2019年上海学业水平考试(春季高考)数学模拟试题及答案
2019上海春季高考数学模拟试题及解析
2019上海春季高考数学模拟试题1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B={1，2，3，4} ．【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B={1，2，3，4}，故答案为：{1，2，3，4}．【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|x﹣1|＜3，∴﹣3＜x﹣1＜3，∴﹣2＜x＜4，故不等式的解集是（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=2﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵2﹣1=3+6i，∴，则，∴z=2﹣3i．故答案为：2﹣3i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．若，则=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=6．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】把方程组无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关系列式求得a值．【解答】解：若关于x、y的方程组无解，说明两直线x+2y﹣4=0与3x+ay﹣6=0无交点．则，解得：a=6．故答案为：6．【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题．6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5=10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列前n项和公式得=25，由此能求出a1+a5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前5项的和为25，∴=25，∴a1+a5=25×=10．。
2019年1月春季上海市高考数学试题卷及答案解析
2、计算 lim
n
____
3、不等式 x 1 5 的解集为______ 4、函数 f x x 2 x 0 的反函数为___________ 5、设 i 为虚数单位， 3 z i 6 5i ，则 z 的值为__________
）
A、直线
B、圆
C、椭圆
D、双曲线
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17、如图，在正三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2, AB BC AC 3 （1）若 PB 的中点为 M ， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角；
（3）若集合 S 恰好有三个元素： bn T bn ， T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的值.
解析卷
2019 年上海市春考数学试题卷
2019.01 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1、已知集合 A 1, 2,3, 4,5 ， B 3,5, 6 ，则 A B _________________ 答案： 3,5
11、在椭圆
12、已知集合 A t , t 1 t 4, t 9 ， 0 A ，存在正数 ，使得对任意 a A ，都有 是____________ 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、下列函数中，值域为 0, 的是（
A、两两垂直
16 、 以 a1 , 0 , a2 , 0 为 圆 心 的 两 圆 均 过 1, 0 ， 与 y 轴 正 半 轴 分 别 交 于 y1 , 0 , y2 , 0 ， 且 满 足
上海市2019年1月春季高考数学试卷(含参考答案)
，可得正
确结果.
【详解】设
，且 与 均不重合
假设：
，由 可得： ，
又
，可知 ，
又
，可得：
因为 两两互相垂直，可知 与 相交，即 与 相交或异面
12.已知集合 ____________
， ，存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则 的值是
【答案】1 或 【解析】 【分析】
根据 所处的不同范围，得到
和
与 的等量关系，从而构造出方程，求得 的值.
时， 所处的范围；再利用集合 的上下限，得到
【详解】当 时，当
，则
；当
即当 时，
；当
时， ，即
即当 所以
【详解】方程有无穷多解
两方程相同
又
本题正确结果： 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.
7.在
的二项展开式中，常数项的值为__________
【答案】15
【解析】
【分析】
写出二项展开式通项，通过
得到 ，从而求得常数项.
【详解】二项展开式通项为：
当
时，
常数项为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.
由此可知：当
，即
时，
当
时，可得
，即
可知“
”是“
”的充要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.
15.已知平面
两两垂直，直线
满足：
，则直线
不可能满足以下哪种
关系（ ）
A. 两两垂直
B. 两两平行
C. 两两相交
D. 两两异面
【答案】B
【解析】
【分析】
上海市2019年1月春季高考数学试卷(含参考答案)
2019年上海春考试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则_________________【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.2.计算________【答案】2【解析】【分析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.3.不等式的解集为______【答案】【解析】【分析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.4.函数的反函数为___________【答案】【解析】【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当时，，即又反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.5.设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．6.已知，当方程有无穷多解时，的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果.【详解】方程有无穷多解两方程相同又本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.7.在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.8.在中，，且，则____________【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.10.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【解析】【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.11.在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】【分析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，同理可得，无解本题正确结果：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，值域为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.14.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.【详解】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.15.已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面【答案】B【解析】【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.【详解】设，且与均不重合假设：，由可得：，又，可知，又，可得：因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面若与或重合，同理可得与相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.16.以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】A【解析】【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹.【详解】因为同理：又因为，所以则，即设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）分别为中点，可知：与夹角即为与夹角在中，由余弦定理可得：即与的夹角为（2）作面，连接，如下图所示：三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18.已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且（2）由题意可知则且或又【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.19.已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：.【详解】由题意可知：，准线方程为：（1）因为联立方程则（2）当时，易得设，，直线，则联立，由对称性可知亦成立综上所述，存在，使得（3）由可知为中点设，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高.20.已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。
2019届上海市春季高考数学试卷 Word版含答案
3
7. 2
8.
