2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.
知识点一坐标法的思想
思考1怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？
思考2依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？
梳理(1)坐标法：借助于___________，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．
(2)解析几何研究的主要问题：
①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出____________________．
②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究__________．
知识点二求曲线的方程的步骤
类型一直接法求曲线的方程
例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2，0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 引申探究
若将本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程．
反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．
跟踪训练1 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程．
类型二 代入法求解曲线的方程
例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．
反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).
(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．
跟踪训练2 △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程．
类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点
例3 过点M (1，2)的直线与曲线y ＝a
x (a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之
和为a ，求a 的取值范围．
反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则
它们的交点坐标由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
F (x ，y )＝0，
G (x ，y )＝0的解来确定．
跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
1．曲线y ＝1
x 与xy ＝2的交点是( )
A ．(1，1)
B ．(2，2)
C ．直角坐标系内的任意一点
D ．不存在
2．方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是( )
3．直线x a ＋y
2－a
＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．
4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O
和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程．
求解轨迹方程常用方法
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．
(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．
提醒：完成作业第二章 2.1.2
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．
思考2 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．
梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质 有序实数对(x ，y ) P ＝{M |P (M )} P (M ) f (x ，y )＝0 f (x ，y )＝0 方程的解 题型探究
例1 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2|P A |. 则|8－x |＝2
(x －2)2＋(y －0)2，
化简，得3x 2＋4y 2＝48，
故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究 解 设P (x ，y )，
则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又|P A |＝
(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2
(x －2)2＋(y －0)2，
化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.
故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 跟踪训练1 解 设点P (x ，y )， 由M (－1，0)，N (1，0)， 得PM →＝－MP →
＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →
＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →
＝(2，0)．
∴MP →·MN →＝2(x ＋1)， PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．
于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，
即⎩⎨⎧
x 2＋y 2＝3，x >0.
∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 例2 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 因为P 为MB 的中点， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋32，y ＝y 0
2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －3，
y 0＝2y ， 又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.
所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.
跟踪训练2 解 如图所示，以BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b )．设△ABC 的外心为M (x ，y )，
作MN ⊥BC 于N ，则MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，
∴M ∈{M ||MA |＝|MB |}． 而|MA |＝x 2＋(y －b )2， |MB |＝|MN |2＋|BN |2＝
a 2＋y 2，
∴
x 2＋(y －b )2＝a 2＋y 2，
化简，得所求轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.
例3 解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，
联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
y －2＝k (x －1)，
y ＝a x ，
消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.
①
当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．∴Δ＝[－(2－k )]2＋4ka >0.
设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <8
3
.
又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2. ∴a 的取值范围是(0，2)∪(2，8
3
)．
跟踪训练3 解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5，0)， 再由OM ⊥MP ， 得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝25
4
.
∵点M 应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
(x －52)2＋y 2＝254，
x 2＋y 2＝16，
得两曲线交点的横坐标为x ＝
16
5
， 故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <16
5)．
当堂训练 1．D 2.D
3．x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1) 4.x ＝3
2
5．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得
⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＝4＋3x 0，
4y ＝3y 0＋2，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝4x －43，y 0
＝4y －23，
因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，
即8x －4y ＋3＝0，
从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.。