9-3-二重积分的应用举例
二重积分的应用
二重积分的应用§ 二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1、所要计算的某个量U 对于闭区域D 具有可加性(即:当闭区域D 分成许多小闭区域σd 时, 所求量U 相应地分成许多部分量U ?,且∑?=U U )。
2、在D 内任取一个直径充分小的小闭区域σd 时, 相应的部分量U ?可近似地表示为σd y x f ),(, 其中σd y x ∈),(, 称σd y x f ),(为所求量U ?的元素, 并记作dU 。
(注: σd y x f ),(的选择标准为: σd y x f U ),(-?是σd 直径趋于零时较σd 更高阶的无穷小量)3、所求量U 可表示成积分形式U f x y d D=??(,)σ一、曲面的面积设曲面S 由方程z f x y =(,)给出,D xy 为曲面S 在xoy 面上的投影区域,函数f x y (,)在D xy 上具有连续偏导数f x y x (,)和f x y y (,),现计算曲面的面积A 。
在闭区域xy D 上任取一直径很小的闭区域σd (它的面积也记作σd ),在σd 内取一点),(y x P ,对应着曲面S 上一点)),(,,(y x f y x M ,曲面S 在点M 处的切平面设为T 。
以小区域d σ的边界为准线作母线平行于z 轴的柱面, 该柱面在曲面S 上截下一小片曲面,在切平面T 上截下一小片平面,由于d σ的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面S 在点M 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为ρn f x y f x y x y =--{(,),(,),}1它与z 轴正向所成夹角γ的方向余弦为cos (,)(,)γ=++1122f x y f x y x y而dA d =σγcos所以dA f x y f x y d x y =++?122(,)(,)σ这就是曲面S 的面积元素, 故σd y x f y x f A xyD y x ??++=),(),(122故AzxzydxdyD xy=+?+122【例1】求球面x y z a 2222++=含在柱面x y ax22+=(a>0) 内部的面积。
二重积分的计算与应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1.二重积分的概念 (1)1.1二重积分的定义 (1)1.2可积条件 (2)1.3可积类 (2)1.4二重积分的性质 (2)2.二重积分的计算方法 (3)2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3)2.2二重积分的变量变换 (4)2.2.1普通情况下的变换 (4)2.2.2极坐标计算二重积分 (4)3.广义二重积分 (6)4.二重积分的应用 (6)4.1体积 (7)4.2曲面的面积 (8)4.3其它 (8)参考文献 (9)二重积分的计算与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：职称：摘要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法.关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method.Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder前言我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助.1.二重积分的概念1.1[]2二重积分的定义设(,)f x y是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D的任何分割T，当它的细度||T||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||ni i i i f J ξσσε=∆-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称为(,)f x y 的二重积分，记为(,)σDJ f x y d =⎰⎰.1.2[]1可积条件二重积分的可积条件与定积分类似(1)必要条件：函数(,)f x y 在D 上可积，则(,)f x y 在D 上必有界. (2)充要条件：①函数(,)f x y 在D 上可积s S =⇔(其中S ，s 分别为在上的上积分和下积分). ②函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得()().ε<-T s T S③函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得.1εσω<∑=∆ni i i1.3[]1可积类(1)有界闭区域D 上的连续函数必可积.(2)若(,)f x y 在有界闭区域D 上有界，且仅在D 内有限条光滑曲线上不连续，则(,)f x y 在D 上可积.1.4[]2二重积分的性质性质4.1（线性性） (,)σ(,)σDDkf x y d k f x y d =⎰⎰⎰⎰.性质4.2（线性性）[](,)(,)σ=(,)σ(,)σDDDf x yg x y d f x y d g x y d ±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.3（分段可加性）1212(,)σ=(,)σ+(,)σD D D D f x y d f x y d f x y d +⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.4（保不等式性） 设(,),(,)(,)x y D f x y g x y ∀∈<, 则 (,)σ(,)σDDf x y dg x y d <⎰⎰⎰⎰.性质4.5 设(,)m f x y M ≤≤,则(,)σDm f x y d M σσ≤≤⎰⎰其中σ表示D 的面积.性质4.6 (二重积分的中值定理)设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D S 是D 的面积，则∃（ζ，η）∈D 使得(,)Df x y ⎰⎰σd =(,)f ξηDS.其中中值定理的几何意义：以D 为底，z=(,)f x y ((,)f x y ≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于(,)f x y 在区域D 某点的函数值(,)f ξη.2.二重积分的计算方法定理1 设在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈积分存在，则累次积分(,)b d acdx f x y dy ⎰⎰也存在，且(,)σ=(,)b d acDf x y d dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰.另外，同理(,)σ=(,)db caDf x y d dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰.2.1[]4直角坐标系下的二重积分的计算此方法的关键就是化二重积分为累次积分，对于一般区域，通常可以分为以下两种区域进行计算：①X 型区域：平面点集12{(,)|()(),},D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ 则化二重积分为累次积分21()()(,)σ(,)bx a x Dy f x y d dx f x y dy y =⎰⎰⎰⎰. ②Y 型区域：平面点集{12(,)|()(),}D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤则化二重积分为累次积分21()()(,)σ=(,)dy c y Dx f x y d dy f x y dx x ⎰⎰⎰⎰. 