课时训练 圆的方程(北师大版)

A级基础达标演练

(时间：40分钟满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2012·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()．

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2

C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4

解析AB的中点坐标为：(0,0)，

|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，

∴圆的方程为：x2＋y2＝2.

答案 A

2．(2011·咸阳检测(二))圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为

()．A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1

解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

答案 A

3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()．

A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.

答案 D

4．(2011·北京海淀检测)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()．

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

解析

设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋x 0

2

，y ＝－2＋y 0

2

，解得⎩⎨⎧

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2

＋

(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A

5．(2011·合肥模拟)已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )． A.95 B ．1 C.45 D.135

解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝4

5. 答案 C

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．

解析 线段AB 的中垂线方程为2x －y －4＝0，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为|CB |＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案 (x －2)2＋y 2＝10

7．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线的方程是________．

解析 易知点C 的坐标为(－1,0)，而所求直线与x ＋y ＝0垂直，所以所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝0

8．(2012·成都检测)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．

解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离

减去半径，即|1－1＋4|

2－2＝ 2.

答案

2

三、解答题(共23分)

9．(11分)(2012·盐城一调)经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程．

解 法一 设圆的一般方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

则⎩⎨⎧

1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，

解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95，

∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0， 即圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.

法二 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)， k AB ＝－1

3，则AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0.

同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0， 联立⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0得⎩

⎨⎧

x ＝1，y ＝2.

即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10. ∴所求圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.

10．(12分)已知一等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，求另一底角顶点C (x ，y )的轨迹． 解 由|AB |＝|AC |，得

(x －3)2＋(y －20)2＝(3－3)2＋(20－5)2， 整理得：(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)，

故底角顶点C 的轨迹是以点(3,20)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)．

B 级 综合创新备选

(时间：30分钟满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2011·杭州调研)若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是()．

A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]

解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y －2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.

答案 A

2．(2011·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着

直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是z

小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这

样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的

图形大致是()．

解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点

M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.

切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.

以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM ＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点