中考数学专题三图形的性质
2020中考数学复习图形的性质基础练习题3(附答案) (1)
2020中考数学复习图形的性质基础练习题3（附答案）1．如图，在六边形ABCDEF 中，A B E F α∠+∠+∠+∠=，CP DP 、分别平分BCD CDE ∠∠、，则P ∠的度数为（ ）A ．11802α-oB ．11802α-oC ．12α D ．13602α-o 2．如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线.OD 若26AOB ∠=o ，则BOD ∠的补角的度数为( )A ．38oB ．52oC ．128oD ．154o3．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =6，DE =3，则△BCE 的面积等于（）A ．6B ．8C ．9D ．184．以长为8cm 、6cm 、10cm 、4cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，是某住宅小区平面图，点B 是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路.从居民楼点A 到“菜鸟驿站”点B 的最短路径是（）A ．A C G EB ----B ．AC E B --- C ．AD GE B ---- D ．AF E B ---6．如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′B ′C ′，若∠A ＝45°，∠B ′＝100°，则∠BCA ′的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°7．下列图形中不可能是正多边形的是（ ）A ．三角形B ．正方形C ．四边形D ．梯形8．将正方形ABCD 与等腰直角三角形EFG 如图摆放，若点M 、N 刚好是AD 的三等分点，下列结论正确的是（ ）①△AMH ≌△NME ；②12AM BF =；③GH ⊥EF ；④S △EMN ：S △EFG ＝1：16A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④9．如图，矩形ABCD 的外接圆O 与水平地面有唯一交点A ，圆O 的半径为4，且»BC＝2»AB ．若在没有滑动的情况下，将圆O 向右滚动，使得O 点向右移动了98π，则此时该圆与地面交点在（ ）上．A ．»AB B ．»BC C ．»CD D ．»DA10．如图，已知ΔABC 和ΔDCE 均是等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接FG ，则下列结论： ①AE=BD ；②AG =BF ；③FG ∥BE ；④CF=CG.其中正确的结论为____________.11．指出命题“对顶角相等”的题设和结论，题设_____，结论_____．12．在半径为7cm 的圆中，若弦AB ＝7cm ，则弦AB 所对的圆周角的度数是_____ 13．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，其中4,8AB BC ==，则AE 的长度为__________．14．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，E 为线段AB 的中点，D 点是射线AC 上的一个动点，将△ADE 沿线段DE 翻折，得到△A′DE ，当A′D ⊥AB 时，则线段AD 的长为_____．15．如图，已知AD ∥BC ,∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠ADE ＝________；16．如图，已知：等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，E 为边AB 上任意一点，以CE 为斜边作等腰Rt △CDE ，连接AD ，下列说法：①∠BCE ＝∠AED ；3中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）17．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，2BC =，3CD =，1DA =，且90ABC ∠=︒，则BAD ∠=______度.18．如图，点E 在正方形ABCD 内，△ABE 是等边三角形，点P 是对角线AC 上的一个动点，若AC ＝4，则PD +PE 的最小值为_____．19．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，BC 为半圆O 的直径，将△ABC 沿射线CB 方向平移得到△A 1B 1C 1．当A 1B 1与半圆O 相切于点D 时，平移的距离的长为_____．20．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是CB 的中点，如果AB=10cm ．求：MN 的长．21．计算：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.22．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，（1）请在图中画出等腰△ABC ，使AB ＝AC 5BC 2；（2）在△ABC 中，AB 边上的高为 ．23．如图，点C在射线OA上，射线CE平分∠ACD，射线OF平分∠COB，并与射线CD交于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠COB+∠OCD＝180°，求证：∠ACE＝∠COF．24．已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证：（1）AE=DB；（2）△CMN为等边三角形.25．如图，在6×10的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫作格点，△ABC的三个顶点和点D，E，F，G，H，K均在格点上，现以D，E，F，G，H，K中的三个点为顶点画三角形．(1)在图①中画出一个三角形与△ABC全等，如△DEG；(2)在图②中画出一个三角形与△ABC面积相等但不全等，如△HFG.26．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB 并延长交直线AD于点E．（1）如图，求∠QEP的度数；（2）如图，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．27．四边形ABCD中，AB=BC，∠B=∠C=90°，P是BC边上一点，AP⊥PD，E是AB 边上一点，∠BPE=∠BAP．（1）如图1，若AE=PE，直接写出CPPB=______；（2）如图2，求证：AP=PD＋PE；（3）如图3，当AE=BP时，连BD，则PEBD=______，并说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②，由①和②即可求出结果. 【详解】在六边形 A BCDEF 中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝(6-2)×180°＝720°①， Q CP 、DP 分別平分∠BCD 、∠CDE ，∴∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，Q ∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，∴2(∠P+∠PCD+∠PDE)＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②， ①-②得:∠A+∠B+∠E+∠F-2∠P ＝360°，即α-2∠P ＝360°，∴∠P=12α-180°， 故选:A.【点睛】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理;熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键.2．C【解析】【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【详解】由题意可得：26AOB AOD ∠=∠=o ，262652BOD o o o ∴∠=+=，BOD ∴∠的补角的度数18052128=-=o o o ，故选C ．【点睛】本题考查的是余角与补角，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．3．C【解析】【分析】作EH ⊥BC 于H ，根据角平分线的性质得到EH=DE=3，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作EH ⊥BC 于H ，∵BE 平分∠ABC ，CD 是AB 边上的高线，EH ⊥BC ，∴EH=DE=3，∴△BCE 的面积=12×BC×EH=9， 故选C ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.4．