2
9. 160
3. 2 3i
10. 6
1
4.
3
11. 48
5. 6
6. 10
12. (0,3 2 2)
二. 选择题 13. D
14. C
15. A
16. B
三. 解答题
22
17.（1） 4 ；（2 ） arctan
；
3
18.（1） a 1；（ 2） [0,2] ；
19.（1） M 1 半径 34.6， M 2 半径 16.1；（ 2） M 1 半径 30， M 2 半径 20，造价 42.0 千元；
跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置
完成一些小目标，比如说今天走 1 万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”
!
金榜题名，高考必胜 !蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱
则 A1 A3 A1P 的取值范围为（
）
A. [0,8 6 2]
B. [ 2 2,8 6 2]
C. [ 8 6 2, 2 2]
D. [ 8 6 2,8 6 2]
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17. 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AA1 3 ； （1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积； （2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小；
2019年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5,6}B =，则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 ．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为 6．（4分）已知22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．（5分）在61()x x+的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．（5分）已知集合[,1][4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(,0)a ，2(,0)a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ，2(0,)y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势： （2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n N ==∈． （1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5,6}B =，则A B = {3,5} ．【解析】集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5,6}B =，{3,5}AB ∴=．故答案为：{3,5}．【评注】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解析】2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 【评注】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及∞∞极限的求法． 3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．【解析】由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<<．故答案为：(6,4)-． 【评注】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ．【解析】由2(0)y x x =>解得x =1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>． 【评注】本题考查了反函数，属基础题．5．（4分）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴===【评注】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【解析】由题意，可知：方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-．【评注】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题． 7．（5分）在6(x +的展开式中，常数项等于 15 ．【解析】6(x 展开式的通项为36622166rr r rr r T C x x C x---+=⋅⋅=⋅，3602r-=，得4r =， 故展开式的常数项为第5项：4615C =．故答案为：15．【评注】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 8．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB【解析】3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =，∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =，∴由余弦定理可得：2221324232AB +-=⨯⨯，∴解得：AB = 【评注】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种，故答案为：24． 【评注】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．10．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a的值为【解析】由题意得：P 点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =【评注】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos ,]3ππ- ．【解析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，，121F P F P ，2221x y ∴-+，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈，故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：2221222122381cos 3[1,]223(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈--++，故1[arccos ,]3θππ∈-，故答案为：1[arccos ,]3ππ-．【评注】本题考查的知识点是椭圆的性质，平面向量在几何中的应用，函数的值域，难度中档． 12．（5分）已知集合[,1][4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解析】当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．【评注】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解析】A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错；B ，y =的定义域为[0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确；C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错；D ，cos y x =的值域为[1,1]-，故D 错．故选：B ．【评注】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．14．（5分）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ． 【评注】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解析】如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交；如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【评注】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．16．（5分）以1(,0)a ，2(,0)a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ，2(0,)y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解析】因为11|1|r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+，则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ．【评注】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC =====． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【解析】（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，AC =，可得222cos2PC AC PA PCA PC AC +-∠===，AC ∴与MN 的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．PO ∴．∴11333224P ABC V -=⨯=．【评注】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题． 18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【解析】（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）3(1)1n n q S q-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<，∴公比q 的取值范围为3(1,0)(0,)4-． 【评注】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势： （2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解析】（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>， 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-∴=+在N 上单调递增， 令6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >，∴当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．【评注】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系． 【解析】（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF =，15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+2()||2222PPQyd P PFy-===-=，则存在常数a，使得2()||d P PF a=+；另解：||||||||||||()111||||||2PF PQ FQ PQ PQ PFd PFQ FQ FQ t+===+=+=+，可得2()||2d P PF=+．（3）设11(1,)P y-，22(1,)P y-，33(1,)P y-，则1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F+-=+-==，由221313[()16]28y y y y-++=-，2222221313131313(4)(4)(4)4()84()0y y y y y y y y y y++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P+>．【评注】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知等差数列{}na的公差(0,]dπ∈，数列{}nb满足sin()n nb a=，集合*{|,}nS x x b n N==∈．（1）若1a=，23dπ=，求集合S；（2）若12aπ=，求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：n T nb b+=，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．【解析】（1）等差数列{}na的公差(0,]dπ∈，数列{}nb满足sin()n nb a=，集合*{|,}nS x x b n N==∈．∴当120,3a dπ==，集合{S=．（2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称， 如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合231}{,,b b b S =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者4(21)n n a d k a π+=+-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0,1,1}S =-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者5(21)n n a d k a π+=+-，因为(0,]d π∈，故1k =，2． 当1k =时，22{sin,1,sin }55S ππ=-满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者6(21)n n a d k a π+=+-，(0,]d π∈，故1k =，2，3．当1k =时，S =，满足题意．⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者7(21)n n a d k a π+=+-，(0,]d π∈，故1k =，2，3，当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T ，4，5，6．【评注】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．。
2019年上海市春季高考数学试卷及答案
2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ⋂=________.2.计算：22231lim 41n n n n -+=-+_________. 3.不等式15x +<的解集为________.4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.5.设i 为虚数单位，365z i i --=+，则z 的值为______.6.已知二元线性方程组22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数a =_________. 7.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为________. 8.在ABC ∆中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1cos 4C =，则AB =______. 9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为__________.（结果用数值表示）10.如图，正方形OABC 的边长为()1a a >，函数23y x =的图像交AB 于点Q ，函数12y x -=的图像交BC 交于点P ，当AQ CP +最小时，a 的值为_______.11.已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点，Q 与P 与关于x 轴对称，12F F 、为椭圆的左右焦点，若有121F P F P ⋅≤，则1F P与2F Q 的夹角范围为________.12.已知t R ∈，集合[][],14,9,0A t t t t A =+⋃++∉，若存在正数λ，对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ）【A 】2xy =【B 】12y x =【C 】tan y x =【D 】cos y x =14.已知,a b R ∈，则“22a b >”是“a b >”的（ ）【A 】充分非必要条件【B 】必要非充分条件【C 】充要条件【D 】既非充分又非必要条件15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a 、b 、c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面16.平面直角坐标系中，两动圆12O O 、的圆心分别为()()12,0,0a a 、，且两圆均过定点()1,0，两圆与y 轴正半轴分别交于点()()120,0,y y 、，若12ln ln 0y y +=，点1211,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的轨迹为Γ，则Γ所在的曲线可能是（ ）【A 】直线【B 】圆【C 】椭圆【D 】双曲线三、解答题（本大题满分76分）17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三棱锥P ABC -中，侧棱长为2，底面边长为3，M N 、分别是PB 和BC 的中点.（1）求异面直线MN 和AC 所成角的大小；（2）求三棱锥P ABC -的体积.18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围.19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.（1）计算A B 、的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数() 6.44200.1136357876.60531tf t e -=+，研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.已知抛物线24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线l 上一动点，线段PF 与抛物线交于点Q ，定义()PFd P FQ=. （1）若点P 的坐标为81,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求()d P ；（2）求证：存在常数a ，使得()2d P PF a =+成立；（3）设123,,P P P 为抛物线准线l 上三点，且1223PP P P =，试比较()()13d P d P +与()22d P 的大小.若{}n a 是等差数列，公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足：()*sin ,n n b a n N =∈，记{}*|,n S x x b n N ==∈.（1）设120,3a d π==，求集合S ； （2）设12a π=，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有可能值.。
