小学六年级奥数第十三章进位制
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第十三章进位制
知识要点
在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：
1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：
十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…
二进制1，10，11 ，100 ，101，110，111 ，1000 ，1001，1010，…
把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。例如，把(13)10化成二进制：
把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。例如：
0123 2)＋0×2＋1×1 (1101)＝(1×2＋×2102 1)(8 ＝＋4＋10 (13) ＝10把问题转化到最合适的进位制中就要善于把进位制知识灵活地运用，学习进位制知识，解决问题。例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。例1 把十进制数(3568)写成数码与计算单位乘积的和的形式。10一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位点拨
，...，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(10，10)，10，，是1，10100，10001000043，10 (210)
100123＋8×10＋6×10 (3568)解＝3×10＋5×1010说明像此题这样，利用数码和它的排列位置就可以写出任意大的整数。
写成数码与计数单位乘积的和的形式。(101011)2 例把二进制的数2它按照“满二进一”都可以用“0”和“1”两个数码来表示。任何一个二进制的数，点拨
读作“一零”。为了加以区的原则记数。十进制数“10”表示十，二进制数“10”表示二，分别表示这两种不同进位制中的数。对于二进制的整数，从右向左分，我们用，(10)(10)210．
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2计数单位分别是1(2)，2，2054321＋1×2＋0×2＋1×2＋1×2解 (101011)＝1×2＋0 0123…，
×22351
＋＝ 2＋2＋2也可以用各位上的数码与所在数位上的计数单位的乘二进制的数
和十进制的数一样，说明
而二进制的计数单位都十进制的计数单位都是“10”的形式，积的和来表示。所不同的是，是“2”的形式。例3 把(37)改写成二进制数。10，即将这个十进制数写成若干点拨把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”写出这个二进制数；也可以根据二进制“满二进一”的原则，个2的次幂形式，再根据例2这种办法通常连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，用2 除十进制数自下而上依次取余数。2叫“二除取余法”，即用1
＋324＋解法一 (37)＝10021543＋0×2＋1×2＋1×2 ＝1×2＋0×2＋0×2 ＝(100101) 2解法二
(37)＝(100101) 210134“解，那么用0来代替。写成2的次幂形式中没有2，2，237说明“解法一”中要注意，这样做是为了使所得二进制数各数位上的数全部用“余0余1商法二”中最后一步1÷2 数”表示，来达到“二除取余法”的要求；另外，注意最后把余数自下而上写出来。把二进制数(110 011)改写成十进位制数。例4 2其中幂指数比相应数字所在2的幂的乘积的和，因为一个二进制的数就是各位数字与点拨
1。所以先把这个二进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，然后计算即可。的位数少012345＋1×2解 (110011)＝1×2＋1×2＋0×2＋0×2＋1×221451 22＝＋2＋＋
1 16＋＋2＝ 32＋＝(51) 10，我们在熟练掌握方法后，转化为十进位制数，从左数第三、四位都是说明 (110011)0223。10×20×2可以不必写出和；另外，要注意幂指数比相应数字所在的位数少 5 例把写成八进制数。(394)10可以采用“方幂把十进制数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，点拨法”和“八除取余法”。012＋1×8＝6×8 (394)解法一＋2×810＝(612)8．
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解法二
(394)＝(612) 810说明把一个十进制数改写成N进制数，可根据N进制数“满N进一”的原则，用N连续除十进制数，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序依次写出来，就是所求的N进制数。
例6 把(354)改写成十进制数。6点拨把六进制数改写成十进制数和把二进制数改写成十进制数的方法类似。先把这个六进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，然后计算即可。