例1 设D 是由直线0,1x y ==及x y =围成的区域，试计算22()y DI x e d σ-=⎰⎰.解 利用Y 型区域积分：231123001()3yy y I dy x e dx y e dy --==⎰⎰⎰.由分部积分法得 1163I e=-. 例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为由直线2,2y x x y ==及3x y +=所围的三角形区域.解 利用X 型区域，则相应的221()2(01),()3(12),2x y x x x y x x x y =≤≤=-<≤=所以 1223012212x x x x DD D d d d dx dy dx dy σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1201(2)(3)22x xx dx x dx =-+--⎰⎰ =32. 2.2[]5 二重积分的变量变换定理2 设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，变换T: (,),(,)x u v y u v ==将uv 平面由按段光滑闭曲线所围成的闭区域∆一对一的映成xy 平面上的闭区域D ,函数(,),(,)x u v y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的行列式 (,)0(,)(,)x y J u v u v ∂=≠∈∆∂， 则 (,)((,),(,))|(,)|D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰. 2.2.1普通情况下的变换例3 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围成的区域D 的面积S （0,0m n αβ<<<<）.解 D 的面积DS dxdy =⎰⎰为了简化积分区域，做变换2,,u ux y v v==则[][],,m n αβ∆=⨯.由于4(,)(,)(,)x y uJ u v u v v ∂==∈∆∂,所以 22334433()()6n m Du dv n m S dxdy dudv u du v v βαβααβ∆--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.2.2极坐标计算二重积分当积分区域是圆域或圆域的一部分时，或者背积函数的形式为22()f x y +时，采用极坐标变换T ：cos ,sin (0,02)x r y r r θθθπ==≤<+∞≤≤, 则 (,)(,)(,)x y J r r u v θ∂==∂.定理3 设(,)f x y 满足定理1的条件，且在极坐标变换下xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立(,)(cos ,sin )Df x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰.二重积分在极坐标下化为累次积分有以情况：1.θ型区域：若原点o D ∈，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交与两点,则必可表示为12()(),r r r θθαθβ≤≤≤≤, 于是有 2()1()(,)(cos ,sin )r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰.R 型区域：若平面上的圆r =常数与D 的边界至多交与两点，则∆必可表示为1212()(),r r r r r θθθ≤≤≤≤,于是有 2211()()(,)(cos ,sin )r r Dr f x y dxdy rdr f r r d r θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.2．若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆必可表示成为0(),02r r θθπ≤≤≤≤,于是有 2()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰.3．若原点O 在D 的边界上，则∆为0(),r r θαθβ≤≤≤≤, 于是有 ()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰.例4 计算I=D其中D 为圆域.122≤+y x解 由于原点为D 的内点故有210Dd πθ=⎰⎰[].212010202πθθππ=--=⎰⎰d d r例5 求球体2222x y z R ++≤被圆柱体22x y Rx +=所割下部分的体积（称为维维安尼体（Viviani ））.解 由所求立体的对称性，只要求出第一卦限的部分体积后乘以4即可.在第一卦限内的体积是一个曲顶柱体，其底为xy 平面内由0y ≥和22x y Rx +=所确定的区域，曲顶的方程为z =所以4DV σ=.其中D={}22(,)|0,x y y x y Rx ≥+≤，用极坐标变换后有cos33322004424(1sin )()3323R V d R d R ππθπθθθ==-=-⎰⎰⎰.3[]4.广义二重积分若在无界区域D 上(),0,≥y x f 则()σd y x f D⎰⎰,收敛⇔在D 的任何有界子区域上f 可积,且积分值有上界.例6 证明反常积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛,其中[)[);,0,0+∞⨯+∞=D 并由此计算概率积分.02dx e x ⎰+∞-证明 设(),,)(22y xe y xf +-= 则显然()y x f ,在[)[)+∞⨯+∞=,0,0D 上非负.设,0,0,:222≥≥≤+y x R y x D R 则).1(4r 2222020)(R Rr Dy x e e d d e--+--==⎰⎰⎰⎰πθσπ显然对D的任何有限子集'D ,只要R 充分大,总可使得,'R D D ⊂ 于是有.4'22'22)()(πσσ≤≤⎰⎰⎰⎰+-+-d e d e Dy xDy x即广义积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛.记,2dx e I x ⎰+∞-=则.))(()(022222dxdy e dy e dx e I Dy xy x ⎰⎰⎰⎰+-+∞-+∞-== 其中[)[),,0,0:+∞⨯+∞D 做极坐标代换,0,20,sin ,cos +∞<≤≤≤⎩⎨⎧==r r y r x πθθθ 则,4r 02022πθπ==⎰⎰∞+-dr e d I r .202π==⎰∞+-dx e I x 4.二重积分的应用二重积分在几何、物理等许多学科中有着广泛的应用，这里重点介绍它在几何方面的应用． 4.1体积根据二重积分的几何意义，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为曲顶，以),(y x f 在xOy坐标平面的投影区域D 为底的曲顶柱体的体积．因此，利用二重积分可以计算空间曲面所围立体的体积． 例7[]6 求椭球面1222222=++cz b y a x 所围之椭球的体积．解 由于椭球体在空间直角坐标系八个卦限上的体积是对称的．令D 表示椭球面在xOy 坐标面第一象限的投影区域，则D ,0,0,1),(2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥≤+=y x b y a x y x体积.),(8⎰⎰=Ddxdy y x z V 作广义极坐标变换θθsin ,cos br y ar x ==,则此变换的雅可比行列式abr J =，与D 相对应的积分区域{},20,10),(*πθθ≤≤≤≤=r r D 此时,1),(2r c y x z z -==从而 abrdr r c d drd J br ar z V D ⎰⎰⎰⎰-==2*1218)sin ,cos (8πθθθθ.34128102abc dr r r abc ππ⎰=-⋅= 例8[]6 求球面+2x 2224a z y =+与圆柱面)0(222>=+a ax y x 所围立体的体积.