数学高一-2013必修一【知能演练】1.3.2全集与补集

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2024-2025年北师大版数学必修第一册1.1.3.2全集与补集(带答案)

第2课时全集与补集必备知识基础练知识点一补集的运算1．已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________．2．已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁U A＝{2，4，6}，∁U B＝{1，4，6}，则集合B＝________．知识点二集合交、并、补的综合运算3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T＝( )A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}4．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )A．{3，4，5} B．{1，3，4}C．{1，2，5} D．{3，4}5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝_________________，(∁R A)∩B＝________________．知识点三利用集合的运算求参数6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}，(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．关键能力综合练1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁U M＝( )A．{x|－2≤x≤2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁U A)＝( )A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}3．已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A＝{－1}，则a的值是( ) A．－1 B．1 C．3 D．±14．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅5．(多选题)已知全集U＝R，集合M，N的关系如图所示，则( )A．N∪M＝MB．(∁U M)∩N＝∅C．(∁U M)⊇(∁U N)D．(∁U M)∩(∁U N)＝∁U N6．(探究题)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则( )A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3C．0＜k＜3 D．－1＜k＜37．设全集U＝R，A＝{x|x≤4}，B＝{x|x＜1}，则∁U B＝________，A∩(∁U B)＝________．8．(易错题)设U为实数集，集合M＝{x|0<x<2}，N＝{y|y＝x2}，则(∁U M)∩N＝________．9．(结构不良型)已知A＝{x|x2－6x＋5＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝1，求A∩(∁Z B)；(2)从①A∪(∁R B)＝R；②A∩B＝B；③B∩(∁R A)＝∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．问题：若________，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．核心素养升级练1．(新定义型)(多选题)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A、B我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫作集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列说法正确的是( )A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}B.如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集、集合A、集合B关系如图所示，则B－A＝A∩∁U BD．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} 2．(学科素养—逻辑推理)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题．(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．第2课时全集与补集必备知识基础练1．答案：{x|x<－3，或x＝5}解析：将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3，或x＝5}．2．答案：{2，3，5，7}解析：解法一A＝{1，3，5，7}，∁U A＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁U B＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．解法二借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2，3，5，7}．3．答案：C解析：∵S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．4．答案：D解析：由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(M∪N)＝{3，4}．5．答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}解析：由题意知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．6．解析：(1)∵B＝{x|1<x<3}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.∴a的取值范围为[3，＋∞).(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.∴a的取值范围为(－∞，1].关键能力综合练1．答案：A解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{x|－2≤x≤2}．2．答案：C解析：依题意得∁U A＝{1，6，7}，所以B∩(∁U A)＝{6，7}．故选C.3．答案：A解析：由A∪(∁U A)＝U，可知A＝{1，3}．又∵a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.解得a＝－1，故选A.4．答案：A解析：∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．∵B＝{1，2}，∴A＝{3}或{2，3}或{1，3}或{1，2，3}，且∁U B＝{3，4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．5．答案：AB解析：由图可知N∪M＝M，(∁U M)∩N＝∅，(∁U M)⊆(∁U N)，(∁U M)∩(∁U N)＝∁U M.故选AB.6．答案：C解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}，若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，所以若B∩(∁U A)≠∅，则0＜k＜3.7．答案：{x|x≥1}{x|1≤x≤4}解析：∁U B＝{x|x≥1}，A∩(∁U B)＝{x|x≤4}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x≤4}．8．答案：{x|x≥2或x＝0}解析：N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∁U M＝{x|x≤0或x≥2}，则(∁U M)∩N＝{x|x≥2或x ＝0}．9．解析：(1)当a＝1时，B＝{x|x－1＝0}＝{1}，又因为A ＝{x |x 2－6x ＋5＝0}＝{1，5}，故A ∩(∁Z B )＝{5}． (2)若选①，当a ＝0时，B ＝∅，则∁R B ＝R ，满足A ∪(∁R B )＝R ，当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，若A ∪(∁R B )＝R ，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 ；若选②，∵A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 ；若选③，当a ＝0时，B ＝∅，满足B ∩(∁R A )＝∅；当a ≠0时，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ∩(∁R A )＝∅，则1a ＝1或5，解得a ＝1或15 .综上所述，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，15，1 .核心素养升级练1．答案：BD解析：A ：由B －A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，故B －A ＝{3，8}，错误； B ：由A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则A －B ＝∅，故A ⊆B ，正确； C ：由韦恩图知：B －A 如图阴影部分，所以B －A ＝B ∩∁U A ，错误；D ：∁U B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}，则A －B ＝A ∩∁U B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}，正确．故选BD. 2．解析：(1)C ×D ＝{(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)}． (2)∵A ×B ＝{(1，2)，(2，2)}， ∴A ＝{1，2}，B ＝{2}．(3)从以上解题过程中可以看出，A ×B 中元素的个数，与集合A 和B 中的元素个数有关，即集合A 中的任何一个元素与B 中的每一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中的元素应为(m ×n )个．因此若A 中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．。