2019年上海市春季高考数学试卷 word版 含参考答案及解析
2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ．4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在61()x x+的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y+=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．【思路分析】利用交集定义直接求解．【解析】：集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}， {3AB ∴=，5}．故答案为：{3，5}．【归纳与总结】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【思路分析】对2223141n n n n -+-+的分子、分母同除以2n ，再求极限即可．【解析】：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 【归纳与总结】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及∞∞极限的求法．3．不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．【思路分析】根据|()|(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<可解得． 【解析】：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()(0)f x x x -=> ．【思路分析】由2(0)y x x =>解得(0)x y y =>，再交换x 与y 的位置即得反函数． 【解析】：由2(0)y x x =>解得x y =，1()(0)f x x x -∴=>故答案为1f - ()(0)x x x =>【归纳与总结】本题考查了反函数，属基础题． 5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【思路分析】把已知等式变形求得z 再由||||z z =，结合复数模的计算公式求解． 【解析】：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+， 22||||2222z z ∴==+=2【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【思路分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a 的值． 【解析】：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-．【归纳与总结】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．7．在61()x x +的展开式中，常数项等于 15 ．【思路分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为0得常数项． 【解析】：61()x x+展开式的通项为36216r rr T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．【归纳与总结】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = 10 ．【思路分析】利用正弦定理可得2BC =，利用余弦定理即可得出结论． 【解析】：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =，∴由3AC =，可得：2BC =，1cos4C =，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯， ∴解得：10AB =．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【思路分析】根据分步计数原理即可求出．【解析】：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．【归纳与总结】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 3 ．【思路分析】由已知可得P ，Q坐标，进而可得||||AQ CP +=得答案．【解析】：由题意得：P点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，11||||23AQ CP a+=，当且仅当a =【归纳与总结】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos 3π-，]π ．【思路分析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，结合121F P F P ，22142x y +=可得：2[1y ∈，2]，进而可得1F P 与2F Q 的夹角θ满足：1212cos F P F QF P F Qθ=的范围，最后得到答案．【解析】：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y-，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，0)，，0)，121F P F P ，2221x y ∴-+， 结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π 故答案为：1[arccos 3π-，]π【归纳与总结】本题考查的知识点是椭圆的性质，平面向量在几何中的应用，函数的值域，难度中档．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ． 【思路分析】0t >时，当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，(1)(4)t t λ=++，从而(9)(1)(4)t t t t +=++，解得1t =；当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t a λ，即(1)t t λ=+，当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，(4)(9)t t λ=++，从而(1)(4)(9)t t t t +=++，解得3t =-．当90t +<时，无解．【解析】：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．【归纳与总结】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =【思路分析】此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B 【解析】：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y x =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．【归纳与总结】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【思路分析】根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【思路分析】利用面面垂直的性质．画图判定 【解析】：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【归纳与总结】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【思路分析】根据点点的距离公式可得21112y a =-，22212y a =-，根据对数的运算性质即可得到121y y =，可得12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，即可求出点的轨迹． 