图1解 由对称性（图1（a ）给出的是第一卦限部分）.44222⎰⎰--=Ddxdy y x a V其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图1（b ））．在极坐标系中，与闭区域D 相应的区域*D {},20,cos 20),(πθθθ≤≤≤≤=a r r 于是⎰⎰⎰⎰-=-=Da rdr r a d rdrd r a V 20cos 2022224444πθθθ=.)322(332)sin 1(33220333⎰-=-ππθθa d a4.2曲面的面积设曲面S 的方程为),,(y x f z = 它在xOy 面上的投影区域为,xy D 求曲面S 的面积.A若函数),(y x f z =在域xy D 上有一阶连续偏导数，可以证明，曲面S 的面积.),(),(122dxdy y x f y x f A xyD y x ⎰⎰'+'+=（1）例9 计算抛物面22y x z +=在平面1=z 下方的面积．解 1=z 下方的抛物面在xOy 面的投影区域xy D {}.1),(22≤+=y x y x又,2x z x =',2y z y =' 221y x z z '+'+=,44122y x ++ 代入公式（1）并用极坐标计算，可得抛物面的面积 ⎰⎰⎰⎰+=++=xyxyD D rdrd r dxdy y x A *22241441θ=).155(6)41(201212-=+⎰⎰πθπrdr r d如果曲面方程为),(z y g x =或),(z x h y =，则可以把曲面投影到yOz 或xOz 平面上，其投影区域记为yz D 或xz D ，类似地有.),(),(122dydz z y g z y g A yzD zy ⎰⎰'+'+= 或.),(),(122dxdz x z h x z h A xzD z x⎰⎰'+'+= 4.3其它例10[]4 平均利润 某公司销售商品Ⅰx 个单位，商品Ⅱy 个单位的利润),(y x P .5000)100()200(22+----=y x现已知一周内商品Ⅰ的销售数量在150～200个单位之间变化，一周内商品Ⅱ的销售数量在80～100个单位之间变化．求销售这两种商品一周的平均利润．解 由于y x ,的变化范围{},10080,200150),(≤≤≤≤=y x y x D 所以D 的面积.10002050=⨯=σ 由二重积分的中值定理，该公司销售这两种商品一周的平均利润为[]σσσd y x d y x P DD⎰⎰⎰⎰+----=5000)100()200(10001),(122 []dy y x dx 5000)100()200(100012210080200150+----=⎰⎰ dx y y y x 100803220015050003)100()200(10001⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎰ 20015020015023292000)200(2030001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x x dx 4033300012100000≈=（元）． 参考文献：[1] 赵树原,胡显佑,陆启良.微积分学习与考试指导[M] .北京：中国人民大学出版社, 1999. [2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2004. [3] 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003. [4] 周应编著. 数学分析习题及解答[M]. 武汉：武汉大学出版社，2001. [5] 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法[M].北京：科学出版社，2008. [6] 吴良森等编著. 数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.。
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在微积分中，二重积分是一种对二维平面上的函数进行求和的数学工具。
它广泛应用于物理、经济学、工程学以及其他领域。
本文将介绍二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分可以通过多种方法进行计算，包括直接计算、极坐标变换和换元积分等方法。
1. 直接计算直接计算是最常用的方法之一，它将二重积分分解为两个一元积分的乘积。
假设要计算的函数为f(x, y)，定义在区域D上，可以将二重积分表示为：∬D f(x, y) dA其中dA表示面积元素。
可以通过将区域D划分为小的面积元素，并在每个面积元素上进行函数值的计算，然后对所有面积元素求和，最终得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换极坐标变换是一种常用的简化二重积分计算的方法，特别适用于具有旋转对称性的函数。
通过将直角坐标系下的变量x和y表示为极坐标下的变量r和θ，可以将二重积分转化为极坐标下的形式。
例如，对于函数f(x, y)，可以进行如下的极坐标变换：x = rcosθy = rsinθ同时，面积元素dA可以表示为：dA = rdrdθ将函数f(x, y)和面积元素dA用极坐标形式表示后，就可以将二重积分转化为对r和θ的一元积分进行计算。
3. 换元积分换元积分是一种将二重积分转化为更简单形式的计算方法。
通过选择适当的变量替换，可以减小积分的难度。
例如，当被积函数具有形如f(x, y) = g(x + y)的形式时，可以进行变量替换u = x + y，将二重积分转化为对u的一元积分进行计算。
二、二重积分在实际问题中的应用二重积分在各个领域中都有广泛的应用，下面将介绍二重积分在物理学和经济学中的一些具体应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，二重积分可以应用于计算质心、质量、转动惯量等物理量。
例如，计算平面上杂质浓度分布可以利用二重积分来求解。
通过将杂质浓度表示为函数f(x, y)，然后计算其在给定区域上的二重积分，就可以得到平均浓度。
二重积分计算及应用
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的应用
一、利用直角坐标系计算二重积分
X －型区域 积分区域为： 积分区域为： a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ).
y = ϕ 2 ( x) y = ϕ 2 ( x)
D
y = ϕ1 ( x )
2
π
∵ I1 < I < I 2 , ∴
π
4
(1 − e
− R2
) < (∫ e
R 0
− x2
dx ) <
2
π
4
(1 − e
−2 R2
);
当 R → +∞ 时， I1 →
π
4
, I2 →
π
4
,
故当 R → +∞ 时，I →
+∞ 0
π
4
, 即 (∫
+∞ 0
e
− x2
dx ) =
2
π
4
,
所求广义积分 ∫
D3
D1
D2
∫∫ = ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
D D1 D2 D3
例1 改变积分 ∫ dx ∫
1 0
1− x 0
f ( x , y )dy的次序.
y = 1− x
解 积分区域如图 原式= 原式= ∫0 dy ∫
1 1− y 0
f ( x , y )dx .