1.3.2 补集及集合运算的综合(解析版).pdf

2020-2021学年高一数学同步题型学案（新教材人教版必修第一册）第一章集合与常用的逻辑用语1.3.2 补集及集合运算的综合【课程标准】1.在具体情境中,了解全集的含义,理解补集的含义,能求给定(全集的)子集的补集.2.能用Venn 图表达集合的补集．【本节知识点】1.全集:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作.U 2.补集【题型分类】题型一　补集的运算题型要点点拨：(1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割．一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法；另一方面,补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 为全集U 的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的．文字语言对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作∁U A 符号语言∁U A ＝{x |x ∈U ,且x ∉A }图形语言运算性质∁U A ⊆U ,∁U U ＝∅,∁U ∅＝,∁U (∁U A )＝,A ∪(∁U A )＝,A ∩(∁U A )＝U A U ∅(3)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集,即A⊆U；②∁U A表示一个集合,且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合,即∁U A＝{x|x∈U,且x∉A}．(4)若x∈U,则x∈A或x∈∁U A,二者必居其一．【例1】已知全集为U,集合A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∁U B＝{1,4,6},则集合B＝________.【参考答案】B＝{2,3,5,7}【解析】　(1)法一：∵A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6},∴B＝{2,3,5,7}．法二：借助Venn图,如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．【例2】已知全集U＝{x|x≤5},集合A＝{x|－3≤x＜5},则∁U A＝________.【参考答案】{x|x＜－3或x＝5}【解析】　将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x＜－3或x＝5}．【方法技巧】求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解．另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解,这样处理相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集,在解答有关集合补集问题时,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后根据补集的定义求解．【同类练习】1．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2},A＝{x∈R|－2≤x≤0},则∁U A等于( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}【参考答案】C【解析】：∵U＝{x∈R|－2≤x≤2},A＝{x∈R|－2≤x≤0},∴∁U A＝{x|0＜x≤2},故选C.2．设全集S＝{1,2,3,4},且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0},若∁S A＝{2,3},则m＝________.【参考答案】：4【解析】：因为S＝{1,2,3,4},∁S A＝{2,3},所以A＝{1,4},即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根,由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.题型二、集合的交、并、补集的综合运算【例3】已知全集U＝{x|x≤4},集合A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|－3≤x≤2}．(1)求A∩B,(∁U A)∪B,A∩(∁U B)；(2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B)．【参考答案】【解析】(1)因为A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|－3≤x≤2},所以∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4},∁U B＝{x|x ＜－3或2＜x≤4},所以A∩B＝{x|－2＜x≤2},(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4},A∩(∁U B)＝{x|2＜x＜3}．(2)由条件知A∪B＝{x|－3≤x＜3},所以∁U(A∪B)＝{x|x＜－3或3≤x≤4}．又A∩B＝{x|－2＜x≤2},所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2＜x≤4}．【方法技巧】解决集合运算问题的方法(1)要进行集合运算时,首先必须熟练掌握基本运算法则,可按照如下口诀进行：交集元素仔细找,属于A且属于B；并集元素勿遗漏,切忌重复仅取一；全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集．(2)解决集合的混合运算问题时,一般先运算括号内的部分,如求(∁U A)∩B时,先求出∁U A,再求交集；求∁U(A∪B)时,先求出A∪B,再求补集．(3)当集合是用列举法表示时(如数集),可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合),则可运用数轴求解．【同类练习】1.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5},M∩(∁U N)＝{2,4},则N＝( )A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}【参考答案】B【解析】：画出Venn图,阴影部分为M∩(∁U N)＝{2,4},所以N＝{1,3,5}．2．已知全集U＝R,集合A＝{x|x＋1＜0},B＝{x|x－3＜0},那么集合(∁U A)∩B＝( )A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1＜x＜3}C．{x|x＜－1}D．{x|x＞3}【参考答案】A【解析】：∵A＝{x|x＋1＜0}＝{x|x＜－1},B＝{x|x－3＜0}＝{x|x＜3},∴∁U A＝{x|x≥－1},∴(∁U A)∩B＝{x|－1≤x＜3}．题型三、与补集有关的求参数问题【例5】已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0,x∈R},B＝{x|x<0,x∈R},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围．【参考答案】m<－3【解析】∵A∩B≠∅,∴A≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1}．若A∩B＝∅,则方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根x1,x2均非负,则Error!⇒－3≤m≤－1,∵{m|－3≤m≤－1}关于U的补集为{m|m<－3},∴实数m的取值范围为m<－3【方法技巧】由集合的补集求解参数的问题(1)如果所给集合是有限集,由补集求参数问题时,可利用补集定义并结合知识求解．(2)如果所给集合是无限集,与集合交、并、补运算有关的求参数问题时,一般利用数轴分析法求解．【同类练习】1.设集合A＝{x|x＋m≥0},B＝{x|－2<x<4},全集U＝R,且(∁U A)∩B＝∅,求实数m的取值范围．【参考答案】{m|m≥2}【解析】　由已知A＝{x|x≥－m},得∁U A＝{x|x<－m},因为B＝{x|－2<x<4},(∁U A)∩B＝∅,所以－m≤－2,即m≥2,所以m的取值范围是{m|m≥2}．2.已知集合A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|m＜x＜m＋9},若(∁R A)∩B＝B,则实数m的取值范围为_________．【参考答案】{m|m≤－11或m≥3}【解析】：∁R A＝{x|x≤－2或x≥3},由(∁R A)∩B＝B,得B⊆∁R A,∴m＋9≤－2或m≥3.故m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}．【本节同步分层练习】一、夯实基础1．已知U＝R,集合A＝{x|x＜－2或x＞2},则∁U A＝( )A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|x≤－2或x≥2}【参考答案】C【解析】：根据补集的定义可得∁U A＝{x|－2≤x≤2}．2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{1,2,5},∁U B＝{4,5,6},则A∩B＝( )A．{1,2}B．{5}C．{1,2,3}D．{3,4,6}【参考答案】A【解析】：因为∁U B＝{4,5,6},所以B＝{1,2,3},所以A∩B＝{1,2,5}∩{1,2,3}＝{1,2},故选A.∁U3.设集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},则(A∩B)等于( )A．{2,3} B．{1,4,5}C．{4,5} D．{1,5}【参考答案】B【解析】集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},所以A∩B＝{2,3},∁U(A∩B)＝{1,4,5},故选B.∁R4．集合A＝{x|－1≤x≤2},B＝{x|x<1},则A∩(B)＝( )A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x≤2}【参考答案】D【解析】由补集的概念和已知条件可得：∁R B＝{x|x≥1},又根据交集的定义可知A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2},故选D.∁U5．已知全集U＝{1,2,a2－2a＋3},A＝{1,a},A＝{3},则实数a等于( )A．0或2 B．0C．1或2 D．2【参考答案】　D【解析】　根据题意,得a2－2a＋3＝3,且a＝2,解得a＝2,故选D.6.已知全集S＝{(x,y)|x∈R,y∈R},A＝{(x,y)|x2＋y2≠0},用列举法表示集合∁S A＝________.【参考答案】：{(0,0)}【解析】：∁S A＝{(x,y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．7．已知全集U＝R,M＝{x|－1<x<1},∁U N＝{x|0<x<2},那么集合M∪N＝________.【参考答案】：{x|x<1或x≥2}【解析】：∵U＝R,∁U N＝{x|0<x<2},∴N＝{x|x≤0或x≥2},∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．∁U8.设全集U＝{2,4,－(a－3)2},集合A＝{2,a2－a＋2},若A＝{－1},则实数a的值为________．【参考答案】2【解析】由已知可得Error!解得a＝2.9．已知M＝{x|x<－2或x≥3},N＝{x|x－a≤0},若N∩∁R M≠∅(R为实数集),则a的取值范围是________．【参考答案】a≥－2∁R【解析】　∵M＝{x|－2≤x<3},借助数轴可得a≥－2.10.设U＝R,已知集合A＝{x|－5<x<5},B＝{x|0≤x<7},求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁U B)；(4)B∩(∁U A)．【参考答案】见解析【解析】：(1)如图①.A∩B＝{x|0≤x<5}．(2)如图①.A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图②.∁U B＝{x|x<0或x≥7},∴A∪(∁U B)＝{x|x<5或x≥7}．(4)如图③.∁U A＝{x|x≤－5或x≥5},∴B∩(∁U A)＝{x|5≤x<7}．二、能力提升1.已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7},A＝{2,3,4,5},B＝{2,3,6,7},则B∩∁U A＝( ) A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}【参考答案】C【解析】：　∵U＝{1,2,3,4,5,6,7},A＝{2,3,4,5},∴∁U A＝{1,6,7},∴B∩∁U A＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}．2．已知U＝{1,2,3,4,5},A＝{2,m},且∁U A＝{1,3,5},则m等于( )A．1B．3C．4D．5【参考答案】C【解析】：由已知m∈U,且m∉∁U A,故m＝2或4.又A＝{2,m},由元素的互异性知m≠2,故m＝4.所以选C.3．设全集U＝{x|x≥0},集合P＝{1},则∁U P等于( )A．{x|0≤x＜1或x＞1}B．{x|x＜1}C．{x|x＜1或x＞1}D．{x|x＞1}【参考答案】A【解析】：因为U＝{x|x≥0},P＝{1},所以∁U P＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x＞1}．4．设全集U＝R,集合M＝{x|x＞1,或x＜－1},N＝{x|0＜x＜2},则∁U(M∪N)＝( )A．{x|－1≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤0}D．{x|x＜1}【参考答案】C【解析】：因为M∪N＝{x|x＞0或x＜－1},所以∁U(M∪N)＝{x|－1≤x≤0}．5．设全集U＝R,M＝{x|x<－2或x>2},N＝{x|1≤x≤3}．如图所示,则阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x≤2或x>3}D．{x|－2≤x≤2}【参考答案】A【解析】：阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．故选A.6．设全集U＝R,集合A＝{x|0<x<9},B＝{x∈Z|－4<x<4},则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为________．【参考答案】：4【解析】：∵U＝R,A＝{x|0<x<9},∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9},又∵B＝{x∈Z|－4<x<4},∴(∁U A )∩B ＝{x ∈Z|－4<x ≤0}＝{－3,－2,－1,0}共4个元素．7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素,(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为________．【参考答案】：m －n【解析】：因为(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ),所以A ∩B 中的元素个数是(m －n )个．8．设全集U ＝R,集合A ＝{x |x ＞1},B ＝{x |x ＞a },且(∁U A )∪B ＝R,则实数a 的取值范围是________．【参考答案】：{a |a ≤1}【解析】：因为A ＝{x |x ＞1},B ＝{x |x ＞a },所以∁U A ＝{x |x ≤1},由(∁U A )∪B ＝R,可知a ≤1.9．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0},满足(∁R A )∩B ＝{2},A ∩(∁R B )＝{4},求实数a ,b 的值．【参考答案】a ＝,b ＝－87127【解析】：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4},知2∈B ,但2∉A ；4∈A ,但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ,A 两集合中的方程得Error!即Error!解得a ＝,b ＝－即为所求．8712710．已知全集U ＝{小于10的正整数},A ⊆U ,B ⊆U ,且(∁U A )∩B ＝{1,8},A ∩B ＝{2,3},(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9}．(1)求集合A 与B ；(2)求(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )](其中R 为实数集,Z 为整数集)．【参考答案】【解析】：由(∁U A )∩B ＝{1,8},知1∈B,8∈B ；由(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9},知4,6,9∉A ,且4,6,9∉B ；由A ∩B ＝{2,3},知2,3是集合A 与B 的大众元素．因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以5,7∈A .画出Venn 图,如图所示．(1)由图可知A ＝{2,3,5,7},B ＝{1,2,3,8}．(2)(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )]＝{x |x ∈R,且x ≠2,x ≠3}．三、挑战高考1.设U＝R,集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0},B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅,求m的值．【参考答案】m＝1或m＝2.【解析】A＝{－2,－1},由(∁U A)∩B＝∅,得B⊆A,∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0,∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1,－2}．①若B＝{－1},则m＝1；②若B＝{－2},则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4,且m＝(－2)×(－2)＝4,这两式不能同时成立,∴B≠{－2}；③若B＝{－1,－2},则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3,且m＝(－1)×(－2)＝2,由这两式得m＝2.经检验知m＝1或m＝2符合条件．综上可得m＝1或m＝2.2.设全集U＝R,集合A＝{x|－5＜x＜4},集合B＝{x|x＜－6或x＞1},集合C＝{x|x－m＜0},求实数m的取值范围,使其同时满足下列两个条件．①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁U A)∩(∁U B)．【参考答案】【解析】：因为A＝{x|－5＜x＜4},B＝{x|x＜－6或x＞1},所以A∩B＝{x|1＜x＜4}．又∁U A＝{x|x≤－5或x≥4},∁U B＝{x|－6≤x≤1},所以(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|x＜m},因为当C⊇(A∩B)时,m≥4,当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时,m＞－5,所以m≥4.即实数m的取值范围为{m|m≥4}．11。