5×6＋4×6解 (354)＝3×664 30＋＝108＋＝(142) 10进制数改012＋
写成十进制数，若把一个N说明对于任意一个N进制数与十进制数的换算规律是： N的幂的乘积，然后再相加，就可以写成十进制数。只要把N进制数改写成不同数位的数与化为八进制的数。例7 把三进制数201012再将此十进制首先将三进制的数化为十进制的数，点拨要想把三进制数化为八进制的数，的数化为八进制的数。012345解 (201012)＋2×3＋0×3＋1×3＝2×3＋0×3＋1×332 ＋＋3＝486＋27
＝(518) 100123＋6×8＝1×8 (518)＋0×8＋0×810 (1006) ＝8
例8 在什么进位制里，十进位制数71记为47？ x，列方程求解。点拨设这种进位制的基数为，则有设这种进位制的基数为x解7 4x＋＝4×x (47)＋7×x＝0x171 7 于是有 4x
＋＝16
＝解得 x 47记为。答：在十六进制里，十进位制数71 ＋9 例计算：
(1)(110101)(11101)；22。(1011110) (2)(1101101)－22“借十进制是“满十进一”，减法十分相似，点拨二进制加、减法与十进制加、区别在于，一当十”，二进制是“满二进一”，“借一当二”＝(11101)＋解 (1)(110101)(1010010)222
－＝ (2)(1101101)(1011110)(1111)222．
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说明二进制的加减法要注意“满二进一”、“借一当二”，也可以扩展到其他进位制的加、减法。例10 计算：(1)(101110)×(101)；22 (2)(110011)÷(1001)。22点拨二进制乘、除法与十进制乘、除法十分相似，试商时不够商1要商O，不够减时注意“借一当二”。
解 (1)(101110)×(101)＝(11100110) 222
(2)(1100111)÷(1001)＝(1011)余(100) 2222
例11 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。求这个自然数。
点拨一个自然数的七进制数和九进制数的表达式都是三位数并且数码顺序相反，因此可设未知数，列方程分析解答。
bcaabc)。)＝解设这个自然数n＝ ((9722a ＋＝c×9＋9b则有a×7＋7b＋c
5c)
整理得b＝8×(3a－
0 －5c＝b＝0，即3a7 由于0≤b＜，因此3
c＝此时a＝5，
。＝(503)(305)＝(248) 所以1079。答：这个自然数为248 。54，，631ca说明解这道题时要注意，b，出现在七进制中，故它们只能取O，，2，，人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。为了尽量减少比赛场次，规定只有229例12 有在某一论参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。此次安排比赛有几人轮空？看每次的余数，2的正整数次幂，一定有人轮空。如果用 229人不是2229依次除以点拨人就不会有人轮空。若有余数即为轮空，这样较麻烦。我们可以这样分析，如果有256(28)名假选手，每轮比赛尽可能安排真对真，只有在真选手剩一人时，才安排真假27假设补上假选手碰真选手的人数和真选手轮空的这样，当然真选手必胜，如同轮空一样。选手对阵，
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人数是一样的。下面我们来计算假选手碰真选手的人数。
解假设补上27名假选手。
27÷2＝13……1(1人碰真选手)
13÷2＝6……1(又1人碰真选手)
6÷2＝3
3÷2＝1……1(又1人碰真选手)
1÷2＝0……1(又1人碰真选手)
因此，共有4人碰真选手，即有4人轮空。
说明上面计算假选手碰真选手的过程，与把27表示成二进制数的过程完全相同，而碰真选手人数就是27的二进制数(11011)中所含1的个数。所以我们可以得出：用不小于选手2人数的最
小的2的正整数次幂减去选手人数，差的二进制记数法中的1的个数，就是比赛中轮空的人次数。
解题技巧
在进位制这章内容中，同学们要熟练掌握十进制和二进制之间的转化方法，这是学习其他进位制的基础。同时，需理解并掌握以下几点：
1.N进位制与十进位制的换算方法：若把一个N进位制数改写成十进制数，只要把N进制数改写成不同数位的数与N的幂的乘积，然后再相加，就可以写成十进制数。
2.十进制数改写成N进制数，可根据N进制数“满N进一”的原则，用N连续除十进制数，然后将每次除得的余数，按自下而上的顺序写出来，就是所求的N进制数。在此基础上要善于把进位制知识灵活加以运用，把问题转化到最合适的进位制中解决。
竞赛能级训练
A 级
1.把下列十进制数化为二进制数。
(1)(261) (2)(3568) (3)(2078) 1010102.把下列各数化为十进制数。
(1)(1110101) (2)(22011) (3)(11202) 4233.计算：(1)(110)×(1011)－(11011) 222
(2)(11111)－(1101001)÷(111) 2224.把三进制的20102化为八进制的数。
5.把(237)＋(332)化为十进位制数。48
6.在什么进位制里，十进制数120记为787
7.(54)表示N进制数。若(54)＝(64)，求N。10NN8.若(62)是(14)的4倍，那么(38)化为十进制数是多少？NNN9.若5×6＝26，则6×6＝?
