第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章 正面投影法基础点的投影
四、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
a
●
Z a
●
b
●
●
b YW
X
●
判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
b
●
YH
B点在A点之 前、之右、之 下。
33
• 例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求A点的投影。
O
（3 ）视图的度量性
H
12
视图上物体的相对位置
Y
3、三面投影与三视图
视图就是将物体向投影面 投射所得的图形。 主视图 —— 实体的正面投影 俯视图 —— 实体的水平投影 左视图 —— 实体的侧面投影
高
1）视图的概念
长
宽
2）三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
YW
x
d
a’ e’ a
a’’ 0
f
e
YH
29
点的投影规律 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴； 点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到 与该投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时，应保证做到:点 的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴， 即a'a上0X ；点的V面投影与W面投影之间的连 线垂直0Z轴，即a' a"上0Z；点的H面投影到0X 轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相 等，都反映点到V面的距离。
37
5、从属性 点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上，且分线段的 比，投影后保持不变（AC：CB=ac:cb）；点和直线在平面上，它们的投影必 在该平面的同面投影上。
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
68
b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
61
B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
62
C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
67
两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
第2章 点、直线、平面的投影
三、直线上的点
【例2-8】已知如图所示，试在直线AB上取 一点C，使AC∶CB=2∶3。
用点分割线段成 定比的原理作图
四、两直线的相对位置
1.平行两直线
投影特性： 空间两平行直线的投影必定互相平行。 若两直线的三面投影互相平行，则空间 该两直线平行。
四、两直线的相对位置
2.两直线相交
投影特性： 空间相交两直线的投影必定相交，且两直 线交点的投影必定为两直线投影的交点。
五、垂直两直线的投影
【例2-18】已知直角三角形ABC，其一直角 边 BC 在EF 线上，长30mm，试完成三角形 b’c’=30mm ABC 的投影。
EF 为正平线， 正面投影反映实长， 故直角边AB 与EF 的 正面投影垂直。
五、垂直两直线的投影
【例2-19】已知正方形ABCD 的一条对角线 位于直线EF 上，试完成该正方形的正面、侧 面投影。
2.2
点的投影
侧面投影
1.点的三投影面体系的建立
（3）点的三面投影
水平投影面，简称水平面，用H表示； 正立投影面，简称正面，用V表示； 侧立投影面，简称侧面，用W表示。
OY轴 OX轴
OZ轴
2.2
点的投影
2.点的三面投影规律
45°
1、a’a ⊥ OX 轴 2、a’a” ⊥ OZ 轴 3、aaYH ⊥ OYH轴、a“aYW ⊥ OYW轴，且aaX = a“aZ
空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹 角，称为该直线对H、V、W 面的倾角，用α、β、γ 表示。
2.3
直线的投影
一、特殊位置的直线 二、一般位置直线的投影 三、直线上的点 四、两直线的相对位置 五、垂直两直线的投影
2.4
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
第二章 点、直线、平面的投影
