中考数学专题三图形的性质

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2020中考数学复习图形的性质基础练习题3(附答案) (1)

2020中考数学复习图形的性质基础练习题3（附答案）1．如图，在六边形ABCDEF 中，A B E F α∠+∠+∠+∠=，CP DP 、分别平分BCD CDE ∠∠、，则P ∠的度数为（）A ．11802α-oB ．11802α-oC ．12α D ．13602α-o 2．如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线.OD 若26AOB ∠=o ，则BOD ∠的补角的度数为( )A ．38oB ．52oC ．128oD ．154o3．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =6，DE =3，则△BCE 的面积等于（）A ．6B ．8C ．9D ．184．以长为8cm 、6cm 、10cm 、4cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，是某住宅小区平面图，点B 是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路.从居民楼点A 到“菜鸟驿站”点B 的最短路径是（）A ．A C G EB ----B ．AC E B --- C ．AD GE B ---- D ．AF E B ---6．如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′B ′C ′，若∠A ＝45°，∠B ′＝100°，则∠BCA ′的度数是（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°7．下列图形中不可能是正多边形的是（）A ．三角形B ．正方形C ．四边形D ．梯形8．将正方形ABCD 与等腰直角三角形EFG 如图摆放，若点M 、N 刚好是AD 的三等分点，下列结论正确的是（）①△AMH ≌△NME ；②12AM BF =；③GH ⊥EF ；④S △EMN ：S △EFG ＝1：16A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④9．如图，矩形ABCD 的外接圆O 与水平地面有唯一交点A ，圆O 的半径为4，且»BC＝2»AB ．若在没有滑动的情况下，将圆O 向右滚动，使得O 点向右移动了98π，则此时该圆与地面交点在（）上．A ．»AB B ．»BC C ．»CD D ．»DA10．如图，已知ΔABC 和ΔDCE 均是等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接FG ，则下列结论： ①AE=BD ；②AG =BF ；③FG ∥BE ；④CF=CG.其中正确的结论为____________.11．指出命题“对顶角相等”的题设和结论，题设_____，结论_____．12．在半径为7cm 的圆中，若弦AB ＝7cm ，则弦AB 所对的圆周角的度数是_____ 13．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，其中4,8AB BC ==，则AE 的长度为__________．14．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，E 为线段AB 的中点，D 点是射线AC 上的一个动点，将△ADE 沿线段DE 翻折，得到△A′DE ，当A′D ⊥AB 时，则线段AD 的长为_____．15．如图，已知AD ∥BC ,∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠ADE ＝________；16．如图，已知：等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，E 为边AB 上任意一点，以CE 为斜边作等腰Rt △CDE ，连接AD ，下列说法：①∠BCE ＝∠AED ；3中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）17．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，2BC =，3CD =，1DA =，且90ABC ∠=︒，则BAD ∠=______度.18．如图，点E 在正方形ABCD 内，△ABE 是等边三角形，点P 是对角线AC 上的一个动点，若AC ＝4，则PD +PE 的最小值为_____．19．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，BC 为半圆O 的直径，将△ABC 沿射线CB 方向平移得到△A 1B 1C 1．当A 1B 1与半圆O 相切于点D 时，平移的距离的长为_____．20．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是CB 的中点，如果AB=10cm ．求：MN 的长．21．计算：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.22．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，（1）请在图中画出等腰△ABC ，使AB ＝AC 5BC 2；（2）在△ABC 中，AB 边上的高为．23．如图，点C在射线OA上，射线CE平分∠ACD，射线OF平分∠COB，并与射线CD交于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠COB+∠OCD＝180°，求证：∠ACE＝∠COF．24．已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证：（1）AE=DB；（2）△CMN为等边三角形.25．如图，在6×10的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫作格点，△ABC的三个顶点和点D，E，F，G，H，K均在格点上，现以D，E，F，G，H，K中的三个点为顶点画三角形．(1)在图①中画出一个三角形与△ABC全等，如△DEG；(2)在图②中画出一个三角形与△ABC面积相等但不全等，如△HFG.26．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB 并延长交直线AD于点E．（1）如图，求∠QEP的度数；（2）如图，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．27．四边形ABCD中，AB=BC，∠B=∠C=90°，P是BC边上一点，AP⊥PD，E是AB 边上一点，∠BPE=∠BAP．（1）如图1，若AE=PE，直接写出CPPB=______；（2）如图2，求证：AP=PD＋PE；（3）如图3，当AE=BP时，连BD，则PEBD=______，并说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②，由①和②即可求出结果. 【详解】在六边形 A BCDEF 中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝(6-2)×180°＝720°①， Q CP 、DP 分別平分∠BCD 、∠CDE ，∴∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，Q ∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，∴2(∠P+∠PCD+∠PDE)＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②， ①-②得:∠A+∠B+∠E+∠F-2∠P ＝360°，即α-2∠P ＝360°，∴∠P=12α-180°，故选:A.【点睛】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理;熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键.2．C【解析】【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【详解】由题意可得：26AOB AOD ∠=∠=o ，262652BOD o o o ∴∠=+=，BOD ∴∠的补角的度数18052128=-=o o o ，故选C ．【点睛】本题考查的是余角与补角，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．3．C【解析】【分析】作EH ⊥BC 于H ，根据角平分线的性质得到EH=DE=3，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作EH ⊥BC 于H ，∵BE 平分∠ABC ，CD 是AB 边上的高线，EH ⊥BC ，∴EH=DE=3，∴△BCE 的面积=12×BC×EH=9，故选C ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.4．C【解析】【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】分成四种情况：①4cm ，6cm ，8cm ；②4cm ，6cm ，10cm ；③6cm ，8cm ，10cm ；④4cm ，8cm，10cm，∵4+6=10，∴②不能够成三角形，故只能画出3个三角形．故选C．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.5．D【解析】【分析】根据两点之间线段最短即可判断.【详解】从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是A-E-B，故选D.【点睛】此题主要考查点之间的距离，解题的关键是熟知两点之间线段最短.6．A【解析】【分析】利用三角形内角和定理以及旋转不变性解决问题即可．【详解】由题意∠B＝∠B′＝100°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣100°﹣45°＝35°，∵∠ACA′＝45°，∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝45°﹣35°＝10°，故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】根据正多边形的性质依次判定各项后即可解答.【详解】选项A，三角形中的等边三角形是正三角形；选项B，正方形是正四边形；选项C，四边形中的正方形是正四边形；选项D，梯形的上底与下底不相等所以梯形不可能是正多边形.故选D.【点睛】本题考查了正多边形的性质，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键.8．A【解析】【分析】利用三角形全等和根据题目设未知数，列等式解答即可.【详解】解：设AM＝x，∵点M、N刚好是AD的三等分点，∴AM＝MN＝ND＝x，则AD＝AB＝BC＝3x，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠E＝∠F＝45°，∠EGF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BGN＝∠ABF＝90°，∴四边形ABGN是矩形，∴∠AHM＝∠BHF＝∠AMH＝∠NME＝45°，∴△AMH≌△NMH（ASA），故①正确；∵∠AHM＝∠AMH＝45°，∴AH＝AM＝x，则BH＝AB﹣AH＝2x，又Rt△BHF中∠F＝45°，∴BF＝BH＝2x，AMBF＝12，故②正确；∵四边形ABGN是矩形，∴BG＝AN＝AM＋MN＝2x，∴BF＝BG＝2x，∵AB⊥FG，∴△HFG是等腰三角形，∴∠FHB＝∠GHB＝45°，∴∠FHG＝90°，即GH⊥EF，故③正确；∵∠EGF＝90°、∠F＝45°，∴EG＝FG＝BF＋BG＝4x，则S△EFG＝12•EG•FG＝12•4x•4x＝8x2，又S△EMN＝12•EN•MN＝12•x•x＝12x2，∴S△EMN：S△EFG＝1：16，故④正确；故选A．【点睛】本题主要考察三角形全等证明的综合运用，掌握相关性质是解题关键. 9．B【解析】【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数，进而得出与地面相切的弧．【详解】∵圆O半径为4，∴圆的周长为：2π×r=8π，∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，∴98π÷8π=12…2π，即圆滚动12周后，又向右滚动了2π，∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点，»BC=2»AB，∴»AB=16×8π=43π＜2π，»AB+»BC=12×8π=4π＞2π，∴此时»BC与地面相切，∴此时该圆与地面交点在»BC上，故选B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键．10．①②③④【解析】【分析】首先由SAS判定△BCD≌△ACE，即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，则④正确，可得∠FCE=60°，可得△CFG是等边三角形，则可得∠CFG=∠FCB，则FG∥BE，可得③正确．【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）∴CF=CG（④正确），且∠ACD=60°∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③正确）正确的有①②③④．【点睛】本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，应用数形结合思想．11．两个角是对顶角，这两个角相等．【解析】【分析】根据命题的定义即可解答.【详解】对顶角相等．题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等；故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．【点睛】本题考查命题，熟悉命题的设定过程是解题关键.12．30°或150°【解析】【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°，由此解答即可．【详解】如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，因为AB=OA=OB=7cm，所以，∠AOB=60°，根据圆周角定理知，∠C12∠AOB=30°，根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°﹣∠C=150°，所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理及等边三角形的判定与性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．13．5【解析】【分析】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x,利用勾股定理求解即可.【详解】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x∵矩形ABCD∴∠B=90°∴42+（8-x）2=x2∴x=5故AE=5.【点睛】本题考查的是折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键.14．133或394．【解析】【分析】①延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，然后根据勾股定理算出AB，推断出△ADH∽△ABC，即可解答此题②同①的解题思路一样【详解】解：分两种情况：①如图1所示：设AD＝x，延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，∴∠AHD＝∠C＝90°，由勾股定理得：AB13，∵∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴DH AH ADBC AC AB==，即51213DH AH x==，解得：DH＝513x，AH＝1213x，∵E是AB的中点，∴AE＝12AB＝132，∴HE＝AE﹣AH＝132﹣1213x，由折叠的性质得：A'D＝AD＝x，A'E＝AE＝132，∴sin∠A＝sin∠A'＝1312521313`132xHEA E-==,解得：x＝133；②如图2所示：设AD＝A'D＝x，∵A'D⊥AB，∴∠A'HE＝90°，同①得：A'E＝AE＝132，DH＝513x，∴A'H＝A'D﹣DH＝x﹣513＝813x，∴cos∠A＝cos∠A'＝8`121313`132xA HA E==，解得：x＝394；综上所述，AD的长为133或394．故答案为133或394．【点睛】此题考查了勾股定理，三角形相似，关键在于做辅助线15．60°【解析】【分析】直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ADB=∠BDE，进而得出答案．【详解】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠BDE=12∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠ADE的度数为：60°．故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．16．①③④【解析】【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．【详解】∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB=AC=22，BC=2，CD=DE=22CE；∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；①∵∠B=∠DEC=45°，∴180°-∠BEC-45°=180°-∠BEC-45°；即∠AEC=∠BCE；故①正确；③∵CD AC EC BC=，∴CD CE AC BC=，由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC=∠B=45°；∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故③正确；②由③知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故②错误；④△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时，AD=1；故S梯形ABCD=12（1+2）×1=32，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．135【解析】【分析】根据勾股定理可得AC的长度，再利用勾股定理逆定理可证明∠DAC=90°，进而可得∠BAD 的度数．【详解】∵AB=2，BC=2，∠ABC=90°，∴=，∠BAC=45°，∵12+（）2=32，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=90°+45°=135°，故答案是：135．【点睛】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．【解析】首先求得正方形的边长，从而可得到BE的长，然后连接BP则PD＝BP，则PD＋PE＝PE ＋BP，故当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值．【详解】解：如图所示：连接BP．∵在正方形ABCD中，AC＝4，∴AB＝22AC＝22．∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝22．∵ABCD为正方形，∴PB＝PD，∴PE＋PD＝PB＋PE．∵PB＋PE≥BE，∴当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值，最小值＝BE＝22.故答案为22．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，找出PD＋PE取得最小值的条件是解题的关键．19．4 3【解析】【分析】连结OG，如图，根据勾股定理得到BC＝4，根据平移的性质得到CC1＝BB1，A1C1＝AC＝3，A1B1＝AB＝5，∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥A1B1，根据相似三角形的性质即可得到结论．连结OG ，如图， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，∴BC ＝22AB AC -＝4，∵Rt △ABC 沿射线CB 方向平移，当A 1B 1与半圆O 相切于点D ，得△A 1B 1C 1，∴CC 1＝BB 1，A 1C 1＝AC ＝3，A 1B 1＝AB ＝5，∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°，∵A 1B 1与半圆O 相切于点D ，∴OD ⊥A 1B 1，∵BC ＝4，线段BC 为半圆O 的直径，∴OB ＝OC ＝2，∵∠GEO ＝∠DEF ，∴Rt △B 1OD ∽Rt △B 1A 1C 1，∴11111OB OD A B A C =，即1253OB =，解得OB 1＝103， ∴BB 1＝OB 1﹣OB ＝103﹣2＝43，故答案为43．【点睛】本题考查了切线的性质，平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.20．5.【解析】【分析】根据中点的性质可得出MC=12AC ，CN=12CB ，根据图即可得出MN 的长度．【详解】解：因为，M是AC的中点，N是CB的中点所以，MC=12AC，CN=12CB所以，MN=MC+CN=12AC+12CB=12(AC+CB) =12×10=5【点睛】本题主要考查了利用中点性质转化线段之间的倍分关系，长度带单位的一定注意不要漏掉长度的单位，比较简单．21．(1)170°50′29″.(2)229°5′14″.【解析】【分析】（1）先做乘除法，度与度，分与分，秒与秒对应相乘除，最后做加法；（2）先做乘法，然后做加法，度与度，分与分，秒与秒对应相加，秒的结果满60，则化为分，分的结果若满60，则转化为度.【详解】解：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；50°24′×3=150°72′98°12′25″÷5=19.6°2.4′5″=19°38′29″50°24′×3+98°12′25″÷5=150°72′+19°38″29″=170°50′29″；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.25°30′16″×4=100°120′64″=102°1′4″100°23′42″＋26°40′28″＋102°1′4″=228°64′74″= 229°5′14″【点睛】此类题是进行度、分、秒的加法、减法．乘除法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．22．（1）详见解析；（2.【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用三角形的面积，构建方程求解即可. 【详解】（1）△ABC如图所示．（2）设CD⊥AB，∵S△ABC=12•AB•CD=4-12×2×1-12×2×1-12×1×1，∴35，35．【点睛】本题考查作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法构建方程解决问题．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据角平分线的定义得到∠ACE=12∠ACD，∠COF=12∠COB．根据同角的补角相等得到∠ACE=∠COF．【详解】解：（1）补全图形，如图所示：（2）证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，∴∠ACE＝12∠ACD，∠COF＝12∠COB．∵点C在射线OA上，∴∠ACD+∠OCD＝180°．∵∠COB+∠OCD＝180°，∴∠ACD＝∠COB．∴∠ACE＝∠COF．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义的运用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．24．证明略【解析】【分析】证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．∴AE＝DB．(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN(ASA)．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【详解】请在此输入详解！25．(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）观察图形，根据△ABC的特征，利用全等三角形的判定方法即可得出符合题意的答案；（2）结合图形，根据三角形面积求法即可得出答案．【详解】(1)如图①所示，△DEF(或△KHE，△KHD)即为所求．(2)如图②所示，△KFH(或△KHG，△KFG)即为所求．【点睛】本题考查了格点的特征、全等三角形的判定方法及三角形的面积求法，熟练运用格点的特征是解决问题的关键.26．（1）60°，理由见解析；（2）BQ＝26﹣22．【解析】【分析】（1）先证明出△CQB≌△CPA，即可得出∠QEP=60°；（2）作CH⊥AD于H，如图2，证明△ACP≌△BCQ，则AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，得出AH=3，CH=33，即可得出PH=CH=33，即可得出结论．【详解】（1）如图1，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，则△CQB和△CPA中，PC QCPCQ ACB AC BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CQB≌△CPA（SAS），∴∠CQB＝∠CPA，又因为△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP ＝60°．（2）作CH⊥AD于H，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，CA CB ACP BCQ CP CQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACP ≌△BCQ （SAS ）， ∴AP ＝BQ ，∵∠DAC ＝135°，∠ACP ＝15°，∴∠APC ＝30°，∠PCB ＝45°，∴△ACH 为等腰直角三角形，∴AH ＝CH ＝2AC ＝2×4＝22 ，在Rt △PHC 中，PH ＝3CH ＝26，∴PA ＝PH ﹣AH ＝26﹣22，∴BQ ＝26﹣22．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．27．（131；（2）证明见解析；（3）22．【解析】【分析】（1）首先证明∠P AB =30°，设PB =a ，可得AB =BC 3=，求出PC 即可解决问题；（2）如图2中，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明PE =PM ，再证明△ABP ≌△MND （ASA ）即可解决问题；（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明DN =PB =AE ，EB =BM =CN ，设AE =PB =DN =x ，EB =BM =CN =y ，求出PE ，BD 即可解决问题．【详解】（1）如图1．∵AE =PE ，∴∠EAP =∠EP A ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠P AE =∠EP A ．∵∠B =90°，∴∠P AB +∠APB =90°，∴3∠P AE =90°，∴∠P AE =30°．设PB =a ，则AB =BC 3=a ，∴PC =BC ﹣PB 3=a ﹣a ，∴33PC a a PB a-==-1．故答案为：31-．（2）如图2，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．∵AP ⊥DM ，∴∠APM =∠PBM =90°．∵∠P AE +∠APB =90°，∠APB +∠BPM =90°，∴∠P AE =∠BPM ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠BPM ．∵∠EPB +∠PEB =90°，∠BPM +∠PMB =90°，∴∠PEB =∠PMB ，∴PE =PM ．∵∠CBM =∠BCN =∠N =90°，∴四边形BCNM 是矩形，∴BC =MN =AB ，BC ∥MN ，∴∠DMN =∠BPM =∠P AB ．∵∠ABP =∠N =90°，∴△ABP ≌△MND （ASA ），∴P A =DM ．∵DM =DP +PM =DP +PE ，∴P A =DP +PE ．（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．由（2）可知：PE =PM ，△ABP ≌△MND ，四边形BCNM 是矩形，∴PB =DN ，设PB =DN =x ，∴AE =PB =DN =x ．∵PE =PM ，PB ⊥EM ，∴EB =BM ．∵BM =CN ，∴BE =BM =CN ，设BE =BM =CN =y ，则CD =x ﹣y ，BC =AB =x +y ．在Rt △PBE 中，PE 22x y =+在Rt △DCB 中，BD 2222()()22x y x y x y =-++=+∴2222222x y PE BD x y +==+ 故答案为：22．【点睛】本题考查了四边形综合题、直角梯形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