高一数学全集与补集练习题

3．2 全集与补集一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则U(M∪N)＝()A.{5,7}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}【解析】M∪N＝{1,3,5,6,7}，∴U(M∪N)＝{2,4,8}，故选C.【答案】 C2.已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x＜3}，则下列关系正确的是()A. U A＝BB. U B＝CC.(U B) ⊇CD.A⊇C【解析】B＝{－1,3}，U A＝{－1,3}，∴U A＝B.【答案】A3. 设U=Z，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是()A.{1,3,5}B.{1,2,3,4,5}C.{7,9}D.{2,4}【解析】由V enn图可知阴影部分表示的集合为B∩(U A)＝{2,4}.【答案】D4.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(R B)＝R，则实数a的取值范围是()A.a≤2B.a＜1C.a≥2D.a＞2【解析】∵B＝{x|1＜x＜2}，∴R B＝{x|x≥2或x≤1}.如下图若要A∪(R B)＝R，必有a≥2.【答案】C二、填空题(每小题5分，共10分)5. 如果S＝{x∈N|x＜6}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，那么(S A)∪(S B)＝.【解析】∵S＝{x∈N|x＜6}＝{0,1,2,3,4,5}.∴S A＝{0,4,5}，S B ＝{0,1,3}.∴(S A)∪(S B)＝{0,1,3,4,5}.【答案】{0,1,3,4,5}6.已知A＝{x|x≤1或x＞3}，B＝{x|x＞2}，则(R A)∪B＝.【解析】R A＝{x|1＜x≤3}，∴(R A)∪B＝{x|x＞1}.【答案】{x|x＞1}三、解答题(每小题10分，共20分)7.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|2－x＜0}.(1)求U A，U B；(2)判断U A与U B的关系.【解析】(1) U A＝R A＝{x|x＜－3}，∵B＝{x|x＞2}，∴U B＝{x|x≤2}.如图所示.(2)由(1)知，U A U B，即U A是U B的真子集.8.集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(S B)∩A＝{1,2,3}，(S A)∩(S B)＝{6,7,8}，求集合A和B.【解析】如下图所示.因为A∩B＝{4,5}，所以将4,5写在A∩B 中.因为(S B)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中.因为(S B)∩(S A)＝{6,7,8}，所以将6,7,8写在S中A，B外.因为(S B)∩A与(S B)∩(S A)中均无9,10，所以9,10在B中.故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.9.(10分)集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|a<x<b}，若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a，b.【解析】∵A∩B＝∅，A∪B＝R.∴A与B互为补集.故B＝R A＝{x|－2<x<3}，又B＝{x|a<x<b}，∴a＝－2，b＝3.。

高一数学：子集、全集、补集典型例题及讲解

【文库独家】子集、全集、补集典型例题及讲解例1 判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆[ ]分析作出4图形．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ．答选A ．说明：要注意集合中谁是元素．M 与P 的关系是[ ]A ．M ＝U PB ．M ＝PC M PD M P ．．≠⊃⊆分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法．说明：一题多解可以锻炼发散思维．例7 下列命题中正确的是[ ] A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ．答选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解．答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ] A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。

全集、补集学案(人教a版高一数学必修1).doc

3.全集、补集【本课重点】补集的概念。

【预习导引】1、已知S=｛高一(2)班同学｝, A=｛高一(2)班参加校运动会的同学｝,则CsA=.2、已知全集U=(|-l<x<9｝,0 CuA=(x|-l<x<a｝，贝U a 的取值范围是.3、已知U=｛0,l,2｝,CuA=｛2｝,则A的真子集共有个.4、已知S=｛二角形｝,B=｛锐角二角形｝，则CsB=；已知全集U=乙则CuN=,Cu © =.【典例综讲】1.(1)设全集U=｛小于10的自然数｝, A=｛小于10的正偶数｝,B=｛小于10的质数｝,求CuA, CuB, Cu(CuA).(2)若集合A=(x|-l<x<2),当全集U分别取下列集合时，求CuA(1)U=R；(2)U=(x|x<3}；(3)U=(x|-2<x<2);1、已知全集U={2,3,a2+2a-3), A={|a+7|,2}, CuA={5},求实数a 的值.2、已知集合A=(x|x<5｝, B=｛x|l<xWa｝, C R A C R B,求实数a的取值范围.3、(备选题)已知全集U=｛x|x<6且xeN*｝, A=｛x|x2-5x+p=0 ,xe R),求实数p的值及相应的CuA.【随堂反馈】1、设全集U ={1,2/2-2}, A={l,x},则CuA=.设集合M={0,l,2,3}, CsM=(-l,-3,4,5},, C S B={1,-1,2),则B=.【课*则】1、下列各结论中，不正确的是( )(D) 4 (A) 0C CyM (B) CuUF (C) Cu(CuM)=M (D) <2抻邮2、已知全集17=2,集合 M={x|x=2k,ke Z ),P={x| x=2k+l,ke Z ),则有下列关系式：①M Q P ；②CuM=CuP;③CuM=P ；④CuP=M 。