10.一次乒乓球赛实行淘汰制，为了尽量减少场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，名选手参赛，将有多少人次轮空？243才安排一人轮空。现有．
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11.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？
12.250个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都可以用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子？
1abcabcabc)(c代表数码，它的二进制表达式是(，)，其中a，b13.一个十进位制三位数，210 abc)。(求10
B 级
1.把三进制的12101212化为八进制的数。
2.某一个从“长寿”村来的少年自称现年101岁，小聪明断定“长寿村”的101岁不是十进制的。小聪明出了几道算术题给这个少年做：1＋1＝？1＋1＋1＝？1＋1＋1＋1＝？少年解答如下：1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝10。小聪明立即算出了少年的十进制数的年龄，你能算出吗？
3.某部队武器仓库保管员将1000发子弹分放在10个盒子里，一旦需要，只需告诉他1000以内所需的子弹个数，他都可以拿出若干盒子，凑出所需的子弹个数，而不必打开盒子去数子弹。试问：十个盒子里各放多少发子弹？
4.一个旅游者到某阿拉伯国家旅游，那里的度量衡并非十进制，但一两的重量和国际上是一样的。这个人买了8两一份的蜜枣共8份，计当地的5斤4两。后来，他又买了当地折算为8斤4两的蜜枣，这些蜜枣折合我们十进制应是多少？
aabadcade是由，个互不相同的数字，如果，，b，c，d，e分别代表五进制中55.用a cde)所表示的整数化成十进制应是多少？(小到大排列好的连续自然数，那么515 7整除。2－1能被
6.求证：每个数只是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和(81，243，1，3，927，
7.设如果把它们从小到大依次排列起来63个新数。，可以得到一个新数，这样共得到能取一次) 个数是多少？12，…，那么第394，9，10，是1，3，
能力测试) 分分，共64一、填空题(每题8 。＝( ) 1.(325)108( )。 2.(3051)－(2127)＝888。＝ 3.(2102)×(1202)( )333。AA进制后得(1200)，则＝(101101) 4.若化为A2 001n11m。nm 5.若(＝)(，则)＋＝35
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代表不同的数字，且，这个算式是，D进制下的加法算 6.已知A，B，C式。 7.一次排球赛实行淘汰赛，共23个队参赛，共有个队轮空。
8.现有砝码质量为1克、2克、4克、8克、16克、32克的各一枚，在天平上能称种
不同的重量。
二、解答题(每题9分，共36分)
1.在m进制下有乘法算式：123×302＝111012。在m进制下，求11×22的值。
2.已知(25)表示K进制的数。如果(25)是(52)的一半，那么求(123)在十进制中表示KKKK的数。
7整除，若 3.2n的取值范围是什么？
n－1能被
4.500个鸡蛋分别装在若干个盒子里，要保证让顾客买500个以内的鸡蛋数都可以用若干个盒子凑齐而不必打开盒子，该怎么装？装几盒？
第十四章统筹问题
小学奥数进位制
进位制 例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。 解(3568)10＝3×103＋5×102＋6×101＋8×100 例2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。 解(101011)2＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝25＋23＋2＋1 例3 把(37)10改写成二进制数。 点拨把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据例2写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。 解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二 (37)10＝(100101)2 例4 把二进制数(110011)2改写成十进位制数。 (110011)2＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20 ＝25＋24＋21＋1 ＝32＋16＋2＋1＝(51)10 例5 把(394)10写成八进制数。 点拨把十进制数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，可以采用“方幂法”和“八除取余法”。 解法一 (394)10＝6×82＋1×81＋2×80＝(612)8 解法二 (394)10＝(612)8 例6 把(354)6改写成十进制数。 (354)6＝3×62＋5×61＋4×60＝108＋30＋4＝(142)10 例7 把三进制数201012化为八进制的数。 点拨要想把三进制数化为八进制的数，首先将三进制的数化为十进制的数，再将此十进制的数化为八进制的数。 (201012)3＝2×35＋0×34＋1×33＋0×32＋1×31＋2×30＝486＋27＋3＋2＝(518)10
小学奥数：进制的应用.专项练习及答案解析
1. 了解进制； 2. 会对进制进行相应的转换； 3. 能够运用进制进行解题 一、数的进制 1.十进制： 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 2.二进制： 在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数 字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形 式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。 3.k 进制： 一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，L ，1k -（） 共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（） 进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，L ．如二进位制的计数单位是02，12，22，L ，八进位制的计数单位是08，18，28，L ． 4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=?+?++?+L L （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++L ； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++L ； 为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样 先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制间的转换： 知识点拨 教学目标 5-8-2.进制的应用
