数学高一-2013必修一【知能演练】1.3.2全集与补集

1．(2012·铜州质检)设集合U ＝{0,1,2,3,4,5}，集合M ＝{0,3,5}，N ＝{1,4,5}则M ∩∁UN ＝( )
A ．{5}
B ．{0,3}
C ．{0,2,3,5}
D ．{0,1,3,4,5}
解析：选B.∁U N ＝{0,2,3}，∴M ∩(∁U N )＝{0,3,5}∩{0,2,3}＝{0,3}．
2.
(2012·六安调研)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A ．{x |2<x <3}
B ．{x |x <3}
C ．{x |1<x ≤2}[:]
D ．{x |x ≤2}
解析：选C.阴影部分表示(∁U M )∩N ＝{x |x ≤2}∩{x |1<x <3}＝{x |1<x ≤2}．
3．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝________. 解析：∵A ∩(∁U B )＝{x |x >0}，
B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}
∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]
＝{x |x >0或x ≤－1}
答案：{x |x >0或x ≤－1}
4．设集合A ＝{|2a －1|,2}，B ＝{2,3，a 2＋2a －3}且∁B A ＝{5}，则实数a 的值是________． 解析：由补集的性质可知：[:]
⎩⎪⎨⎪⎧ {2a －1，2}∩{5}＝∅{2a －1|，2}∪{5}＝{2，3，a 2＋2a －3}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
|2a －1|＝3
a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2.
答案：2
[A 级 基础达标]
1．设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4，7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
解析：选A.U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，
A ∩
B ＝{4,7,9}，
∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}．
2．(2012·新余质检)设全集I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∪(∁I B )等于( )
A ．{1}
B ．{1,2}
C ．{2}
D ．{0,1,2}
解析：选D.I ＝{－2，－1,0,1,2}，∁I B ＝{0,1}，
故A ∪(∁I B )＝{0,1,2}．
3．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ，B
U ，若A ∩B ＝{4}，(∁U A )∩B ＝{2,5}，则集合B 等于( )
A ．{2,4,5}
B ．{2,5}
C ．{3,4,5}
D ．{2,3,5}[:]
解析：选A.由题意可知B 中含有元素2,4,5.故选A.
4．已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{b,2}，且∁U A ＝{5}，a <0，则实数a ＝________，b ＝________.
解析：由题意，可得a 2＋2a －3＝5，b ＝3，化简可得a 2＋2a －8＝0，解得a ＝－4或a ＝2(舍去)，故a ＝－4，b ＝3，经检验此即为所求．
答案：－4 3
5．若全集I ＝R ，f (x )，g (x )均为x 的一次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )<0
g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为______． 解析：∵Q ＝{x |g (x )≥0}，
∴g (x )<0的解集为∁I Q ，
∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )<0
g (x )<0的解集为P ∩(∁I Q )． 答案：P ∩(∁I Q )
6．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，求∁U A.
解：由条件知A U，∴x∈U＝{1,2，x2－2}，又x≠1，
∴x＝2或x＝x2－2.
若x＝2，则x2－2＝2，此时U＝{1,2,2}，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
若x＝x2－2，则x＝－1或x＝2(舍去)，此时U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，∴∁U A＝{2}．
[B级能力提升]
7．(2010·高考辽宁卷)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A ＝{9}，则A＝()
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：选D.做出表示集合U，A，B的Venn图，可知：A＝(A∩B)∪((∁U B)∩A)＝{3}∪{9}＝{3,9}．故选D.
8．若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是()
①若A∩B＝∅，则(∁U A)∪(∁U B)＝U
②若A∪B＝U，则(∁U A)∩(∁U B)＝∅
③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.①(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)＝∁U∅＝U；
②(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝∁U U＝∅；
③∵A⊆(A∪B)，即A⊆∅，而∅⊆A，[:]
∴A＝∅；同理B＝∅，∴A＝B＝∅.
所以①②③都是真命题．
9．(2012·咸阳调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁U B)＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：∵A∪(∁U B)＝R，即{x|x<a}∪{x|x≤1或x≥2}＝R，结合数轴可知，a≥2.
答案：a≥2
10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，
A∩(∁U B)．
解：如图所示，
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．故A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．11．(创新题)已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，若A∩R－≠∅，求实数a的取值范围．解：设全集U＝{a|Δ＝16a2－8a－24≥0}＝
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a|a≤－1或a≥
3
2.
方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根均非负等价于
⎩⎪
⎨
⎪⎧a∈U
4a≥0，
2a＋6≥0
⇔a≥
3
2.即A∩R－＝∅(R－表示(－∞，0))时，实数a的取值范围是⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a|a≥
3
2.
故A∩R－≠∅(R－表示(－∞，0))时，实数a的取值范围为集合
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a|a≥
3
2关于集合U的补集，即{a|a≤－1}．。