12.3 角的平分线的性质(第1课时)
2022八年级数学上册 第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质第1课时 角的平分线的作法与性
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.5.622.5.6F riday, May 06, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:37:4109:37:4109:375/6/2022 9:37:41 AM 11、人总是珍惜为得到。22.5.609:37:4109:37May-226-May-22 12、人乱于心，不宽余请。09:37:4109:37:4109:37Fri day, May 06, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:37:4109:37:41May 6, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 37分41秒09:37:4122.5.6 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时37分22.5.609:37May 6, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时37分 41秒09:37:416 May 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时37分41秒 上午9时37分09:37:4122.5.6
解：P是线段CD的中点．理由如下：过点P作PE⊥AB于点E. ∵AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠C＝180°－∠D＝90°，即PC⊥BC. ∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB， ∴PD＝PE.同理可得PC＝PE， ∴PC＝PD， ∴P是线段CD的中点．
拔尖角度二 利用角平分线构造全等三角形
知识点三 命题的证明
7.求证：全等三角形对应角的平分线相等.
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD 和 A′D′分别是∠BAC 和∠B′A′ C′的平分线，
12_3角的平分线的性质(第1课时)
教学设计二次备课一、感悟实践经验，用尺规作角的平分线问题1在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．追问1你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？追问2以下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？追问3从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？利用尺规作角的平分线的具体方法:追问4你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？二、经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 问题2 利用尺规我们能够作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？如图，任意作一个角∠AOB ，作出∠A 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记 垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角 的平分线的什么性质？追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？已知：∠AOC = ∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：PD =PE ．追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过度析，找出由已知推出求证的途径，写出证 ABO MN CABO PCDE明过程．追问3 角的平分线的性质的作用是什么？主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，使用此性质不需要先证两个三角形全等．三、解决简单问题，巩固角的平分线的性质练习1 以下结论一定成立的是 ．（1）如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，D ，E 分 别为OA ，OB 上的点，则PD =PE ．（2）如图，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足 分别为D ，E ，则PD =PE ．（3）如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ， 垂足为D ．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．练习2 如图，△ABC 中，∠B =∠C ，AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：EB =FC ．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？ 例 如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等． 四、课堂小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？ 在应用这个性质时要注意哪些问题？五、布置作业AB CD EF ABC PM N。
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质第1课时 角的平分线的作法及性质教案
12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质【知识与技能】1.掌握角的平分线的作法.2.会利用角平分线的性质.【过程与方法】经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.【情感态度】通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】角平分线的性质及其应用.【教学难点】灵活应用两个性质解决问题.一、情境导入，初步认识活动 1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.活动 2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m ，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？(2)比例尺为1∶20000是什么意思？(3)图形上，表示500m 的是个什么距离？例2 如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC,点P 、D 分别在BF 上，PM ⊥AD 于M,PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN.△ABD ≌△CBD 即可得证.【证明】∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD 和△CBD 中，,,,AB CB ABD CBD BD BD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.即射线DP 为∠ADC 的平分线.又∵PM ⊥AD,PN ⊥CD,∴PM=PN.例3如图，点P 是∠AOB 的平分线OM 上一点，作PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是点D 、C ，点E 、F 分别在线段OD,OC 上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.【分析】欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.【证明】∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP与Rt△OCP中，,, PD PC OP OP==⎧⎨⎩∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.在Rt△EDP与Rt△FCP中，∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.三、运用新知，深化理解______相等.2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.第2题图第3题图△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.°3.∠EDA∠CDA∠CAB四、师生互动，课堂小结1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.1.布置作业：从教材“”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.。
12.3 角的平分线的性质(第1课时)-八人数上册教学课件
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性质所得到的等 量关系进行转化求解
链接中考
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
A．6 B．5 C．4 D．3
B AE
课堂检测
能力提升题
1. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED
的周长.
解：(1)DC=DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，
1. 学会角平分线的画法.
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能 用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
提炼图形
第12章 12.3 第1课时 角的平分线的性质
第 10 题
教材感知
课关堂键能检力测
-11-
11．如图所示，OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，D 是 OA 上一点，E 是 OB 上一点，且 PD＝PE.求证：∠PDO＋∠PEO＝180°.
教材感知
课关堂键能检力测
-12-
证明：过点 P 作 PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为 M，N.∵OC 平分 ∠AOB，∴PM＝PN.∵PD＝PE，∴Rt△PMD≌Rt△PNE(HL)．∴∠PEO ＝∠PDM.∵∠PDO＋∠PDM＝180°，∴∠PDO＋∠PEO＝180°.