其中正确的有(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个3、已知全集 U={X |-K X <3),M={X |-1<X <3),P={X |X 2-2X -3=0},S={X |-K X <3),则有() (A) QjM=P (B) CuP=S (C) S cCuM (D) MoP4、已知全集 U=(x| X 2-3X +2=0),A={X | x 2-px+2=0, C V A=^>,则实数 p 的值为5、已知全集U={x|x 是至少有一组对边平行的四边形}, A=(x|x 是平行四边形},则CuA=6、已知全集U={ 1 ,3,X 3+3X 2+2X },A={ 1 ,|2X - 11},是否存在实数x,使CuA={0},若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 7、已知全集11=11,集合A={x|x>3或xW-2},集合B= (x|2m-1 <x<m+1},且BjCuA,求m 的取值范围.(选做题)定义 A-B={x|xeA 且 x£B},若 M={1,2,3,4,5},P={2,4,6,8},求 P-M, P-(P-M).【本谦重点】交集、并集的概念与性质【预习导引】5、已知集合A={x|x 是等腰三角形}, B={x|x 是直角三角形}, C={x|x 是锐角三角形},贝 U A n B ,B n c=L6、已知A={x|x<5,xe N), B={x|l<x<9, xe N),则A QB 的非空了集共有个,的真了集个数为7、 {锐角三角形} U {钝角三角形}= ； {平行四边形} U {矩形}=:8、已知全集 U={0,l,2,3,4},M={0,l,2,3},P={2,3,4},则(C D M) U(CuP)=C u (M c P) = ___________________5、在图中将APB, AUB 用阴影表示出来【三■讨】【蜘1练讲】1、⑴设A={x|-2〈x〈3}, B={x|xW 1 或x〉2},求Al~lB, AUB(2)设A= {(x, y) |x+y=2}, B= {(x, y) | x-y=4},求AHB2,(1)设全集U=R, A={ x|-5<x<5}, B={ x|0<x<7}.试求AUB, AHB, (QjA) U(C D B), (CuA) A (CuB), C LI (AAB), C v (AUB),山此，你能获得什么结论？(2)设全集U=(x|x<10, xeN},AnB={2},(CuA)nB= {4,6,8},(CuA) A(CuB)={0,1,9}, 求集合A,B.3、已知集合A={x|x2+4x=0}.B={x|x2+2(a+l)x+a2-l=0, xe R), (1)若AAB=B,求实数a 的取值范围.(2) 若Au B = B求实数a的值。

高中数学人教B版必修一学案：第一单元第2课时补集及综合应用 Word版含答案

第2课时补集及综合应用学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？梳理知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？梳理 1.补集定义2.运算性质A∪∁U A＝____；A∩∁U A＝____；∁U(∁U A)＝____.类型一求补集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁(A∪B)．U反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝∅，(∁A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．U跟踪训练2如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A ＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.命题角度2补集思想的应用例3关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题．(2)求解反面问题对应的参数的取值范围．(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．跟踪训练3若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．类型三集合的综合运算例4(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁B)等于()UA．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．跟踪训练4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁U B)＝{4,9}，则B等于()A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁B)．U1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()A．Z∪∁U N B．N∩∁U NC．∁U(∁U∅) D．∁U Q5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于()A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究的问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.答案精析问题导学知识点一思考老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向．梳理子集U知识点二思考剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．梳理1．不属于A∁U A{x|x∈U，且x∉A}2．U∅A题型探究例1(1)C(2)解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．(3)解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．跟踪训练1(1){3,4,5}(2){x|－1＜x＜2}(3){(x，y)|xy≤0}例2解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．跟踪训练2{x|0≤x≤1或x＞2}例3解假设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a <－1，－2<a < 2. 解得－2<a <－1，∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．跟踪训练3 解假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98，且a ≠0，则集合A 中含有2个元素时，实数a 的取值范围是{a |a <98且a ≠0}．在全集U ＝R 中，集合{a |a <98且a ≠0}的补集是{a |a ≥98或a ＝0}，所以满足题意的实数a 的取值范围是{a |a ≥98或a ＝0}．例4 (1)A (2)a ≥2跟踪训练4 (1)B(2)解如图所示．∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．当堂训练1．C 2.D 3.C 4.A 5.B。

子集、全集、补集

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规定：任何一个集合是它本身的子集. 如A={11，22，33}，B={20，21，31}，
那么有A A，B B.
例如：A={正方形}，B={四边形}，C={多边形}，则从中可以看出什么规律：
AB，B C， A C
从上可以看到，包含关系具有“传递性”.
新课讲授
真子集的定义：
如果A B，并且 A ≠B，则集合A是集合B 的真子集.
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问题：集合与集合之间的关系如何建立？
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数学高一-2013必修一【知能演练】映射

1．下列对应法则f 中，能构成从A 到B 的函数的有( )①A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x 2；②A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2；③A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x2；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.②中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数；③中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数．①④都能构成A 到B 的函数．2．下列对应关系是从集合M 到集合N 的一一映射的是( )A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x，x ∈M ，y ∈N B ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈NC ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N D ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N解析：选D.判断一个对应关系是否为一一映射，要从基本概念入手，看是否满足一一映射的条件，A 选项M 中元素0在N 中没有像与之对应，所以A 不是映射；B 选项M 中元素±1在N 中对应相同的像1，虽然B 是映射，但不是一一映射；C 选项M 中元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以C 不是映射；D 选项M 中的每一个元素在N 中都有唯一元素与之对应，M 中的不同元素在N 中的像也不同，且N 中的元素在M 中都有原像，所以D 是一一映射．3．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，像(2,1)的原像是________．解析：本题即为求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1的解．答案：⎝⎛⎭⎫32，124．已知映射f ：A →B ，其中，集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数最少是________．解析：本题题意叙述虽长，但转换成图表语言则非常简洁．如图，即可知个数最少应为4. 答案：4[A 级基础达标]1．(2012·九江检测)在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( )A ．集合B 中的某一个元素b 的原像可能不止一个B ．集合A 中的某一个元素a 的像可能不止一个C ．集合A 中的两个不同元素所对应的像必不相同D ．集合B 中的两个不同元素的原像可能相同解析：选A.由映射的概念可知，A 中的每个元素都有像，且像唯一，B 中未必每个元素都有原像且不一定唯一，故选A.2．下列对应关系f 中，不是从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝{x |1<x <4}，B ＝[1,3)，f ：求算术平方根B ．A ＝R ，B ＝R ，f ：取绝对值C ．A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：求平方D ．A ＝R ，B ＝R ，f ：取倒数解析：选D.因为D 中0取倒数无意义，故选D.3．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.∵20＝2n ＋n ，分别将选择项代入检验，知当n ＝4时成立．4．(2012·淮北质检)已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则分别是： (1)f ：x →y ＝12x ，(2)f ：x →y ＝x －2，(3)f ：x →y ＝x ，(4)f ：x →y ＝|x －2| 其中能构成一一映射的是________．解析：(1)y ＝12x .x ∈[0,4]．y ∈[0,2]＝B (2)y ＝x －2∈[－2,2]≠B .(3)y ＝x ∈[0,2]＝B .(4)y ＝|x －2|∈[0,2]，但如y ＝1.∴x ＝3或x ＝1. 答案：(1)(3)5．已知从A 到B 的映射是x →2x ＋1，从B 到C 的映射是y →y 2－1，其中A ，B ，C ⊆R ，则从A 到C 的映射是________．[:]解析：x ∈A .y ∈B .z ∈C .∴y ＝2x ＋1.z ＝y 2－1 ∴z ＝12(2x ＋1)－1＝x －12.∴x →x －12答案：x →x －126．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，e ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射A →B 为：并称A 中字母拼成的文字为明文，相应B 中对应字母拼成的文字为密文，则：(1)“mathematics”的密文是什么？(2)试破译密文“ju jt gvooz”．[:]解：由明文与密文的关系可知：(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．[B 级能力提升]7．(2012·汉中调研)下列对应法则是从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |B ．A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝xC ．A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|D ．A ＝R ，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2解析：选D.x ＝0，y ＝0∉B ，A 错．同理B 错．C 中：当x ＝1时，y ＝0∉B .C 错.8．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有( )A ．6种B ．7种C ．8种D ．27种解析：选B.该函数的值域C 的不同情况有{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}7种．9．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．解析：根据条件可知x ＝3，y ＝4，则x ＋y ＝3＋4＝7，xy ＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－2.所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)．答案：(7,12) (－2,3)或(3，－2)10．(创新题)已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N ＋，k ∈N ＋，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B .解：根据对应法则f ，有：f ：1→4；2→7；3→10；k →3k ＋1.若a 4＝10，则a ∉N ＋，不符合题意，舍去；若a 2＋3a ＝10，则a ＝2(a ＝－5不符合题意，舍去)．故3k ＋1＝a 4＝16，得k ＝5.综上可知，a ＝2，k ＝5, 集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{4,7,10,16}．11．已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素个数最多时的集合A .解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素都应在B 中有唯一的元素对应．∵1|x |－1≠0，∴0在A 中不存在原像；由1|x |－1＝1，得x ＝±2，∴±2可取作1的对应元素；由1|x |－1＝12，得x ＝±3，∴±3可取作12的对应元素；由1|x |－1＝13，得x ＝±4，∴±4可取作13的对应元素； ∴A 中元素最多只能是6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。