例2 改变积分
∫ dx ∫0
1 0
2 x− x2
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
高等数学：二重积分及其应用
积. 因此,我们仍采用处理曲顶柱体体积的方法来求质量分布
不均 匀薄片的质量,步骤如下:
1)分割(化“整”为“零”)
将区域 D 分割成n 个小区域 Δσ1,Δσ2,…,Δσn,仍然用 Δσi
表示第i个小区域的面积
二重积分及其应用
2)近似(以“粗”代“精”) 在每个小区域Δσi 内任取一
点(ξi,ηi),近似地将小块Δσi 看成是质量均匀分布的,其 面密度
故曲顶柱体的体积为
二重积分及其应用
式(9-5)右端的积分称为先对y后对x 的二次积分或累次
积分.习惯上,常将式(9-5) 中的中括号省略不写,即记作
类似地,如果积分区域D 为Y型区域: {(x,y)c ≤y ≤d,ψ1(y)≤x
≤ψ2(y) } , 则有
式(9-6)右端的积分称为先对x 后对y 的二次积分或累次积分.
二重积分及其应用
例9-1 比较二重积分
的大小,其中区
域D 由x 轴、y 轴和直线x +y=1所围成.
解 在积分区域D 内有0≤x +y ≤1,因此(x +y)2 ≥ (x +y)3,故
由性质9-5 可得
二重积分及其应用
例 9-2 估 计 二 重 积 分
的 值, 其
中 区 域 D = {(x,y)x2 +y2 ≤4} .
例9-3 改变二次积分
的积分 次序.
解 题 设 二 次 积 分 的 积 分 区 域 是 X 型 区 域,D =
{(x,y)0≤x ≤1,0≤y ≤1-x} ,作 出 积 分 区 域 D, 如图9-6所示.
按新的次 序 确 定 积 分 区 域 D 为 Y 型 区 域,则 D =
{(x,y)|0≤y ≤1,0≤x ≤1-y},故有
第八节二重积分应用举例
第八节二重积分应用举例一、二重积分在几何上的应用二、二重积分在物理上的应用12一、二重积分在几何上的应用1. 平面图形的面积由二重积分的性质可知，当(,)1f x y =时，二重积分1Dd σσ=⎰⎰表示平面区域D的面积．3例1 求由抛物线2y x =和直线2x y -=所围成的平面图形的面积．解如图所示．由22x y x y ⎧=⎨-=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩42x y =⎧⎨=⎩故所给两条曲线围成的区域D 可以表示为：12y -≤≤22y x y≤≤+222 1y y Ddxdy dy dx +-==⎰⎰⎰⎰2219(2)2y y dy -=+-=⎰4例2 求由抛物线2y x=和直线2y x =所围成的平面图形的面积．解如图所示．由22y x y x⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩22x y =⎧⎨=⎩故所给两条曲线围成的区域D 可以表示为：02x ≤≤22x y x≤≤222 0xx Ddxdy dx dy ==⎰⎰⎰⎰2204(2)3x x dx =-=⎰5即曲顶柱体的体积xyz),(y x f z =D⎰⎰=Dd y x f V),(2. 空间立体的体积由二重积分的几何意义知，当(, )0f x y ≥时，二重积分(, )Df x y dxdy⎰⎰的值等于以D 为底，以(, )z f x y =为曲顶的曲顶柱体的体积．由此可知，可以利用二重积分计算空间立体的体积．6例3.xyzRRo 解利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为:dxdy x R V D⎰⎰-=2282222R x R x dy--⎰228()RR x dx =-⎰3316R=22xR z -=⎩⎨⎧≤≤-≤≤∈00:),(22R x x R y D y x 08Rdx =⎰222Ry x =+222R z x =+求由圆柱面222x y R +=222R z x =+所围立体的体积。
与7例4.求由抛物面22z x y =+z h =所围立体的体积。
二重积分的应用 (2)
二重积分的应用介绍二重积分是微积分中的一种重要工具，广泛应用于各个科学领域，尤其是物理学、工程学和经济学等领域。
它主要用于计算平面上某个区域内的面积、质量、重心、转动惯量等问题。
本文将介绍二重积分在不同领域的应用，并讨论其中的一些具体例子。
面积计算二重积分最基本的应用之一是计算平面上某个区域的面积。
假设我们要计算一个平面区域R的面积，可以通过以下公式进行计算：$$ \\iint_R dA $$其中，dA表示微小面积元素。
具体计算方法是将区域R划分为许多小的面积元素，对每个面积元素求和。
以直角坐标系为例，假设区域R的边界由曲线y=f(x)、y=g(x)和直线x=a、x=b所围成，那么可以将面积计算公式写为：$$ \\int_a^b\\int_{g(x)}^{f(x)}dy\\,dx $$例如，计算多边形区域的面积时，可以将其划分为若干个三角形区域，再对每个三角形区域进行面积计算，最后求和得到整个多边形的面积。
质量和重心除了计算面积，二重积分还常用于计算平面上某个区域的质量以及质心（重心）位置。
假设平面上某个区域R具有均匀密度ρ，要计算其质量M，可以通过以下公式计算：$$ M = \\iint_R \\rho\\,dA $$其中，ρ表示密度。
同样地，将区域R划分为小的面积元素，对每个面积元素的质量求和，即可得到整个区域R的质量。
对于质心的计算，我们可以分别计算区域R在x轴和y轴上的质量矩，然后用总质量除以总质量矩即可得到质心的位置。
在直角坐标系下，若区域R的质心位于(x_c, y_c)，那么有以下公式：$$ x_c = \\frac{1}{M}\\iint_R x\\rho\\,dA\\\\ y_c =\\frac{1}{M}\\iint_R y\\rho\\,dA $$这些公式可以帮助我们确定质心的位置，从而更好地理解和描述物体的物理特性。