中考数学考点专题复习三角形与全等三角形

剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图,综合题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，综合题专训1、(2017赤峰.中考真卷) 2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．2、(2019绥化.中考真卷) 按要求解答下列各题:（1）如图①,求作一点P,使点P到∠ABC的两边的距离相等,且在△ABC的边AC上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)（2）如图②,B、C表示两个港口,港口C在港口B的正东方向上海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上,且在港口C 的北偏西45°方向上测得AB=40海里,求小岛A与港口C之间的距离.(结果可保留根号)3、(2017准格尔旗.中考模拟) 综合题（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并写出：BE与CD的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE与CD有什么数量关系？说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．4、(2019安徽.中考真卷) 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB.（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD.（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）5、(2019霞山.中考模拟) 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°（1）作边AB的垂直平分线MN，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连结BD，求∠DBC的度数．6、(2018惠州.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：（1）作△ABC的角平分线AE；（2）根据你所画的图形求∠BAE的度数．7、(2018广州.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠ABC＝80º，∠BAC＝40º，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E ．（1）尺规作图作出AB的垂直平分线DE，并连结BD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：△ABC∽△BDC．8、(2018东莞.中考模拟) 如图，已知△ABC中，D为AB的中点.（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长.9、(2020靖江.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．10、(2017番禺.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠CAD的平分线．（1）用尺规作图：作∠AEC的平分线EN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）设EN与AF交于点M，判断△AEM的形状，并说明理由．11、(2019北流.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AP，若AP平分∠CAB，求∠B的度数.12、(2019丹阳.中考模拟) 如图1，点C是线段AB上一点，AC＝ AB，BC为⊙O的直径.（1）在图1直径BC上方的圆弧上找一点P，使得PA＝PB；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）连接PA，求证：PA是⊙O的切线；（3）在（1）的条件下，连接PC、PB，∠PAB的平分线分别交PC、PB于点D、E.求的值.13、(2019高港.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°.（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，①用尺规作出点A到CD所在直线的距离；②求出该距离.14、(2020绍兴.中考模拟) 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（-4，4）、C （-6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心D的坐标为；（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）.15、(2020东城.中考模拟) 下面是“作一个角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：，使得．作法：如图，①作射线；②在射线取一点O，以O为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点C；③分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E；④作射线．则即为所求作的角．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：，．．（）（填推理的依据）备考2021中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等腰三角形的性质,综合题专训及答案

的半径为，以为圆心，以
的长为半径画弧，再以线
段
的中点P为圆心，以
的长为半径画弧，两弧交于点A，连接，，交
于点B，过点B作
的平行线交
于点C．
（1）求证：是
的切线；
（2）若
，
，
，求阴影部分的面积．
11、
(2020怀化.中考真卷) 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且
（1）求证：点D是AB的中点；（2）如图2，过点D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．
备考 2021中考数学复习专题：图形的性质 _三角形 _等腰三角形的性质，综合题答案
1.答案：
2.答案：
3.答案： 4.答案：
5.答案：
6.答案：
．
（1）求证：是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：
． 12、
(2020烟台.中考真卷) 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通
（1）求该抛物线的一般式；（2）若点Q为该抛物线上第一象限内一动点，且点Q在对称轴DE的右侧，求四边形DEBQ面积的最大值及此时点Q的
坐标；
（3）若点P为对称轴DE上异于D，E的动点，过点D作直线PB的垂线交直线PB于点F，交x轴于点G，当△PDG为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
7、 (2020拱墅.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB<AC<BC，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点D，连接AD过点D作DE⊥AD，交AC于点E．

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_圆心角、弧、弦的关系,单选题专训及答案

A. B. C. D. 28、 (2020长春.中考真卷) 如图，
是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
，则
的大小为（）
A. B.
C.
D.
29、
(2020茂名.中考模拟) 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，
，点E是点D关于AB的对称点，M
是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结
A . 40° B . 60° C . 80° D . 100° 18、 (2014贵港.中考真卷) 如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）
A . 51° B . 56° C . 68° D . 78° 19、 (2017资中.中考模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（）
A . 8 B . 10 C . 11 D . 12 11、 (2018青岛.中考真卷) 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是
的中点，则∠D的度数是（）
A . 70° B . 55° C . 35.5° D . 35° 12、
(2018咸宁.中考真卷) 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）
1.答案： A 2.答案： D 3.答案： B 4.答案： B 5.答案： C 6.答案： A 7.答案： C 8.答案： D 9.答案： A 10.答案： A 11.答案： D 12.答案： B 13.答案： D 14.答案： A 15.答案： C 16.答案： D 17.答案： A 18.答案： A 19.答案： C 20.答案： A 21.答案： C 22.答案：