高中数学第三章3.1.2知能演练轻松闯关新人教A版必修1

【优化方案】2013年高中数学第三章3.1.2知能演练轻松闯关新人教A版必修11．定义在R上的奇函数f(x)( )A．未必有零点B．零点的个数为偶数C．至少有一个零点D．以上都不对解析：选C.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)至少有一个零点，且f(x)零点的个数为奇数．x 1234567 f(x)132.115.4－2.318.72－6.31－125.112.6f xA．5个B．4个C．3个D．2个解析：选C.观察对应值表可知，f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，f(6)＜0，f(7)＞0，∴函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选C.3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．答案：(0,0.5) f(0.25)4xf(1.6000)≈0.200f(1.5875) ≈0.133f(1.5750) ≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625) ≈－0.029f(1.5500) ≈－0.060x．解析：由参考数据知，f(1.5625)≈0.003>0，f(1.55625)≈－0.029<0，即f(1.5625)·f(1.55625)<0，且1.5625－1.55625＝0.00625<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.5625.答案：1.5625[A级基础达标]1．用二分法求函数f(x)＝3x3－6的零点时，初始区间可选为( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B.∵f (1)＝－3，f (2)＝18，∴f (1)·f (2)<0.∴可选区间为(1,2)．2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )①y ＝3x 2－2x ＋5②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1，x ≥0x ＋1，x <0 ③y ＝2x＋1，x ∈(－∞，0) ④y ＝x 3－2x ＋3⑤y ＝12x 2＋4x ＋8 A ．①③B ．②⑤C ．⑤D ．①④解析：选 C.二分法只适用于在给定区间上图象连续不间断的函数变号零点的近似值的求解．题中函数①无零点，函数②③④都有变号零点．函数⑤有不变号零点－4，故不能用二分法求零点近似值，应选C.3．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D. 不能确定解析：选B.由已知f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，∴f (1.25)f (1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B.4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解．验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点，x 1＝2＋42＝3.计算f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：∵f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0，故x 0∈(2,3)．答案：(2,3)5．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：46．方程x 2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．解：令f (x )＝x 2－1x，则当x ∈(－∞，0)时，x 2>0，1x <0，所以－1x>0，所以f (x )＝x 2－1x>0恒成立，所以x 2－1x＝0在(－∞，0)内无实数解． [B 级能力提升]7．方程log 2x ＋x 2＝2的解一定位于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B.设f (x )＝log 2x ＋x 2－2，∵f (1)＝0＋1－2＝－1<0，f (2)＝1＋4－2＝3>0，∴f (1)f (2)<0，由根的存在性定理知，方程log 2x ＋x 2＝2的解一定位于区间(1,2)，故选B.8．某方程在区间D ＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D 分( )A ．2次B ．3次C ．4次D ．5次解析：选D.等分1次，区间长度为1.等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1.9．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________．①“二分法”求方程的近似解一定可将y ＝f (x )在[a ，b ]内的所有零点得到②“二分法”求方程的近似解有可能得到f (x )＝0在[a ，b ]内的重根③“二分法”求方程的近似解y ＝f (x )在[a ，b ]内有可能没有零点④“二分法”求方程的近似解可能得到f (x )＝0在[a ，b ]内的精确解解析：利用二分法求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的零点，那么在区间[a ，b ]内肯定有零点存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是[a ，b ]内的精确解．答案：④10．如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房(设为A )到防洪指挥部(设为B )的电话线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km 长，大约有200多根电线杆子呢？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50 m ～100 m 左右，即一两根电线杆附近，最多要查多少次？解：(1)如图所示，他首先从中点C 检查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段中点D 查，这次若发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 段中点E 来查．依次类推……(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7次就够了．11．求方程2x 3＋3x －3＝0的一个近似解(精确度为0.1)．解：设f (x )＝2x 3＋3x －3，经试算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有实数根．取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有实数根．(a ，b ) (a ，b ) 的中点 f (a ) f (b ) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 (0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0(0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0可取为0.75.。

高中数学新北师大版精品教案《3.2 全集与补集》

§《全集与补集》教学设计教学目标：一、知识与技能（1）通过实例了解全集的含义及其符号表示（2）通过实例及图形表示来理解补集的含义,会求给定子集的补集（3）熟练掌握集合交、并、补的综合运算二、过程与方法通过对概念、性质、规律的探究提高学生抽象概括能力、培养数形结合能力、掌握归纳类比的方法三、情感、态度、价值观（1）培养学生主动学习的意识,并通过合作学习的形式,培养学生积极参与的主体意识（2）借助集合（作为一种数学语言）让学生体会数学符号化解决问题的简洁美教学重点：掌握补集的概念及交、并、补的综合运算,会用Venn图、数轴进行集合的运算教学难点：对补集概念的理解,补集应用中方法规律的探究教学方法：问题探讨式与实践式相结合教学准备：PPT教学用时：一课时教学过程：一、回顾思考：结合集合的基本运算（交集与并集）考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗你能说出集合D与集合A,B之间的关系吗1 A={6,8,10,12}, B={3,6,9,12} ,C={6,12},D={3,6,8,9,10,12}{}{}{}{}=-≤≤=≤≤=≤≤=-≤≤A x xB x xC x xD x x(2)12,03,02,13.1、交集一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”,即A∩B={|∈A,且∈B}2、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”即A∪B={|∈A,或∈B}二、新知思考：集合间还有其它的基本运算吗？考察下列各个集合,你能说出集合C 与集合A,B 之间的关系吗你能说出集合D 与集合A,B 之间的关系吗 1 A={6,8,10,12}, B={3,6,9,12} ,C={6,12},D={3,6,8,9,10,12}{}{}{}{}(2)12,03,02,13.A x xB x xC x xD x x =-≤≤=≤≤=≤≤=-≤≤1、全集与补集在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U 表示全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素设U 是全集,A 是U 的一个子集（即A U ⊆）,则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫作U 中子集A 的补集（或余集）{|,}U C A x x U x A =∈∉记作且补集可用Venn 图表示为:说明：补集是与全集同时存在的，补集的概念必须要有全集的限制全集不同，对同一个集合的补集也不同2、例题讲解三、演练一队练二队练四、小结回顾本节课你有什么收获？1、全集和补集的概念2、补集的性质3、用数轴法和Venn图法进行集合的交集、并集、补集运算五、作业完成书本习题P14-15六、板书设计。