正投影法是投射线与投影 面相垂直的平行投影法， 所得的投影称为正投影或 正投影图
斜投影法是投射线与投 影面相倾斜的平行投影 法，所得的投影称为斜 投影或斜投影图。
平行投影法——正投影
投 射 方 向
90°
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§1-2 多面正投影和点的投影
一、多面正投影 过空间点A作H面的投射线 （垂线），与投影面H的交点即为 点A在H面上的投影。
b
a
a
B
a
b
a
O
A X O
X
YW
a
b
Y
a
b YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b=AB 3、反映、角的真实大小
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
Z a A b X a a
Z
a
a
X b O a b
b
YW
O
B
1.cd=CD 2.c d //OX c"d"//OYW 3.cd反映CD的倾角、
1.e"f"=EF 2.ef//OYH e f //OZ 3.e"f"反映EF的倾角、
投影面平行线的投影特性：
（1）在平行的投影面上的投影，反映真长；它与投影轴的夹 角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。
（2）在另两个面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短
（1）投影面上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投影与该点重合， 在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。值得注意的是：H面上的 点C的W面投影c″在OY轴上，在投影图中必须画在W面的OYW轴上，而不 能画在H面的OYH轴上。 （2）投影轴上的点有两个坐标为零；在包含这条轴的两个投影面上的投 影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与点O重合。
第二章 投影的基本知识
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
第二章 点、直线与平面的投影
例2 投影。 投影。
点的右10毫米、 10毫米 毫米、 12毫米 毫米， 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的 Z a′ 12 a″
b′ X 10 b 6 a O
b″ YW
YH
2.3 直线的投影
2.3.1 直线的三面投影 2.3.2 直线对投影面的相对位置 2.3.3 直线上的点
投影特性： 、 投影特性： 1、a″b″ 积聚 成一点 2 、 ab ⊥ OYH ; a′b′⊥ OZ 3 、 ab = a′b′ =AB
一般位置直线
Z b′ B a′ X A a b″ X a′ O b b a″ Y a b′ Z a″
β γ
O
b″ YW
α
YH 投影特性： 、 、 投影特性：1、a b、 a′b′、a″ b″均小于实长 2 、a b、a′b′、a″ b″均倾斜于投影轴 、 3 、 不反映 α 、 β 、γ 实角
1. 实形性
A C D B E
a c b H e d
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。 当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
2. 积聚性
A C D B E
c a（b） （ ） e d
H
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。 当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
A X
b″
b′
β
a″
γ
X
O
YW
B
O
b″
a
β γ
a b
Y
b
YH
投影特性：1. a′b′|| OX ; a″b″|| OYW 3. 反映β、γ 角的真实大小
2. ab=AB
点、直线、平面的投影
四、两直线相对位置
两直线的相对位置有 平行、 相交和交错（或称交叉、异面）。
平行直线的两面投影
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(一)两直线平行
对于两条一般位置直线，只要这两条直线的两面投影 彼此平行，则空间两直线就平行。
两条侧平线 但是对于两条侧平线，要判断它们在空间上是否平行， 侧面投影 还要看它们的侧面投影是否平行。
结论： 直角的两边不平行于投影面时，直角的投影不是直角。