【解析】：因为221111|1|r a a y =-=+，则21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+，则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ． 【归纳与总结】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【思路分析】（1）由已知可得//MN PC ，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，利用余弦定理求解得答案；（2）求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．【解析】：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，3AC =，可得22233cos 24223PC AC PA PCA PC AC +-∠===⨯⨯，AC ∴与MN 的夹角为3arccos4； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．22213PO ∴=-=．∴1133333224P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=．【归纳与总结】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题． 18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【思路分析】（1）求出公差即可求n S ；（2）由lim n n S →∞存在得11q -<<且0q ≠，由lim 12n n S →∞<得34q <，取交集可得公比q 的取值范围．【解析】：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）3(1)1n n q S q-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．【归纳与总结】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【思路分析】（1）根据表格数据得出结论；（2）根据函数性质得出单调性，解不等式求出t 的范围，从而得出答案．【解析】：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >， ∴当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．【归纳与总结】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．【思路分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF 的斜率和方程，解得Q 的坐标，由两点的距离公式可得所求值；（2）求得(1,0)P -，可得2a =，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，代入抛物线方程，求得Q 的纵坐标，计算2()||d P PF -，化简整理即可得证；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，计算1322[()()]4()d P d p d P +-，结合条件，化简整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．【解析】：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+22()||22(22P P Q y d P PF y m m --==+ 2122m m +-=-=，则存在常数a ，使得2()||d PPF a =+；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则1321322[()()]4()||||2||dP d p d PPF P F P F+-=+-==， 由221313[()16]28y y y y -++=-，2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b，再根据周期性求解； （2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案； （3）分别令1T =，2，3，4，5，6，7进行验证，判断T 的可能取值． 【解析】：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 集合3{2S =-，0，3}2． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin 10S π=，1，sin}10π-满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3． 当1k =时，33{}S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T =，4，5，6．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。
2019上海春季高考数学试题与标准答案(考试院内部版2019.12.22启封前绝密)
2019年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意:1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2. 本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.函数y =log2（x -1）的定义域是___________________ .2 •计算：（1-i）2= （i为虚数单位）.x3. 函数y二cos—的最小正周期T = __________ .24. 若集合A=& |x>1 ｝，集合B=｛x0<x<2 ｝，贝U APlB= _________________ .5. _________________________________________________ 抛物线y2 =x的准线方程是.6. __________________________________________________________________ 已知a =3, b =2.若a，b=—3，则a与b夹角的大小为________________________________________ .2 27•过点A（4, -1）和双曲线x y1右焦点的直线方程为.9 16&在△ ABC 中，若AB =3, ■ ABC =75 , ■ ACB = 60，则BC 等于_____________________ .9. 已知对于任意实数x，函数f （x）满足f（-x）=f（x）.若方程f（x）=0有2019个实数解，则这2019个实数解之和为__________________10. 一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘.若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词" mon key ”的概率为 _______________ （结果用数值表示）.0 111•以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数02轴上截取与闭区间［0, 1］对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标丄、3变成丄，原来的坐标丄变成1，等等）那么原闭区间［0, 1］上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是_____________ ;原闭区间［0, 1］上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(n 兰1),恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为二•选择题(本大题满分 16分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得12•在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的(D )既不充分也不必要条件13•过点P(0, 1)与圆x 2 y 2 - 2x -3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是舟 x 兰0'-'若f(x 。
2018--2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)
2019年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1．函数2log (2)y x =+的定义域是 2．方程28x=的解是 3．抛物线28y x =的准线方程是 4．函数2sin y x =的最小正周期是5．已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，。
若//a b ，则实数 k = 6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是8．在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）。