转动惯量在物理学和工程学中，转动惯量是描述物体旋转惯性的重要物理量。
二重积分计算与应用
二重积分计算与应用在数学中，二重积分是一种用于计算二维平面上曲线下的面积和体积的工具。
它是微积分学的重要分支，具有广泛的应用。
本文将介绍二重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、二重积分的概念二重积分是对平面上的一块有界区域内的函数进行求和。
我们将二维平面分割成许多小矩形区域，并在每个小矩形区域内取一个点。
然后，将这些小矩形的面积相加，再将函数在该点的值与该小矩形的面积相乘，并对所有小矩形进行求和，即可得到二重积分的值。
二、二重积分的计算方法计算二重积分有两种主要的方法：定积分法和极坐标法。
1. 定积分法定积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。
它将被积函数转化为两个变量的函数，然后通过重复使用一元定积分的方法进行计算。
具体步骤如下：步骤一：确定积分区域。
通常使用直角坐标系下的矩形或多边形来表示。
步骤二：确定被积函数。
将被积函数表示成两个变量的函数。
步骤三：将被积函数简化。
根据积分区域的特点，合理地设定积分的上下限。
步骤四：依次进行一元定积分。
先对内层变量进行积分，再对外层变量进行积分。
2. 极坐标法当被积函数在极坐标系下具有一定的对称性时，使用极坐标法可以简化计算过程。
具体步骤如下：步骤一：确定积分区域。
在极坐标系下，通常使用极坐标方程来表示。
步骤二：确定被积函数。
将被积函数转化为极坐标系下的函数。
步骤三：将被积函数简化。
根据极坐标系的特性，将函数表示成极坐标下的形式。
步骤四：直接进行一元定积分。
根据区域的特点，选取适当的积分上下限进行计算。
三、二重积分的应用二重积分在实际问题中有广泛的应用，包括计算面积、计算质心、计算物体的质量等等。
1. 计算面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
通过将被积函数取为1，对给定的区域进行积分，即可得到该区域的面积。
2. 计算质心质心是物体的平衡点，是物体的几何中心。
二重积分可以用来计算物体的质心位置。
通过将被积函数取为物体的密度函数乘以相应的坐标值，对整个物体进行积分，即可得到物体的质心位置。
二重积分的计算
图 9-7
一、 在直角坐标系下计算二重积分
在区间a,b上任意取定一点x0，过x0作垂直于x轴的平面x=x 0与曲顶柱体相交，截面是一个以区间［φ1(x0),φ2(x0)］为底， 曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，因此，该截面的面积
由于x0的任意性，过区间a,b上任意一点x，且垂直于x轴的 平面与曲顶柱体相交得到的截面面积为
二、 在极坐标下计算二重积分
在平面解析几何中我们知道，平面上任意一点的极 坐标(r,θ)与它的直角坐标(x,y)的变换公式为
x=rcos θ，y=rsin θ, 其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π. 下面介绍在极坐标下二重积分的计算公式.
一、 在直角坐标系下计算二重积分
【例12】
一、 在直角坐标系下计算二重积分
(2)用曲线y=－x3将积分
域D分成D1和D2两部分(见图
9-17).显然D1关于y轴对称，
函数φ(x,y)
x是奇函数；
D2关于x轴对称，函数φ(x,y) 关于y是奇积分
二、 在极坐标下计算二重积分
二重积分的计算
二重积分的计算
第一节讨论了二重积分的概念，按照二重 积分的定义来计算二重积分对少数特别简单的情 况是可行的，但对一般的被积函数和积分区域来 说，这不是一种切实有效的方法.为此，我们首 先对曲顶柱体的体积进行分析，从而导出二重积 分的计算方法，即把二重积分化为两次定积分来 计算，这种方法称之为累次积分法.
一、 在直角坐标系下计算二重积分
【例4】
图 9-9
一、 在直角坐标系下计算二重积分
解法2如图9-10所示，也可把D看成是Y—型区域， 即D可用不等式1≤y≤2,y≤x≤2来表示.
图 9-10
二重积分的简单应用
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
例2 求两个圆柱面 x2 y2 R2 及 x2 z2 R2 所围
的立体在第一卦限部分的体积。
z
解 所求立体
可以看成
R
是一个曲
o
顶柱体， R
R
它的曲顶为 x
z R2 x2 ,
z
R
o
R
yx
Ry
y
R y R2 x2
它的底为
0 x R,
D
4a2 r 2 r drd
D
z
2a
o
2a
x
2a y
y
D
o
r 2a cos
2a x
y
V1 4a2 x2 y2 d
D
D
4a2 r 2 r drd
o
D
2 d 2a cos
0
0
4a2 r 2 r dr
r 2a cos
解 设第一卦限部分的面积为 A1 ， 则由对称性，所求的面积为
A 4A1,
曲面方程 z a2 x2 y2 , z
1
z x
2
z y
2
a
a
,
a2 x2 y2
o
a
x
ay
Dxy： x2 y2 ax ( x, y 0)
极坐标系下表示：
所求引力为
1 R2 a2
1 a
.
0,
0,
2Ga
1 R2 a2
1 a
.
9-2-二重积分的计算法
1
x
4
x
xyd
xyd
xyd
0 dx
xydy
x
1
dx xydy x2
D
D1
D2
1 y2 x
4 y2 x
0
x
2
dx
x
1
x
2
dx x2
0
4 1
x
x 2
(
x
2)2 2
dx
5
5 8
由此可见，这里用公式(1)来计算比较麻烦.