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图,填空题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，填空题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，填空题专训1、(2016北京.中考真卷) 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是________2、(2019本溪.中考真卷) 如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为________.3、(2018葫芦岛.中考真卷) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E 、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=________．4、(2017通州.中考模拟) 阅读下面材料：尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段AB．求作：线段CD，使CD=AB．在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是________．5、(2017东城.中考模拟) 下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（i）分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（ii）作直线CD交AB于点O；（iii）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是________．6、(2017于洪.中考模拟) 在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图，分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=6，BC=4，则△ADE的周长为_______ _．7、(2019朝阳.中考模拟) 在数学课上，老师提出如下问题：己知：直线l和直线外的一点P.求作：过点P作直线于点Q.己知：直线l和直线外的一点P.求作：过点P作直线于点Q.小华的作法如下：如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；第二步：连接PA、PB，作的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；第二步：连接PA、PB，作的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.老师说：“小华的作法正确”.请回答：小华第二步作图的依据是________.8、(2017农安.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，按如下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，③连接BD，若AC=8，则BD的长为________．9、(2019新昌.中考模拟) 如图，在中，AD平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若，，，求BD的长是________．10、(2017浙江.中考模拟) 如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形,解答题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形，解答题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形，解答题专训1、(2012淮安.中考真卷) 如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10 ，AB=20．求∠A的度数．2、(2018秦皇岛.中考模拟) 如图，海中有一小岛P，在距小岛P的16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A 处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？3、(2017吉林.中考模拟) 如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°．为了改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）4、(2017江阴.中考模拟) 如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？5、(2017西湖.中考模拟) 小高发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=12米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．（结果保留根号）6、(2017宁波.中考真卷) 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．7、(2017瑶海.中考模拟) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．8、(2018威海.中考真卷) 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．9、(2017洛宁.中考模拟) 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻事故，立即出发了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以50海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）10、(2017黄州.中考模拟) 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）11、(2016广东.中考真卷) 如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CD B的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．12、(2017上思.中考模拟) 如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．13、(2018天水.中考真卷) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90º，∠CED=45º，∠DCE=30º，DE= ，BE=2 ．求CD的长和四边形ABCD的面积．14、(2020青羊.中考模拟) 如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。

中考数学几何模型专题专题三—三角形

专题三三角形模型8 “8字”形模型展现基础模型怎么用?1.找模型两条相交的线段构成含对顶角的两个三角形,简称“有交点，想8字”2.用模型“8字”型的实质是利用三角形内角和定理进行角度转化来解题∠结论分析结论1:∠A+∠B=∠C+∠D证明:AC与BD相交于点0 , 连接AB,CD,在∠ABO中,∠.A+∠B+∠.AOB= 180°在OCD0中，∠C+∠D+∠COD= 180°因为∠AOB=∠COD(对顶角相等),所以∠A+∠B=∠C+∠D.拓展延伸角度和相等,是解决角度转化的重要思想。

“8字”型虽简单,但往往在几何综合题中推导角度时用到.∠模型拓展典例小试例1如图,线段AB , CD,EF两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）出现多个模型,分离模型,逐个计算A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,三角形的内角和例2如图,A,B,C,D,E是同一平面上的点,F是AB上一点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数是( )试着转化到一个四边形中,利用内角和求解A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,四边形的内角和思路点拨“8字”型能得到角度和的关系,在题目未给出具体角度的情况下,考虑将所求角度和转化到同一个多边形中,再利用多边形内角和求解.实战演练1.如图,AB∠BD,AC∠CD,∠A=30°,则∠.D的度数为____.2.一副三角板如图摆放,其中一块三角板的直角边EF落在另.一块三角板的斜边AC上,边BC与DF交于点0,则∠BOD的度数是____。

模型9 “燕尾”型模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型1 2.用模型通过“燕尾”型把“凹”的角转换成三个内角之和结论分析结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C证法1:如解图,延长BD交AC于点E.∠∠BEC是∠ABE的外角∠∠BEC=∠A+∠B又∠∠BDC是∠CDE的外角，∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C证法2:如解图，连接AD并延长，则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4，∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4=∠A+∠B+∠C.∠∠BDC=∠A+∠B+∠C.结论2:AB+AC>BD+CD证明:如解图,延长BD交AC于点E，则AB+AE>BD+DE , DE+CE>CD，∠AC=AE+CE，∠AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.巧学巧记简记:“凹角等于凸角之和”.拓展延伸也可以连接BC,使用三角形内角和定理来证明,同学们可以试试哦.:AOBAOCS S BD =:AOB COBS S AE =:BOC AOCSSBF =怎么用? 1．找模型遇到共边的两个三角形的面积相关问题,考虑用“燕尾”型基础模型2 2.用模型通过模型将面积问题转化为边的问题满分技法燕尾相邻的两个三角形共底不等高,常根据三角形的面积公式“12×底×高”可推导“共底不等高”的三角形的面积比即为应高的比. 结论分析结论3:∠::;AOBAOCSSBD CD =证明:如解图,分别过点B ,C 作 BH , CG 垂直于AD 交于点H , G ,在∠ABC 中,∠11,,22AOBAOCSAO BH S AO CG ==∠11:::,22AOB AOCSSAO BH AO CG BH CG ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在∠BHD 和∠CGD 中，∠BHD =∠CGD =90°，∠BDH =∠CDG ， ∠∠BHD ∠∠CGD ，∠BH BDCG CD =， ∠::.AOBAOCSSBD CD =典例小试例1如图，已知点D ,E 分别在∠ABC 的边AB ,AC 上，将∠A 沿DE 折叠（点拨：折叠产生相等的角）使点A 落在点F 的位置，已知∠A =50°（点拨：∠F =50°），∠1=130°，则∠2的度数为（） A .130° B .120° C .150° D .140°考什么?三角形外角的性质,折叠的性质思路点拨折叠产生三角形全等，即ADE FDE ∆≅∆例2(2021河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE 与BD 的交点为C ,且∠A ,∠B ,∠E 保持不变.为了舒适,需调整∠D 的大小（点拨：先分析哪个角的大小随着D 点变化）,使∠EFD =110°，则图中∠D 应(填“增加”或“减少”)____度.考什么?三角形的内角和,对顶角相等实战实演1．将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为（） A .75° B .105° C .135° D .165°2.如图,是一块不规则的纸片,∠ABC =∠DEF = 80°,则∠A +∠C +∠D +∠F 的度数为( )A . 80°B . 160°C .240°D . 360°3.如图,∠A = 45°, ∠BDC = 135°，∠ABE =13∠ABD ，∠ACE =13∠ACD ,则∠BEC 的度数是（）A . 30°B .45°C .75°D .90°4．如图,矩形ABCD 中,点E ,F 分别是边AB ,BC 的中点,连接AF ,CE 交于点G ,若矩形ABCD 的面积为3,则四边形AGCD 的面积为________5.如图,在∠ABC 中,点 D ,E 分别在BC ,AC 边上,AD 与BE 交于点F ,若CD =3BD ,EC =4AE ,四边形CDFE 的面积是10,则∠ABC 的面积为________模型10 “风筝”型模型展现基础模型怎么用?1.找模型三角形折叠或者在角内部的角容易产生“风筝”型2.用模型三角形外角性质是解决问题的关键结论分析结论1:∠DBF+∠ECF= ∠A+∠F证明:如解图,连接AF，∠∠DBF是∠ABF的外角，∠∠DBF=∠BAF+∠BF A.∠∠FCE是∠ACF的外角，∠∠FCE=∠CAF+∠CF A，∠∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BF A+∠CAF+∠CF A=∠BAC+∠BFC，即∠DBF+∠ECF= ∠BAC+∠BFC.怎么用?1．找模型遇到与四边形(含对角线)相关的面积问题,考虑用“风筝”型2.用模型共边三角形面积问题可转化为线段问题例1如图,已知点D,E分别在∠ABC的边AB,AC上,将∠A沿DE 折叠(注：折叠性质产生相等的角,且有“风筝”型),使点A落在BC上,对应点为F,已知∠B=50°,∠C=60°,则么∠1+∠2的度数为（）A.100°B. 120°C. 140°D. 135°例2如图,∠ABC中,AB=BC,(等腰三角形)延长AB,AC至点D,E,点F是∠DAE内部一点,连接BF,CF.若∠ABC= 40°，∠F= 50°则∠DBF+∠ECF(寻找与求解有关的角度关系)的度数为（）A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°实战实演1.如图,在平行四边形ABCD中,∠B= 50°,点E是BC上一点,将∠ABE沿边AE翻折得到∠AFE,延长BA至点M.若∠FEC=70°,则∠MAF的度数为（）A. 20° B．30° C. 40° D. 50°2.如图,在等边∠ABC中,点D 、E 分别是AB, BC边上一点,把∠BDE沿DE 折叠,使点B落在点B'处, DB', EB'分别交边AC于点F、G ,若∠ADF=70°,则∠AGE的度数为.3.如图,在四边形ABCD中,点E, F分别是AD, BC上的点,将四边形ABCD 沿直线EF折叠,若∠A =130°, ∠B =110°,则∠1+∠2的度数为.4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC , BD相交于点E ,∠ADE , ∠ABE ,∠CDE 的面积分别为2,3,4,则∠BCE的面积为, AE : CE的值为.5.如图,平行四边形ABCD 的对角线交于点O,点E , F分别在BC , CD上,连接EF交OC于点G ,连接OE , OF , S∠OEF= S∠ODF =2S∠CEF, S∠BOE =6,则∠OCF的面积为；∠GCE的面为.模型11 角平分线模型模型展现基础模型结论分析结论: P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO 证明:OP 平分∠MON , ∠∠AOP = ∠BOP ,在∠AOP 和∠BOP 中,90AOP BOPOAP OBP OPOP ∠＝∠∠＝∠＝＝∠∠AOP ∠∠BOP ,∠P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO .怎么用? 1.找模型遇到图形中含角平分线,考虑用角平分线模型 2.用模型一般直接用角平分线的性质,或者构造等腰三角形或全等三角形解决线段和角度问题模型拓展满分技法角平分线性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.碰到角平分线,常需要截相等线段来构造三角形全等或者作平行线产生等腰三角形来解决问题.例1(2021青海)如图,在四边形ABCD中, ∠A =90°, AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC（点拨:考虑角平分线的性质）,则∠BCD 的面积为A .8B .7.5 C.15 D .无法确定考什么?角平分线的性质,三角形的面积计算公式思路点拨已知角平分线+边的垂直(直角),考虑作垂直,应用角平分线上的点到角两边的距离相等.例2(2019青岛)如图,BD是∠ ABC的角平分线, AE∠BD（点拨：角平分线的垂线产生全等），垂足为 F .若∠ABC =35°, ∠C =50°,则∠CDE 的度数为A .35°B .40°C .45°D .50°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和,全等三角形的判定与性质,三角形的内外角关系,等腰三角形的性质思路点拨已知角平分线+角平分线的垂线,构造出等腰三角形.例3如图,已知∠ABC的平分线交AC于点E ,过点E作DE∠BC（点拨：过角平分线上的点作平行线产生等腰三角形及角相等）,交AB于点D.若∠A =70°, ∠AED =50°, BD =2,则BE长为.考什么?角平分线的性质,平行线的性质,三角形的内角和,等腰三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值思路点拨已知角平分线+平行线,构造出等腰三角形.实战演练1.如图,已知三角形ABC 中, ∠ABC =60°, BD 是∠ABC的平分线, CE ∠AB于点E ,交BD于点F,若EF =4,则FC 的长为.2.如图,在∠ABC中, BD平分∠ABC,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,已知∠A=70° ,则∠CED的度数为______.3.如图,在∠ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,CF平分∠ACB，交DE于点F,若AC=10,BC=12,则DF的长为________.4.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的点,连接EF,AE,AF,若AE,AF恰好平分∠BEF,∠DFE.(1)则∠EAF的度数为__________;(2)求证:四边形ABCD是正方形;(3)若BE=EC=3,则DF的长为________.模型12 双角平分线模型模型展现基础模型111怎么用?1. 找模型三角形中,遇到两角平分线，考虑用双角平分线模型2.用模型通过三角形的内角和,内外角关系及角平分线的性质，建立两角之间的数量关系结论分析结论1:∠D=90°+12∠A证明:∠ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB∠∠DBC=12∠ABC,∠DCB=12∠ACB∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠ABC+12∠ACB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)= 180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A拓展延伸结论2的证明同学们可参考结论1和结论3,利用三角形的内外角关系进行证明.结论3：∠D =90°-12∠A证明:∠BD平分∠EBC,CD平分∠FCB，∠∠DBC=12∠EBC,∠DCB=12∠FCB，∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠EBC +12∠FCB)= 180°-12(∠ACB+∠A+∠ABC+∠A)= 180°-12( 180°+∠A )= 90°-12∠A.模型拓展333111满分技法若将角平分线改为三等分角线,同样根据三角形的内角和及角度的倍数关系求解.典例小试例1 如图,在∠ABC中,∠ B=40°,CD∠AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E（结合图形可知是双内角平分线型），则∠E的度数为（)A.105°B.110°C.140°D.145°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和万唯中考几何模型例2如图,在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°,则∠P=（）A. 10°B.15° C．30° D.40°考什么?角平分线的性质,三角形外角的性质,三角形的内角和思路点拨结合图形可知两角平分线分别为内角、外角平分线,根据“一内一外”角平分线结论求解即可.实战实演1.如图,在∠ABC中, ∠C= 110°，AE平分∠DAB,延长EA,交∠ABC的平分线于点F,则∠F= 。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质,解答题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，解答题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，解答题专训1、(2011苏州.中考真卷) 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 上．OA 边与直线l 重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺吋针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 处，点B 运动到了点B 处；小慧又将三角形纸片AO B ，绕点B 按顺吋针方向旋转 120°，此时点A 运动到了点A 处，点O 运动到了点O处（即顶点O 经过上述两次旋转到达O 处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l 围成的图形面积等于扇形A00的面积、△AO B 的面积和扇形B O O 的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC 放在直线l 上，0A 边与直线l 重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 处（即点B 处），点C 运动到了点C 处，点B 运动到了点B 处，小慧又将正方形纸片 AO C B 绕顶点B 按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片0ABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O 经过的路程；问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是？2、(2017昌平.中考模拟) 如图，在等边△ABC 中，点D 为边BC 的中点，以AD 为边作等边△ADE ，连接BE ．求证：BE=BD ．3、(2017房山.中考模拟) 已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，E 是BC 延长线上的一点，且∠CED=30°．求证：BD=DE ．11111111122111111222112111124、(2017河东.中考模拟) 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图①）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图②）．如图②所示建立平面直角坐标系，请解答以下问题：（Ⅰ）设直线BM的解析式为y=kx，求k的值；（Ⅱ）若MN的延长线与矩形ABCD的边BC交于点P，设矩形的边AB=a，BC=b；（i）若a=2，b=4，求P点的坐标；（ii）请直接写出a、b应该满足的条件．5、(2017河西.中考模拟) 如图△OPQ是边长为的等边三角形，若反比例函数y= 的图像过点P．（Ⅰ）求点P的坐标和k的值；（Ⅱ）若在这个反比例函数的图像上有两个点（x， y）（x， y），且x＜x＜0，请比较y与y的大小．6、(2017宁城.中考模拟) 已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、B C方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？7、(2017惠山.中考模拟) 已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．112212128、(2017宁德.中考模拟) 如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，BD=CE，求∠AFE的度数．9、(2017无棣.中考模拟) 如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．判断△APQ的形状，并说明理由．10、(2017湖北.中考真卷) 如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P．求证：∠A OB=60°．11、(2017深圳.中考模拟) 如图所示, 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质,综合题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，综合题专训1、(2017宿迁.中考模拟) 如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．2、(2019浙江.中考模拟) 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E.（1）求证：△ABD∽△CED.（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长.3、(2019宁波.中考模拟) 如图（1），P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若 PA=3，PC=4，求PB（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）①求∠CPD 的度数；②求证：P 点为△ABC 的费马点．4、(2018浙江.中考模拟) 如图，△ABC是边长为2的正三角形，点D在△ABC内部，且满足DB=DC，DB⊥DC，点E在边AC上，延长ED交线段AB于点H．（1）若ED=EC 请直接写出∠BAD=，∠AEH=，∠AHE=．（2）若ED=EC ，求EH 的长；（3）若AE=x ，AH=y ，请利用S =S +S ，求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．5、(2017宿州.中考模拟) 如图1，△ABC 与△CDE 都是等腰直角三角形，直角边AC 、CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE 、BD ．（1）猜想：PM 与PN 的数量关系是，位置关系是．（直接写出结论）（2）现将图1中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP 、BD 分别交于点G 、H ，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC ，CD=kCE ，如图3，写出PM 与PN 的数量关系，并加以证明．6、(2017微山.中考模拟) 已知如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE=CG ，连接AE 、CD ．（1）求证：△AGE ≌△DAC ；（2）过E 做EF ∥DC ．交BC 于F ．连接AF ．判断△AEF 是怎样的三角形．并证明你的结论．7、(2017潍坊.中考真卷) 边长为6的等边△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DE ∥AB ，EC=2△A EH △A ED △A HD（1）如图1，将△DEC 沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC 的交点为M ，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N ，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．（2）如图2，将△DEC 绕点C 旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C ，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP ，当AP 最大时，求AD′的值．（结果保留根号）8、(2017汉阳.中考模拟) 已知二次函数y=x ﹣2mx+4m ﹣8（1）当x≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围．（2）以抛物线y=x ﹣2mx+4m ﹣8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN （M ，N 两点在拋物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）若抛物线y=x ﹣2mx+4m ﹣8与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的最小值．9、(2019香洲.中考模拟) 如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EFC ，∠ACE 的平分线CD 交EF 于点D ，连接A D 、AF ．（1）求∠CFA 度数；（2）求证：AD ∥BC ．10、(2019防城.中考模拟) 如图1，在△OAB 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8.以OB 为边，在△OAB外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E.222（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长.11、(2018沙湾.中考模拟) 如图，直线交轴于点，交轴于点 .在内依次作等边三角形使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形第一个是，第二个是 ,第三个是 …（1）的边长等于；（2）的边长等于12、(2019岐山.中考模拟) 问题探究：（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短.（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图②，P是正△ABC 外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：PA=PB+PC （3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由.13、(2019邓州.中考模拟) 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN.（1）观察猜想，如图中ΔPMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图，ΔADE绕点A按逆时针方向旋转，则ΔPMN的形状是否发生改变？并就如图说明理由.（3）拓展延伸，若ΔADE绕点A在平面内自由旋转，AD=2，AB=6，请直接写出ΔPMN的周长的最大值.14、(2020丰台.中考模拟) 已知△ABC为等边三角形，点D是线段AB上一点（不与A、B重合）．将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE．连结DE、BE．（1）依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系．（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系并证明．15、(2020阳新.中考模拟) 研究发现，二次函数（）图象上任何一点到定点（0，）和到定直线的距离相等.我们把定点（0，）叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.（1）写出函数图象的焦点坐标和准线方程；（2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长；（3） M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值.备考2021中考数学复习专题：图形的性质_三角形_等边三角形的性质，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_角平分线的性质,单选题专训及答案