C【解析】【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】分成四种情况：①4cm ，6cm ，8cm ；②4cm ，6cm ，10cm ；③6cm ，8cm ，10cm ；④4cm ，8cm，10cm，∵4+6=10，∴②不能够成三角形，故只能画出3个三角形．故选C．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.5．D【解析】【分析】根据两点之间线段最短即可判断.【详解】从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是A-E-B，故选D.【点睛】此题主要考查点之间的距离，解题的关键是熟知两点之间线段最短.6．A【解析】【分析】利用三角形内角和定理以及旋转不变性解决问题即可．【详解】由题意∠B＝∠B′＝100°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣100°﹣45°＝35°，∵∠ACA′＝45°，∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝45°﹣35°＝10°，故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】根据正多边形的性质依次判定各项后即可解答.【详解】选项A，三角形中的等边三角形是正三角形；选项B，正方形是正四边形；选项C，四边形中的正方形是正四边形；选项D，梯形的上底与下底不相等所以梯形不可能是正多边形.故选D.【点睛】本题考查了正多边形的性质，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键.8．A【解析】【分析】利用三角形全等和根据题目设未知数，列等式解答即可.【详解】解：设AM＝x，∵点M、N刚好是AD的三等分点，∴AM＝MN＝ND＝x，则AD＝AB＝BC＝3x，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠E＝∠F＝45°，∠EGF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BGN＝∠ABF＝90°，∴四边形ABGN是矩形，∴∠AHM＝∠BHF＝∠AMH＝∠NME＝45°，∴△AMH≌△NMH（ASA），故①正确；∵∠AHM＝∠AMH＝45°，∴AH＝AM＝x，则BH＝AB﹣AH＝2x，又Rt△BHF中∠F＝45°，∴BF＝BH＝2x，AMBF＝12，故②正确；∵四边形ABGN是矩形，∴BG＝AN＝AM＋MN＝2x，∴BF＝BG＝2x，∵AB⊥FG，∴△HFG是等腰三角形，∴∠FHB＝∠GHB＝45°，∴∠FHG＝90°，即GH⊥EF，故③正确；∵∠EGF＝90°、∠F＝45°，∴EG＝FG＝BF＋BG＝4x，则S△EFG＝12•EG•FG＝12•4x•4x＝8x2，又S△EMN＝12•EN•MN＝12•x•x＝12x2，∴S△EMN：S△EFG＝1：16，故④正确；故选A．【点睛】本题主要考察三角形全等证明的综合运用，掌握相关性质是解题关键. 9．B【解析】【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数，进而得出与地面相切的弧．【详解】∵圆O半径为4，∴圆的周长为：2π×r=8π，∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，∴98π÷8π=12…2π，即圆滚动12周后，又向右滚动了2π，∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点，»BC=2»AB，∴»AB=16×8π=43π＜2π，»AB+»BC=12×8π=4π＞2π，∴此时»BC与地面相切，∴此时该圆与地面交点在»BC上，故选B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键．10．①②③④【解析】【分析】首先由SAS判定△BCD≌△ACE，即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，则④正确，可得∠FCE=60°，可得△CFG是等边三角形，则可得∠CFG=∠FCB，则FG∥BE，可得③正确．【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）∴CF=CG（④正确），且∠ACD=60°∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③正确）正确的有①②③④．【点睛】本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，应用数形结合思想．11．两个角是对顶角，这两个角相等．【解析】【分析】根据命题的定义即可解答.【详解】对顶角相等．题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等；故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．【点睛】本题考查命题，熟悉命题的设定过程是解题关键.12．30°或150°【解析】【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°，由此解答即可．【详解】如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，因为AB=OA=OB=7cm，所以，∠AOB=60°，根据圆周角定理知，∠C12∠AOB=30°，根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°﹣∠C=150°，所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理及等边三角形的判定与性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．13．5【解析】【分析】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x,利用勾股定理求解即可.【详解】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x∵矩形ABCD∴∠B=90°∴42+（8-x）2=x2∴x=5故AE=5.【点睛】本题考查的是折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键.14．133或394．【解析】【分析】①延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，然后根据勾股定理算出AB，推断出△ADH∽△ABC，即可解答此题②同①的解题思路一样【详解】解：分两种情况：①如图1所示：设AD＝x，延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，∴∠AHD＝∠C＝90°，由勾股定理得：AB13，∵∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴DH AH ADBC AC AB==，即51213DH AH x==，解得：DH＝513x，AH＝1213x，∵E是AB的中点，∴AE＝12AB＝132，∴HE＝AE﹣AH＝132﹣1213x，由折叠的性质得：A'D＝AD＝x，A'E＝AE＝132，∴sin∠A＝sin∠A'＝1312521313`132xHEA E-==,解得：x＝133；②如图2所示：设AD＝A'D＝x，∵A'D⊥AB，∴∠A'HE＝90°，同①得：A'E＝AE＝132，DH＝513x，∴A'H＝A'D﹣DH＝x﹣513＝813x，∴cos∠A＝cos∠A'＝8`121313`132xA HA E==，解得：x＝394；综上所述，AD的长为133或394．故答案为133或394．【点睛】此题考查了勾股定理，三角形相似，关键在于做辅助线15．60°【解析】【分析】直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ADB=∠BDE，进而得出答案．【详解】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠BDE=12∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠ADE的度数为：60°．故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．16．①③④【解析】【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．【详解】∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB=AC=22，BC=2，CD=DE=22CE；∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；①∵∠B=∠DEC=45°，∴180°-∠BEC-45°=180°-∠BEC-45°；即∠AEC=∠BCE；故①正确；③∵CD AC EC BC=，∴CD CE AC BC=，由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC=∠B=45°；∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故③正确；②由③知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故②错误；④△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时，AD=1；故S梯形ABCD=12（1+2）×1=32，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．135【解析】【分析】根据勾股定理可得AC的长度，再利用勾股定理逆定理可证明∠DAC=90°，进而可得∠BAD 的度数．【详解】∵AB=2，BC=2，∠ABC=90°，∴=，∠BAC=45°，∵12+（）2=32，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=90°+45°=135°，故答案是：135．【点睛】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．【解析】首先求得正方形的边长，从而可得到BE的长，然后连接BP则PD＝BP，则PD＋PE＝PE ＋BP，故当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值．【详解】解：如图所示：连接BP．∵在正方形ABCD中，AC＝4，∴AB＝22AC＝22．∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝22．∵ABCD为正方形，∴PB＝PD，∴PE＋PD＝PB＋PE．∵PB＋PE≥BE，∴当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值，最小值＝BE＝22.故答案为22．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，找出PD＋PE取得最小值的条件是解题的关键．19．4 3【解析】【分析】连结OG，如图，根据勾股定理得到BC＝4，根据平移的性质得到CC1＝BB1，A1C1＝AC＝3，A1B1＝AB＝5，∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥A1B1，根据相似三角形的性质即可得到结论．连结OG ，如图， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，∴BC ＝22AB AC -＝4，∵Rt △ABC 沿射线CB 方向平移，当A 1B 1与半圆O 相切于点D ，得△A 1B 1C 1，∴CC 1＝BB 1，A 1C 1＝AC ＝3，A 1B 1＝AB ＝5，∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°，∵A 1B 1与半圆O 相切于点D ，∴OD ⊥A 1B 1，∵BC ＝4，线段BC 为半圆O 的直径，∴OB ＝OC ＝2，∵∠GEO ＝∠DEF ，∴Rt △B 1OD ∽Rt △B 1A 1C 1，∴11111OB OD A B A C =，即1253OB =，解得OB 1＝103， ∴BB 1＝OB 1﹣OB ＝103﹣2＝43， 故答案为43．【点睛】本题考查了切线的性质，平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.20．5.【解析】【分析】根据中点的性质可得出MC=12AC ，CN=12CB ，根据图即可得出MN 的长度． 【详解】解：因为，M是AC的中点，N是CB的中点所以，MC=12AC，CN=12CB所以，MN=MC+CN=12AC+12CB=12(AC+CB) =12×10=5【点睛】本题主要考查了利用中点性质转化线段之间的倍分关系，长度带单位的一定注意不要漏掉长度的单位，比较简单．21．(1)170°50′29″.(2)229°5′14″.【解析】【分析】（1）先做乘除法，度与度，分与分，秒与秒对应相乘除，最后做加法；（2）先做乘法，然后做加法，度与度，分与分，秒与秒对应相加，秒的结果满60，则化为分，分的结果若满60，则转化为度.【详解】解：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；50°24′×3=150°72′98°12′25″÷5=19.6°2.4′5″=19°38′29″50°24′×3+98°12′25″÷5=150°72′+19°38″29″=170°50′29″；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.25°30′16″×4=100°120′64″=102°1′4″100°23′42″＋26°40′28″＋102°1′4″=228°64′74″= 229°5′14″【点睛】此类题是进行度、分、秒的加法、减法．乘除法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．22．（1）详见解析；（2.【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用三角形的面积，构建方程求解即可. 【详解】（1）△ABC如图所示．（2）设CD⊥AB，∵S△ABC=12•AB•CD=4-12×2×1-12×2×1-12×1×1，∴35，35．【点睛】本题考查作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法构建方程解决问题．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据角平分线的定义得到∠ACE=12∠ACD，∠COF=12∠COB．根据同角的补角相等得到∠ACE=∠COF．【详解】解：（1）补全图形，如图所示：（2）证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，∴∠ACE＝12∠ACD，∠COF＝12∠COB．∵点C在射线OA上，∴∠ACD+∠OCD＝180°．∵∠COB+∠OCD＝180°，∴∠ACD＝∠COB．∴∠ACE＝∠COF．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义的运用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．24．证明略【解析】【分析】证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．∴AE＝DB．(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN(ASA)．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【详解】请在此输入详解！25．(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）观察图形，根据△ABC的特征，利用全等三角形的判定方法即可得出符合题意的答案；（2）结合图形，根据三角形面积求法即可得出答案．【详解】(1)如图①所示，△DEF(或△KHE，△KHD)即为所求．(2)如图②所示，△KFH(或△KHG，△KFG)即为所求．【点睛】本题考查了格点的特征、全等三角形的判定方法及三角形的面积求法，熟练运用格点的特征是解决问题的关键.26．（1）60°，理由见解析；（2）BQ＝26﹣22．【解析】【分析】（1）先证明出△CQB≌△CPA，即可得出∠QEP=60°；（2）作CH⊥AD于H，如图2，证明△ACP≌△BCQ，则AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，得出AH=3，CH=33，即可得出PH=CH=33，即可得出结论．【详解】（1）如图1，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，则△CQB和△CPA中，PC QCPCQ ACB AC BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CQB≌△CPA（SAS），∴∠CQB＝∠CPA，又因为△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP ＝60°．（2）作CH⊥AD于H，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，CA CB ACP BCQ CP CQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACP ≌△BCQ （SAS ）， ∴AP ＝BQ ，∵∠DAC ＝135°，∠ACP ＝15°，∴∠APC ＝30°，∠PCB ＝45°，∴△ACH 为等腰直角三角形，∴AH ＝CH ＝2AC ＝2×4＝22 ，在Rt △PHC 中，PH ＝3CH ＝26，∴PA ＝PH ﹣AH ＝26﹣22，∴BQ ＝26﹣22．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．27．（131；（2）证明见解析；（3）22． 【解析】【分析】（1）首先证明∠P AB =30°，设PB =a ，可得AB =BC 3=，求出PC 即可解决问题；（2）如图2中，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明PE =PM ，再证明△ABP ≌△MND （ASA ）即可解决问题；（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明DN =PB =AE ，EB =BM =CN ，设AE =PB =DN =x ，EB =BM =CN =y ，求出PE ，BD 即可解决问题．【详解】（1）如图1．∵AE =PE ，∴∠EAP =∠EP A ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠P AE =∠EP A ．∵∠B =90°，∴∠P AB +∠APB =90°，∴3∠P AE =90°，∴∠P AE =30°．设PB =a ，则AB =BC 3=a ，∴PC =BC ﹣PB 3=a ﹣a ，∴33PC a a PB a-==-1． 故答案为：31-．（2）如图2，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．∵AP ⊥DM ，∴∠APM =∠PBM =90°．∵∠P AE +∠APB =90°，∠APB +∠BPM =90°，∴∠P AE =∠BPM ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠BPM ．∵∠EPB +∠PEB =90°，∠BPM +∠PMB =90°，∴∠PEB =∠PMB ，∴PE =PM ．∵∠CBM =∠BCN =∠N =90°，∴四边形BCNM 是矩形，∴BC =MN =AB ，BC ∥MN ，∴∠DMN =∠BPM =∠P AB ．∵∠ABP =∠N =90°，∴△ABP ≌△MND （ASA ），∴P A =DM ．∵DM =DP +PM =DP +PE ，∴P A =DP +PE ．（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．由（2）可知：PE =PM ，△ABP ≌△MND ，四边形BCNM 是矩形，∴PB =DN ，设PB =DN =x ，∴AE =PB =DN =x ．∵PE =PM ，PB ⊥EM ，∴EB =BM ．∵BM =CN ，∴BE =BM =CN ，设BE =BM =CN =y ，则CD =x ﹣y ，BC =AB =x +y ．在Rt △PBE 中，PE 22x y =+在Rt △DCB 中，BD 2222()()22x y x y x y =-++=+∴2222222x y PE BD x y +==+ 故答案为：22． 【点睛】本题考查了四边形综合题、直角梯形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。
中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图,综合题专训及答案
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，综合题专训1、(2017赤峰.中考真卷) 2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．2、(2019绥化.中考真卷) 按要求解答下列各题:（1）如图①,求作一点P,使点P到∠ABC的两边的距离相等,且在△ABC的边AC上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)（2）如图②,B、C表示两个港口,港口C在港口B的正东方向上海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上,且在港口C 的北偏西45°方向上测得AB=40海里,求小岛A与港口C之间的距离.(结果可保留根号)3、(2017准格尔旗.中考模拟) 综合题（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出：BE与CD的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE与CD有什么数量关系？说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．4、(2019安徽.中考真卷) 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB.（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD.（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）5、(2019霞山.中考模拟) 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°（1）作边AB的垂直平分线MN，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连结BD，求∠DBC的度数．6、(2018惠州.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：（1）作△ABC的角平分线AE；（2）根据你所画的图形求∠BAE的度数．7、(2018广州.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠ABC＝80º，∠BAC＝40º，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E ．（1）尺规作图作出AB的垂直平分线DE，并连结BD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：△ABC∽△BDC．8、(2018东莞.中考模拟) 如图，已知△ABC中，D为AB的中点.（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长.9、(2020靖江.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．10、(2017番禺.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠CAD的平分线．（1）用尺规作图：作∠AEC的平分线EN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）设EN与AF交于点M，判断△AEM的形状，并说明理由．11、(2019北流.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AP，若AP平分∠CAB，求∠B的度数.12、(2019丹阳.中考模拟) 如图1，点C是线段AB上一点，AC＝ AB，BC为⊙O的直径.（1）在图1直径BC上方的圆弧上找一点P，使得PA＝PB；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）连接PA，求证：PA是⊙O的切线；（3）在（1）的条件下，连接PC、PB，∠PAB的平分线分别交PC、PB于点D、E.求的值.13、(2019高港.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°.（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，①用尺规作出点A到CD所在直线的距离；②求出该距离.14、(2020绍兴.中考模拟) 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（-4，4）、C （-6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心D的坐标为；（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）.15、(2020东城.中考模拟) 下面是“作一个角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：，使得．作法：如图，①作射线；②在射线取一点O，以O为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点C；③分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E；④作射线．则即为所求作的角．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：，．．（）（填推理的依据）备考2021中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等腰三角形的性质,综合题专训及答案
的半径为 ，以 为圆心，以
的长为半径画弧，再以线
段
的中点P为圆心，以
的长为半径画弧，两弧交于点A，连接 ， ， 交
于点B，过点B作
的平行线 交
于点C．
（1） 求证： 是
的切线；
（2） 若
，
，
，求阴影部分的面积．
11、
(2020怀化.中考真卷) 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且
（1） 求证：点D是AB的中点； （2） 如图2，过点D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 综 合 题 答 案
1.答案：
2.答案：
3.答案： 4.答案：
5.答案：
6.答案：
．
（1） 求证： 是⊙O的切线． （2） 分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：
． 12、
(2020烟台.中考真卷) 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头 研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通
（1） 求该抛物线的一般式； （2） 若点Q为该抛物线上第一象限内一动点，且点Q在对称轴DE的右侧，求四边形DEBQ面积的最大值及此时点Q的
坐标；
（3） 若点P为对称轴DE上异于D，E的动点，过点D作直线PB的垂线交直线PB于点F，交x轴于点G，当△PDG为等 腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
7、 (2020拱墅.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB<AC<BC，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点D， 连接AD过点D作DE⊥AD，交AC于点E．
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_圆心角、弧、弦的关系,单选题专训及答案
A. B. C. D. 28、 (2020长春.中考真卷) 如图，
是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
，则
的大小为（ ）
A. B.
C.
D.
29、
(2020茂名.中考模拟) 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，
，点E是点D关于AB的对称点，M
是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结
A . 40° B . 60° C . 80° D . 100° 18、 (2014贵港.中考真卷) 如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A . 51° B . 56° C . 68° D . 78° 19、 (2017资中.中考模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线 于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（ ）
A . 8 B . 10 C . 11 D . 12 11、 (2018青岛.中考真卷) 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是
的中点，则∠D的度数是（ ）
A . 70° B . 55° C . 35.5° D . 35° 12、
(2018咸宁.中考真卷) 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
1.答 案 ： A 2.答 案 ： D 3.答 案 ： B 4.答 案 ： B 5.答 案 ： C 6.答 案 ： A 7.答 案 ： C 8.答 案 ： D 9.答 案 ： A 10.答 案 ： A 11.答 案 ： D 12.答 案 ： B 13.答 案 ： D 14.答 案 ： A 15.答 案 ： C 16.答 案 ： D 17.答 案 ： A 18.答 案 ： A 19.答 案 ： C 20.答 案 ： A 21.答 案 ： C 22.答案：
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图,填空题专训及答案
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，填空题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，填空题专训1、(2016北京.中考真卷) 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是________2、(2019本溪.中考真卷) 如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为________.3、(2018葫芦岛.中考真卷) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E 、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=________．4、(2017通州.中考模拟) 阅读下面材料：尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段AB．求作：线段CD，使CD=AB．在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是________．5、(2017东城.中考模拟) 下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（i）分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（ii）作直线CD交AB于点O；（iii）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是________．6、(2017于洪.中考模拟) 在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图，分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=6，BC=4，则△ADE的周长为_______ _．7、(2019朝阳.中考模拟) 在数学课上，老师提出如下问题：己知：直线l和直线外的一点P.求作：过点P作直线于点Q.己知：直线l和直线外的一点P.求作：过点P作直线于点Q.小华的作法如下：如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；第二步：连接PA、PB，作的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；第二步：连接PA、PB，作的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.老师说：“小华的作法正确”.请回答：小华第二步作图的依据是________.8、(2017农安.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，按如下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，③连接BD，若AC=8，则BD的长为________．9、(2019新昌.中考模拟) 如图，在中，AD平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若，，，求BD的长是________．10、(2017浙江.中考模拟) 如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形,解答题专训及答案