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下图所示 如下图所示，构成直角的两边，AB倾斜于H面，BC平 行于H面，因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC⊥平面ABba，又因 为BC//bc，所以bc⊥平面ABba。加之ab∈平面ABba，所以 bc⊥ab，即∠abc=90°
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H
侧平面
投影特点： 1. W面投影反映实形。 2. V面和H面投影积聚成直线，且分别平行于OZ轴和OYH轴。
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三、平面内的线和点
由初等几何可知，直线和点在平面内的几何条件是： （1）如果一直线通过平面内的两点或通过平面内的一点 示例1 示例2 且平行于平面内的一直线，则此直线属于该平面。 （2）如果点位于平面内任一直线上，则该点属于该平面。示例
D 面ABC
面内定线的方法小结：
方法1：在平面内取两已知点连线。 方法2：过已知点做已知线的平行线。
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例2-10 如下图所示，点M属于三棱锥的一侧面△SAB，已知 △SAB的两投影及点M的H面投影，求：（1）点M的V面投影m ′ ； （2）在△SAB内过点M作一水平线。
Ⅰ
作图步骤：
b
(三)投影面垂直线
投影特性：
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
第2章 投影基本知识
第2章 投影基本知识 图2–1 中心投影法
第2章 投影基本知识 图2–2 平行投影法
第2章 投影基本知识
2. 投影法的种类 1) 中心投影法 投影线交汇于一点的投影法称为中心投影法，如图 2–1所示。投影线的汇交点称为投影中心。 2) 平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行 投影法中，又以投射线与投影面的相对位置不同分为正 投影法和斜投影法。
第2章 投影基本知识
例2.1 已知空间点A（20、10、15），试作它的三面 投影图。作图步骤：
(1) 如图2–12所示，在展开的三面投影体系中，由原 点O向左沿轴OX量取20 mm得ax，过ax作OX轴的垂线，在 垂线上自ax向前量取10 mm得水平投影a，向上量取15 mm 得正面投影a′。
(2) 过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于az，在垂线上自az向 前量取10 mm得a″（a″也可由a通过作圆弧或45°斜线求 得）。则a、a′、a″即为A点的三面投影，可记为A（a、a′、 a″）。
第2章 投影基本知识 图2–18 判断点K是否在直线AB上
第2章 投影基本知识
3. 两直线的相对位置 两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。 平行和相交的两直线均属于同一平面（共面）的直线， 而交叉两直线则不属于同一平面（异面）的直线。
ab=ABcosα， a′b′=ABcosβ， a″b″=ABcosγ
第2章 投影基本知识
2) 投影面平行线 直线在所平行的投影面上的投影反映实长和对另 两个投影面的真实倾角。 直线的另两个投影分别平行于相应的投影轴，且 均小于实长。 3) 投影面垂直线 2. 直线上的点 直线上的点有以下特性：
第2章 投影基本知识
(4) 布图、画底图。画作图基准线、定位线；画三 视图底图。从主视图画起，三个视图配合着画图。
机械识图-第二章点直线平面的投影
X
a′ a′ (b′) a′ b′
b″ b′
a″ a″
a″(b″) b″ O
YW
b a a b a(b)
YH
12
现 代 工 程 图 学
Z
二．两直线的相对位置 １．两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同 面投影必定相互平行；反之，如果两直线的 各同面投影相互平行，则两直线在空间一定 相互平行。
X
c′
b′ a′
c′
Ｖ
a′ β O A a α
b′ B01 Yb-Ya B B0 b
C b A a c a
b c
15
现 代 工 程 图 学
四．用直角三角形法求线段的实长
AB实长 b01 b′ a′
X
b′ β a′
AB实长 α a b O
X
O a α
a b0 AB实长 b
b
16
现 代 工 程 图 学
一．平面的表示法 １．几何要素表示法
Ｐ
Z
２．迹线表示法
Z
ＰＺ ＰＶ
O
ＰＺ ＰＶ
X
ＰＷ ＰＹ
O
YW
ＰＷ
ＰＸ ＰＨ ＰＹ
X
ＰＸ
ＰＨ
ＰＹ
Y
