实际问题与 反比例函数

17．2 实际问题与反比例函数(二)

三维目标

一、知识与技能

1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．

2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．

二、过程与方法

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程． 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

三、情感态度与价值观

1．积极参与交流，并积极发表意见．

2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．

教学重点

掌握从实际问题中建构反比例函数模型．

教学难点

从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．

教具准备

多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题)

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1

某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：

x(元) 3 4 5 6

y(个) 20 15 12 10

(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；

(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；

(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?

设计意图：

进一步展示现实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲．

师生行为：

学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．

教师巡视学生小组讨论的结果．

在此活动中，教师应重点关注：

①学生动手操作的能力；

③学生数形结合的意识；

③学生数学建模的意识；

④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．

生：(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)．

(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y＝

k

x

，把点(3，20)代人y＝

k

x

，得k＝60．

所以y＝

60

x

．

把点(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立．

所以y与x的函数关系式为y＝

60

x

．

生：(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，即x≤10，根据y＝

60

x

在第一象限y随x的增大而减小，所以

60

y

≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．

所以W＝(x－2)y＝(x－2)×

60

x

＝60－

120

x

当x＝10时，W有最大值．

即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润．

师：同学们的分析都很好，除了能用数学模型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题．

下面我们再来看又一个生活中的问题．

二、讲授新课

活动2

[例2]码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．

(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?

(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?

设计意图：

进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．

师生行为：

学生先独立思考，然后小组交流合作．

教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：

①学生能否自己建构函数模型，

②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；

③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．

师：从题设中，我们不难发现：v 和t 之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系．根据卸货速度＝货物的总量÷卸货时间，就可得到v 和t 的函数关系．但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得．

生：中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为30×8＝240吨．

师：很好!下面同学们就来自己完成．

生：解：(1)设轮船上的货物总量为k 吨，则根据已知条件有：k ＝3×80＝240． 所以v 与t 的函数式为

v ＝240t ． (2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?即当t ≤5时，v 至少为多少呢?

由v ＝240

t 得t ＝240

v ，

t ≤5，所以240

v ≤5，

又∵v ＞O ，所以240≤5v

解得v ≥48．

所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．

生：老师，我认为得出v 与t 的函数关系后，借助于图象也可以完成第(2)问．

画出v ＝240

t 在第一象限内的图象(因为t ＞O)．如下图．

当t ＝5时，代入v ＝240

t ，得v ＝48

根据反比例函数的性质．v ＝240

t 在第一象限，v 随t 的增大而减小．所以当0＜t ≤5时，

v ≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．

生：我认为还可以用方程来解．

把t ＝5代入v ＝240

t ，得

v ＝240

5 ＝48，

从结果可以看出，如果全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨． 师：同学们的思维非常敏捷，竟想出这么多的办法来解决这个实际问题，太棒了! 我们不妨再来看一个题，肯定能做得更好! 三、巩固提寓 活动3 一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地． (1)甲、乙两地相距多少千米? (2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化? (3)写出t 与v 之间的函数关系式； (4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少? (5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间? 设计意图： 本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解． 师生行为： 先由学生独立完成，后在小组内讨论交流． 教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助． 解：(1)50×6＝300(千米)； (2)t 将减小； (3)t ＝300v ； (4)由题意可知300v ≤5， ∴v ≥60(千米／时)； (5)t ＝30080 ＝3.75小时 四、课时小结 本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么? 可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系． 板书设计 活动与探究 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投