∴∠2＋∠3＝60°，∠EFA＝∠2＋∠3＝60°，∴∠GEF＝60°＋∠1.又由 角平分线的性质可得 FG＝FI＝FH.又∵∠HDF＝∠B＋∠1，∴∠GEF＝ ∠HDF. 因 此 由 ∠EGF ＝ ∠DHF ， ∠ GEF ＝ ∠HDF ， FG ＝ FH 可 证
△EGF≌△DHF，∴FE＝FD．
A．12cm
B．11cm
C．14cm
D．10cm
第8题
教材感知
课关堂键能检力测
-9-
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是角平分线，若 CD＝m，
AB＝2n，则△ABD 的面积为( A )
A．mn
B．5mn
C．7mn
D．6mn
第9题
教材感知
课关堂键能检力测
-10-
10．如图，AB∥CD，O 为∠BAC 和∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC 于点 E，且 OE＝4，则两平行线间的距离为_8__．
③BD＝CD，AD⊥BC；
④∠BDE＝∠CDF.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12.3 角的平分线的性质(1) 人教版八年级数学上学期教案
放在角的顶点，ADBA（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.【三】巩固练习已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．拓展延伸，巩固强化知识。
【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题OCN别为点D、E.∴ PD=PE二次备课。
人教版八年级数学上册第十二章 1 第1课时 角的平分线的性质
123456
1.如果要作已知∠AOB的平分线OC,合理的顺序是 ( ).
①作射线OC;②在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;③分别以
D,E为圆心,大于
1 2
DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③
B.②①③ C.②③① D.③②①
关闭
C
答案
-6-
知识梳理 预习自测
1234
关闭
因为∠ACB=90E=CE.
所以AE+DE=AE+CE=AC=3 cm.
关闭
B
解析 答案
角的平分线的性质拓展应用 【例题】 如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,求DE的长.
分析:由题目条件及图形知S△ABC=S△ABD+S△BCD.因为点D是 ∠ABC的平分线上的点,且DE⊥AB,所以易想到过点D作出BC边上 的高DF,利用角的平分线的性质有DE=DF.由△ABD和△BCD的面 积,可列出等式求出DE的长.
知识梳理 预习自测
1.角的平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 2.一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照以下步骤进行: (1)明确命题中的 已知 和 求证 ; (2)根据题意,画出 图形 ,并用 符号 表示已知和求证; (3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
-5-
知识梳理 预习自测
解:过点D作DF⊥BC,垂足为F. ∵DE⊥AB,BD平分∠ABC,∴DE=DF. ∵S△ABC=S△ABD+S△BCD, ∴36=12·AB·DE+12·BC·DF=12DE·(AB+BC)=12DE·(18+12)=15DE. 解得DE=2.4(cm).
人教版八年级上册数学教案：12.3角的平分线的性质
本节课的教学重点是：证明角平分线的性质和判定。
本节课的教学难点是：灵活运用角平分线性质解决问题。
三、学习者特征分析
本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难。例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”。其重要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性。教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果······那么······”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明命题的一般步骤。
学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据。
动手操作
学会尺规作图
教师首先引导学生分析命题的条件和结论。如果学生感到困难，可以让学生将命题写成“如果······那么······”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找到结论中的隐含条件（垂直）。最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质。
二、教学目标
1.【知识与技能】
进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
2.【过程与方法】
通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
人教版八年级数学上册《12-3 角的平分线的性质(第1课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
人教版 数学 八年级 上册ABDCE下图是一个平分角的仪器，其中AB = AD ，BC =DC .将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？导入新知3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.1. 学会角平分线的画法.2. 探究并认知角平分线的性质.素养目标在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法． 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？探究新知知识点 1角平分线的画法问题1：问题2：提炼图形如图，是一个角平分仪，其中AB=AD ，BC=DC .将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗?AB C(E )D其依据是SSS ，两全等三角形的对应角相等.问题3：【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC ，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC 是∠AOB 的平分线吗？做一做ABMNCO 已知: ∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N .（2）分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C .（3）画射线OC .射线OC 即为所求.12半径小于MN 或等于MN ，可以吗？1212已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB 的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC1. 操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D,E 为垂足，测量PD,PE 的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结果：__________PD PE第一次第二次 第三次COBAPD=PE pDEOC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质知识点 2已知：如图， ∠AOC= ∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E .求证：PD=PE .PA OB CDE证明：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.在△PDO 和△PEO 中，∠PDO= ∠PEO ，∠AOC = ∠BOC ，OP= OP ，∴ △PDO ≌△PEO (AAS).∴PD=PE .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证猜想一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.归纳总结u性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. u应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.u定理的作用：证明线段相等.u应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA，PE⊥OB，BADO PEC判一判：（1）∵ 如下左图，AD 平分∠BAC （已知），∴ =，( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC(2)∵ 如上右图， DC ⊥AC ，DB ⊥AB （已知）. ∴ = ，( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC缺少“垂直距离”这一条件缺少“角平分线”这一条件如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB 于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( ) A. OD>OE B．