YH
18
现 代 工 程 图 学
Z
Z
PV PV
X
PW
a′ b′
a″ b″ O
PW
YW X
a PH b
O
YW
YH
YH
铅垂面及平面内的直线
水平面的迹线表示法
19
第2章 点、直线、平面的投影
点A向三个坐标面作垂线，其垂足为：a(x,y)、a’(x,z)、 a”(y,z) 就是点A的三面投影；
点A到H、V、W面的距离为分别为Aa、Aa’、Aa”。
O
机 械 工 程
Y
制作：李俊武
31
高 等 教 育 用坐标描述空间点—— A（x,y,z） 机 Z 械 类 专 业 X 机 械 工 程 O
点在侧平面上
机 械 工 程
制作：李俊武
26
高 等 教 育 机 械 类 专 业
点在投影轴上
点在Z 投影轴上
机 械 工 程
制作：李俊武
27
高 等 教 育 机 械 类 专 业
点在Y 投影轴上
Z V
Z
X
X e' O E e H Y e" W
e' O
e" Y W
e YH
机 械 工 程
点在原点上：投影均在原点上
4
制作：李俊武
高 等 教 育 机 械 类 专 业
2.1.2
平行投影法
投射线相互平行的投影方法。 斜投影，投射线与投影面相倾斜的平行投影法。 正投影，投射线垂直于投影面的平行投影法。
机 械 工 程
制作：李俊武
5
高 等 教 育 机 械 类 专 业
平行投影法
投影面 形体 投射线 投射线 形体
投影面
高 等 教 育 机 械 类 专 业
七、重影点及其可见性 当空间两点有两个坐标对应相等，该两点 将处于某一投影面的同一条投射线上，因此 在该投影面上具有重合的投影——重影点
约定:不可见的点,在相应投影面的投影加圆括号
机 械 工 程
建筑构造与识图(第二章投影的基本知识)
一.点的正投影及其规律
1、点的三面投影 2、点的投影与直角坐标的关系 3、两点的相对位置 4、识读点的投影图
1.点的三面投影
为了统一制图标准，规定空间点用大写字母表示，如A、 B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正 面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。点的 投影用直径小于1mm 的小圆圈画出，点号写在投影的旁边。
2、工程制图投影的相关假设
（1）假定光线可以穿透物体（物体的面是透明的， 而物体的轮廓线是不透的）； （2）规定在影子当中，光线直接照射到的轮廓线 画成实线，光线不能直接照射到的轮廓线画成虚 线； 则经过上述抽象由不同照射方向的光线照射得到 的“影子”即为工程图投影。如图1-2-1：
图1-2-1
5 . 三面投影图的画法
• 作形体投影图时， 先总体分析形体，选好主 视图的方向，使其主要平面与投影面平行；确 定比例、图幅大小；确定三视图的位置，先画 投影轴（互相垂直的两条线），水平投影面在 下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧 立投影面在正立投影面的正右方，然后画出定 位线、辅助线如图2.18所示。
思考
为什么采用正投 影法绘制工程图 样？
工程图样采用正投 影法绘制，使所绘 制图形既反应物体 的真实形状和大小， 又简单易画。
正投影法是本书讨论的重点，后 面将正投影法简称为投影。
第二节 正投影的基本特征 （一）显示性
当直线和平面垂直于投影面时，它们的投影分 别反映实形。
（二）类似性
当直线和平面垂直于投影面时，直线的投影比 实长短，平面的投影面积比实际面积小，但形状 仍与实形类似。
2 .点的投影与直角坐标的关系
第二章正投影法
3、物体与视图的方位关系
主视图反映物体的上、下 和左、右
俯视图反映物体的左、右 和前、后
左视图反映物体的上、下 和前、后
项目二 投影基础
三、画三视图及识读三视图的方法
1.总体分析物体，选好主视图的方 向，使其主要平面与投影面平行。 2.确定比例、图幅大小。 3.确定三视图的位置，画出定位线、 辅助线。 4.先画出主视图，再依据三等规律 依次画出俯、左视图。
项目二 投影基础
3、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置 关系
判断方法
x 坐标大的在左侧 y 坐标大的在前方 z 坐标大的在上方 点A在点B的左、后、下方
项目二 投影基础
重影点的可见性判别
空间两点在某一投影面上的投影重 合为一点时，则称此两点为该投影面的 重影点
判别方法
投影特点
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离 对投影的大小有影响 度量性较差
项目二 投影基础
2．平行投影法 平行投影法 投射线相互平行的投影法 正投影法 投射线与投影面相垂直的平行投影法 斜投影法 投射线与投影面相倾斜的平行投影法
正投影法
正投影法特点