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形，解答题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形，解答题专训1、(2012淮安.中考真卷) 如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10 ，AB=20．求∠A的度数．2、(2018秦皇岛.中考模拟) 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A 处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？3、(2017吉林.中考模拟) 如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）4、(2017江阴.中考模拟) 如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？5、(2017西湖.中考模拟) 小高发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=12米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．（结果保留根号）6、(2017宁波.中考真卷) 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．7、(2017瑶海.中考模拟) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．8、(2018威海.中考真卷) 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．9、(2017洛宁.中考模拟) 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻事故，立即出发了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以50海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）10、(2017黄州.中考模拟) 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）11、(2016广东.中考真卷) 如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CD B的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．12、(2017上思.中考模拟) 如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．13、(2018天水.中考真卷) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90º，∠CED=45º，∠DCE=30º，DE= ，BE=2 ．求CD的长和四边形ABCD的面积．14、(2020青羊.中考模拟) 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
中考数学几何模型专题专题三—三角形
专题三三角形模型8 “8字”形模型展现基础模型怎么用?1.找模型两条相交的线段构成含对顶角的两个三角形,简称“有交点，想8字”2.用模型“8字”型的实质是利用三角形内角和定理进行角度转化来解题∠结论分析结论1:∠A+∠B=∠C+∠D证明:AC与BD相交于点0 , 连接AB,CD,在∠ABO中,∠.A+∠B+∠.AOB= 180°在OCD0中，∠C+∠D+∠COD= 180°因为∠AOB=∠COD(对顶角相等),所以∠A+∠B=∠C+∠D.拓展延伸角度和相等,是解决角度转化的重要思想。
“8字”型虽简单,但往往在几何综合题中推导角度时用到.∠模型拓展典例小试例1如图,线段AB , CD,EF两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）出现多个模型,分离模型,逐个计算A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,三角形的内角和例2如图,A,B,C,D,E是同一平面上的点,F是AB上一点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数是( )试着转化到一个四边形中,利用内角和求解A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,四边形的内角和思路点拨“8字”型能得到角度和的关系,在题目未给出具体角度的情况下,考虑将所求角度和转化到同一个多边形中,再利用多边形内角和求解.实战演练1.如图,AB∠BD,AC∠CD,∠A=30°,则∠.D的度数为____.2.一副三角板如图摆放,其中一块三角板的直角边EF落在另.一块三角板的斜边AC上,边BC与DF交于点0,则∠BOD的度数是____。
模型9 “燕尾”型模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型1 2.用模型通过“燕尾”型把“凹”的角转换成三个内角之和结论分析结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C证法1:如解图,延长BD交AC于点E.∠∠BEC是∠ABE的外角∠∠BEC=∠A+∠B又∠∠BDC是∠CDE的外角，∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C证法2:如解图，连接AD并延长，则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4，∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4=∠A+∠B+∠C.∠∠BDC=∠A+∠B+∠C.结论2:AB+AC>BD+CD证明:如解图,延长BD交AC于点E，则AB+AE>BD+DE , DE+CE>CD，∠AC=AE+CE，∠AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.巧学巧记简记:“凹角等于凸角之和”.拓展延伸也可以连接BC,使用三角形内角和定理来证明,同学们可以试试哦.:AOBAOCS S BD =:AOB COBS S AE =:BOC AOCSSBF =怎么用? 1．找模型遇到共边的两个三角形的面积相关问题,考虑用“燕尾”型基础模型2 2.用模型通过模型将面积问题转化为边的问题 满分技法燕尾相邻的两个三角形共底不等高,常根据三角形的面积公式“12×底×高”可推导“共底不等高”的三角形的面积比即为应高的比. 结论分析 结论3:∠::;AOBAOCSSBD CD =证明:如解图,分别过点B ,C 作 BH , CG 垂直于AD 交于点H , G ,在∠ABC 中,∠11,,22AOBAOCSAO BH S AO CG ==∠11:::,22AOB AOCSSAO BH AO CG BH CG ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在∠BHD 和∠CGD 中，∠BHD =∠CGD =90°，∠BDH =∠CDG ， ∠∠BHD ∠∠CGD ，∠BH BDCG CD =， ∠::.AOBAOCSSBD CD =典例小试例1如图，已知点D ,E 分别在∠ABC 的边AB ,AC 上，将∠A 沿DE 折叠 （点拨：折叠产生相等的角）使点A 落在点F 的位置，已知∠A =50°（点拨：∠F =50°），∠1=130°，则∠2的度数为（ ） A .130° B .120° C .150° D .140°考什么?三角形外角的性质,折叠的性质思路点拨 折叠产生三角形全等，即ADE FDE ∆≅∆例2(2021河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE 与BD 的交点为C ,且∠A ,∠B ,∠E 保持不变.为了舒适,需调整∠D 的大小（点拨：先分析哪个角的大小随着D 点变化）,使∠EFD =110°，则图中∠D 应(填“增加”或“减少”)____度.考什么?三角形的内角和,对顶角相等实战实演1．将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为 （） A .75° B .105° C .135° D .165°2.如图,是一块不规则的纸片,∠ABC =∠DEF = 80°,则∠A +∠C +∠D +∠F 的度数为( )A . 80°B . 160°C .240°D . 360°3.如图,∠A = 45°, ∠BDC = 135°，∠ABE =13∠ABD ，∠ACE =13∠ACD ,则∠BEC 的度数是（ ）A . 30°B .45°C .75°D .90°4．如图,矩形ABCD 中,点E ,F 分别是边AB ,BC 的中点,连接AF ,CE 交于点G ,若矩形ABCD 的面积为3,则四边形AGCD 的面积为________5.如图,在∠ABC 中,点 D ,E 分别在BC ,AC 边上,AD 与BE 交于点F ,若CD =3BD ,EC =4AE ,四边形CDFE 的面积是10,则∠ABC 的面积为________模型10 “风筝”型模型展现基础模型怎么用?1.