小学六年级奥数第十三章进位制
学习好资料欢迎下载 第十三章进位制 知识要点 在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。 一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是： 1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。 2.K进位制有K个不同的记数符号。如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。 一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。 3.十进制和二进制的转化。 十进制和二进制的对应关系： 十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，… 二进制1，10，11 ，100 ，101，110，111 ，1000 ，1001，1010，… 把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。例如，把(13)10化成二进制： 把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。例如： 0123 2)＋0×2＋1×1 (1101)＝(1×2＋×2102 1)(8 ＝＋4＋10 (13) ＝10把问题转化到最合适的进位制中就要善于把进位制知识灵活地运用，学习进位制知识，解决问题。例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。例1 把十进制数(3568)写成数码与计算单位乘积的和的形式。10一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位点拨 ，...，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(10，10)，10，，是1，10100，10001000043，10 (210) 100123＋8×10＋6×10 (3568)解＝3×10＋5×1010说明像此题这样，利用数码和它的排列位置就可以写出任意大的整数。 写成数码与计数单位乘积的和的形式。(101011)2 例把二进制的数2它按照“满二进一”都可以用“0”和“1”两个数码来表示。任何一个二进制的数，点拨 读作“一零”。为了加以区的原则记数。十进制数“10”表示十，二进制数“10”表示二，分别表示这两种不同进位制中的数。对于二进制的整数，从右向左分，我们用，(10)(10)210．
10小学奥数——数阵+进位制 试题及解析
小学奥数——数阵、进位制 一.选择题（共16小题） 1.在右图的66 ?方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的23 ?长方形的六个字母均不能重复.那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是() A.E，C，D，F B.E，D，C，F C.D，F，C，E D.D，C，F，E 2.如图，请将0、1、2、?、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的 余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个.表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是() A.784 B.560 C.1232 D.528 3.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33 ?的幻方中，使横向、纵向和对角线方向数字和相等，则( +=) A E A.32 B.28 C.26 D.24 4.将1，2，3，4，5，6分别填入66 ?的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小
数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是()（左图是一个33 ?的例子） A.5 B.4 C.3 D.2 5.9、“九宫阵”是一个99 ?的方阵，它是由九个33 ?的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现一次.当填写完后，那么，位于第4行第4列的数字是() A.2 B.4 C.6 D.8 6.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的 四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是() A.A B.B C.C D.D 7.我国古代的“河图”是由33 ?的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择
第五讲——进位制问题
第五讲进位制问题 例题1 （1）2013=（） 5=（） 8 =（） 12 =（） 16 （2）（2012） 5=（） 10 ；（3）（2012） 2 =（） 10 练习1 （3A2） 12=（） 10 ；（ADD） 16 =（） 10 ； （2012） 5=（） 12 ；（2012） 8 =（） 12 例题2 （1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？ （2）（111011001） 2=（） 4 =（） 8 练习2 （120011221） 3=（） 9 例题3 （5453） 7+（6245） 7 =（） 7 练习3 （123） 5 （123） 5 =（） 5
例题4 在6进制中有三位数abc，化为9进制的cba，这个三位数在十进制中是多少？ 练习4 在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，这三位数在十进制中是多少？ 挑战极限 例题五一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？ 例题6 一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看到的页数都是以前各天的总和。如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共 需要多少天？