集合的运算-补集

人教版数学必修第一册
1.3 集合的基本运算全集、补集及综合应用
一、自主学习
请同学阅读12-13页的内容，并思考以下问题 1、全集的含义 2、补集的：相对于某个集合 U，其子集中的元素是 U 中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于 U 构成了相对关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”．集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是部分与整体的关系．这就是本节研究的内容 ——全集和补集．
A．{5,8}
B．{7,9}
C．{0,1,3}
D．{2,4,6}
[解析] 因为∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}，所以 (∁UA)∩(∁UB)＝{7,9}．
[答案] B
三、经典例题
(2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－ 3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
二、合作探究
探究点一全集、补集概念问题 1 方程(x－2)(x2－3)＝0 的解集在有理数范围内与在实数范
围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？
答方程在有理数范围内的解集为{2}，在实数范围内的解集为{2， 3，－ 3}．数学学科中很多问题都是在某一范围内进行研究．如本
问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的．类似这些给定的集合就是全集．
答用 Venn 图表示：(阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)
三、经典例题
题型一补集的运算
【例 1】 (1)若全集 U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
则集合 A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA 为( )
A．{x∈R|0<x<2}
B．{x∈R|0≤x<2}

人教版高一数学必修一《全集、补集及综合应用》PPT课件

合 A∩(∁UB)＝( A．{2，5}
) B．{3，6}
C．{2，5，6}
D．{2，3，5，6，8}
(2)已知全集 U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝
xx≤0或x≥52，求 A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．
【解】 (1)选 A.因为 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1， 3，4，6，7}，所以∁UB＝{2，5，8}．又 A＝{2，3，5，6}，所以 A∩(∁UB)＝{2，5}． (2)将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示，
由图知∁SA＝{x|x<－1 或 1≤x≤2}． (3)把集合 S 和 A 表示在数轴上，如图所示，
由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1 或 x＝1}．
集合交、并、补的综合运算
(1)(2019·长沙检测)已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，
8}，集合 A＝{2，3，5，6}，集合 B＝{1，3，4，6，7}，则集
1．(变问法)在本例(2)的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．解：画出数轴，如图所示，
观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝x2≤x<52.
2．(变条件)将本例(2)中的集合 P 改为{x|x≤5}，且全集 U＝P， A，B 不变，求 A∪(∁UB)．解：画出数轴，如图所示，
观察数轴可知 A∪(∁UB)＝{x|x<2 或 3<x≤5}．
∁ UA 的三层含义 (1)∁ UA 表示一个集合． (2)A 是 U 的子集，即 A⊆U. (3)∁ UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数集问题的全集一定是 R.( ) (2)集合∁ BC 与∁ AC 相等．( )

高中教育数学必修第一册人教B版《1.1.3.2 补集及综合应用》教学课件

题涉及的所有元素． ∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A ⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
基础自测 1.设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x＜3}，则∁UP等于( ) A．{x|x＜－2或x≥3} B．{x|x＜－2或x＞3} C．{x|x≤－2或x＞3} D．{x|x≤－2且x≥3}
跟踪训练3 设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，∁UA ＝{5}，求实数m.
解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不符合题意舍去．综上，可知m＝3.
方法归纳求集合交、并、补运算的方法
跟踪训练2 (1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝ {x|－3＜x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U (A∩B)，(∁A)∩ B；
状元随笔借助数轴求出∁UA，∁UB再运算．解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩ B＝{x|－2<x<3}， ∁U(A∩ B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， (∁UA)∩ B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．
∅，则实数a的取值范围是_－__3_＜_a_＜__3或__a＞__2 _____．
状元随笔 A∩ B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A ≠∅两种情况. A＝∅显然不合题意，若A ∩ B ≠ ∅，情况很多种，而A∩ B＝∅，
只有一种情形，故用补集思想解决．

高中数学必修一子集、全集、补集知识点和练习.docx

子集、全集、补集［预习自测］集合的运算运算类型交集并集补集定由所有属于A且属于由所有属于集合A或设S是一个集合，A是S 义B的元素所组成的集属于集合B的元素所的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A,B的交组成的集合，叫做A,B 合，叫做S中子集A的补集•记作AQB （读作的并集.记作：AUB 集（或余集）'A 交B，),即AQB= （读作'A并B，）,记作C/,即{ X I X€ A,且XG B}・即AUB ={x|xeA,或xeB}).CsA 二{x|xwS,山纟A}韦(/I D) 恩C A C A图\/示 F. 1图2性AQA=A AUA二A (CuA) n (C U B)Ap e二e AU e二A二C u (AUB)质ARB^BAA AUB 二BUA (C U A) U (C U B)AABcA AUBo A =C u (A n B)AABcB AUBoB AU (GA)二UAA (GA)二 e.例1.判断以下关系是否正确：（1）｛。

匕何；（刀｛1，2,3｝ = ｛3,2,1｝；（3）0/°｝；⑷0e｛0｝；⑸0屮｝；⑹0珂0｝；例2.设A = gTv兀＜3,"Z｝,写出A的所有子集.例3.已知集合M={d,Q + d,d + 2d}, N = \a,aq,aq‘ ,其中心。

且M = N ,求§和d的值(用d 表示)•例4.设全集”={2,3,° +2d-3},人={|2°-1|,2}C〃A = {5},求实数G的值.例5.已知 A = {g<3},B = {gs}.⑴若B Q A，求Q的取值范围；⑵若AgB，求d的取值范围；⑶若c討吳C』，求d的取值范围.［课内练习］下列关系中正确的个数为( )①oe {0),②eQ{0},③{0, 1}^{ (0, 1) },④殳(a, b) } = { (b, a) }A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 集合松，4,6,8}的真子集的个数是( )(A) 16 (B)15 (014 (D) 133. 集合人=｛正方形｝, 〃 = ｛矩形｝, C 二｛平行四边形｝, 0 = ｛梯丿切，则下面包含关系中不正确的是( )(A) A ^B⑻ BuC(c) C Q D①)A U C4. 已知 M 二｛x| —2WxW5｝, N 二｛x| a+1WxW2a —1｝・ (I )若M^N,求实数a 的取值范圉； (II )若M — N,求实数a 的取值范围.［巩固提高］1.四个关系式：①0u ｛O ｝；②o*｛O ｝；③0w ｛O ｝；④0 = ｛0｝.其中表述正确的是［］ A.①,②B.①，③C. ①，④D.②，④ 2・若 U 二｛x | x 是三角形｝, p={X 1x 是直角三角形｝,则CuP = ------------------------- []A. ｛x x 是直角三角形｝B. {x | X 是锐角三角形｝C. ｛x | x 是钝角三角形｝D. {x | X 是锐角三角形或钝角三角形｝ 3.下列四个命题：①0 = ｛°｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集5. 若5尺，A = {g )»x}, 3-{(讪；-1},则 A,B 的关系是—[] A ・兔人 B 聂B ・A BC. A = BD.6 •设 A 二何X <5K N},B={X I 1< x <6/旳，则 C 』A. 0个B. 1个 C ・2个4・满足关昊{1,2} G A------------------------ [1A ・5B. 6 C・7D. 3个｛1,2,3,4,*的集合A 的个数是D. 87. U二{x | /—8x + 15 = 0,xw/?},则u 的所有子集是8.已知集合A=UI GVXV5},B = {x\x^2}且满足AcB，求实数a的取值范围.9.已知集合p 二{x | F+ —6 $ 二{x | Q + 1 =若SUP,求实数Q的取值集合.1 0.已知M 二{x | x>°，兀丘尺}, N 二{x | x> ⑦ xwR}(1) 若M匚N ,求a得取值范围：(2) 若心N ,求。