11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 。
12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13．展开式为ad-bc 的行列式是（ ）D 1 C 1B 1A 1D C AB（A ）a bd c (B)a cb d (C)a db c (D)b ad c14．设-1()f x 为函数()f x x =的反函数，下列结论正确的是（ ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数12()f x x -=的大致图像是（ ）17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19． 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u ZN （B ）uNN （C ）()u u ∅ （D ）{0}u23．已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”0x yxyBA0 x yC0 x yD的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 24．已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤 25．（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π，求该三棱柱的体积。
2019年上海市春季高考数学试卷及答案
2019年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1．函数2log (2)y x =+的定义域是 2．方程28x=的解是 3．抛物线28y x =的准线方程是 4．函数2sin y x =的最小正周期是5．已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，。
若//a b ，则实数 k = 6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是8．在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）。
11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 。
12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13．展开式为ad-bc 的行列式是（ ）D 1 C 1B 1A 1D C AB（A ）a bd c (B)a cb d (C)a db c (D)b ad c14．设-1()f x为函数()f x =）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数12()f x x -=的大致图像是（ ）17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19． 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x20．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u ZN ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð23．已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 24．已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤 25．（本题满分7分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，16AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π，求该三棱柱的体积。
上海市2019年春季高考数学1月模拟试题(含解析)
四折叠草稿纸也是一种方法。 5、注重策略，减少失误。 ①答题顺序策略。 做题是按顺序做还是先易后难做，科学的方法是按顺序做与先易
后难相结合。先把自己有把握的题一次性做好，再逐一攻克难度较大 的题。如文综卷，按顺序仍然是先做容易基础题，先易后难，但由于 地理一般给一个空间概念，历史给一个时间线索，政治给予认识，评 价等。如果有的同学看了材料分析后做政治评价比较容易，也可以先 做政治题。也就是说你不一定按照试卷的顺序答，可以灵活处理，但 是必须坚持一个原则“先易后难” 。正象一个饿汉赶火车，火车马上要 开，又点了一桌菜，怎么吃？“先吃豆腐红烧肉，再吃牛肉过油肉， 第三排骨香酥鸡，最后螃蟹清蒸鱼” 。
②时间分配讲策略。 如果答题过程，时间分配不合理，极易导致发生失误。有人开始 过于紧张，盲目抢速度，思维展不开，能力和水平发挥不出来；有人 开始缺乏时间观，或慢条斯理地答题，或着眼于局部，被某道题缠住 无法脱身，或对某道题很有把握，在它上面费了好多心思，期望做得 尽善尽美，等到觉醒时，时间已过大半，慌忙中只好加快速度，慌中 添乱，忙中出错，结果降低了正确率；有人做题时浅尝辄止，粗略一 看感觉不会就轻易放弃，结果拉下了一大片的题没有做，引起心理极 度恐慌； 有人太“贪心”，不论会不会， 从头到尾把每个题动笔做一做， 结果是每个题都做了，但出错太多。 正确的做法是稳扎稳打，准确快速解题，力争动笔就要得分，凡 是会做的题，确保一遍成功。 ③对待难题、易题讲策略。 （综合最忌讳：东一榔头西一棒槌） 实际上，考生之间拉开距离的并不是难题，而是易题。因为难题 对绝大多数考生而言，得分的可能性较少，你难我也难；但在简单题
上海市 2019 年春季高考数学 1 月模拟试题（含解析）
一 . 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
普通高等学校春季招生考试数学试卷上海卷附解答
2019年一般高等学校春天招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只需求直接填写结果，每题填对得4分，不然一律是零分．1．函数f(x)x21(x0)的反函数f1(x)______．2．若复数z知足方程zi i1（i是虚数单位），则z=________．3．函数ysinx1的最小正周期为________．cosx4．二项式(x1)6的睁开式中常数项的值为________．x5．若双曲线的一个极点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线y x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：lim(n3)n=________．n n18．若向量，知足||||，则与所成角的大小为________．9．在大小同样的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中随意选用3个，则所选的3个球中起码有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术均匀数的运算，即aa bb，则两边均2含有运算符号“ *”和“+”，且对于随意3个实入选a、b、c都能成立的一个等式能够是_______11．对于x的函数f(x)sin(x)有以下命题：（1）对随意的，f(x)都是非奇非偶函数；（2）不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；（3）存在，使f(x)是奇函数；（4）对随意的，f(x)都不是偶函数此中一个假命题的序号是_______由于当=_______时，该命题的结论不可立12．甲、乙两人于同一天赋别携款1万元到银行积蓄，甲存五年期按期积蓄，年利率为2.88%乙存一年期按期积蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期按期积蓄按规定每次计息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行拿出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假设利率五年内保持不变，结果精准到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分13．若a、b为实数，则a b0是a2b2的（）（A）充足不用要条件．B）必需不充足条件．C）充要条件．D）既非充足条件也非必需条件．14．若直线x 1的倾斜角为，则（）（A）等于0（B）等于（C）等于（D）不存在42（15．如有平面A）过点B）过点C）过点D）过点P与，且且垂直于且垂直于且垂直于且垂直于l,,P,P l，则以下命题中的假命题为（）的直线平行于．l的平面垂直于．的直线在内．l的直线在内．16．若数列{a n}前8项的值各异，且a n8a n对随意的n N都成立，则以下数列中可取遍{a n}前8项值的数列为（）（A）{a2k1}（B）{a3k1}（C）{a4k1}（D）{a6k1}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤．17．（此题满分12分）已知R为全集，A{x|log1(3x)51}，求AB2},B{x|2x218．（此题满分12分）已知2sin2sin2k()，试用k表示sin cos的值．