实际问题与 反比例函数

17．2 实际问题与反比例函数(二)
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程． 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题)
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x(元) 3 4 5 6
y(个) 20 15 12 10
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
设计意图：
进一步展示现实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲．
师生行为：
学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．
教师巡视学生小组讨论的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生动手操作的能力；
③学生数形结合的意识；
③学生数学建模的意识；
④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．
生：(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)．
(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y＝
k
x
，把点(3，20)代人y＝
k
x
，得k＝60．
所以y＝
60
x
．
把点(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立．
所以y与x的函数关系式为y＝
60
x
．
生：(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，即x≤10，根据y＝
60
x
在第一象限y随x的增大而减小，所以
60
y
≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．
所以W＝(x－2)y＝(x－2)×
60
x
＝60－
120
x
当x＝10时，W有最大值．
即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润．
师：同学们的分析都很好，除了能用数学模型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题．
下面我们再来看又一个生活中的问题．
二、讲授新课
活动2
[例2]码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
设计意图：
进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
师生行为：
学生先独立思考，然后小组交流合作．
教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自己建构函数模型，
②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；
③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．
师：从题设中，我们不难发现：v 和t 之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v 和t 的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．
生：中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．
师：很好!下面同学们就来自己完成．
生：解：(1)设轮船上的货物总量为k 吨，则根据已知条件有：k ＝3×80＝240． 所以v 与t 的函数式为
v ＝240t ． (2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?即当t ≤5时，v 至少为多少呢?
由v ＝240
t 得t ＝240
v ，
t ≤5，所以240
v ≤5，
又∵v ＞O ，所以240≤5v
解得v ≥48．
所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．
生：老师，我认为得出v 与t 的函数关系后，借助于图象也可以完成第(2)问．
画出v ＝240
t 在第一象限内的图象(因为t ＞O)．如下图．
当t ＝5时，代入v ＝240
t ，得v ＝48
根据反比例函数的性质．v ＝240
t 在第一象限，v 随t 的增大而减小．所以当0＜t ≤5时，
v ≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．
生：我认为还可以用方程来解．
把t ＝5代入v ＝240
t ，得
v ＝240
5 ＝48，
从结果可以看出，如果全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨． 师：同学们的思维非常敏捷，竟想出这么多的办法来解决这个实际问题，太棒了! 我们不妨再来看一个题，肯定能做得更好! 三、巩固提寓 活动3 一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地． (1)甲、乙两地相距多少千米? (2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化? (3)写出t 与v 之间的函数关系式； (4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少? (5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间? 设计意图： 本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解． 师生行为： 先由学生独立完成，后在小组内讨论交流． 教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助． 解：(1)50×6＝300(千米)； (2)t 将减小； (3)t ＝300v ； (4)由题意可知300v ≤5， ∴v ≥60(千米／时)； (5)t ＝30080 ＝3.75小时 四、课时小结 本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么? 可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系． 板书设计 活动与探究 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投
入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[14 (x －1)＋500]元． (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购实该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗．请你将每天的平均损耗y(元)表示为使用天数x(天)的函数．
(2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?
注：在解本题时可能要用到以下两个数学知识点(如果需要可以直接引用下述结论)．
A. 对于任意正整数n ，下列等式一定成立
l ＋2＋3＋4＋……＋n ＝n(n ＋1)2
； B ．对于确定的正常数a ，b 以及在正实数范围内取值的变量x ，一定有a x ＋x b
≥ 2ax xb ＝2a b 成立．可以看出，2是a b 一个常数，也就是说函数y ＝a x ＋x b 有最小值2a b
，而且当a x ＝x b
时，y 取得最小值． 解：(1)设该设备投入使用x 天，每天的平均损耗为：
(2)y ＝500000x ＋x 8＋49978≥2×500000x ·x 8＋49978＝99978
当且仅当50000x ＝x 8
，即x ＝2000时，取等号．。