润是900 900元 种棉纱的利润是900元。工厂在生产这两种棉纱的计划中要求 消耗一级子棉不超过300 300吨 二级子棉不超过250 250吨 消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两 种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大? 种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?
x1 l
2 作出约束条件表示的区 域，及直线 y = − x。 3
由平移可以看到，当直线经过点 时 最大。 由平移可以看到，当直线经过点M时，Z最大。 最大
2 x + y = 300 由 得: x + 2 y = 250
350 200 M( ， ) 3 3
350 200 答：应生产甲、乙两种 棉纱分别 吨、 吨能使利润总额最大。 3 3
A
1 Z可以看成是直线 y = x 的纵截距 可以看成是直线 2 的2倍 。 倍
的 倍。 显然，经过 点时 最大。 显然，经过A点时Z最大。
1 1 y = x+ z 2 2
o
x
Z的几何意义 的几何意义
可解得A(2，) 4
∴ Z max = −2 + 2 × 4 = 6
y 满足右图所示阴影部分区域， 例7、若x,y满足右图所示阴影部分区域，求 k = 、 满足右图所示阴影部分区域 x
{
作业：
习题3.3 课本 P93 习题3.3 A组 第 4题； B组 第 3题。
通过平移，可以 经过可行域内的整点 看到当直线经过 B(3,9)和 且和原 点 M时和 C(4,8)且和原 时 z=x+y=11.4, 点距离最近的直线是 但它不是最优整 x+y=12， 数解。 ， 它们是最优 数解。 解.
9 M (18 , 39 ) C (4,8)
5
Hale Waihona Puke 5x + 2 y = 18
x + 3 y = 27
课题
第三章
不 等 式
第七课时：
简单的线性规划（二） 简单的线性规划（
鞠光炳 2012.1.20
1、求解线性规划的四个步骤： 、求解线性规划的四个步骤：
画
移
求
答
2、求解线性规划的两个结论： 、求解线性规划的两个结论： 最优解——顶点或者边界 顶点或者边界 最优解 几何意义——纵截距或者相反数 纵截距或者相反数 几何意义 线性规划的在现实生活中的用途广泛。 线性规划的在现实生活中的用途广泛。
y
C
Ａ
Z可以看成是可行域内一动点与原 可以看成是可行域内一动点与原 的距离的平方 的平方。 点的距离的平方。 显然， 最长 最长。 显然，AO最长。
o
B
x
x=1
x − 4 y = −3 Q 3 x + 5 y = 25
Z的几何意 的几何意 义很重要
∴ Z max = 5 2 + 2 2 = 29
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，一共使 设需截第一种钢板 张 第二种钢板 张 用z张。则目标函数为： 张 则目标函数为： z=x+y
约束条件为： 约束条件为：
作出可行域，并作直线 作出可行域，并作直线y=-x+z y
15
B(3,9)
2x + y ≥ 15, x + 2 y ≥ 18, x + 3y ≥ 27, x ≥ 0, y ≥ 0.
3 ∴a = 5
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、 方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的 一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问 题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重 要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工 程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等 资源作出的最优决策，提供科学的依据。
例2、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每 要将两种大小不同规格的钢板截成A 三种规格， 张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
规格类型 钢板类型
A规格 规格 2 1
B规格 规格 1 2
C规格 规格 1 3
第一种钢板 第二种钢板
今需A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块 今需A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种 A,B,C三种规格的成品分别为15 钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。 钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
3 x + 2 y ≤ 10 x + 4 y ≤ 11 例3、满足线性约束条件 的整数解有多少个？ x > 0 y > 0
由题意得可行域如图: 解：由题意得可行域如图 由图知满足约束条件的可行 域中的整点为(1,1)、(1,2)、 域中的整点为 、 、 (2,1)、(2,2) 。故有四个整点 、 可行解. 可行解
的范围。 的范围。
y
D(1 3) ， A(1 2) ， C (4， 1) B (2， 1)
解析：本题属于目标函数和约束条 解析： 件都非线性的非线性规划问题。 件都非线性的非线性规划问题。
y k = ⇒ y = kx x
K可以看成是过原点的一条直 可以看成是过原点的一条直 可以看成是过 线的斜率。 线的斜率。 (斜率表示直线的倾斜程度 斜率表示直线的倾斜程度) 斜率表示直线的倾斜程度
分析： ＋ 分析： l:y＝-ax＋z (a>0)
y
C
ｚ取得最大值时，对应点有无数 取得最大值时，
个，也就是最优解有无数个。 也就是最优解有无数个。 这就意味着最优解应在边界 上取得(在顶点取得最优解只 上取得 在顶点取得最优解只 有一个)。 有一个 。