OD＝OEC. OD<OE D．不能确定B 巩固练习例1已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC .垂足分别为E ，F .求证：EB=FC.ABCDEF 证明： ∵AD 是∠BAC 的角平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ DE=DF ， ∠DEB=∠DFC =90 °.在Rt △BDE 和 Rt △CDF 中，DE=DF ，BD=CD ，∴ Rt △BDE ≌ Rt △CDF (HL).∴ EB=FC .探究新知角平分线的性质的应用素养考点 1如图，已知：OD 平分∠AOB ，在OA ，OB 边上取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，垂足分别为M ，N.求证：PM ＝PN.证明：∵OD 平分∠AOB ，∠1＝∠2，又∵OA ＝OB ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△BOD ，∴∠3＝∠4，又∵PM ⊥DB ，PN ⊥DA ，∴PM ＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)巩固练习例2 如图，A M 是∠B A C 的平分线，点P 在A M 上，P D ⊥A B ，PE ⊥AC ，垂足分别是D,E ，PD=4cm ，则PE =______cm.BACP MDE4提示：存在两条垂线段——直接 应用.探究新知利用角平分线的性质求线段的长度素养考点 2AB CP 如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC 交BC 于点P ，若PC ＝4， AB =14.（1）则点P 到AB 的距离为_______.D4提示：存在一条垂线段——构造应用.巩固练习1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解探究新知归纳总结如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）A．30°B．35°C．45°D．60°B解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=12∠DAB=35°.N连接中考2.△ABC 中， ∠C=90°，AD 平分∠CAB ，且BC =8，BD =5，则点D 到AB 的距离是 .ABC D3E1. 如图，DE ⊥AB ，DF ⊥BG ，垂足分别是E ，F ， DE =DF ， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF =度，BE = .60BF EBDFACG 基础巩固题3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（）A.SSS B.ASA C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等AB MCOA4.如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，下列结论中错误的是( )A.PC ＝PD B. OC ＝OD C. ∠CPO ＝∠DPO D. OC ＝PCD 5. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6 B ．5 C ．4 D ．3D BC EADFEA68101. 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则：(1)哪条线段与DE 相等？为什么？(2)若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长.解：(1)DC=DE .理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在Rt △CDB 和Rt △EDB 中，DC=DE ，DB=DB ，∴Rt △CDB ≌Rt △EDB (HL)，∴BE ＝BC =8.∴ AE ＝AB–BE =2.∴△AED 的周长=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升题CD2.如图所示，D 是∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F . 求证：CE ＝CF .证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF .,,=⎧⎨=⎩CD CD DE DF如图，已知AD ∥BC ，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE ⊥AB 于E ，且PE=3，求AD 与BC之间的距离.解：过点P 作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N.∵ AD ∥BC ，∴ MN ⊥BC ，MN 的长即为AD 与BC 之间的距离.∵ AP 平分∠BAD ， PM ⊥AD ， PE ⊥AB ，∴ PM= PE .同理， PN= PE .∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD 与BC 之间的距离为6.拓广探索题角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段课堂小结为证明线段相等提供了又一途径课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
人教版八年级数学上册1《角的平分线的性质》教学课件
O
E
B
探究归纳
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
角的平分线上的点到角的两边的距离相
等.
A
D C
P
O
E
B
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
追问2 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
C E
动手实践
追问3 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你 受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
目标重点
学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点： 探索并证明角的平分线的性质．
探究新知
问题1 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的 平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
利用尺规作角的平分线的具体方法: A
M C
O
N
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点 P 画出OA，OB 的垂线，分别记 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 作比较，你得到什么结论？
人教版角平分线的性质
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
课件说明
• 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特 征，常用来证明两条线段相等．角的平分线的性质 的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供 了思路和方法．
• 学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理 性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
E
F
B
C
D
小结与作业
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？ （3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？
在应用这一性质时要注意哪些问题？
教科书习题12.3第4、5题．
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ， 点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和
求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
12.3 第1课时 角平分线的性质
第十二章
学练优八年级数学上（RJ） 教学课件
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. （难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
导入新课
复习引入
1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
叫做这个角的平分线.
A
C
1
2
B
O
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长 . P
l A B CD
3是.下列图两1图.中线段Al1P能表示直线l1上一点PP到直线l2的l1 距离的 P
A
l2
图1
A 图2l2
讲授新课
一 角平分线的尺规作图
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC.