作业1、进制互化 （1）（11202） 4=（） 10 ；（2）（1CA） 16 =（） 10 （2）（3120） 10=（） 16 ；（4）（1248） 10 =（） 5 （5）（11202） 4=（） 9 ；（6）（157） 9 =（）16 2 、（1）（202） 4+（323） 4 =（） 4 ；（2）（21） 5 （322） 5 =（） 5 3 、一个十进制三位数（abc） 10 ，其中a，b，c均代表某个数码，它的二进制表达式 是一个七位数（1abcabc） 2 ，这个十进制的三位数是多少？ 4 、一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，这个自然数用十进制表示是多少？ 5 、 a，b是自然数，a进制下的数47和b进制下的数74相等，a与b的和的最小值是多少？
小学奥数精讲第四讲 进位制与位值原理
第4讲 进位制与位值原理（二） 同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)( )= 【答案】见解析 【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)= 位值原理法：210(101110)(46)= 2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11 【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011 100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11. 3. 在几进制中有12512516324?=? 【答案】7 【解析】注意101010(125)(125)(15625)?=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10 数的进制与位值原理 知识框架 一、位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。 n进制问题（18年2月21日） 某自然数m在6进制下和9进制下都是3位数，在6进制下形如abc,在9进制下形如cba。请问自然数m是多少？ 答案：212。 讲解思路： 复习一下整数进制的基础知识： 进制也叫进位制， 是人们规定的一种进位方法。 我们常用的十进制运算时是逢10进1位。 n进制运算时就是逢n进1位。 比如7进制数125换算为十进制数是68， 因为:1*7*7+2*7+5=68； 比如十进制数68换算为9进制数是75， 因为68=7*9+5。 步骤1： 先思考第一个问题， a,b,c的范围是什么？ 在n进制下， 由于要每逢n进一位， 故每一位上的数字都比n小。 所以，a,b,c都小于6。 步骤2： 再思考第二个问题， m如何用a,b,c表示？ m在6进制下是abc, 故m=a*6*6+b*6+c=36a+6b+c; m在9进制下是cba, 故m=c*9*9+b*9+a=81c+9b+a。 步骤3： 再思考第三个问题， 满足条件的a,b,c是多少, m又是多少？ 从步骤2知道， 36a+6b+c=81c+9b+a， 化简即: 3b=35a-80c=5(7a-16c), 因此b是5的倍数。 由于(7a-16c)不可能是0， 故b也不可能是0， 而b又小于6， 因此b=5。 代入上式有3=7a-16c, 由于a和c的范围是1-5， 故35 >= 7a >16c >= 16, 满足上面不等式的c必须小于等于2， 因此c=1或2， 代入3=7a-16c中验证, 只有c=2,a=5时才满足等式。 所以m=36a+6b+c=212。 思考题： 某自然数m在5进制下和7进制下都是2位数，组成这两个2位数的数字相同，但顺序恰好相反。请问自然数m是多少？ 完全平方数问题（18年3月4日） 某自然数加上38是一个完全平方数，减去38还是完全平方数，请问该自然数是多少？ 答案：362。 讲解思路： 看到这道题， 自然想到， 假设该数是m， 则m+38=a^2, m-38=b^2。 奥 数 十、数的进位制(二) 求相同因素的乘积的运算叫作乘方。 乘方是乘法的简便计算。 如：2×2记作22=4，读作2的平方等于4； 3×3记作32=9，读作3的平方等于9； 10×10记作102=4，读作10的平方等于100。 又如：23=2×2×2=8； 33=3×3×3=27； 103=10×10×10=1000； 一般地，a ×a ×…×a(n 个a 相乘)记作a n ，读作a 的n 次方。其中a 叫底数，n 叫指数，a n 叫幂，它表示乘方的结果。 加、减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算，乘方叫第三级运算。在混合运算中，先乘方，后乘除，最后加减，有括号时先算括号内。 注意：规定a n =1(a ≠0) 如：20=1；30=1；100=1 1、十进制计数法 我们已经学习过，十进制计数法有以下特点： (1)数字(数码)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9； (2)满十进一； (3)位置值原则：用不同数位上的数表示不同单位的数； (4)计数单位和数位顺序。 如：693528.47=6×105+9×104+3×103+5×102+2×105+8×100 +4×101 +7×1001 2、二进制计数法 前面已经初步学习过二进制，二进制计数法的特点是： (1)2个数字：0、1； (2)满二进一； (3)位置值原则：用不同数位上的数表示不同单位的数； (4)计数单位：由低到高有：…1/23、1/22、1/2、1、2、22、23、24、25、26… 如：1011001.01=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×2+1×20+0×1/22+1×1/22=89.25 3、和十进制、二进制一样，任意进制数有类似的特点，K进制计数法(K=2、3、 4、5…10、11、12…)的特点是： (1)K个数字：0、1、2、3、…、K-1； (2)满K进一； (3)位置值原则； (4)计数单位由低到高有:…1/K3、1/K2、1/ K、1、K、K 2、K 3、K 4… 如：K=4 312133=3×45+1×44+2×43+1×42+3×41+3×40 =3×1024+1×256+2×64+1×16+3×4+3×1 =3487 用20, 21, 22, 23,…,2n作单位,可以表示1到2n+1-1的所有自然数(n=1,2,3,…)。 用天平称物体，要使用到的砝码个数最少，能称同最多的不同的重量，选用砝码的方法如下： (1)砝码和被物体各放在天平的一边，砝码的重量应该是二进制的单位：1,2,4,8,16,32,……。 (2)砝码和被称的物体，可以任意放在天平的两边，砝码的重量应该是三进制的单位：1,3,9,27,81, ……。 例152、计算 (1)23+32 (2)2×3+23 六年级奥数训练 第12讲进位制与取整符号 内容概述 掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题．掌握取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，学会求解包含这两种符号的算式与方程． 典型问题 兴趣篇 1．