，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连结FH，则下列结论正确的有几个（）
⑴AD=DF；（2）
= ；（3） = ﹣1；（4）四边形BEHF为菱形．
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 10、 (2017准格尔旗.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E， DE=1，则BC=（）
A.3B.2C.2 D.3 30、 (2020乾.中考模拟) 如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A=90°，AD=2，则CD的长为（）
A.3 B.6C.5D.4
备考 2021中考数学复习专题：图形的性质 _三角形 _角平分线的性质，单选题答案
①以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交、于点、；
②分别以点、为圆心，以大于
的长为半径画弧，两弧相交于点；
③作射线，交边于点，
若
，
，则
（）
A.3B. C.6D. 29、 (2020陕西.中考模拟) 如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，BD：CD=2：1，BD=4，则△DBC的面积为( )
A . ①④ B . ①② C . ①②③ D . ②③④
3、
(2018邯郸.中考模拟) 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥
AB，垂足为E，连接CE交AD于点F，则以下结论：①AB＝2CE； ②AC＝4CD；③CE⊥AD； ④△DBE与△ABC的面积
交BC于点E．若CE＝3，BE＝5，则AC的长为( )

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。

人教版数学中考复习训练专题三函数图象与性质综合题附答案

专题三函数图象与性质综合题类型一交点问题典例精析例在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，2)，点B (3，2)，点C (－2，－3)是平面内3个点．(1)连接AB ，若直线y ＝34x ＋b 与线段AB 有交点，求b 的取值范围；(2)连接BC ，若直线y ＝34x ＋b 与线段BC 在第三象限内有交点，求b 的取值范围；(3)若直线y ＝kx ＋3与直线BC 无交点，求k 的值；(4)若直线AB 、直线y ＝kx ＋3与直线BC 能够围成三角形，求k 的取值范围；(5)若双曲线y ＝k x 过点A 且与直线y ＝34x ＋b 在(－5≤x ≤－1)有交点，求b 的取值范围；(6)连接AB ，若抛物线y ＝x 2＋c 与线段AB 有公共点，求c 的取值范围；(7)若抛物线y ＝x 2＋c (－2≤x ≤2)与直线BC 有一个交点，求c 的取值范围；(8)连接AB ，若抛物线y ＝(x －k )2与线段AB 有公共点，求k 的取值范围；(9)若双曲线y ＝k x过点B 且与抛物线y ＝x 2 ＋c 在2≤x ≤6有交点，求c 的取值范围．1. (2020河北24题10分)表格中的两组对应值满足一次函数y ＝kx ＋b ，现画出了它的图象为直线l ，如图．而某同学为观察k ，b 对图象的影响，将上面函数中的k 与b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l ′.(1)求直线l 的解析式；(2)请在图上画出．．直线l ′(不要求列表计算)，并求直线l ′被直线l 和y 轴所截线段的长； (3)设直线y ＝a 与直线l ，l ′及y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接．．写出a 的值．第1题图2. (2016河北26题12分)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t )(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线y ＝k x(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA ·MP ＝12. (1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接．．写出t的取值范围．第2题图针对演练3. (2020承德二模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C三点的坐标分别为(2，0)，(1，2)，(4，3)，直线l的解析式为y＝kx＋4－3k(k≠0)．(1)当k＝1时，直线l与x轴交于点D，则点D的坐标为________，S△ABD＝________；(2)小明认为点C也在直线l上，他的判断是否正确，请说明理由；(3)若线段AB与直线l有交点，求k的取值范围．第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 位于第二象限，且AB ∥x 轴，点B 在点C的正下方，双曲线y ＝1－2m x(x <0)经过点C. (1)求m 的取值范围；(2)若点B (－1，1)，判断双曲线是否经过点A ；(3)设点B (a ，2a ＋1)．①若双曲线经过点A ，求a 的值；②若直线y ＝2x ＋2交AB 于点E ，双曲线与线段AE 有交点，求a 的取值范围．第4题图5.(2020石家庄模拟)如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，－2)，抛物线F：y＝x2－2mx＋m2－2与直线x＝－2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；(2)设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2≤－2，比较y1与y2的大小；(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．第5题图6. 如图，已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋3a (a ＞0)与x 轴相交于不同的两点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1＜x 2.点P 为双曲线y ＝k x(1≤x ≤4)上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，交抛物线y ＝ax 2－2x ＋3a (a ＞0)于点Q .(1)若△POC 的面积为6，求k 值；(2)若k ＝3.①当a ＝12时，求点A 、B 的坐标，并求当点P 到抛物线对称轴的距离最大时，PQ 的值； ②若抛物线与双曲线有一个交点，直接写出a 的取值范围．第6题图7. (2020唐山开平区一模)已知，如图，二次函数L ∶y ＝mx 2＋2mx ＋k (其中m ，k 是常数，k 为正整数)，(1)若L 经过点(1，k ＋6)，求m 的值；(2)当m ＝2，若L 与x 轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数，确定k 的值；(3)在(2)的条件下，将L ∶y ＝mx 2＋2mx ＋k 的图象向下平移8个单位，得到函数图象M ，求M 的解析式；(4)在(3)的条件下，将M 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N ，请结合新的图象解答问题，若直线y ＝12x ＋b 与N 有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．第7题图8.如图①，二次函数y＝ax2－3ax＋c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y＝－x＋4经过点B、C.(1)求抛物线的表达式；(2)过点A的直线y＝kx＋k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx＋k平分△ABC 的面积时，求点M的坐标；(3)如图②，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx＋k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．第8题图类型二整点问题例我们把横，纵坐标都是整数的点叫作整点．在平面直角坐标系中，点A(5，0)，B(0，5)，C(－1，0)．(1)若直线l过点A，B，求直线l与坐标轴围成的区域W1内(含边界)整点的个数；(2)连接AB，BC，AC，求△ABC所围成的区域W2内(不含边界)整点的个数；(3)若直线y＝a、线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰有6个整点，求a的取值范围；(4)若直线y＝x＋b与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)恰有4个整点，求b的取值范围；(5)若直线y＝kx＋2与直线BC及x轴所围成的区域W5内(不含边界)恰有4个整点，求k的取值范围；(6)若双曲线y ＝4x (x >0)与线段AB 交于D ，E 两点(点D 在点E 的上方)，求曲线DE 与线段DE 所围成的区域W 6内(含边界)整点的个数；(7)在(6)的条件下，若直线y ＝x ＋b 与双曲线y ＝4x 交于点F ，与y 轴交于点G ，连接DG ，若线段DG ，FG ，曲线DF 所围成的区域W 7内(含边界)恰有5个整点，求b 的取值范围；(8)若抛物线y ＝x 2－2x ＋m －2与过点B 的直线y ＝5所围成的区域W 8内(不含边界)有4个整点，求m 的取值范围；(9)若抛物线y ＝x 2－2x ＋m －2与直线y ＝－x ＋2交于M ，N 两点(点M 在点N 的左侧)，将曲线MN 与线段MN 所围成的区域记为W 9，若W 9内(不含边界)恰好有4个整点，求m 的取值范围．1.(2019河北26题12分)如图，若b是正数．．，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上．．写出b．．．，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．第1题图针对演练2.在平面直角坐标系xOy中，直线x＝5与直线y＝3，x轴分别交于点A，B，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A且与x轴交于点C(9，0)．(1)求直线y＝kx＋b的表达式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W.①结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②将直线y＝kx＋b向下平移n个单位，当平移后的直线与区域W没有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．第2题图3. 已知点A (4，1)，若直线y 1＝14x ＋b 与双曲线y 2＝4x(x >0)交于点B ，与y 轴交于点C.探究：由双曲线y 2＝4x (x >0)与线段OA ，OC ，BC 围成的区域M 内(不含边界)整点的个数(点的横、纵坐标都是整数的点称为整点)．(1)当b ＝－1时，如图，求区域M 内的整点的个数；(2)当b <0时，若区域M 内恰好有4个整点，求b 的取值范围．第3题图4. 如图，函数y 1＝－x 2＋12x ＋c (－2020≤x ≤1)的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y 2＝－x 2＋2cx ＋1(1≤x≤2020) 的图象记为L 2，最大值为M 2.L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L .(1)当c ＝1时，求M 1，M 2的值；(2)若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数； (3)若M 1，M 2的差为4716，直接写出c 的值．第4题图5. 如图，在平面直角坐标系中，设抛物线y ＝－x 2＋bx ＋b －1为L 1，A (－5，－2)，B (5，－2)． (1)若L 1经过原点，求抛物线L 1的解析式，并求出此时抛物线的顶点坐标；(2)无论b 取何值，L 1总经过一个定点M ，随着b 的变化，抛物线L 1的顶点总在另一条抛物线上运动，且这条抛物线的顶点为M ，若设另一条抛物线为L 2.①求点M 的坐标； ②求出抛物线L 2的解析式；(3)若把抛物线L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1经过线段AB 端点时与线段AB 所围成的封闭图形称为C ，图形C 边界上横、纵坐标都是整数的点为“理想点”，求图形C 上“理想点”的个数．第5题图专题三函数图象与性质综合题类型一交点问题例解：(1)∵直线y ＝34x ＋b 与线段AB 有交点，即直线y ＝34x ＋b 与线段AB 两端点交点为临界点，如解图①②，将A (－1，2)代入y ＝34x ＋b ，得b ＝114，将B (3，2)代入y ＝34x ＋b ，得b ＝－14，∴b 的取值范围为－14≤b ≤114；例题解图①例题解图②(2)设线段BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将B (3，2)，C (－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝2－2k ＋m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴线段BC 的解析式为y ＝x －1(－2≤x ≤3)， ∴线段BC 与y 轴的交点为(0，－1)．当y ＝34x ＋b 过点(0，－1)，如解图③，∴即b ＝－1，当y ＝34x ＋b 过点C (－2，－3)，如解图④，∴－3＝－32＋b ，∴b ＝－32，∴当直线y ＝34x ＋b 与线段BC 在第三象限内有交点，b 的取值范围为－32≤b <－1；例题解图③例题解图④(3)由(2)知，直线BC 的解析式为y ＝x －1，若y ＝kx ＋3与直线BC 无交点，∴直线y ＝kx ＋3与直线BC 平行，如解图⑤， ∴当k ＝1时，直线y ＝kx ＋3与直线BC 无交点；例题解图⑤(4)由(2)知直线BC 的解析式为y ＝x －1，由题可知直线AB 的解析式为y ＝2，若直线AB ，直线y ＝kx ＋3与直线BC 能够围成三角形，即直线y ＝kx ＋3与直线AB 、直线BC 都有交点， ∴k ≠1，k ≠0.