A
E
F
B
D
C
当堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF . B
B
N
O
4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两 边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点 为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
解：在△MOP和△NOP中，
12_3_第1课时_角平分线的性质
12.3 角平分线的性质备课：TJW DJG学习目标：1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.2.能使用角的平分线性质解决简单的几何问题.重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线.难点：角平分线定理的应用.一、复习引入1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠ =∠ .过点D 作DE ⊥BC，垂足为E，则图中线段的长度表示点D到BC的距离.二、要点探究探究点1：角平分线的尺规作图活动1：如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?活动2：已知∠AOB，类比平分角仪器的原理，用尺规作∠AOB的平分线．并书写主要步骤.针对训练已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线.探究点2：角平分线的性质画一画：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.已知：求证：要点归纳：角的平分线上的点到角的两边的相等.几何语言：纠错：下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则PD＝PE的是（）A B C D三、典例精析例1: 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC.例2:如下左图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm..变式：如上右图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______.（2）△APB的面积为四、针对训练1.如图1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，以下结论错误的选项是（）A.PD=PE B.OD=OE C.∠DPO=∠EPOD.PD=OD2.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，假设AC=3 cm，那么AE+DE等于（）A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm3.如图，OP平分AOB∠，OAPD⊥于D，OBPE⊥于E，F为OP上一点，连接DF、EF．求证：(1)OD=OE ⑵DF=EF五、小结：收获六、作业：第51页4、5题。
角平分线性质(1)
D
B
E
C
思考：从利用平分角的仪器画角的平分线中， 你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的 平分线？ 利用尺规作角的平分线的具体方法:
A M C
N 考考你：你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
O
B
探索角平分线的性质
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠A的平分线OC，在OC 上任取一点P，过 点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到 O 什么结论？
A D C
P
E B
几何命题的一般步骤
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和 求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程．
思考： 角的平分线的性质的作用是什么？ 主要是用于判断和证明两条线段相等，与 以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个 三角形全等．
C
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？ （3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？ 在应用这一性质时要注意哪些问题？
八年级
上册
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
创设情境，导入新课
问题1 平分线？ 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的
用量角器度量，也可用折纸的方法．
思考： 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
感悟实践经验
思考：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD， BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分 线．你能说明它的道理吗？ A
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C
B
探索新知，建立模型
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ索新知，建立模型
一般情况下，我们要证明一个几何中的 命题时，会按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号 表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途 径，写出证明过程.
解析、应用与拓展
1.(教材第49页思考题) 分析：把公路、铁路看成两条 相交线，先作其角的平分线OB （O为顶点），再在OB上作OS， 使OS=2.5 cm，点S 即为所求. A 2.如图，在△ABC 中， ∠C =90°，AD平分∠BAC交BC 于点D，若BC=8，BD=5，则点D 到AB的距离DE长为多少？ C
O S
E
B D
3.你能用尺规作出一个45°的角吗？
小结归纳
（1）本节课学到了哪些角平分线的知识？ （2）角平分线有多种画法（借助量角器、 透明纸、角尺、平分角的仪器等)，但尺规作图 最佳，作图的道理可以通过三角形全等的证明 来获得.
（3）证明一个文字几何命题一般分三步走.
布置作业
1.必做题： （1）教材第51页习题12.3第 2、4题. （2）教材第56页复习题12第 13题. 2.选做题： （1）教材第55页复习题12第 5题. （2）作一个三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？与同伴进行交流.
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时
东兴市京族学校 蒋宏亮
创设情境，导入新课
1.看教材第37页练习 第2题，回顾怎样用全等 三角形的知识来说明这种 画法的道理. 2.阅读教材第48页第 一个思考题.
A
D C E
B
探索新知，建立模型
A
因为AB AD, DC BC , AC AC （公共边）， 所以ADC ABC (SSS).
D C E B
所以∠DAC= ∠BAC.
探索新知，建立模型
由上面的探究可以得出作已知角的平 分线的方法.
已知： ∠AOB. 求作： ∠AOB的平分线. N 作法：(1) 以O为圆心，适 当长为半径画弧，交OA于M，交 O OB于N. M (2) 分别以M,N为圆心，大 于1/2MN 的长为半径画弧，两 弧在∠AOB的内部交于点C. (3) 画射线OC.射线OC即为所求.
探索新知，建立模型
如图， ∠AOC = ∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点D,E.求证PD=PE. 证明： ∵PD⊥OA,PE⊥OB, A ∴ ∠PDO = ∠PEO=90°. C D 在△PDO 和△PEO中， P ∠PDO=∠PEO， O ∠DOP = ∠EOP, E B OP = OP, ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴ PD ＝ PE.