刚体转动的动能定理
力矩的功刚体动能定理
3.一根长l质量为m 的匀质细杆，其一端固定在光滑的 水平轴O，可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水 平位置。求:杆由初始位置下摆 时的角速度?
θβ
解: 方法一用转动定律求解(略)
方法二用转动动能定理求解
杆处在β时,力矩 M mg l cos
杆转过d时, dA Md mg l cosd
2
2
A EK
k = 2.74×10-4 N·m·rad-2·s2. 求（2）吊扇由静止匀加
速的达到第二档转速经历的时间为 5s . 在此时间内阻力
矩做了多少功 ?
解: 吊扇由静止作匀角加速度运动
2
t5
t
阻力矩做功 W Mf 2d k3dt
W t k 3t3dt 1 k 3t 4
0
4
在 t ＝ 5s 时间内 W 84.8 J
EkA EpA EkB EpB
EkA EpA EkB EpB
o
m, l A
EkA EPA 0
m
EkB
1 2
J 2
J J1 J2
J 1 ml2 ml2 4 ml2
mg
B
mg
3
3
EpB
(mg
l 2
sin
mgl sin )
3 mgl sin
2
0 3 ml22 3 mgl sin 3 ( g sin )1 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚 体转动动能的增量。
与质点运动类似，若刚体转动过程中，只有 保守力做功，同样刚体的机械能守恒。
3. 刚体的重力势能
y
N
N
mi yi
E p
mi gyi
i 1
Mg
i 1
刚体角动量守恒定律
转动动能定理、角动量守恒原理一，转动动能定理：1， 力矩的功设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为：ϕθϕθMd Frd ds F ds F dA o ==-⋅=⋅=sin )90cos(所以力矩的功为：⎰⎰==21ϕϕϕMd dA A2， 转动动能定理设M 为作用刚体上的合外力矩。
将转动定律应用于功的定义中：222121)(0ωωωωϕωϕβϕωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====⎰⎰⎰⎰ 所以转动动能定理为：222121ωωϕJ J Md -=⎰ 说明，（1）⎰ϕMd 为合外力矩的功，是过程量221ωJ E K =为刚体在t 时刻的转动动能。
是时刻量。
（2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。
【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。
解：取细棒为研究对象，视之为刚体。
细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。
由功的定义：2cos 2)90sin(2900l mg d l mg d lmg Md o o ===-=⎰⎰⎰θθθθθ由转动动能定理：lgml J l mg 331210212222=∴⎪⎭⎫⎝⎛=-=ωωω二，角动量守恒定律设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：dtdLdt J d dt d J J M ====)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为00L L dL Mdt LL tt -==⎰⎰特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。
即刚体定轴转动角动量守恒定律为：常矢==L M 0说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。
（2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。
（3）⎩⎨⎧==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。
刚体动能定理
人和杆：J = Jm+ JM， ω = 2.3 人和杆：
(1− cosθ )
人： J = JM
ω′ = 4.85 (1− cosθ )
∴ω′ ≈ 2ω
∆t ≈ 2∆t′
P17习题集： （一）5，7； （二）4，6
=θ时
m、L 、
θ
mg θ r2
M2 = r2mg sin θ L = mg sin θ ,⊗ 2
M2 3 g ∴α2 = = sin θ ,⊗ J 2L
杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。 杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。
θ = π/2 时 ，Ep1 =0，Ek1= 0 ， θ = θ 时， Ep2 = -mg（L/2）cos θ， （ ）
θ
mg
解：（1）水平位置 ：（ ）
∴M1 = r1mg sin
θ =π/2 π r r r r r M = r × mg M = Jα 1 1 π
2
m L
θ
mg
r1
L = r1mg = mg ⊗ 2
L M1 2 mg 3g ∴α1 = = = 1 2 2L J L 3
（2）当 θ ）
r r r M2 = r2 × mg
ri
刚体的 转动动能
1 2 2 Ek = ∑Eki = ∑( ∆mi ri ω ) 2 i i
1 1 2 2 = (∑∆mi ri )ω = Jω2 2 i 2
2.动能定理 动能定理
dω dW = Mdθ = J dθ = Jωdω dt
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
定理：刚体绕定轴转动时， 定理：刚体绕定轴转动时，合外力矩对刚体所 作的功，等于刚体转动动能的增量。 作的功，等于刚体转动动能的增量。
力矩作功与刚体绕定轴转动的动能定理
Ek0 0
1 mgl 1 J 2 0
2
2
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
练习2、一质量 M、半径 R 圆盘绕一无摩檫 轴转动，盘上绕有轻绳，下端挂物体 m。 求：当 m 由静止下落h时速度 v ？
解：
刚体 M
N T
o
对m：
G
TP
m
v 2 mgh h
M 2m
注意和前面的方法比较！
练习3、一匀质细棒长l ，质量m，可绕通过 其端点O水平轴转动。当棒从水平位置自由释
放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体
相撞。该物体的质量也为m ，地面的摩擦系 数为 。撞后物体沿地面滑行s后而停止。求 相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说
明棒在碰撞后将向重力外，其余内力与外力都 O
（3）
由匀减速直线运动的公式得
亦即
（4）
由（1）（2）与（4）联合求解，即得
（5）
当 >0 则棒向左摆条件： 亦即L>6s；
当0，则棒向右摆条件：
亦即L <6s
由机械能守恒定律，棒上升的最大高度：
(6)
把（5）代入上式，求得：
练习4：工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
P126书例2 一长为 l , 质
量为m 的竿可绕支点O自由转 动．一质量为m’、速率为v
刚体的能量定轴转动的动能定理
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg
大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度 作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一 起转动.设唱片的半径为 R 、质量为 m ,它与转盘间的摩 擦系数为 .求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到 角速度 需要多长时间;(3)在这段时间内,转盘的驱动力 矩作了多少功? 解 (1)如图所示,在唱片上取长为 dl 宽为 dr 的面积元 dS dldr ,该面 积元所受的摩擦力为:
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 W J J0 mR 0 mR 2 2 2 2 4
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 例3-11 一长为 l , 质量为 m0 的均质细竿可绕支点O自 由转动 . 一质量为 m、速率为 v0 的子弹射入竿内一端， 使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为多少 ? .
加速度
力 质量
dr v dt dv a dt
F
d 角速度 dt d 角加速度 dt
力矩
M
m
转动惯量 J
动量
P mv
角动量
L J
r
dm
2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照 质点的平动 刚体的定轴转动
EPB EkB EPA EkA
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
取A点的重力势能为零,即 则有 而
EPA 0
3.6 转动动能及转动动能定理
转动动能及转动动能定理
质点转动动能及刚体定轴转动动能
22
1i i i k m E v ∆=∑22221)(21ωωJ r m i i i =∆=∑质点转动动能： 刚体定轴 转动动能： ⎰=21d θθθM W θωθθd d d ⎰=21t
J ⎰=21ωωωωd J 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作
的功等于刚体转动动能的增加量。
21222
121d 21ωωθθθJ J M W -==⎰
已知：一长为l , 质量为m 的均匀细杆，用摩擦可忽略的柱铰链悬挂于A 处，欲使静止的杆AB自竖直位置恰好能转至水平位置，
求：必须给杆的最小初角速度。
解：设必须给杆的最小初角速度为 则杆的初动能为： 2
121ωJ E k =达到水平位置杆的末动能为： 0
1=k E 初末过程中重力矩做的功为： 2
l
mg W -=2
21
02ωJ l
mg -=-23
1ml J =l
g 30=ω⇒0
ω
已知：一质量为 ，半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通过盘心的 无摩擦的水平轴转动。
圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为 m 的物体。
问：物体在静止下落高度 h 时，
其速度的大小为多少?
设绳的质量忽略不计。
'm
22211mgh mv J 22v
1
,J m R r 22mgh
v m m 2
ωω=+'==='
+解：
Thanks!。
6 刚体转动定律、转动动能定理
dr r' φ r
F
.
力F 使刚体由1转到2 时,
力矩的功 A
2
1
M d
d Ft
v
θ
F
刚体绕定轴转动时，力矩对 o x 转动物体作的功，等于相应 力矩和角位移的标积。 注意：式中的 M 是指作用在绕定轴转动刚体上各外 力矩的对该转轴的合力矩，即为合外力矩。 内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。
求和，得：
fi
F r f r m a r m r
2 it i it i i it i i i
F r f r m a r (m r
it i it i i it i i i i i
2
i i
)
(合外力矩) (内力矩之和)（为零）
用 M 表示 ∑Fit ri （合外力矩），有：
C
mC FT2
mB B
0，才有
m A mB g FT1 FT2 m A mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mB gy m A m B mC / 2
（3） 考虑滑轮与轴承间的摩 擦力矩 M f ，转动定律为：
FT1
Mf
RFT2 RFT1 M f J
刚体定轴转动的角量描述
定轴转动的特点
1） 每一质点均作圆周运动，圆面垂直于转轴线，称 为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标。 常用角量来描述刚体的定轴转动。
一、刚体转动的角速度和角加速度 角坐标： θ θ (t ) 约定： 沿逆时针方向转动 r 对应的角度为正。 角位移：Δθ θ(t Δt ) θ(t ) （正方向：与转动正向成 右手螺旋关系 ） 角速度矢量：
08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为 r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）
dm：质量元
dmdl ：线密度 dmdS ：面密度
dmdV ：体密度
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
刚体定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J12
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能 的增量.
注意
1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能
原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质
点组，它服从质点组的功能转换关系.
2. 刚体的定轴转动的动能应用 Ek
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
,
FT 2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点 并与棒垂直的两轴的转动惯量.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
M
1.力矩
动 点平P面刚, 且的体在交绕转点O动z，轴平力旋面F 转内作,,用Or 为在轴刚为与体由上转点
O 到力的作用点 P 的位矢.
O
M zr*
dP
F
F对转轴z的力矩 M Fsrin Fd
05-3刚体绕定轴转动的动能定理
2
物体下滑的速率 是物体在斜面上 位置的函数
2）物体在斜面上能滑多远 ） 物体的速率
R
m
2
2mgx sin θ − kx v= 2 m+ J /R
2
m
θ
x
k
当v= 0 时物体在斜面上停止下滑
2mgx sin θ − kx = 0
2mg sin θ x= k
1 2 2 = (∑ mi ri )ω 2
z
1 2 2 Ek = (∑ mi ri )ω 2 i =1
刚体对定轴 的转动惯量
n
ω
vi
mi
J = ∑ mi ri
i =1
n
2
v o ri
1 2 Ek = Jω 2
对比质点 的动能
——刚体的转动动能 刚体的转动动能
1 2 Ek = mv 2
v dr
v F
当力作用在质点上使它在力的方向发 生位移， 生位移，该力就对质点做功
v v dW = F ⋅ dr
z
刚体绕固定轴转动时， 刚体绕固定轴转动时，外力使刚体上 的质点都作圆周运动， 的质点都作圆周运动，外力也在做功 外力对刚体做功要用力矩和角位移 的乘积形式来表示， 的乘积形式来表示，称为力矩的功
ω
vi
4-4 刚体绕定轴转动的动能定理 -
力矩是改变刚体转动状态的原因
刚体定轴 转动定律
M = Jα
——力矩的瞬时作用效应 力矩的瞬时作用效应 还应该研究力矩的累积效应—— 还应该研究力矩的累积效应 力矩对时间累积效应 刚体的角动量定理 力矩对空间的累积 刚体定轴转动的动能定理 如何表示刚体的转动动能呢？ 如何表示刚体的转动动能呢？ 高速转动的砂轮具有 转动动能， 转动动能，它能通过 摩擦转化为热能
3-3刚体转动的动能定理
T2
( m1
1 2
M )m 2 g
1 2
m1 m 2
M
以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。
例4：一个转动惯量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：
设刚体有n个质点组成，其中第i个质点的质 量 为 mi ，它到转轴的距离为 ri，速度大小为vi ，则该质 1 1 E m vБайду номын сангаас，因 vi ri w ,所以 E m r w 。因 点的动能 2 2 此，整个刚体的动能为
2 ki i i
2
2
ki
i i
1 1 n 2 2 Ek mi vi mi ri w2 2 i 1 i 1 2
m2
m1
解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。 列方程
T1 =m1 a
（ 1）
FN
m2 g T2 = m2 a （2）
对于滑轮
T1 T1 T2 T2
α
1 2 T2 r T1r I M r 2
辅助方程
（ 3）
m1 g
a
（ 4）
m2 g
r = a
n
式中 i 1 是刚体的转动惯量I，所以绕定轴转 动的动能可以写为
mi vi
n
2
1 2 E k Iw 2
三、定轴转动的动能定理
设刚体在 合 外力矩M的作用下,绕定轴转过角位 移 d ,合外力矩对刚体作的元功为
dA Md
刚体的能量定轴转动的动能定理
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL
1 mL2
3g L
3
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
力 F 作的功：
ds rd
dA F ds F sin rd Md
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
3-3 刚体定轴转动的动能定理
3–3 刚体定轴转动的动能定理
解：
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
解：
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
解：
TR J
a R
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理 以滑轮和物体及地球为系统，系统机械能守恒：
6 0
l l mg cos d mg mg (hc末 hc初 ) 2 4
说明： 刚体的重力势能等于将刚体的全部质量都集中在质心 处时所具有的重力势能，即刚体的重力势能表示为 m gh c
hc 表示质心相对重力势能零点的高度。
重力矩所做的功等于棒的重力势能增量的负值。
对于刚体同样可以引入机械能和机械能守恒定律。
d d d d M J J J J dt d dt d
1
2
1
Md
2
1
Jd
2
1 1 2 2 Md J 2 J 1 2 2
合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量 .
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
3–3 刚体定轴转动的动能定理
2
二
力矩的功
dWi Fi dsi Fi ri d M i d
dW ( Mi )d Md
力矩的功 W
2
1
Md
力矩的功率
dW d P M M dt dt
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
3
三
刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动的动能定理
dm 积分遍及刚体体积V，
分几种情况：
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；
2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部 分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心 形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )
刚体的动能定理
质点系动能 平动刚体动能 定轴转动刚体动能 平面运动刚体动能
质点系的动能
质点系∶有n个质点 第i个质点为Mi ,质量为mi ,速度为vi , 动能为
1 2 质点系的动能以T表示 m i vi
2
T
1 2
mv
2
刚体与质点系的关系
刚体∶实际工作中常见的质点系。 刚体动能的表达式∶ 与刚体的运动形式有关。 刚体运动形式不同，刚体动能 的表达式不一样。
1 2
J C '
2
2
1 2
( J C Md )
2
2 2
2
J C
1 2
Md
2
质心运动的速度.
T
1 2
Mv C
1 2
J C
2
刚体平面运动的动能 等于其随同质心运动的动能与 绕过质心的轴转动的动能之和。
平动刚体的动能
刚体平动∶各点的速度都相同。 应用质点系的动能表达式∶
T 1 2
2
Mv
2
1
mv
2
1 2
v
2
m
平动刚体的动能等于 其质心的动能
定轴转动刚体的动能
刚体定轴转动，各点的角速度都相同。
T 1 2 1 2
2 mv
2
1
1
22源自2mr 22
m r 定轴转动刚体的动能
等于刚体对转轴的转 动惯量与角速度平方 乘积的一半
2
J z
平面运动刚体的动能
刚体的平面运动=刚体绕速度瞬心的转动。 设速度瞬心为C‘，动能可写成∶
T
1 2
J C ' ....( 1)
6 刚体的动能定理
d
dr
F
P
3
力矩的功
因
Fr sin M
d A M d
力矩作功：
A M d M d
0
0
•对于刚体定轴转动情形， 因质点间无相对位移，任 何一对内力作功为零;
•另外只有在垂直于转轴平 面内的分力才作功，平行 于转轴的分力是不作功的 。
r
0‘
d
3g , l
0（合外力矩为零）
例题4-7
质量 m，长l 的均匀细杆，可绕水平轴在竖直平面内无 摩擦转动。转轴离杆一端l/3，设杆由水平位置自由转 下，求：(4)杆在竖直位置时对转轴的作用力。
(4)由质心运动定理：
2 vc 6m l N mg ma c m ( )2 l l 6 6
16
3g w l
3gl l v A wl 3gl , vC w 2 2
(2).由转动定理,得 M=I 在竖直位置 M=0
A C 0
17
若下垂角时， 情况怎样？
解法二
只有重力作功,因此机械能守恒.
1 1 2 mgl 0 mgl Iw 2 2
dA Md I d Id Id 所做的功等于刚体转动动能的增量。 dt dt
化的原因可以用力矩做 功的效果来解释。
总外力矩对刚体所作的功为：
A Md
122来自11 1 2 2 Id I 2 I1 2 2
5
3.刚体的重力势能
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重力势 能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
mg T ma
（2）．因为 v 2 2ah 所以物体的动能为
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一、力矩的功 1 力矩的定义
若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯
M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M
大小：
方向：右手法则
2 力矩的功
设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，
对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为
则总功为
二、转动惯量
设初速为零，质量元Δm 的动能为
转盘的总动能
1 定义：
为物体的转动惯量。
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
o z F
t
F n
F t
F o
r
d r
d θ
t t d d d d A F r F s F r θ
=⋅==d d A M θ=2
1
d A M θθθ
=⎰αr
sin t M Fr F r
α==
d θ
F
t
F o
r
d r
12
ki i i
E m v =21
2
k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 22
1()2i i i m r ω=∆∑2i i i
I m r =∆∑
单位：SI 制 kg m 2
2 定轴转动物体转动惯量的计算
质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和
2i i i
I m r =∑
质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2m
I r dm =⎰
转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2
例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有
d J = R 2
对整个环有
I = R 2d m = mR 2
例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m
2
2m
dm rdr R
ππ=
整个盘的转动惯量
d r
d m
d S
r
R
d m
R
R
m
2
2
32
22000
02122R R R R
m m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰
例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为
＝m / L 。
以杆中心O 点为转轴，在距o 点为r 处取微小质量元dm =dr, 杆的转动惯量
为
例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O /点为转轴，同上
3 几种典型的匀质刚体的转动惯量
刚体
转轴位置 转动惯量J
细棒（质量为m ，长为l ） 过中心与棒垂直 212ml
细棒（质量为m ，长为l ）
过一点与棒垂直
23ml
2
22
2
22
322
13l l l
l l
l
I r dm r dr r ρρ---=
=
=⎰⎰m
L
O
O ’
2
112
I mL
=
2
1
3
I mL
=
2020
313
l
l
l
o I r dm
r dr
r
ρρ===⎰⎰
4 影响转动惯量的三个因素
(1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；
(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。
（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理
设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ，则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2）转动惯量的可加性
对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。
例6质量m ，长为l 的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc 和通过端点a 的垂直轴的转动惯量J.
解：建立如图坐标Ox
x
m i
r c i
o
2
c I I m
d =+
2
2222
2
2
112
l l c l l m J x dm x dx ml l
++
--
=
=
=
⎰
⎰
由平行轴定理有
2
2211
1223a l J ml m ml ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
2
c 1
2I mR =2c 12
I mR =
如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。
求盘对此轴的转动惯量I 。
解：题给两平行轴之间的距离
1
2
d R =
2
c I I m
d =+得刚体绕偏心轴的转动惯量
22213
()224
R I mR m mR =
+=由平行轴定理
例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R ，质量为 m ，且均匀分布。
它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic 表示。
例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。
杆的质量为 ，长 L 。
杆对O 轴的转动惯量 2
111
3
I m L =1
m
圆盘质量是 ，半径为R 。
，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 2m
22c 21
2
I m R =
求此装置对轴O 的转动惯量I 。
三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能
2 动能定理
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
刚体作为一个特殊的质点系，此质点系的动能定理为
21
e k k A E E =-2
1
2 2
2 111d θωω22
θM I I =
-⎰ θ
刚体定轴转动的动能定理
解：已知杆对轴O 的转动惯量
O
盘对轴C 的转动惯量
22c 21
2
I m R =
由平行轴定理得盘对轴O 的转动惯量
22c 2(I I m R L =++2221
(2
m R m R L =
++由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 222
1212211
()32
I I I m L m R m R L =+=+++2111
3
I m L =
222
2k 111222
i i i i i i E m v m r I ωω
===∑∑ 由于刚体的大小、形状不变，其上任何两质点间没有相对位移。
即：
i 0
A =。