∵直线AB 与直线BC 交于点B ，∴当直线y ＝kx ＋3过点B (3，2)时，直线AB 、直线y ＝kx ＋3与直线BC 交于一点，不能围成三角形．∴将B (3，2)代入y ＝kx ＋3，得3k ＋3＝2，∴k ＝－13.综上所述，k ≠－13，0，1；(5)∵双曲线y ＝kx 过点A (－1，2)，∴k ＝－2，∴双曲线的解析式为y ＝－2x .∵－5≤x ≤－1. ∴令x ＝－5，则y ＝25.当直线y ＝34x ＋b 与双曲线y ＝－2x 相切时，如解图⑥，∴34x ＋b ＝－2x ，整理得34x 2＋bx ＋2＝0， ∴b 2－6＝0，∴b ＝6或b ＝－6(舍去)．当直线y ＝34x ＋b 过点(－5，25)，如解图⑦，∴25＝－5×34＋b ， ∵b ＝8320.由解图可知，b 的取值范围为6≤b ≤8320；例题解图⑥例题解图⑦(6)由题可知A (－1，2)，B (3，2)，抛物线y ＝x 2＋c 的对称轴为直线x ＝0，∴当抛物线顶点在线段AB 上时，如解图⑧， ∴c ＝2.当抛物线过点B 时，如解图⑨， ∴2＝9＋c ，∴c ＝－7， ∴c 的取值范围为－7≤c ≤2；例题解图⑧例题解图⑨(7)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋c ，整理得x 2－x ＋c ＋1＝0，如解图○10， ∴(－1)2－4(c ＋1)＝0， ∴c ＝－34.例题解图○10对于抛物线y＝x2＋c，当x＝2时，y＝4＋c，当点(2，4＋c)在直线BC上时，如解图⑪，此时抛物线与直线BC有两个交点，将(2，4＋c)代入直线BC解析式y＝x－1，得2－1＝4＋c，解得c＝－3；例题解图⑪当x＝－2时，y＝4＋c，当点(－2，4＋c)在直线BC上时，如解图⑫，此时抛物线与直线BC有一个交点，将(－2，4＋c)代入直线BC解析式y＝x－1，得－2－1＝4＋c，解得c＝－7；例题解图⑫综上所述，抛物线y＝x2＋c(－2≤x≤2)与直线BC有一个交点，c的取值范围为－7≤c＜－3，或c＝－34；(8)∵A(－1，2)，B(3，2)，抛物线y＝(x－k)2与线段AB有公共点，则当y＝(x－k)2过点A(－1，2)，如解图⑬，∴2＝(－1－k)2，∴k＝－1－2或k＝－1＋2(舍)．当y＝(x－k)2过点B(3，2)，如解图⑭，∴2＝(3－k)2，∴k＝3＋2或k＝3－2(舍)．∴k 的取值范围为－1－2≤k ≤3＋2；例题解图⑬ 例题解图⑭(9)∵双曲线y ＝kx 过点B (3，2)，∴2＝k 3，∴k ＝6，∴双曲线的解析式为y ＝6x .∵2≤x ≤6， ∴当x ＝2时，y ＝3，当x ＝6时，y ＝1，当抛物线过点(2，3)时，如解图⑮，将(2，3)代入y ＝x 2＋c ，即3＝4＋c ， ∴c ＝－1，同理当抛物线过点(6，1)时，将(6，1)代入y ＝x 2＋c ，即1＝36＋c ，∴c ＝－35， ∴c 的取值范围为－35≤c ≤－1.例题解图⑮1. 解：(1)∵(－1，－2)，(0，1)在函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－k ＋b 1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝1.∴直线l 的解析式为y ＝3x ＋1；(3分) (2)依题意，直线l ′的解析式为y ＝x ＋3， ∴直线l ′的图象如解图，第1题解图联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，(5分)∴直线l 与直线l ′的交点坐标为(1，4)．又∵直线l ′与y 轴的交点坐标为(0，3)，∴直线l ′被直线l 和y 轴所截得的线段长为（1－0）2＋（4－3）2＝2；(7分) (3)a 的值为52或175或7.(10分)2. 解：(1)设点P (x ，y )，则MP ＝y ，由OA 的中点为M ，知OA ＝2x ，代入OA ·MP ＝12，得2x ·y ＝12，即xy ＝6， ∵点P 在双曲线y ＝kx (k ＞0，x ＞0)上，∴k ＝xy ＝6；(3分)(2)当t ＝1时，令y ＝0，则0＝－12(x －1)(x ＋3)，解得x 1＝1，x 2＝－3，∵点B 在点A 左边， ∴B (－3，0)，A (1，0)， ∴AB ＝4.(5分)∴L 的对称轴为直线x ＝－1，∵点M 的坐标为(12，0)，∴MP 与L 对称轴的距离为32；(6分)(3)∵A (t ，0)，B (t －4，0)， ∴L 的对称轴为直线x ＝t －2.(7分) 又∵点M 的横坐标为t2，∴当t －2≤t2，即t ≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t －2>t 2，即t ＞4时，L 与MP 的交点(t 2，－18t 2＋t )就是G 的最高点；(10分)(4)5≤t ≤8－2或7≤t ≤8＋ 2.(12分)第2题解图3. 解：(1)(－1，0)，3；4. 解：(1)∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)位于第二象限，∴1－2m <0， ∴m >12；(2)∵点B (－1，1)， ∴A (－3，1)，C (－1，3)， ∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)经过点C ，∴双曲线的解析式为y ＝－3x ，∵－3×1＝－3， ∴双曲线经过点A ； (3)①∵点B (a ，2a ＋1)，∴A (a －2，2a ＋1)，C (a ，2a ＋3)．∵双曲线y ＝1－2mx (x <0)经过点A 、C ，∴(a －2)(2a ＋1)＝a (2a ＋3)，解得a ＝－13；②∵点E 在AB 上， ∴点E 的纵坐标为2a ＋1，代入y ＝2x ＋2得，x ＝a －12，∴E (a －12，2a ＋1)，∵C (a ，2a ＋3)，双曲线y ＝1－2mx(x <0)经过点C ， ∴双曲线为y ＝a （2a ＋3）x，把E (a －12，2a ＋1)代入得，2a ＋1＝a （2a ＋3）a －12，解得a ＝－16，由①知，双曲线过点A 时，a ＝－13.∴双曲线与线段AE 有交点，a 的取值范围是－13≤a ≤－16.5. 解：(1)∵抛物线F 经过点C (－1，－2)， ∴－2＝1＋2m ＋m 2－2. ∴m ＝－1.∴抛物线F 的表达式是y ＝x 2＋2x －1；(2)当x ＝－2时，y P ＝4＋4m ＋m 2－2＝(m ＋2)2－2. ∴当m ＝－2时，y P 的最小值为－2. 此时抛物线F 的表达式是y ＝(x ＋2)2－2. ∴当x ≤－2时，y 随x 的增大而减小． ∵x 1＜x 2≤－2， ∴y 1＞y 2；(3)－2≤m ≤0或2≤m ≤4. 6. 解：(1)∵△POC 的面积为6，∴12x P ·y P ＝6. ∴x P ·y P ＝12. ∴k ＝12； (2)①∵a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x ＋32.当y ＝0时，12x 2－2x ＋32＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.∵x 1<x 2，∴A (1，0)，B (3，0)．∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x ＋32，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∵k ＝3，∴y ＝3x(1≤x ≤4)．当点P 位于(4，34)时，点P 到x ＝2的距离最大，当x ＝4时，y ＝12×42－2×4＋32＝32，∴PQ ＝32－34＝34；②3576≤a ≤54. 7. 解：(1)将点(1，k ＋6)代入y ＝mx 2＋2mx ＋k 中，得m ＝2； (2)y ＝mx 2＋2mx ＋k ＝2x 2＋4x ＋k ，由题意得：b 2－4ac ＝16－8k ≥0，解得k ≤2， ∵k 为正整数， ∴k ＝1或2.当k ＝1时，方程2x 2＋4x ＋0没有整数解，故舍去，则k ＝2；(3)由(2)得m ＝2，k ＝2，∴y ＝2x 2＋4x ＋2，向下平移8个单位，平移后的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12<b <32或b >27332.第7题解图8. 解：(1)由直线y ＝－x ＋4知，点B 、C 的坐标分别为(4，0)、(0，4)，把点B 、C 的坐标分别为(4，0)、(0，4)，代入y ＝ax 2－3ax ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝416a －12a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝4，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4； (2)由y ＝－x 2＋3x ＋4，得A (－1，0)．如解图，过点N 作NG ⊥AB 于点G ，第8题解图∵直线y ＝kx ＋k 平分△ABC 的面积， ∴NG ＝12OC ＝2，∴当y ＝2时，2＝－x ＋4，∴x ＝2， ∴N (2，2)．把N (2，2)代入y ＝kx ＋k ，得k ＝23，∴直线AM 的解析式为k ＝23x ＋23，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋23y ＝－x 2＋3x ＋4，解得⎩⎨⎧x 1＝103y 1＝269，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1y 2＝0.∴M (103，269)；(3)翻折后的整个图象包括两部分：分别是抛物线y ＝x 2－3x －4(－1≤x ≤4)与y ＝－x 2＋3x ＋4(x ＞4或x ＜－1)．①当直线y ＝kx ＋k 与抛物线y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254(－1≤x ≤4)相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋ky ＝x 2－3x －4，得x 2－3x －4＝kx ＋k ，整理，得x 2－(k ＋3)x －(k ＋4)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝k ＋4. ∴y 1＝0，y 2＝k 2＋5k . ∴两个函数图象有两个交点，其中一个交点为A (－1，0)，另一个交点坐标为(k ＋4，k 2＋5k )．观察图象可知：另一个交点在x 轴下方，横坐标在－1与4之间，纵坐标在－254与0之间．∴－1＜k ＋4＜4，解得－5＜k ＜0. －254＜k 2＋5k ＜0，整理，得 4k 2＋20k ＋25＞0且k 2＋5k ＜0，解得，(2k ＋5)2＞0且－5＜k ＜0. k 为任意实数，(2k ＋5)2＞0恒成立， ∴－5＜k ＜0；②当直线y ＝kx ＋k 与图象y ＝－x 2＋3x ＋4(x ＞4或x ＜－1)相交时，－x 2＋3x ＋4＝kx ＋k ，整理得x 2＋(k －3)x ＋(k －4)＝0 解得x 1＝－1，x 2＝4－k ，∴y 1＝0，y 2＝5k －k 2. ∴两个函数图象有两交点，其中一个是点A (－1，0)，另一个交点坐标为(4－k ，5k －k 2)．观察图象可知：另一个交点的横坐标大于4，纵坐标小于0，即4－k ＞4，解得k ＜0. 5k －k 2＜0，∴k (5－k )＜0， ∵k ＜0，∴5－k ＞0，∴k ＜5. ∴k ＜0.∴综上所述，当直线y ＝kx ＋k 与翻折后的整个图象只有三个交点时，k 的取值范围是－5＜k ＜0.类型二整点问题例解：(1)如解图①，设直线l 的解析式为y ＝px ＋q ，将A (5，0)，B (0，5)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧5p ＋q ＝0，q ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝5. ∴直线l 的解析式为y ＝－x ＋5.结合图象可知，线段OA 上共有6个整点，线段OB (不含原点)上共有5个整点，线段AB 上(不含端点)共有4个整点，△AOB 内部共有6个整点，∴直线l 与坐标轴围成的区域W 1内(含边界)整点的个数为6＋5＋4＋6＝21个；例题解图①(2)如解图②，设直线BC 的解析式为y ＝p 1x ＋q 1，将B (0，5)，C (－1，0)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧q 1＝5，－p 1＋q 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝5，q 1＝5， ∴直线BC 的解析式为y ＝5x ＋5，结合图象，△BOC(不含边界)所围成的区域内无整点，由(1)知，△AOB(不含边界)所围成的区域内有6个整点，∴△ABC所围成的区域W2内(不含边界)整点的个数等于线段OB(不含端点)上的整点个数加上△AOB 内部的整点个数为4＋6＝10个；例题解图②(3)如解图③，当a＝3时，直线y＝3，线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰好有6个整点，∴结合图象可知，当2＜a≤3时，直线y＝a，线段AB与y轴所围成的三角形区域W3内(含边界)恰好有6个整点；例题解图③(4)如解图④，当b＝0时，y＝x，此时y＝x与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)有2个整点，当b＝－1时，y＝x－1，此时y＝x－1与直线AB及y轴所围成的三角形区域W4内(不含边界)有4个整点，结合图象可知，－1≤b＜0；例题解图④(5)如解图⑤，x ＜时当直线y ＝kx ＋2过(－5，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有4个整点，将(－5，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝15，当直线y ＝kx ＋2过(－4，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有3个整点，将(－4，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝14，结合图象可知，15≤k ＜14；同理，x ＞0时，当直线y ＝kx ＋2过(3，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有3个整点，将(3，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝－13，当直线y ＝kx ＋2过(4，1)时，直线y ＝kx ＋2与直线BC 及x 轴所围成的三角形区域W 5内(不含边界)有4个整点，将(4，1)代入y ＝kx ＋2得k ＝－14，∴－13≤k ＜－14，综上可得，15≤k ＜14或－13≤k ＜－14；例题解图⑤(6)如解图⑥，由图象可知曲线DE 上有(1，4)(2，2)，(4，1)共3个整点，线段DE (不含端点)上有(2，3)，(3，2)共2个整点，曲线DE 与线段DE 围成的区域内部无整点，∴曲线DE 与线段DE 所围成的区域W 6内(含边界)有5个整点；例题解图⑥(7)如解图⑦，当G 点与原点重合时，此时线段DG ，FG 与曲线DF 所围成的区域W 7内(含边界)有6个整点，此时b＝0，如解图⑧，当点G的纵坐标在0与－1之间时，此时线段DG，FG与曲线DF所围成的区域W7内(含边界)有5个整点，如解图⑨，当G点与过(0，－1)时，此时线段DG，FG与曲线DF所围成的区域W7内(含边界)有8个整点，此时b＝－1，∴－1＜b<0；例题解图⑦例题解图⑧例题解图⑨(8)由抛物线y＝x2－2x＋m－2可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线恒过点(0，m－2)，如解图○10，当抛物线的顶点为(1，2)时，此时抛物线与直线y＝5所围成的区域W8内(不含边界)有4个整点，分别为(1，3)，(0，4)，(1，4)，(2，4)，将(1，2)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝2，解得m＝5，当抛物线的顶点为(1，3)时，此时抛物线与直线y＝5所围成的区域W8内(不含边界)有1个整点(1，4)，将(1，3)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝3，解得m＝6，结合图象可知，5≤m＜6.