数学高一-2013必修一【知能演练】1.3.1交集与并集

1．已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |x ≤－3}，则M ∪N ＝( )A ．∅B ．{x |x ≥－3}C ．{x |x ≥1}D ．{x |x <1}解析：选D.在同一条数轴上表示出集合M 、N ，如图所示，由图得M ∪N ＝{x |x <1}．2．若集合M ＝{－1,0,1,2}，N ＝{x |x (x －1)＝0}，则M ∩N ＝( )A ．{－1,0,1,2}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}解析：选D.∵M ＝{－1,0,1,2}，N ＝{x |x (x －1)＝0}＝{0,1}．∴M ∩N ＝{0,1}．3．设A ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝12，x ，y ∈N ＋}，B ＝{(x ，y )|2x －2y ＝－2，x ，y ∈N ＋}，则A ∩B ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝122x －2y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3∴A ∩B ＝{(2,3)}答案：{(2,3)}4．已知A ＝{x |1≤x <3}，B ＝{x |x <0或x ≥2}，C ＝{x |2x －5>0}，则(A ∩B )∪C ＝________.解析：A ∩B ＝{x |1≤x <3}∩{x <0或x ≥2}＝{x |2≤x <3}．而C ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >52. ∴(A ∩B )∪C ＝{x |2≤x <3}∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x >52 ＝{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}[A 级基础达标][:]1．设集合M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，则方程f (x )·g (x )＝0的解集是( )A ．M ∩NB ．M ∪NC ．M 、N 中的某一个D ．不确定解析：选B.f (x )·g (x )＝0则f (x )＝0或g (x )＝0.其解集为M 或N .2．若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( )A ．A ⊆CB ．C ⊆AC ．A ≠CD ．A ＝∅解析：选A.因为A ⊆(A ∪B )且(C ∩B )⊆C ，已知A ∪B ＝C ∩B ，则A ⊆C ，所以选A.[:]3．(2012·合肥质检)已知A ＝{x |a －1<x <a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ∪B ＝A 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：选B.∵A ∪B ＝A .∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5. ∴3≤a ≤4.4．设集合A ＝{1,3,5}，B ＝{3,9}，C ＝{1,2}，则(A ∩B )∪C ＝________.解析：(A ∩B )∪C ＝({1,3,5}∩{3,9})∪{1,2}＝{3}∪{1,2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}5．(2010·高考上海卷)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1, 2,3,4}，则m ＝________. 解析：∵A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}且A ∪B ＝{1,2,3,4}，∴2∈A ，∴m ＝2.答案：26．已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C ＝{x |x >－a 2}，[:] B ∪C ＝C ⇒B ⊆C ，∴a >－4.[B 级能力提升]7．已知集合U ＝R ，集合M ＝{y |y ≥1}，集合N ＝{x |x <3}，则M ∩N ＝( )A ．{t |t <3}B ．{t |t ≥1}C ．{t |1≤t <3}D ．∅解析：选C.如图所示，M ∩N ＝{t |1≤t <3}，故选C.8．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意知a 1，a 2必属于M ，a 3∉M ，a 4不确定，故M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}．9．若集合A ＝{x ||x |－x ＝0}，B ＝{x |x 2－1＝0}，C ＝{x |x >1}，则(A ∩B )∪C ＝________. 解析：A ＝{x |x ≥0}．B ＝{x |x ＝±1}，∴A ∩B ＝{1}．∴(A ∩B )∪C ＝{x |x ≥1}．答案：{x |x ≥1}10．已知A ＝{x |2<x <4}，B ＝{x |a <x <3a }．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |3<x <4}求a 的取值范围．解：(1)如图，有两类情况，一类是B ≠∅⇒a >0；①B 在A 的左边，②B 在A 的右边．B 或B ′位置均使A ∩B ＝∅成立．当3a ＝2或a ＝4时也符合题目意思，事实上，2∉A,4∉A ，则A ∩B ＝∅成立．所以，要求3a ≤2或a ≥4，解得a ∈⎝⎛⎦⎤0，23∪[)4，＋∞. 另一类是B ＝∅，a ≤0时，显然A ∩B ＝∅成立．综上所述，a 的取范围是⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)． (2)因为A ＝{x |2<x <4}，A ∩B ＝{x |3<x <4}，如图．集合B 若要符合题意，位置显然为a ＝3，此时，B ＝{x |3<x <9}，所以，a ＝3为所求．11．(创新题)若集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 的值使得∅(A ∩B )与A ∩C ＝∅同时成立．解：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，∴B∩C＝{2}．∵∅(A∩B)，A∩C＝∅，∴3∈A.将x＝3代入方程x2－ax＋a2－19＝0得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.若a＝5，则A ＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，此时A∩C＝{2}≠∅，不符合要求，舍去；若a＝－2，则A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5,3}，满足要求．综上知a的值为－2.。

数学高一-2013必修一【知能演练】1.2集合的基本关系

1．(2012·榆林调研)已知集合A ＝{2,3}，则集合A 的真子集个数是( )[:]A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.集合A 的真子集为∅，{2}，{3}．2．用A 表示具有北京市东城区户口的人组成的集合，用B 表示具有北京市户口的人组成的集合，用C 表示具有山东省户口的人组成的集合，用D 表示具有中国国籍的人组成的集合．下列表达A 、B 、C 、D 关系正确的是( )A ．A ＝B ＝C ⊆D B ．A B C DC ．B C ，C BD ．A B ，D C解析：选C.用Venn 图表示为3．(教材习题改编)用适当的符号填空(＝，⊆，⊇)：设集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －3x ＋3＝0，则A ____B . 解析：A ＝{3，－2}，B ＝{3}，B ⊆A .答案：⊇4．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：∵B ⊆A ，∴m 2＝2m －1，∴m ＝1.答案：1[A 级基础达标][:]1．下列命题正确的是( )A ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集B ．任何一个集合必有一个真子集C ．空集是任何非空集合的真子集D ．空集不是空集的子集解析：选C.应注意以下几个结论：①任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，没有真子集．②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．故A 、B 、D是错误的．2．下列结论正确的是( )A ．集合{x |x 3＋1＝0，x ∈R}＝∅B ．已知M ＝{(1,2)}，N ＝{(2,1)}，则M ＝NC ．已知M ＝{(2,3)}，N ＝{2,3}，则有M ⊆ND ．已知A ＝{x |x ＝5k ，k ∈N}，B ＝{x |x ＝10n ，n ∈N}，则有B A解析：选D.x ＝－1时，x 3＋1＝0，∴A 错；(1,2)与(2,1)是不同的点，∴B 错；∵(2,3)为点，2,3为数，∴C 错．3．(2012·宝鸡调研)下列各式中，正确的个数是( )①∅＝{0} ②∅⊆{0} ③∅∈{0} ④0＝{0} ⑤0∈{0} ⑥{1}∈{1,2,3} ⑦{1,2}⊆{1,2,3} ⑧{a ，b }⊆{b ，a }A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D.②⑤⑦⑧正确．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y x ＝1.则A ，B 的关系是________．解析：y x＝1可化为y ＝x (x ≠0)，可知，集合A 表示直线y ＝x ，集合B 表示剔除(0,0)点的直线y ＝x ，故B A .答案：B A5．集合{1，a ，b }与{－1，－b,1}是同一集合，则a ＝________.解析：若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0适合题意．若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－b b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1不适合题意．答案：－16．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值．解：因为A ⊇B ，所以a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .由a 2－a ＋1＝3，得a ＝2或a ＝－1；由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1.[:]经检验，当a ＝1时，集合A 、B 中元素均有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为－1,2.[B 级能力提升]7．(2012·宝鸡质检)设A 、B 是非空数集，定义A ⊕B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，则A ⊕B 的非空真子集个数为( )A ．30B ．31C ．32D ．64解析：选A.由题意知A ⊕B ＝{5,6,7,8,9}，∴A ⊕B 的非空真子集个数为25－2＝30(个)．8．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤2}解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A ⊆B ，则应a ≥2.9．已知集合P ＝{x |2011≤x ≤2012}，Q ＝{x |a －1≤x ≤a }，若P ⊆Q ，则实数a 的集合为________．解析：依题意得⎩⎨⎧a －1≤2011a ≥2012， ∴2012≤a ≤2012.∴a ＝2012，所以实数a 的集合为{2012}．答案：{2012}10．(创新题)集合A ＝{a |a ＝2k ，k ∈N}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b |b ＝18[1－(－1)n ]·(n 2－1)，n ∈N ，判断A 、B 间的关系．解：由题意可知，集合A 是非负偶数集，即A ＝{0,2,4,6,8，…}．集合B 中的元素b ＝18[1－(－1) n ]·(n 2－1) ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为非负偶数，14(n ＋1)(n －1)，n 为正奇数.而14(n ＋1)(n －1)(n 为正奇数时)表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，取n ＝1,3,5,7…，由14(n ＋1)(n －1)依次得到0,2,6,12，…，即B ＝{0,2,6,12,20，…}．综上所述，B A .11．(2012·西安调研)设A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝13，试判定集合A 与B 的关系． (2)若B A ，求实数a 的取值集合C .解：(1)若a ＝13，则13x －1＝0.∴x ＝3.[:] 即B ＝{3}．而x 2－5x ＋6＝0，∴x ＝3或x ＝2，∴A ＝{2,3}，∴B A .(2)由(1)可得A 的子集为∅，{2}，{3}，{2,3}．若B A ， ∴B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}．当B ＝∅时，ax －1＝0无解．∴a ＝0；当B ＝{2}时，2a －1＝0，∴a ＝12；当B ＝{3}时，3a －1＝0，∴a ＝13.∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13.。