投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好
点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴
② aax= aaz = A到V面的距离
aax= aay= A到H面的距离 aaz= aay = A到W面的距离
影轴距=点面距
点的投影到投影轴的 距离，等于空间点到相 应的投影面的距离
项目二 投影基础
【例2-1】 已知点A的两个投影，求作第三投影
a● ax
a●
点A、点C为哪个投影面 的重影点呢？
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第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
如图 2-4所示，形体上互相平行且长度相等的线段，在轴测图上仍互相平行、长度相等。
轴测图虽不符合近大远小的视觉习惯，但仍具有很强的直观性，所以在工程上得到广泛应用。
3、标高投影图根据正投影法所得到的图形称为正投影图。
如图2-6所示为房屋（模型）的正投影图。
正投影图直观性不强，但能正确反映物体的形状和大小，并且作图方便，度量性好，所以工程上应用最广。
绘制房屋建筑图主要用正投影，今后不作特别说明，“投影”即指“正投影”。
一、内容：1、点在三投影面体系中第一分角的投影；2、两点的相对位置。
二、要求及重点：1、要求了解三投影面体系；2、掌握投影的特性；3、根据点的坐标，判定点的类型。
4、掌握点的相对位置关系；5、了解重影点概念，判断重影点的可见性。
三、教学方式：1、利用教具、模型使学生在头脑中形成空间印象，做到平面投影与实际空间中的对应关系；2、利用例题使学生掌握并知道如何利用这些原理、概念；3、通过课上实际绘制，使学生更加深理解绘图过程及技巧。
四、作业：布置点投影的作业。
一、投影的形成与特性1、三个互相垂直的投影面V、H、W，组成一个三投影面体系，将空间划分为八个分角。
V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。
规定三个投影轴OX 、OY、OZ向左、向前、向上为正，在三条投影轴都是正相的投影面之间的空间第一分角。
、[例2-1] 已知空间点B的坐标为X=12，Y=10，Z=15，也可以写成B（12、10、15）。
单位为mm（下同）。
求作B点的三投影。
1、分析图2-10 由点的坐标作三面投影2、作图①画投影轴，在OX轴上由O点向左量取12，定出bX，过b X作OX轴的垂线，如图2-10（a）。
②在OZ轴上由O点向上量取15，定出b Z，过b Z作OZ轴垂线，两条线交点即为bˊ，如图2-10（b）。
③在bˊb X的延长线上，从b X向下量取10得b；在bˊb Z的延长线上，从b Z向右量取10得b″。
或者由bˊ和b用图2-10（c）所示的方法作出b″。
点与投影面的相对位置有四类：空间点；投影面上的点；投影轴上的点；与原点O重合的点。
二、两点的相对位置1、两点的相对位置是指空间两个点的上下、左右、前后关系，在投影图中，是以它们的坐标差来确定的。
2、两点的V面投影反映上下、左右关系；两点的H面投影反映左右、前后关系；两点的W面投影反映上下、前后关系。
[例2-2]已知空间点C（15，8，12），D点在C点的右方7，前方5，下方6。
求作D点的三投影。
分析D点在C点的右方和下方，说明D点的X、Z坐标小于C点的X、Z坐标；D点在C点的前方，说明D点的Y坐标大于C点的Y坐标。
可根据两点的坐标差作出D点的三投影。
图2-11 求作D点的三投影3、重影点：2.3 直线的投影一、内容：1、直线的类型；2、直线的投影特性；3、求一般位置直线的实长与倾角；4、直线上点的投影；5、两直线的相对位置；6、一边平行与投影面的直角的投影。
二、要求及重点：掌握上述几部分内容的基本概念、原理，并应用。
三、教学方式：1、通过教具、模型使学生在头脑中形成空间概念，做到平面投影与空间的转换；2、利用例题，使学生掌握、运用这些原理、方法、技巧；3、通过绘制，使学生对点的投影有更加深刻的理解。
四、作业：布置相关直线投影的作业，巩固知识，灵活运用。
2.3 直线的投影空间直线与投影面的相对位置有三种： 投影面平行线特殊位置直线 投影面垂直线 一般位置直线一、特殊位置直线及其投影特性1、投影面平行线只平行于一个投影面，而对另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。
投影面平行线又有三种位置： 水平线：平行于水平面 正平线：平行于正平面 侧平线；平行于侧面投影面平行线的投影特性见表2-1。
直线对投影面所夹的角即直线对投影面的倾角，α、β、γ分别表示直线对H 面、V 面和W 面的倾角。