找模型三角形折叠或者在角内部的角容易产生“风筝”型2.用模型三角形外角性质是解决问题的关键结论分析结论1:∠DBF+∠ECF= ∠A+∠F证明:如解图,连接AF，∠∠DBF是∠ABF的外角，∠∠DBF=∠BAF+∠BF A.∠∠FCE是∠ACF的外角，∠∠FCE=∠CAF+∠CF A，∠∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BF A+∠CAF+∠CF A=∠BAC+∠BFC，即∠DBF+∠ECF= ∠BAC+∠BFC.怎么用?1．找模型遇到与四边形(含对角线)相关的面积问题,考虑用“风筝”型2.用模型共边三角形面积问题可转化为线段问题例1如图,已知点D,E分别在∠ABC的边AB,AC上,将∠A沿DE 折叠(注：折叠性质产生相等的角,且有“风筝”型),使点A落在BC上,对应点为F,已知∠B=50°,∠C=60°,则么∠1+∠2的度数为（）A.100°B. 120°C. 140°D. 135°例2如图,∠ABC中,AB=BC,(等腰三角形)延长AB,AC至点D,E,点F是∠DAE内部一点,连接BF,CF.若∠ABC= 40°，∠F= 50°则∠DBF+∠ECF(寻找与求解有关的角度关系)的度数为（）A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°实战实演1.如图,在平行四边形ABCD中,∠B= 50°,点E是BC上一点,将∠ABE沿边AE翻折得到∠AFE,延长BA至点M.若∠FEC=70°,则∠MAF的度数为（）A. 20° B．30° C. 40° D. 50°2.如图,在等边∠ABC中,点D 、E 分别是AB, BC边上一点,把∠BDE沿DE 折叠,使点B落在点B'处, DB', EB'分别交边AC于点F、G ,若∠ADF=70°,则∠AGE的度数为.3.如图,在四边形ABCD中,点E, F分别是AD, BC上的点,将四边形ABCD 沿直线EF折叠,若∠A =130°, ∠B =110°,则∠1+∠2的度数为.4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC , BD相交于点E ,∠ADE , ∠ABE ,∠CDE 的面积分别为2,3,4,则∠BCE的面积为, AE : CE的值为.5.如图,平行四边形ABCD 的对角线交于点O,点E , F分别在BC , CD上,连接EF交OC于点G ,连接OE , OF , S∠OEF= S∠ODF =2S∠CEF, S∠BOE =6,则∠OCF的面积为；∠GCE的面为.模型11 角平分线模型模型展现基础模型结论分析结论: P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO 证明:OP 平分∠MON , ∠∠AOP = ∠BOP ,在∠AOP 和∠BOP 中,90AOP BOPOAP OBP OPOP ∠＝∠∠＝∠＝＝∠∠AOP ∠∠BOP ,∠P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO .怎么用? 1.找模型遇到图形中含角平分线,考虑用角平分线模型 2.用模型一般直接用角平分线的性质,或者构造等腰三角形或全等三角形解决线段和角度问题模型拓展满分技法角平分线性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.碰到角平分线,常需要截相等线段来构造三角形全等或者作平行线产生等腰三角形来解决问题.例1(2021青海)如图,在四边形ABCD中, ∠A =90°, AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC（点拨:考虑角平分线的性质）,则∠BCD 的面积为A .8B .7.5 C.15 D .无法确定考什么?角平分线的性质,三角形的面积计算公式思路点拨已知角平分线+边的垂直(直角),考虑作垂直,应用角平分线上的点到角两边的距离相等.例2(2019青岛)如图,BD是∠ ABC的角平分线, AE∠BD（点拨：角平分线的垂线产生全等），垂足为 F .若∠ABC =35°, ∠C =50°,则∠CDE 的度数为A .35°B .40°C .45°D .50°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和,全等三角形的判定与性质,三角形的内外角关系,等腰三角形的性质思路点拨已知角平分线+角平分线的垂线,构造出等腰三角形.例3如图,已知∠ABC的平分线交AC于点E ,过点E作DE∠BC（点拨：过角平分线上的点作平行线产生等腰三角形及角相等）,交AB于点D.若∠A =70°, ∠AED =50°, BD =2,则BE长为.考什么?角平分线的性质,平行线的性质,三角形的内角和,等腰三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值思路点拨已知角平分线+平行线,构造出等腰三角形.实战演练1.如图,已知三角形ABC 中, ∠ABC =60°, BD 是∠ABC的平分线, CE ∠AB于点E ,交BD于点F,若EF =4,则FC 的长为.2.如图,在∠ABC中, BD平分∠ABC,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,已知∠A=70° ,则∠CED的度数为______.3.如图,在∠ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,CF平分∠ACB，交DE于点F,若AC=10,BC=12,则DF的长为________.4.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的点,连接EF,AE,AF,若AE,AF恰好平分∠BEF,∠DFE.(1)则∠EAF的度数为__________;(2)求证:四边形ABCD是正方形;(3)若BE=EC=3,则DF的长为________.模型12 双角平分线模型模型展现基础模型111怎么用?1. 找模型三角形中,遇到两角平分线，考虑用双角平分线模型2.用模型通过三角形的内角和,内外角关系及角平分线的性质，建立两角之间的数量关系结论分析结论1:∠D=90°+12∠A证明:∠ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB∠∠DBC=12∠ABC,∠DCB=12∠ACB∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠ABC+12∠ACB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)= 180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A拓展延伸结论2的证明同学们可参考结论1和结论3,利用三角形的内外角关系进行证明.结论3：∠D =90°-12∠A证明:∠BD平分∠EBC,CD平分∠FCB，∠∠DBC=12∠EBC,∠DCB=12∠FCB，∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠EBC +12∠FCB)= 180°-12(∠ACB+∠A+∠ABC+∠A)= 180°-12( 180°+∠A )= 90°-12∠A.模型拓展333111满分技法若将角平分线改为三等分角线,同样根据三角形的内角和及角度的倍数关系求解.典例小试例1 如图,在∠ABC中,∠ B=40°,CD∠AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E（结合图形可知是双内角平分线型），则∠E的度数为（)A.105°B.110°C.140°D.145°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和万唯中考几何模型例2如图,在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°,则∠P=（）A. 10°B.15° C．30° D.40°考什么?角平分线的性质,三角形外角的性质,三角形的内角和思路点拨结合图形可知两角平分线分别为内角、外角平分线,根据“一内一外”角平分线结论求解即可.实战实演1.如图,在∠ABC中, ∠C= 110°，AE平分∠DAB,延长EA,交∠ABC的平分线于点F,则∠F= 。
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外…………○…装…………○……学__姓名：___________班级：_内…………○…装…………○……绝密★启用前
中考数学专题三 图形的性质
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．如图①，在ABE ∆和ACE ∆中，AD BE ⊥于点D ，180AEB AEC ∠+∠=︒，若
1AD =，BE CE +=，则ABE ∆与ACE ∆面积的和是（ ）.