1tg4219．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米．1）求a对于h的函数分析式；2）设容器的容积为V立方米，则当h为什么值时，V最大？求出V的最大值．（求解此题时，不计容器的厚度）20．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE A1B，AF A1D（1）求证：A 1C 平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所构成的二面角中的锐角 （或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面， 则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试依据上述定理，在AB 4 ，AD3，AA 1 5时，求平面AEF 与平面DBBD 所11成的角的大小（用反三角函数值表示）21．（此题满分16分）此题共有2个小题，第1小题满分9分，第 2小题满分7分已知椭圆C 的方程为x2y 21，点P(a,b)的坐标知足a2b 21过点P 的直线l 与椭22圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：1）点Q 的轨迹方程；2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（此题满分18分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知{a n }是首项为 2，公比为1的等比数列， S n 为它的前n 项和．2（1）用S n 表示S n1；（2）能否存在自然数S k1cc 和k ，使得2成立．S k c数学试卷答案重点及评分标准 说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，假如考生的解法与所列解法不一样，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅究竟，不要由于考生的解答中出现错误而中止对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步此后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后边部分的给分，这时原则上不该超事后边部分应给分数之半，假如有较严重的观点性错误，就不给分． 3．给分或扣分均以 1分为单位．答案及评分标准一、（第1至12题）每一题正确的给 4分，不然一律得零分．1．x1(x1)．2．1i ．3．2．4．20．x 2 y 215．916 ．6．(x1)2 (y1)21．7．e 2 ．8．90°．49．5．10．a(b*c) (a b)*(a c),(a*b) c (a*c)(b*c),a*(b c) (a b)*c (bc)*a (ac)*b,(a*b)c (b*a)c 等.11．（1），k(kZ)k(kZ)k(k Z)；（1），2；（4），2等（两个空格全填对时才能得分，此中 k 也能够写成任何整数）12．二、（第13至16题）每一题正确的给4分，不然一律得零分13．A14．C15．D16．B三、（第17至22题）17．解由已知log1(3x)log1422由于y log1x为减函数，所3x42由3x4 3x0解得1x3所以A{x|1x3}由51，解得2x3所以B{x|2x3} x2于是A{x|x1或x3}故AB{x|2x1或x3}18．解2sin2sin22sin cos 由于1tg所以k2sin cos因此(sin cos)212sin cos1k又4，于是sincos0 2所以sin cos1k19．解（1）设h'为正四棱锥的斜高a241h'a2,由已知21a2h2h'2,4解得a1(h0) h21（2）V1ha2h(h0)33(h21)易得V13(h1)h由于h 1h12，所以1 2hVh6等式当且仅当h1，即h1时获得h故当h 1米时，V有最大值，V的最大值为1立方米．620．证（1）由于CB平面A1B，所A1C在平面A1B上的射影为A1B由A1B AE,AE平面A1B，得A1C AE，同理可证A1C AF由于A1C AF,A1C AE所以A1C平面AEF解（2）过A作BD的垂线交CD于G，由于D1DAG，所以AG平面D1B1BD设AG与A1C所成的角为，则即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG9．4如图成立直角坐标系，则得点A(0,0,0)，9,3,0),A1(0,0,5),C(4,3,0)，G(4 AG 9{4,3,5}，{,3,0},A1C4由于AG与A1C所成的角为所以AGA1C122 cos25|AG||A1C|122arccos25由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为122 arccos2521．解（1）设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，点Q的坐标为Q(x,y)．当x1x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y k(xa)b2y22y2由已知x111,x221（1）22y k(x a)b,y k(x a)b（2）1122由（1）得(x1x2)(x1x2)1y2)(y1y2)0，（3）(y1由（2）得2y1y2k(x1x2)2ak2b，（4）1x 2y1y2y1y2由（3）、（4）及x x，y，k，22x1x2得点Q的坐标知足方程2x2y22axby0（5）当x1x2时，k不存在，此时l平行于y轴，所以AB的中点Q必定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）明显点Q的坐标知足方程（5）综上所述，点Q的坐标知足方程2x2y22ax by0设方程（5）所表示的曲线为L，2x2y22ax by0,则由x2y21,2得(2a 2b2)x242b20ax由于8b2a2b21，由已知a2b21，22所以当a2b21时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）2当a2b21时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点2由于（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内故点Q的轨迹方程为2x2y22ax by0（2）由2x2y22ax by0,0，0），（0，b）x0,解得曲线L与y轴交于点（2x2y22ax by0,由解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）0,当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）当a=0且0b2，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）同理，当b=0且0 a 1，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）当0a 1且0b2(1a2)，即点P（a，b）在椭圆C内且不在座标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）。
2019上海市数学春考试卷及答案解析
2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷2019.1一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ⋂=________. 【答案】{}3,5【考点】考察的集合内容，集合的交并补运算2.计算：22231lim 41n n n n -+=-+_________. 【答案】2【解析】2222223131lim 22231lim lim 24141411lim 1n n n n n n n n n n n n ⎛⎫-+-+ ⎪-+⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭【考点】极限的知识点，此题属于数列的极限； 1）()()limn f n g n →∞类型，方法：分子、分母同时除以n 的最高次 2）可有理化类型；3）lim n n q →∞（q 为常数）类型，()()()011lim 1111nn q q q q q →∞⎧-<<⎪⎪==⎨⎪≤->⎪⎩不存在或3.不等式15x +<的解集为________. 【答案】()6,4- 【解析】15x +<515x ∴-<+<64x ∴-<<()6,4∴-【考点】绝对值不等式的解法1）()()f x x ϕ<的解是()()()x f x x ϕϕ-<<，()()f x x ϕ>的解是()()f x x ϕ<-或()()f x x ϕ> 2）解关于x 的不等式ax b cx d m +++>，或ax b cx d m +++<时，可以按零点b a -，dc-分段求解4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.【答案】())10f x x -=>【解析】由()20y x x =>，解得0y >，x =())10f x x -=>【考点】求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域；（2）反解，由()y f x =解出1()x fy -=；（3）写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）。