表2-1 投影面平行线的投影特性投影面垂直线也有三种位置： 铅垂线：垂直于水平面的直线 正垂线：垂直于正面的直线 侧垂线：垂直于侧面的直线 投影面垂直线的投影特性见表2-2。
表2-2 投影面垂直线的投影特性二、一般位置直线及其真长与倾角1、一般位置直线既不平行也不垂直于任何一个投影面，即与三个投影面都处于倾斜位置的直线。
2、一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线与投影面的真实倾角。
图2-13 一般位置直线图2-14 用直角三角形法求直线的真长和倾角三、直线上的点的投影特性1、直线上的点的投影，必在直线的同面投影上；2、若直线不垂直于投影面，则点的投影分割直线线段投影的长度比，都等于点分割直线线段的长度比。
[例2-3] 如图2-15a所示，已知直线AB求作AB上的C点，使AC：CB=2：3。
图2-15 作分割AB成2：3的C点[解] 根据直线上的点的投影特性，作图过程见图2-15b所示：⑴自a任引一直线，以任意直线长度为单位长度，从a顺次量5个单位，得点1、2、3、4、5。
⑵连5与b，作2c//5b，与ab交于c。
⑶由c引投影连线，与a′b′交得cˊ。
cˊ与c即为所求的C点的两面投影。
[例2-4] 如图2-16a所示，试判断K点是否在侧平线MN上？[解] 可按直线上点的投影特性，用方法一或方法二进行判断。
方法一的判断过程如图2-16b所示：⑴加W面，即过O作投影轴OY H、OY W、OZ。
⑵由m′n′、mn和k′、k作出m″n″和k″。
⑶由于k″不在m″n″上，所以K点不在MN上。
方法二的判断过程如图2-16c所示：MN上。
四、两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平行相交共面直线交叉异面直线它们的投影特性列在表2-3中。
当两直线处于交叉位置时，有时需要判断可见性，即判断它们的重影点的重合投影的可见性。
确定和表达两交叉线的重影点投影可见性的方法是：从两交叉线同面投影的交点，向相邻投影引垂直于投影轴的投影连线，分别与这两交叉线的相邻投影各交得一个点，标注出交点的投影符号。
按左遮右、前遮后、上遮下的规定，确定在重影点的投影重合处，是哪一条直线上的点的投影可见。
图2-17 检验侧平线AB和一般位置直线CD的相对位置五、一边平行于投影面的直角的投影当直角的一边为投影面平行线时，则在它所平行的投影面上的投影，仍为直角。
[例2-5] 如图2-18a所示，已知交叉两直线AB、CD，作出它们的公垂线MN（M、N分别是公图2-18 作交叉线AB、CD的公垂线MN和距离[解] 如图2-18b所示，先进行几何分析和投影分析：公垂线MN是与交叉两直线AB、CD都垂直的直线，垂足M与N之间的距离，即为这两条交叉直线之间的距离。
由于图2-18a中给出的直线AB是铅垂线，MN与AB垂直，MN必为水平线。
既然MN是水平线，MN与CD垂直，按一边平行于投影面的直角的投影特性，mn也应与cd垂直。
由于AB是铅垂线，MN 在AB上的垂足M的H面投影m，必积聚在ab上，于是就可由此开始，按上述的几何分析和投影分析逐步进行作图，作图过程如图2-18c所示。
⑴点m积聚在ab上，从m引cd的垂线，得交点n，即为MN与CD的垂足N的H面投影。
⑵由n作投影连线，与cˊdˊ交得nˊ，就是MN与CD的垂足N的V面投影。
⑶由nˊ作OX轴的平行线，与aˊbˊ交得mˊ，即为MN与AB的垂足M的V面投影。
于是m ˊnˊ、mn即为所求的公垂线MN的两面投影。
⑷由于MN是水平线，则其H面投影mn的长度，即为真长，也就是交叉两直线AB与CD之间的距离，用引出线在图中注明。
2.4 平面的投影一、内容：1、平面对投影面的相对位置及投影特性；2、平面上点、线、图形的投影特性及判断方法；3、最大斜度线；4、换面法。
二、要求及重点：1、掌握平面及平面上点、线、图形的投影特性，知道如何判定平面上点、线、图形；2、了解最大斜度线的原理，能应用最大斜度线求出平面与投影面夹角α、β、γ；3、掌握换面法的基本用法。
三、教学方式：1、通过教具、模型使学生在头脑中形成空间概念，做到平面投影与空间的转换；2、利用例题，使学生掌握、运用这些原理、方法、技巧；3、通过绘制，使学生对点、线、图形的投影有更加深刻的理解。
四、作业：布置相关平面投影的作业，巩固知识，灵活运用。
2.4 平面的投影一、各种位置的平面及其投影特性平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面特殊位置平面 投影面垂直面 一般位置平面平面与投影面H 、V 、W 的倾角，分别用α、β、γ表示。
（一） 投影面垂直面垂直于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。
正垂面：垂直于正面的平面 铅垂面：垂直于水平面的平面 侧垂面：垂直于侧面的平面 投影面垂直面的投影特性见表2-4。