A B C ．D ．
2．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )
A ．4
B ．8
C ．6
D ．10
3．（2016（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以
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○
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…
…
装
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…
○
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订
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线
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…
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装
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○
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…
…
…
订
…
…
线
…
…
…
…
FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
4．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 .
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为.
6．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积
为 .
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…订……………线…………○……_____考号：_________…订……………线…………○……
7．如图，AD 、''A D 分别是ABC ∆、'''A B C ∆边BC 、''B C 上的高，且
'''ABC A B C S S ∆∆=，''AD A D =.要使'''ABC A B C ∆≅∆，请你补充条件：______.（只
需填写一个你认为适当的条件即可）
8．四边形ABCD 为边长等于2的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH （四边形EFGH 称为原四边形ABCD 的中点四边形），再顺次连结四边形EFGH 的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个．．．中点四边形的边长等于______. 三、解答题
9．在平面直角坐标系中，已知点()4,0A 、()6,0B -.
（1）求线段BA ；
（2）若点C 是y 轴上的一个动点，当45BCA ∠=︒时，求点C 的坐标.
10．如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点．
（1）求证：四边形AEDF 是菱形；
（2）如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S ．
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
11．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D ，E 在直线BC 上运动．设BD=x ，CE=y ．
（l ）如果∠BAC=300
，∠DAE=l050
，试确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．
12．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上的一点，且2A DCB ∠=∠.E 是BC 上的一点，以EC 为直径的
O 经过点D .
（1）求证：AB 是
O 的切线；
（2）若CD 的弦心距为1，BE EO =.求BD 的长.
13．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，且AC =CD ．
（1）求证：OC ∥BD ；
（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状. 14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”请你解答这个问题.
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……订…………○……………○……_______考号：___________
……订…………○……………○……
15．请你根据下面要求完成： 探索：
在如图①至③中，设ABC ∆的面积为a .
（1）如图①，延长ABC ∆的边BC 到点D ，使CD BC =，连结DA .若ACD ∆的面积为1S ，则1
S =_____（用含a 的代数式表示）；
（2）如图②，延长ABC ∆的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE CA =，连结DE .若DEC ∆的面积为2S ，则2S =_____（用含a 的代数式表示），并写出理由；
（3）在图②的基础上延长AB 到点F ，使BF
AB =，
连结FD ，FE ，得到DEF ∆（如图③）.若阴影部分的面积为3S ，则3S =_____（用含a 的代数式表示）. 发现：
像上面那样，将ABC ∆各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF ∆（如图③），此时，我们称ABC ∆向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的DEF ∆的面积是原来ABC ∆面积的_____倍. 应用：
去年在面积为210m 的ABC ∆空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把ABC ∆向外进行两次扩展，第一次由ABC ∆扩展成DEF ∆，第二次由DEF ∆扩展成MGH ∆（如图④）.求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少2m ？
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…………订…………○……线…………○……订※※线※※内※※答※※题※※
…………订…………○……线…………○……
16．（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC=PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO.
（1）求证：△CDP ≌△POB ； （2）填空：
① 若AB=4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.
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参考答案
1．B 2．B 3．D 4．75° 5
6
12
π
. 7．''BD B D =或''AC A C =或'''BAD B A D ∠=∠. 8．
18
. 9．（1）10AB =；（2）符合条件的点C 坐标为()0,12或()0,12-.
10．（1）证明见解析；（2）13
4
． 11．（1）x y 1=；（2）当α、β满足关系式0902
α
β-=时，函数关系式1y=x 成立，理由
见解析．
12．（1）见解析；（2
）BD =13．（1）证明见解析（2）菱形 14．直径CD 的长为26. 15．（1）1S a =；（2）2
2S a =；理由见解析；（3）36S a =.发现：7；应用：经两次扩展
的区域（即阴影部分）面积共为()2
480m .
16．（1）参见解析；（2）①4；②60.。