从例 2，例 3 可见，积分次序选择不同，二重积分计算
域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数.若先对 y 积
分，把 x暂定为常数，y 的变化范围由 1 到 2，然后再对 x从
0 到 1 积分，于是得
xy2dxdy
D
1
dx
2 xy2dy
01
1
x
0
y3 3
2
1
dx y
7 3
1
xdx
7
0
6
方法二 如图99，若先对 x积 2
分，后对 y积分，则得
从而有 D
f (x, y)d
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy
dx
(1)
或写成
f (x, y)d
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a
1 ( x)
(1')
这个公式表明，二重积分可以化为先对 y，后对 x 的
二次积分来计算.先对 y 积分时，应把 f (x, y)中的 x 看作常
表示（图9-5），其中1( y),2 ( y) 在区间c, d 上连续，这样的
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在数学的领域中，二重积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个科学领域。
本文将探讨二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的定义与计算方法二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分运算。
设有函数f(x, y) 定义在平面上的有界闭区域 D 上，记作：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示平面上一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数，dxdy 表示对 x, y 的积分。
二重积分可以通过以下两种常用方法进行计算：1. 直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示 x 轴与 y 轴所围成的区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用直角坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为两个一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域划分为若干个小矩形或小平行四边形；在每个小矩形或小平行四边形上取一点(xi, yj)；设Δxi 和Δyj 分别为小矩形或小平行四边形的宽度和高度；计算 f(xi, yj) 与Δxi Δyj 的乘积的和，即为所求的二重积分。
2. 极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示极坐标系下的一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用极坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域在极坐标系下表示为R ≤ r ≤ S, α ≤ θ ≤ β；将x = rcosθ，y = rsinθ 进行替换，使得函数 f(x, y) 转化为 F(r, θ)；计算F(r, θ) 与 r 的积分后再对θ 进行积分，即为所求的二重积分。
二、二重积分的应用1. 几何应用二重积分可用于计算平面图形的面积。
通过在直角坐标系或极坐标系下进行适当的变换，将图形转化为简单的几何图形（如矩形、圆、扇形等），然后进行二重积分的计算，便可得到所求图形的面积。
二重积分典型例题解析
二重积分典型例题解析二重积分是高等数学中一个比较重要的概念，它被广泛用于物理学，工程学和经济学等多个学科。
本文旨在通过对一些典型的二重积分例题的解析，给读者提供一个比较全面的理解二重积分的基础。
首先，要理解二重积分的概念，需要先了解一重积分。
在数学中，一重积分是指求取某一块区域的实际体积。
其公式表示为：$$int_y^{y_1}int_{x_1}^{x_2} f(x,y)dxdy$$其中，$f(x,y)$表示体积函数，$x_1$表示$x$坐标的下界，$x_2$表示$x$坐标的上界，$y_1$表示$y$坐标的上界，$y$表示$y$坐标的下界。
由于二重积分的体积是有维度的，因此它的结果是一个带单位的数量。
明确了一重积分的概念之后，接下来就是讨论二重积分的概念。
二重积分指的是通过把一重积分再次积分，来求取某个体积的实际值，它的数学公式如下：$$iint_{D}f(x,y)dydx$$其中，$D$表示积分区域。
接下来就是来讨论一组典型的二重积分例题。
例题一：求解下列积分：$$iint_{D}x^2+y^2dydx$$解：由于题目中没有给出积分区域，因此根据习惯可以默认积分区域为$[-a,a] times [-b,b]$。
因此，可以将公式改写为：$$iint_{[-a,a]times[-b,b]}x^2+y^2dydx$$将公式应用积分法则：$$int_{-a}^a int_{-b}^b (x^2 + y^2)dydx = int_{-a}^a left[x^2y+frac{1}{3}y^3right]_{-b}^b dx$$$$= int_{-a}^a left(2bx^2 + frac{2b^3}{3}right)dx$$$$= left[2bx^3 + frac{2b^3x}{3}right]_{-a}^a$$$$= 4ab^3$$因此，本题的积分结果为$4ab^3$。
例题二：求解积分：$$iint_{D}cos ydydx$$解：首先，根据习惯，将积分区域设置为$[-a,a] times [0,b]$。
二重积分几何的应用课件
VS
详细描述
二重积分在计算平面图形面积时，可以将 平面分成很多小的矩形或三角形，然后对 每个小区域进行积分，最后将这些积分结 果相加，得到整个图形的面积。这种方法 可以用于计算各种复杂图形的面积，如多 边形、曲线和曲面的面积。
计算立体的体积
总结词
二重积分可以用于计算立体的体积，通过将 立体分成许多小的长方体或四面体，然后对 每个小体积进行积分，最后求和得到总体积。
详细描述
二重积分在计算立体体积时，可以将立体分 成很多小的长方体或四面体，然后对每个小 体积进行积分，最后将这些积分结果相加， 得到整个立体的体积。这种方法可以用于计 算各种立体的体积，如圆柱体、圆锥体和球 体的体积。
计算平面曲线的长度
总结词
二重积分可以用于计算平面曲线的长度，通 过将曲线分成许多小的线段，然后对每个小 线段进行积分，最后求和得到总长度。
计算地球质量分布
通过对地球表面各点的重力加速度进行测量，结合地球半径和地球质量等参数，通过二 重积分可以反推出地球内部的质量分布情况。
计算物体的质心和转动惯量
计算质心
物体的质心是物体质量的几何中心。通过将物体的质量 分布进行二重积分，可以得到物体的质心位置。
计算转动惯量