例题解图○10(9)由抛物线y＝x2－2x＋m－2可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线恒过点(0，m－2)，如解图⑪，当抛物线的顶点为(1，－2)时，此时抛物线与直线y＝－x＋2所围成的区域W9内(不含边界)有4个整点，分别为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，－1)，将(1，－2)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝－2，解得m＝1，当抛物线的顶点为(1，－1)时，此时抛物线与直线y＝－x＋2所围成的区域W9内(不含边界)有2个整点，分别为(0，1)，(1，0)，将(1，－1)代入抛物线解析式得，1－2＋m－2＝－1，解得m＝2，∴综上所述，1≤m＜2.例题解图⑪1.解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4；(2分)∴L 的解析式为y ＝－x 2＋4x ， ∴L 的对称轴为直线x ＝2，将x ＝2代入直线a 的解析式中得y ＝2－4＝－2， ∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(4分) (2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－(x －b 2)2＋b 24， ∴L 的顶点C 的坐标为(b 2，b 24)．∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24＝－14(b －2)2＋1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1；(7分)(3)由题意可得，y 1＝b ，y 2＝x 0－b ，y 3＝－x 20＋bx 0， ∵y 3是y 1，y 2的平均数， ∴y 3＝y 1＋y 22，即－x 20＋bx 0＝x 02，化简得x 0(2x 0－2b ＋1)＝0，解得x 0＝0或x 0＝b －12，∵x 0≠0， ∴x 0＝b －12，对于L ，当y ＝0时，0＝－x 2＋bx ，即0＝－x (x －b )．解得x 1＝0，x 2＝b ， ∵b ＞0，∴D 点坐标为(b ，0)，∴点(x 0，0)与点D 间的距离为b －(b －12)＝12；(10分)(4)当b ＝2019时，“美点”的个数为4040；(11分) 当b ＝2019.5时，“美点”的个数为1010.(12分) 2. 解：(1)如解图，则点A 的坐标为(5，3)， ∵直线y ＝kx ＋b 过点A (5，3)，点C (9，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝39k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝274，即直线y ＝kx ＋b 的表达式是y ＝－34x ＋274；(2)①3个；第2题解图3. 解：(1)∵A (4，1)， ∴直线OA 的解析式为y ＝14x .∵直线y 1＝14x ＋b ，∴直线y 1与OA 平行，当b ＝－1时，直线解析式为y 1＝14x －1，解方程4x ＝14x －1得x 1＝2－25(舍去)，x 2＝2＋25，则B (2＋25，5－12)，∵C (0，－1)，∴区域M 内的整点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，共3个；(2)当直线y 1在OA 的下方时，当直线y 1＝14x ＋b 过点(1，－1)时，b ＝－54，则直线y 1＝14x ＋b 经过(5，0)，∴区域M 内恰有4个整点，则b 的取值范围是－54≤b ＜－1.当直线l 在OA 的上方时，∵点(2，2)在函数y 2＝4x(x ＞0)的图象上，当直线y 1＝14x ＋b 过(1，2)时，b ＝74，此时区域M 内有3个整点．当直线y 1＝14x ＋b 过(1，3)时，b ＝114，∴区域M 内恰有4个整点时，b 的取值范围是74＜b ≤114.综上所述，区域M 内恰有4个整点时，b 的取值范围是－54≤b ＜－1或74＜b ≤114.4. 解：(1)当c ＝1时，y 1＝－x 2＋ 12x ＋c ＝－x 2＋ 12x ＋1＝－(x －14)2＋1716 .又∵－2020≤x ≤1，∴M 1＝1716. y 2＝－x 2＋2cx ＋1＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2. 又∵1≤x ≤2020， ∴M 2＝2；(2)当x ＝1时，y 1＝－x 2＋12x ＋c ＝c －12；y 2＝－x 2＋2cx ＋1＝2c .若点A ，B 重合，则c －12＝2c ，解得c ＝－12.∴L 1∶y 1＝－x 2＋12 x －12(－2020≤x ≤1)；L 2∶y 2＝－x 2－x ＋1(1≤x ≤2020)．在L 1上，x 为奇数的点是“美点”，则L 1上有1011个“美点”，在L 2上，x 为整数的点是“美点”，则L 2上有2020个“美点”．又∵点A ，B 重合，则L 上“美点”的个数是1011＋2020－1＝3030； (3)c ＝－238或2.5. 解：(1)∵L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1经过原点， ∴将(0，0)代入得b ＝1，∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2＋x ，将y ＝－x 2＋x 配方得y ＝－(x －12)2＋14，∴顶点坐标为(12，14)；(2)①对于抛物线L 1：y ＝－x 2＋bx ＋b －1＝(x ＋1)b －x 2－1，当x ＝－1时，y ＝－2，故抛物线y ＝－x 2＋bx ＋b －1总经过一个定点M (－1，－2)；②∵抛物线L 2的顶点为M ， ∴设它的解析式为y ＝a (x ＋1)2－2，又∵抛物线L 1的顶点总在抛物线L 2上， ∴将点(12，14)代入解得a ＝1，∴抛物线L 2的解析式为y ＝(x ＋1)2－2，即y ＝x 2＋2x －1；(3)当抛物线L 1经过点B 时，将B (5，－2)代入抛物线L 1解析式y ＝－x 2＋bx ＋b －1得b ＝4， ∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋3，令y ＝－2，得－2＝－x 2＋4x ＋3，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴抛物线L 1与线段AB 交于(－1，－2)，(5，－2)两点，由解析式可以得出，只要x 取整数，则抛物线L 1上点的纵坐标也一定是整数．∴抛物线L 1经过端点B 时形成的封闭图形C 上的“理想点”个数为12个；当抛物线L 1经过点A 时，将A (－5，－2)代入抛物线L 1解析式y ＝－x 2＋bx ＋b －1得b ＝－6， ∴抛物线L 1的解析式为y ＝－x 2－6x －7，从解析式可以得出，只要x 取整数，则抛物线L 1上点的纵坐标也一定是整数，令y ＝－2，得－2＝－x 2－6x －7，解得x 1＝－5，x 2＝－1， ∴抛物线L 1与线段AB 交于(－5，－2)，(－1，－2)两点，故当抛物线L 1经过端点A 时形成的封闭图形C 上的“理想点”的个数为8个；综上所述，封闭图形C 上的“理想点”的个数为8个或12个．。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心,综合题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心，综合题专训1、(2017北京.中考真卷) 图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；（2）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．2、(2016内蒙古自治区.中考真卷) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．3、(2016上海.中考真卷) 已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．4、(2017无锡.中考真卷) 如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．5、(2016宿迁.中考真卷) 如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．6、(2017山西.中考模拟) 阅读与思考婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN= DN．证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．∴∠BAP=∠BPM．∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．∴…（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．（2）已知：如图2，△ABC 内接于⊙O ，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D 在⊙O 上，∠BCD=60°，连接AD ，与B C 交于点P ，作PM ⊥AB 于点M ，延长MP 交CD 于点N ，则PN 的长为．7、(2017南京.中考模拟) 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的中线，过点D 作BA 的平行线交AC 于点O ，过点A 作BC 的平行线交DO 的延长线于点E ，连接CE ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）作出△ABC 外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；（3）若AO ：BD= ：2，求证：点E 在△ABC 的外接圆上．8、(2012杭州.中考真卷)如图，是数轴的一部分，其单位长度为a ，已知△ABC 中，AB=3a ，BC=4a ，AC=5a ．（1）用直尺和圆规作出△ABC （要求：使点A ，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记△ABC 的外接圆的面积为S ，△ABC 的面积为S ，试说明＞π．9、(2020阿荣旗.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 内接于⊙P ，AB 是⊙P 的直径，A （﹣1，0）C （3，2），BC 的延长线交y 轴于点D ，点F 是y 轴上的一动点，连接FC 并延长交x 轴于点E ．（1）求⊙P 的半径；（2）当∠A=∠DCF 时，求证：CE 是⊙P 的切线．10、(2017武汉.中考模拟) 如图1，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ABC ：∠ACB ：∠ADB=1：2：3，⊙O 是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）当BD 是⊙O 的直径时（如图2），求∠CAD 的度数．11、(2017谷城.中考模拟) 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ．圆△（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．12、(2017.中考模拟) 如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点C，若AC•AB=12，求AC的长．13、(2018长沙.中考真卷) 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E ，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．14、(2017贵港.中考模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，经过点A作AE⊥OC，垂足为点D，AE与BC交于点F，与过点B的直线交于点E，且EB=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若CD=1，cos∠AEB= ，求BE的长．15、(2016泸州.中考真卷) 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．备考2021中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