上海市2019年1月春季高考数学试卷(解析版)
2019年上海春考试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则_________________【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.2.计算________【答案】2【解析】【分析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.3.不等式的解集为______【答案】【解析】【分析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.4.函数的反函数为___________【答案】【解析】【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当时，，即又反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.5.设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．6.已知，当方程有无穷多解时，的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果.【详解】方程有无穷多解两方程相同又本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.7.在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.8.在中，，且，则____________【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.10.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【解析】【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.11.在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】【分析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，同理可得，无解本题正确结果：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，值域为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.14.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.【详解】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.15.已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面【答案】B【解析】【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.【详解】设，且与均不重合假设：，由可得：，又，可知，又，可得：因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面若与或重合，同理可得与相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.16.以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】A【解析】【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹.【详解】因为同理：又因为，所以则，即设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）分别为中点，可知：与夹角即为与夹角在中，由余弦定理可得：即与的夹角为（2）作面，连接，如下图所示：三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18.已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且（2）由题意可知则且或又【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果. 19.已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：.【详解】由题意可知：，准线方程为：（1）因为联立方程则（2）当时，易得设，，直线，则联立，由对称性可知亦成立综上所述，存在，使得（3）由可知为中点设，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高.20.已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。
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上海学业水平（春季高考）数学模拟试题
1.复数34i +（i 为虚数单位）的实部是______3______.
2.若2log (1)3x +=，则x =_____7______.
3.直线1y x =-与直线2y =的夹角为_____4
π_______. 4.函数()2f x x =-的定义域为______[)2,+∞_______.
5.三阶行列式135
40
01
21--中，元素5的代数余子式的值为______8______. 6.函数1()f x a x
=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a =_____1________. 7.在ABC ∆中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =，则AC =_____23__________.
8.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为_____24_______（结果用数值表示）.
9.无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13
，则{}n a 的各项的和为_____3_____. 10.若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则
a =_____-4_______.
11.函数2
21y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是________[1,2]___________.
12.在平面直角坐标系xOy 中，点, A B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =，则||OA OB +u u r u u u r 的最小值为_________2___________.
二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）
13.满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ B ）
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
14.半径为1的球的表面积为（ D ）
（A ）π （B ）43
π （C ）2π （D ）4π
15.在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ C ）
（A ）2 （B ）6 （C ）15 （D ）20
16.幂函数2y x -=的大致图像是（ C ）
17.已知向量(1,0)a =r ，(1,2)b =r ，则向量b r 在向量a r 方向上的投影为（ A ）
（A ）1 （B ）2 （C ）(1,0) （D ）(0,2)
18.设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ C ）
（A ）直线l 平行于直线m （B ）直线l 与直线m 异面
（C ）直线l 与直线m 没有公共点 （D ）直线l 与直线m 不垂直
19.在用数学归纳法证明等式212322n n n ++++=+L *(N )n ∈的第(ii)步中，假设n k
=时原等式成立，那么在1n k =+时需要证明的等式为（ D ）
（A ）22
12322(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++L
（B ）212322(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++L
（C ）221232212(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++L
（D ）21232212(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++L 20.关于双曲线221164x y -=与22
1164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ B ）
（A ）焦距相等，渐近线相同 （B ）焦距相等，渐近线不相同
（C ）焦距不相等，渐近线相同 （D ）焦距不相等，渐近线不相同。