转动惯量是描述物体转动惯性大小的物理量。通过将物 体的质量分布进行二重积分，可以得到物体的转动惯量。
计算效用函数的期望效用
总结词
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，通过二重积分可以计算不同投资组合的期望效用。
详细描述
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，它反映了投资者对风险的态度和承受能力。二重积分 可以用来计算不同投资组合的期望效用，即投资者在选择不同的投资组合时，预期能够获得的效用水平。通过二 重积分，可以将不同投资组合的概率分布和效用函数结合起来，得到期望效用的数值。
二重积分的应用案例和实践经验
二重积分的应用案例和实践经验二重积分作为高等数学中的一个重要概念，被广泛地应用于各个领域中。
其应用案例和实践经验不仅可以加深我们对二重积分的理解，更可以帮助我们更好地应用二重积分于实际问题的解决中。
下文将结合实际案例和个人实践经验，从多个方面探讨二重积分的应用案例和实践经验。
1. 计算面积二重积分最基本的应用就是计算平面图形的面积。
如图1所示，我们需要计算由y=1-x^2和y=0所围成的区域的面积。
此时我们可以利用二重积分的定义，将区域分割为若干个小矩形，然后对每个小矩形的面积进行累加。
$$\iint\limits_{D}d\sigma=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^2}dydx$$这里D表示被积区域，dσ表示面积微元，对y从0到1-x^2进行积分，对x从-1到1进行积分。
利用计算器求积分可得，该区域的面积为1/2。
2. 计算质量二重积分还可以应用于计算平面图形的质量。
如图2所示，我们需要计算由y=0.5x和y=6-x^2所围成的区域的质量，已知该区域的面密度为ρ=2x+3y。
此时我们可以根据平面图形的面积和面密度，计算出每个小矩形的质量，然后对每个小矩形的质量进行累加。
其计算公式为：$$\iint\limits_{D}\rho d\sigma=\int_{0}^{2}\int_{0.5x}^{6-x^2}(2x+3y)dydx$$这里D表示被积区域，dσ表示面积微元，ρ表示面密度，对y 从0.5x到6-x^2进行积分，对x从0到2进行积分。
利用计算器求积分可得，该区域的质量为377.125。
3. 计算重心利用二重积分还可以计算平面图形的重心。
如图3所示，我们需要计算由x=0，x=3，y=0，y=x^2所围成的区域的重心，已知该区域的密度为1。
此时我们可以根据平面图形的面积和密度，计算出每个小矩形的质心坐标，然后对每个小矩形的质心坐标进行加权平均。
其计算公式为：$$\bar{x}=\frac{\iint\limits_{D}xd\sigma}{\iint\limits_{D}d\sigma },\bar{y}=\frac{\iint\limits_{D}yd\sigma}{\iint\limits_{D}d\sigma}$$这里D表示被积区域，dσ表示面积微元，对y从0到x^2进行积分，对x从0到3进行积分。
二重积分在生活中的实际应用举例
二重积分在生活中的实际应用举例下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!二重积分在生活中的实际应用举例引言二重积分是微积分中的重要概念，它在数学领域中有着广泛的应用，但其在现实生活中的实际应用也同样重要。
高等数学 上、下册9_3 二重积分的应用举例
4πR
R
R2
r
2
0
4πR 2
例4
求 球 面 x2 y2 z2 a2 含 在 柱 面
x2 y2 ax内的那部分面积.
解 由对称性知，所求面积 S 是它在第一卦限内 面积的 4 倍（图 9-23），在第一卦限内球面方程为
z a2 x2 y2
由
z
4
4
标计算，得
π
xdxdy 2 2 d 0 D
4cos r 2 cos dr 2
3cos
3
π
4 cos
2 0
cos
r 3 3 cos
d
= 2 (4 2 32 )
π 2
co s 4
d
=
37π
3
0
8
37π
故
x
8 7π
37 14
4
其中 D是由 y ax x2 及 y 0围成的闭区域（图 9-23 （ b ）） , 区 域 D 用 极 坐 标 表 示 为 0 π , 0 a cos ，由公式（6）得
2
z
y
racos
O D
a x
(a)
y O
图9-23
a
ax
2
(b)
V 1
第三节 二重积分应用举例
一 、体积
我们在本章第一节中已经知道， 若zf(x,y)在有界闭区
域D上连续，且f(x,y)0，则二重积分f(x,y)d
D
在几何上解释为以zf(x,y)为曲顶柱体的体积. 例 1 求 两 个 底 圆 半 径 相 等 的 直 交 圆 柱 所 围 立 体 的 体 积 .
精品文档-高等数学(上册)(张涛-第9章
第9章 多元函数积分学
f (x, y)d 等于这些曲顶柱体体积的代数和.这就是二重
D
积分的几何意义. 9.1.2 二重积分的性质
二重积分与定积分有着类似的性质，列举如下： 设函数f(x，y)、g(x，y)在闭区域D上的二重积分存在， 则 性质9-1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外
b
b 2(x)
V A(x)d x f (x, y)d yd x
这个体积也就是所a 求的二重积a分的积1(x分) 值，从 而有等式
b 2(x)
f (x, y)d f (x, y)d yd x
D
a 1( x)
第9章 多元函数积分学
上式右端的积分就称为先对y、后对x的二次积分.也就是说, 先把x看成常数，把二元函数z=f(x，y)只作为y的一元函数， 对y计算从φ1(x)到φ2(x)的定积分；然后再把计算结果对x计 算从a到b的定积分. 因此，把这个先对y、后对x的二次积分 也常记为
图9-5
第9章 多元函数积分学
注意 Y—型区域的特点为：穿过D内部且平行于x轴的直 线与D的边界相交不多于两点.
按照X—型区域的计算方法，可得公式
d 2(y)
f (x, y)d f (x, y)d xd y
c 1( y)
D
d
2 ( y)
d y f (x, y)d x
b
2 ( x)
f (x, y)d d x f (x, y)d y
a
1( x)
这就是化二重D积分为先对y、后对x的二次积分的公式.
在上述讨论中，我们假定f(x，y)≥0，可以证明，公式
的成立并不受此限制.
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求 球 面 x2 y2 z2 a2 含 在 柱 面
x2 y2 ax 内的那部分面积.
解 由对称性知，所求面积 S 是它在第一卦限内 面积的 4 倍（图 9-23），在第一卦限内球面方程为
z a2 x2 y2
由
z
x
,
x a2 x2 y2
z
y
，
y a2 x2 y2
故得
S 4 D
第三节 二重积分应用举例
一 、体积
我们在本章第一节中已经知道，若z f (x, y) 在有界闭区
域D上连续，且 f (x, y) 0 ，则二重积分 f (x, y)d
D
在几何上解释为以z f (x, y) 为曲顶柱体的体积.