初中中考数学学业水平考试类题剖析 (图形的性质)

考题呈现：对顶角余角补角
【考点及思路分析】角互余和互补的定义和性质是本部分的重点，其中能找出角的余角或者补角是难点和易错点。应用余角、补角的性质进行几何证明或计算。中考题常与全等、相似相结合，作为“等角”的隐含条件【错因剖析】 1.互为余角的角找不全；2.找不到角、线段的等量关系；3.看不到三角形的全等、相似关系。【教学策略】能从隐含条件（垂直、直角三角形、矩形、正方形）和常见图形中找到互余、互补或等量关系；
【错因剖析】 1.忽视了三角形“三边”这一条件；2.利用三角形外角解决问题很生疏。
【教学策略】 1.加强三角形三边关系题目的巩固性训练，防“雷区”；
2.重视三角形内角和定理推论。
考题呈现：三角形全等的性质和判定
【考点及思路分析】 1.三角形内角和定理及推论，三角形三边关系，不会进行知识点
的独立考查，常常与其它知识结合；
考题呈现：中点及等分点
【类题点评】考查与中点、等分点等有关的
计算、证明。由中点，等分点得到的等量关系，结合三角形、四边形和圆，分析图中的全等、相似等关系，进行几何证明或计算。在题目中易忽视图形中的隐含
条件（中位线、平行、互余等），以及三等分点中两种情况。掌握中点、等分点的几何意义，
正确作图，并加强“点到直线的距离”的理解。
考题呈现：平行线性质与判定
考题呈现：平行线性质与判定
E
注意辅助线运用
l
考题呈现：平行线性质与判定
考题呈现：平行线性质与判定
考题呈现：平行线性质与判定
【考点及思路分析】 1.常与三角形、四边形、圆进行综合考查，涉及平行线的性质和判定；
2.先作辅助线，利用性质和判定求解是难点。

2021年湖北省中考数学真题分类汇编：图形的性质(附答案解析)