将下面的数转化为十进制的数：(1111)，(1010010)，(4301)， 225 (B08)． 16 2．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数． 3．请将七进制数(403)化成五进制的数，将五进制数(403)化成七 75 进制的数． 4．(1)在二进制下进行加法：(101010)＋(1010010)； 22 (2)在七进制下进行加法：(1203)＋(64251)； 77 (3)在九进制下进行加法：(178)＋(8803). 99 5．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果(ade)， 5 9．计算：[16 ?1] + [16 ? 2 ] + + [ (adc ) ， (aab ) ，是由小到大排列的连续正整数，那么 (ade ) 所表示的 5 5 5 整数写成十进制的表示是多少？ 6．记号(25) 表示七进制的数，如果(52) 是(25) 的 2 倍，那么，(123) k k k k 在十进制表示的数是多少？ 7．一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也 是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个 自然数的十进制表示是多少？ 8．计算： [27 ? 25 ] - {27 ? 25} + [3.14] ?{3.14}. 26 26 16 ?15 16 ?16 ] + [ ] ? 17 17 17 17 10．求方程 2[x] – 9{x}=0 的解的个数． 拓展篇 1．(1)请将下面的数转化为十进制的数：(2011) 、(7C1) ； 3 16 (2)请将十进制数 101 转化为二进制的数，641 转化为三进制的数， 1949 转化为十六进制的数． 2．请将三进制数(12021) 化成九进制的数，将八进制数 (742) 化成 3 8 专题二二进制问题 知识要点 用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字表示所有整数的方法被叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大数国家和地区都用这种方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。 除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制的，即60秒是一分，60分时1小时。还有三进制、五进制、八进制、十六进制等。它们和十进制计数法的道理实质是一样的。现代计算机上大多用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只用两个数字0和1，如“1”在二进制中记作1，“2”就要满二进一，记作10，“3”记作11，“4”又一次满二进一，记作100，……。为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。 任何一个十进制正整数N都可以写成各数位上的数字与10的次方数的 =9×103+7×102+5×101+8×100（注：100=1）。乘积的和的形式，如9758 （10） 任何一个二进制数也像十进制数一样，也可以写成各个数位上的数字与 =1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1 2的次方数的乘积的和的形式，如110101 （2） ×20 典例评析 化成二进制 例1 将139 （10） 【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。 解因为 的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理说明十进制数139 （10） 六年级奥数进位制问题讲座 进位制问题 内容概述 本讲不着重讨论进制中运算问题，我们是关心这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：进制就是逢进一． 但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的． 说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制． 典型问题 ．在几进制中有4×13=100． 【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题： 不管在几进制均有×=．但是，式中为100，尾数为0． 也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2． 但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制． 我们知道×=，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道<10． 所以，只能是6． ．在三进制中的数121XX0110110121121，则将其改写为? 位数字是几l九进制，其从左向右数第 【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大． 注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制． 于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表： 120lXX01101211213进制 5l64135479进制 所以，首位为5． 评注：若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制． 如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制． 010********进制 158进制 =． ．在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】=×62＋×6+=36+6+； =×92+×9+=81+9+． 所以36+6+=81+9+；于是35=3b+80； 专题二二进制问题 例1 将139（10）化成二进制 【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。 解因为 的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理说明十进制数139 （10） 的下标2是表示的二进制，有时十进制的下标可以省略，但其余10001011 （2） 的进制，则下标不可省。 特别提出的是，在用“短除法”求得数时，要将每次除以2所得的余数写在被除数的后面，一直得到商是1为止。 例2 将101101（2）改成十进制数。 【分析】我们可以思考一下二进制数101101（2）上各个数位上的1是怎么进上来的，从右往左数第6位是1，是从第5位上满2才进上去是，这个数可以看做21101， 第5位上是2，是因为第4位上满2个2才进过来的，可以看作5101，同理第4位上5，是因为第3位上满5个2才进过来的，应是（11,01），同理得出（22,1），（22,1）得45。