例 1 求两个底圆半径相等的直交圆柱所围立体的体积.
z
Or r x (a)
D ： x2 y2 R2 , x 0, y 0，
又 z x
表面积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
, z
R2 x2 y2 y
y
，于是所求的
R2 x2 y2
A 8
D
1
z x
2
z y
2
d=
8
D
R
dxdy
R2 x2 y2
π
R
8 2 d
0
0
R R2
r2
rdr
4πR
R2
r2
R 0
4πR2
例4
1
z x
2
z y
2
dxdy
a
=4
dxdy
D a2 x2 y2
利用极坐标，得
π
acos
S = 4 2 dq
0
0
ardr a2 - r2
=
4a
π 2 0
-
a
2
-
r
2
acos
d
0
π
4aa a cos 2 2a2 (π 2). 0
三、质量与质心
由力学知道，n个质点的质心坐标为
(a 0)内的那部分立体的体积.
解 根据所给立体的对称性，只要计算在第一卦 限（图 9-23（a））内的体积V1，则V 4V1
V1 a2 x2 y2 d ， D
其中D 是由 y ax x2 及 y 0围成的闭区域（图 9-23 （ b ）） , 区 域 D 用 极 坐 标 表 示 为 0 π , 0 a cos ，由公式（6）得
0 y r2 x2 （图 9-22（b））, 它的曲顶为z r2 x2 ，
于是
V1
r2 x2 d
r
dx
r2 x2
r 2 x2 dy r
0
0
0
D
r 0
(r 2
x2 )dx
r
2
x
x3 3
r
0
2 3
r3
故
V
8V1
16 3
r3
r2 x2
r2 x2 y dx 0
* 例 2 求 球 体 x2 y2 z2 a2 含 在 柱 面 x2 y2 ax
2
z
y
O D
a x
(a)
y O
图9-23
r a cos
a
ax
2
(b)
V1
a2 x2 y2 d
π
a cos
2 d
a2 r2 rdr
0
0
D
a3
π 2
(1 sin3 )d
a3
(π
2)
30
32 3
故
V
4V1
4a3 3
(π 2
2) 3
*二、 曲面的面积
在第六章讨论定积分的作用时，将许多求总量的问 题归结为用定积分的元素法来建立所求量 U 的定积分表 达式，现在我们把元素法推广到二重积分应用中.设所求 量 U 对区域 D 具有可加性，且在区域 D 中任取一个小
设有一平面薄片，它位于xOy 面内区域 D 上，在
点(x, y) 处的面密度为区域D 上的连续函数（x，y），现
求它的质量和质心坐标.
在区域 D 上任取一个小区域d (d 同时也表示此
小区域的面积），在 dσ上任取一点(x, y) .由于 dσ很小，
（x, y）又在 D 上连续，所以相应于 dσ的部分薄片的质
切平面为（图 9-24）.以小区域 d 的边界曲线为准线，
平行于 z 轴的直线作为母线作柱面，此柱面在曲面 S 上截 下一小块曲面，由于 d 很小，故可用在切平面上截下的 一小块面积 dA 作为 A 的近似值，有
dA d cos
z
s
M dA
x
O
dd
p
y
图 9 -24 其中 r 为点 M 处的法线 z 轴的夹角（即切平面与xOy
A
Dyz
1
x y
2
x z
2
dydz
，
或 A Dzx
1
y z
y2
y x
2
dzdx
（2） （3）
例 3 求球面 x2 y2 z2 R2的面积. 解 由对称性，球面在第一卦限部分的面积的 8 倍即 为所求的表面积 A.
在第一卦限内球面方程为 z R2 x2 y2 ，投影区域
是曲面 S 在xOy 面上的投影区域，函数 f (x, y) 在Dxy 上有 一阶连续偏导数.曲面 S 的面积 A.
由元素法，在区域Dxy 内任取一个小区域 d ，同时
d 也表示这个小区域的面积 .在 d 内任取一点P(x, y) ，
对应 地在曲面 S 上有一点M x, y, f (x, y)，设点 M 处的
n
n
x
My m
mi xi
i 1 n
,y
mi
Mx m
mi yi
i 1 n
,
mi
i 1
i 1
其中 mi第 i 个质点的质量，
n
n
x
My m
mi xi
i 1 n
mi
,y
Mx m
mi yi
i 1 n
mi
,分别是质点系对 x 轴
i 1
i 1
n
和 y 轴的静力矩， m mi 是质点系的总质量. i 1
面的夹角）.因为
cos r
1
1
f
2 x
(
x,
y)
f
2 y
(
x,
y)
故
dA
1
f
2 x
(
x,
y)
f
2 y
(
x,
y)d
这就是曲面面积元素，于是有
A
1
f
2 x
(
x,
y)
f
2 y
(
x,
y)d
，
D
（1）
故
A
Dxy
1
z x
2
z y
2
dxdy
.
若曲面的方程为x ( y, z) 或y (z, x) ，同理可得
y 图9-22
y
D1
y r2 x2
Ox r x (b)
解 设圆柱底圆半径为 r，两个圆柱面方程分别为 x2 y2 r 2及 x2 z2 r 2 .由立体对坐标面的对称性，所求体
积是它位于第一卦限那部分（图 9-22（a））的体积 V1 的 8
倍 . 立 体 在 第 一 卦 限 部 分 的 积 分 区 域 D1 为 0 x r ，
区 域 d 时 ， 相 应 的 部 分 量U 可 以 近 似 地 表 示 为
f (x, y)d ，称dU f (x, y)d 为所求量 U 的积分元素，
以它作为被积表达式，在有界闭区域 D 上，积分
U f (x, y)d
D
就是所求量的积分表达式.
例如，设有界曲面 S 由显示方程z f (x, y) 给出，Dxy