2021年湖北省中考数学真题分类汇编：图形的性质一．选择题（共5小题）1．（2021•黄石）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（）A．20°B．22.5°C．15°D．12.5°2．（2021•湖北）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．（2021•湖北）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 4．（2021•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（）A．3B．C．D．5．（2021•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足P A2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是（）A．3B．3C．D．二．填空题（共4小题）6．（2021•随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为．7．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．8．（2021•十堰）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC 于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是．9．（2021•黄石）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是．（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是（把你认为所有正确的都填上）．三．解答题（共4小题）10．（2021•黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．11．（2021•黄石）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．（1）求证：BC∥OP；（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线P A的长．12．（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O 于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．13．（2021•湖北）如图1，已知∠RPQ＝45°，△ABC中，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度在线段AC上向点C运动，PQ，PR分别与射线AB交于E，F两点，且PE⊥AB，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为xs，∠RPQ与△ABC的重叠部分面积为ycm2，y与x的函数关系由C1（0＜x≤5）和C2（5＜x ≤n）两段不同的图象组成．（1）填空：①当x＝5s时，EF＝cm；②sin A＝；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当y≥36cm2时，请直接写出x的取值范围．2021年湖北省中考数学真题分类汇编：图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021•黄石）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（）A．20°B．22.5°C．15°D．12.5°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】先根据垂径定理得到＝，则∠AOF＝∠BOF＝30°，然后根据圆周角定理得到∠BAF的度数．【解答】解：∵OF⊥AB，∴＝，∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝×60°＝30°，∴∠BAF＝∠BOF＝×30°＝15°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．2．（2021•湖北）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【专题】三角形；运算能力．【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．3．（2021•湖北）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm【考点】圆锥的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得2πr＝，解得r＝10．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．4．（2021•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（）A．3B．C．D．【考点】角平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后利用面积法得到•DE ×10+•CD×6＝×6×8，最后解方程即可．【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，即5CD+3CD＝24，∴CD＝3．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．5．（2021•鄂州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足P A2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是（）A．3B．3C．D．【考点】三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理；点与圆的位置关系．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】取AC中点O，连接OP，BO，由勾股定理的逆定理可求∠APC＝90°，可得点P在以AC为直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得BP≥BO﹣OP，当点P在线段BO上时，BP有最小值，由锐角三角函数可求∠BOC＝60°，即可求解．【解答】解：取AC中点O，连接OP，BO，∵P A2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的圆上运动，在△BPO中，BP≥BO﹣OP，∴当点P在线段BO上时，BP有最小值，∵点O是AC的中点，∠APC＝90°，∴PO＝AO＝CO＝，∵tan∠BOC＝＝，∴∠BOC＝60°，∴△COP是等边三角形，∴S△COP＝OC2＝×3＝，∵OA＝OC，∴△ACP的面积＝2S△COP＝，故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，找到BP最小值时，点P的位置是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2021•随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为40°．【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识．【分析】连接BD，由圆周角定理的推论可知∠ABD＝90°，因为∠C与∠ADB所对的弧为，所以∠ADB＝∠C＝50°．所以∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．【解答】解：连接BD，如图．∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∵∠C与∠ADB所对的弧为，∴∠ADB＝∠C＝50°．∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．故答案为：40°．【点评】本题主要考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解题的关键．7．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为20．【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．8．（2021•十堰）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC 于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是3π﹣6．【考点】正方形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算．【专题】矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE，∵AB为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆﹣（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）＝π×22﹣（﹣）﹣（﹣）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．（2021•黄石）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是4．（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是①③（把你认为所有正确的都填上）．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质；解直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；几何直观；推理能力；应用意识．【分析】（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，证明△ABE≌△ADG，得BE＝DG，AG＝AE，由∠EAF＝45°，证明△EAF≌△GAF，得EF＝GF，故△CEF的周长：EF+EC+CF＝GF+EC+CF＝CD+BC，即可得答案；（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，证明△AMN≌△AHN，可得MN＝HN，Rt△HDN中，有HN2＝DH2+DN2，即得MN2＝BM2+DN2，故①正确；②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，设DF＝x，BE＝DG＝y，Rt△EFC中，（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，解得x＝y，即＝，设x＝3m，则y＝2m，Rt△ADG中，tan G＝＝＝3，即得tan∠AEF＝3，故②不正确；③由∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，得△AMN∽△DFN，有＝，可得△ADN∽△MFN，从而∠MFN＝∠ADN＝45°，△AMF为等腰直角三角形，故③正确．【解答】解：（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（ASA），∴BE＝DG，AG＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∴△CEF的周长：EF+EC+CF＝GF+EC+CF＝（DG+DF）+EC+CF＝DG+（DF+EC）+CF＝BE+CD+CF＝CD+BC，∵正方形的边长为2，∴△CEF的周长为4；故答案为：4；（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°，∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，∴AH＝AM，BM＝DH，∠ABM＝∠ADH＝45°，又AN＝AN，∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN＝HN，而∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，Rt△HDN中，HN2＝DH2+DN2，∴MN2＝BM2+DN2，故①正确；②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：由（1）知：EF＝GF＝DF+DG＝DF+BE，∠AEF＝∠G，设DF＝x，BE＝DG＝y，则CF＝x，CD＝BC＝AD＝2x，EF＝x+y，CE＝BC﹣BE＝2x﹣y，Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，∴（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，解得x＝y，即＝，设x＝3m，则y＝2m，∴AD＝2x＝6m，DG＝2m，Rt△ADG中，tan G＝＝＝3，∴tan∠AEF＝3，故②不正确；③∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，∴△AMN∽△DFN，∴＝，即＝，又∠AND＝∠FNM，∴△ADN∽△MFN，∴∠MFN＝∠ADN＝45°，∴∠MAF＝∠MF A＝45°，∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确，故答案为：①③．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、旋转变换、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造全等三角形．三．解答题（共4小题）10．（2021•黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；推理能力．【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．11．（2021•黄石）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．（1）求证：BC∥OP；（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线P A的长．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）证明OP⊥AB，BC⊥AB，可得结论．（2）设OE＝m，用m的代数式表示AB，OP，构建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB，求解即可．（3）在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，在Rt△ADE中，根据AD2＝AE2+DE2，构建方程求出x，再证明sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，可得结论．【解答】（1）证明：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∵OA＝OB，∴OP⊥AB，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC∥OP.（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，∵四边形OAPB的面积是16，∴•OP•AB＝16，∴×4m×2m＝16，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，∵OD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，∴x＝1或﹣1（舍弃），∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，∵P A是切线，∴P A⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠CAB+∠BAD＝90°，∠APO+∠P AE＝90°，∴∠CAB＝∠APO，∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，∴P A＝3AE＝6．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．12．（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O 于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A＝，⊙O的半径为3，求EF的长．【考点】勾股定理；切线的判定与性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；解直角三角形．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】（1）连接OD，则∠ODC＝∠OCD，CD平分∠OCB，则∠OCD＝∠BCD＝∠ODC，所以OD∥CE，又CE⊥DF，则OD⊥DF，所以DF是⊙O的切线；（2）在Rt△ABD中，tan∠A＝＝，则AD＝2BD，由勾股定理可得，BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，解得BD＝，在Rt△BDE中，BD＝，由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（）2，解得BE＝，则DE＝，由（1）知BE∥OD，＝，即＝，解得EF＝．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BCD，∴OD∥CE，∴∠CEF＝∠ODE，∵CE⊥DF，∴∠CEF＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴tan∠A＝＝，则AD＝2BD，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6，∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，解得BD＝，由（1）知DF是⊙O的切线，∴∠BDF＝∠A，∵BE⊥DF，∴∠BEF＝90°，∴tan∠BDF＝＝，则DE＝2BE，在Rt△BDE中，BD＝，由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（）2，解得BE＝，则DE＝，由（1）知BE∥OD，∴＝，即＝，解得EF＝．【点评】本题主要考查切线的性质和判定，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例等内容，要判定切线需证明垂直，作出正确的辅助线是解题关键．13．（2021•湖北）如图1，已知∠RPQ＝45°，△ABC中，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度在线段AC上向点C运动，PQ，PR分别与射线AB交于E，F两点，且PE⊥AB，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为xs，∠RPQ与△ABC的重叠部分面积为ycm2，y与x的函数关系由C1（0＜x≤5）和C2（5＜x ≤n）两段不同的图象组成．（1）填空：①当x＝5s时，EF＝10cm；②sin A＝；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当y≥36cm2时，请直接写出x的取值范围．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）当x＝5时，如图3中，点F与B重合．利用三角形的面积公式求出EF，PE，可得结论．（2）分两种情形：当0＜x≤5时，重叠部分是△PEF，当5＜x≤6时，如图4中，重叠部分是四边形PTBE，分别利用三角形面积公式求解即可．（3）求出y＝36时，对应的x的值，可得结论．【解答】解：（1）当x＝5时，如图3中，点F与B重合．∵∠RPQ＝45°，PE⊥AB，∴∠PEF＝90°，∴∠EPF＝∠PFE＝45°，∴EF＝EP，由题意•EF•PE＝50，∴EF＝PE＝10（cm），∵AP＝5×2＝10（cm），∴sin A＝＝＝．故答案为：10，．（2）当0＜x≤5时，重叠部分是△PEF，y＝×（×2x）2＝2x2．如图3中，在Rt△APE中，AE＝＝＝20（cm），∴AB＝EF+AE＝30（cm），∴BC＝AB＝6（cm），∴AC＝＝＝12，∴点P从A运动到C的时间x＝＝6，当5＜x≤6时，如图4中，重叠部分是四边形PTBE，作BL∥PF交AC于L，过点L作LJ⊥AB于J，LK⊥AC交AB于K，过点B作BH⊥PF于H．∵BL∥PF，∴∠LBJ＝∠PFE＝45°，∴△BLJ是等腰直角三角形，∴BJ＝LJ＝10（cm），BL＝10（cm），∵tan A＝＝，∴LK＝5，AK＝25，∴BK＝AB﹣AK＝30﹣25＝5，∵BC∥KL，∴∠FBT＝∠BKL，∴△FBT∽△BKL，∴＝，∴＝，∴FT＝（12x﹣60）（cm），∵BH＝BF＝（6x﹣30）＝3x﹣15，∴y＝S△PEF﹣S△BTF＝×2x×2x﹣×（12x﹣60）•（3x﹣15）＝﹣34x2+360x ﹣900．综上所述，y＝．（3）当y＝36时，2x2＝36，x＝3，﹣34x2+360x﹣900＝36，解得x＝6或，∵＜5，∴x＝不符合题意舍弃，观察图象可知，满足条件的x的值为3≤x≤6．【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．。

近五年(2017-2021)年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质(含解析)

2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质一．选择题（共14小题）1．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ 2．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π3．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4 4．（2021•衢州）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）A．6B．9C．12D．15 5．（2021•台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线6．（2020•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．7．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形8．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．9．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD 为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2020•衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．11．（2020•湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（）A．DC＝DT B．AD＝DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC 12．（2020•嘉兴）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5 13．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH14．（2021•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC 面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．二．填空题（共6小题）15．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．16．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为．17．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的（填序号）．①，②1，③﹣1，④，⑤．18．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．19．（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是．20．（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P 在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是．三．解答题（共2小题）21．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）求证：△BEF∽△BCA；（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．22．（2020•衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【考点】垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．2．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π【考点】扇形面积的计算．【专题】常规题型；运算能力．【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案．【解答】解：扇形面积＝，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解决本题的关键．3．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】转化思想；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．4．（2021•衢州）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）A．6B．9C．12D．15【考点】三角形中位线定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出AD、DE、EF、AF，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝9，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．5．（2021•台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【考点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，故选：A．【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．6．（2020•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．【考点】切线的性质；菱形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，∵OB＝1，∴BD＝OB＝，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练正确切线的性质定理是解题的关键．7．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【考点】菱形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．故选：B．【点评】本题主要考查菱形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判定．8．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【考点】勾股定理的证明．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，则可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．9．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD 为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出∠C的度数．10．（2020•衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．11．（2020•湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（）A．DC＝DT B．AD＝DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；切线的性质．【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．【分析】如图，连接OD．想办法证明选项A，B，C正确即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD．∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线，∵DC是⊙O的切线，∴DC＝DT，故选项A正确，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵DC是切线，∴CD⊥OC，∴∠ACD＝90°，∴∠A＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD＝DT，∴AC＝CD＝DT，故选项B正确，∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，∴△DOC≌△DOT（SSS），∴∠DOC＝∠DOT，∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，∴∠AOT＝∠BOT＝45°，∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，∴BO＝BD，故选项C正确，根据筛选法，故选：D．【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2020•嘉兴）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；垂径定理．【专题】作图题；应用意识．【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设OA交BC于T．半径为r，∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，∴AT＝＝＝2，在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】如图，连接DG，AH，过点O作OJ⊥DE于J．证明S△DGH＝S△AEH，S△DGC＝S，可得结论．△ADH【解答】解：如图，连接DG，AH，过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF，EF＝GH，∠HEF＝90°，∵OJ⊥DE，∴∠OJH＝∠HEF＝90°，∴OJ∥EF，∵HO＝OF，∴HJ＝JE，∴EF＝GH＝2OJ，∵S△DHO＝•DH•OJ，S△DHG＝•DH•GH，∴S△DGH＝2S△DHO，同法可证S△AEH＝2S△AEO，∵S△DHO＝S△AEO，∴S△DGH＝S△AEH，∵S△DGC＝•CG•DH，S△ADH＝•DH•AE，CG＝AE，∴S△DGC＝S△ADH，∴S△DHC＝S△ADE，∴S1＝S2，故A选项符合题意；S3＝HE•EF≠S1，故B选项不符合题意；AB＝AD，EH＝GH均不成立，故C选项，D选项不符合题意，故选：A．【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是证明S△DGH＝S△AEH，S△DGC＝S△ADH．14．（2021•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC 面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．【考点】勾股定理；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设⊙O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．【解答】解：如图，取AB的中点为O，AC的中点为D，连接OE，OG，OD，OC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2，①取AB的中点为O，∵△ABC是直角三角形，∴OA＝OB＝OC，∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，∴O为圆心，连接OC，OG，OE，作OD⊥AC，则OG，OE为半径，由勾股定理得：，②由①②得a＝b，∴，∴，，∴，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型．二．填空题（共6小题）15．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．【点评】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．16．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为4．【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：＝，故阴影部分的面积是：＝4，故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的①②③④（填序号）．①，②1，③﹣1，④，⑤．【考点】矩形的性质；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．【解答】解：如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③﹣1，④，不可以是．故答案为：①②③④．【点评】考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出图形是解题的关键．18．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为160cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．【考点】勾股定理的应用；菱形的性质；轨迹；等腰三角形的性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．解直角三角形求出PT即可．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．解直角三角形求出HT即可．【解答】解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP＝OQ＝50cm，PQ＝P A﹣AQ＝140﹣60＝80（cm），PM＝P A+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，∵OH⊥PQ，∴PH＝HQ＝40（cm），∵cos∠P＝＝，∴＝，∴PT＝160（cm），∴点P到MN的距离为160cm，故答案为160．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．由题意AT＝PT﹣P A＝160﹣140＝20（cm），OA＝P A﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，∵QH⊥OA，∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，解得x＝，∴HT＝AH+AT＝（cm），∴点Q到MN的距离为cm．故答案为．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．19．（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．【考点】平面镶嵌（密铺）；整式的加减．【专题】整式．【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．【解答】解：如图所示：图1的周长为1+2+3+2＝6+2；图2的周长为1+4+1+4＝10；图3的周长为3+5++＝8+2．故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．故答案为：6+2或10或8+2．【点评】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．20．（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P 在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4．【考点】七巧板．【专题】图表型；矩形菱形正方形．【分析】如图2中，连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可．【解答】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．在Rt△EMG中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，∴EG＝＝＝4，∴EH＝＝4，解法二：如图，连接EG交MN于点O．由题意，EN＝MN＝4，GM＝8，∵∠EON＝∠GOM，∠N＝∠M＝90°，∴△EON∽△GOM，∴＝＝，∴ON＝MN＝，∴OE＝＝，OG＝2OE＝，∴GF＝EG＝（OE+OG）＝4．故答案为4．【点评】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三．解答题（共2小题）21．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）求证：△BEF∽△BCA；（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）想办法证明∠BEF＝90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ＝BD＝，EF＝m，由△ABC∽△CBM，可得BM＝，由△BEJ∽△BME，可得BE＝，由△BEF∽△BCA，推出＝，由此构建方程求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠EFB＝∠EDB，∠EBF＝∠EDF，∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴△BEF是直角三角形．（2）证明：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．（3）解：设EF交AB于J．连接AE．∵EF与AB互相平分，∴四边形AFBE是平行四边形，∴∠EF A＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ＝BD＝，∴EF＝m，∵△ABC∽△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM＝，∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE＝，∵△BEF∽△BCA，∴＝，即＝，解得m＝2（负根已经舍弃）．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．22．（2020•衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可．（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先证明OG＝OL，再证明BF＝2OL即可解决问题．（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．（4）设OG＝a，AG＝k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。