对于一个十进制数，如果是7385，可以写成7385=7×103+3×102+8×101+5×100。同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积，就没必要像上述改写那样麻烦了。 解101101（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1 =25+23+22+1 =32+8+4+1 =45 说明对于任意一个二进制数a m a m-1 a m-2 …a 2 a 1(2) 改写成十进制数，都有如下 的方法：a m a m-1 a m-2 …a 2 a 1(2) =a m ×2m-1+a m-1×2m-2+…a 2 ×21+a 1 ×20。 例3 计算：10110（2）+1010（2）。 【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算 解10110（2） + 1010（2） 100000（2） 10110（2）+1010（2）=100000（2） 说明在将相同数位上的数相加时，与十进制加法有所不同，十进制加法中满十进一，而二进制加法中是满二进一，本题中从右往左第2位开始，便连续出现了4次“满二进一”。 例4 计算1101101（2）-1011110（2），并要求验算。 【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。。 解1101101（2）1011110（2） -1011110（2）验算+ 1111（2） 1111（2）1101101（2） 说明在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区别的，十 第五讲进位制问题 有这样一个笑话：请问“ 11”在什么样的情况下等于10,答：“在算错的情况下等于10!”.笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把 1 1算错的情况?不过学 习完今天的知识，同学们就知道，不用算错， 1 1也是可以等于10!说起来很奇怪， 但在二进制中就是这样的. 说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得 从进位制说起. 、什么是进位制 所谓“进位制”就是指进位的法则. 在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则一一逢十进一?由于它规定逢十.进一，所以这一进位法则又称“十进制”?生活中最 常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10 厘米等于1分米，10分米等于1米?当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时.再比如西方国家常用的单位 “打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制?我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两... 像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子. 、怎么表示进位制 这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明,?? 都默认为10进制?如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式?例如5进制 中的1234,我们就写成1234 5, 2进制的101就写成101 2? 在n进制中，恰好会用到n种数字：从0 —直到n 1?这里请大家注意以下两点： (1) n进制中，不可能出现数字n以及比n更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125, 733都不可能是5进制数； 第26讲进位制问题 内容概述 本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一． 但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的． 说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制． 典型问题 1．在几进制中有4×13=100． 【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题： 不管在几进制均有(4) 10×(3) 10 =(12) 10 ．但是，式中为100，尾数为0． 也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制． 我们知道(4) 10×(13) 10 =(52) 10 ，因52 < 100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是 我们知道n<10． 所以，n只能是6． 2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几? 【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大． 注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制． 于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表： 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9进制 所以，首位为5． 评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k进制． 如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制． 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101) 2=(2415) 8 ． 3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 (abc) 6 =a×62＋b×6+c=36a+6b+c； (cba) 9 =c×92+b×9+a=81c+9b+a． 所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c； 因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5． ①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7：四年级奥数十进制的数字问题(位值原理)2
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