数学高一-2013必修一【知能演练】函数的性质

1．若f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选B.g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1.2．(2011·高考北京卷)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16解析：选D.由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15得A ＝16. 3．(2010·高考陕西卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________.解析：f (0)＝3×0＋2＝2，f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，得a ＝2.[:] 答案：24.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________解析：由图像可得f (0)＝4，f (4)＝2. 答案：2[A 级基础达标][:]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x ≥1)3－x (x <1)，则f (f (－1))的值为( )A ．5B ．4 C.52D ．－1解析：选A.f (－1)＝3－(－1)＝4. ∴f (f (－1))＝f (4)＝4＋1＝5.2.图中的图像所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1| (0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1| (0≤x ≤2)解析：选B.当x ＝1时，y ＝32排除A ，D.当x ＝0，时y ＝0排除C.3．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图像如图所示：则函数y ＝f (x )g (x )的图像可能是( )解析：选B.当x <0时，由f (x )，g (x )的图像可知f (x )>0.g (x )<0.∴f (x )g (x )<0排除A ，C ，D.4．(2012·安庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≤0)－2x (x >0)，若f (x )＝10，则x ＝________.解析：令x 2＋1＝0.∴x ＝±3(x <0)，∴x ＝－3. 令－2x ＝10.∴x ＝－5与x >0矛盾，答案：－35．(2012·抚州调研)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )＝________. 解析：∵f (3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2， ∴f (x )＝3x ＋2. 答案：3x ＋26.根据函数f (x )的图像(如图)写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.[B 级能力提升]7．函数y ＝|x |x＋x 的图像是( )解析：选D.x >0时，y ＝1＋x .x <0时，y ＝－1＋x .8．(2012·商洛质检)已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (0)等于( )A ．3 B.32C ．－32D ．－3解析：选A.令g (x )＝0.即1－2x ＝0.∴x ＝12∴f (0)＝1－⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫122＝3.9．(2011·高考江苏卷)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：首先讨论1－a,1＋a 与1的关系，当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2，所以a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ； f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1. 因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)．综上，满足条件的a ＝－34.答案：－3410．(创新题)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？并求出最大利润？解：设商品的售价定为x 元，利润为y 元，则每件商品的利润为(x －40)元，每件商品涨价了(x －50)元，商品少卖了(x －50)个，商品卖了50－(x －50)＝100－x (个)． ∴y ＝(100－x )(x －40)＝－x 2＋140x －4000由⎩⎪⎨⎪⎧x －50≥0100－x ≥0，得50≤x ≤100 ∴y ＝－x 2＋140x －4000(50≤x ≤100)二次函数y 的对称轴为x ＝70∈[50,100]，且开口向下 ∴当x ＝70时，y max ＝－702＋140×70－4000＝900.即商品的售价定为70元时，销售利润最大，最大利润为900元．11．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.(1)当点F 在BG 上时，即x ∈(0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝2＋(x －2)·2＝2x －2. (3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S RtΔCEF ＝10－12(7－x )2.所以，函数解析式为y ＝⎩⎨⎧12x 2， x ∈(0，2]2x －2，x ∈(2，5].－12(x －7)2＋10， x ∈(5，7]。

数学高一-2013必修一【知能演练】3.2指数扩充及其运算性质

1．计算：[(－2)2]－12＝( ) A.2 B ．－ 2 C.22 D ．－22解析：选C.[(－2)2]－12＝[(2)2]－12＝(2)2×(－12)＝(2)－1＝22. 2．(2012·宝鸡调研)用分数指数幂表示a 3a a 正确的是( ) A ．a 43 B ．a 34C ．a 112D ．a －14 解析：选B. a 3a a ＝[a ·(a ·a 12)13]12＝[a ·(a 32)13]12＝(a ·a 12)12＝(a 32)12＝a 34.3．①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的序号是________．解析：16的4次方根是±2，416＝2.答案：③④[:]4．83－312－613＋333＝________. 解析：原式＝83－34×3－6×33＋3332＝83－63－23＋312＝ 3. 答案： 3[A 级基础达标]1．下列计算中，正确的是( )A ．a 23·a 32＝aB ．当a ≥0时，(a －2)0＝1 C.4x 3y 2＝xy 34 D.4(1－2)2＝2－1[:] 解析：选D.对于A ，a 23·a 32＝a 23＋32＝a 136；对于B ，当a ＝4时，a －2＝0；[:]对于C ，4x 3y 2＝x 34y 12，故只有D 正确．2．若3x 2＝9，则3－x ＝( )A ．81 B.181C.9D.19解析：选B.∵3x 2＝9，∴3x ＝(3x 2)2＝92＝81，∴3－x ＝13x ＝181. 3．已知a 2＋a －2＝22，且a ＞1，则a 2－a－2的值为( ) A ．2或－2 B ．－2C. 6 D ．2解析：选D.(a 2－a －2)2＝(a 2＋a －2)2－4＝8－4＝4，又a ＞1，a 2＞a －2，∴a 2－a －2＝2.4．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝______.解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12x ＋4x －12·x 12＝4x 12－27－4x 12＋4＝－23.答案：－235．下列命题中，正确的序号有________(把正确的序号填在横线上)．(1)当a ＜0时，(a 2)32＝a 3；(2)函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域为(2，＋∞)；(3)n a n ＝|a |；(4)若100m ＝5,10n ＝2，则2m ＋n ＝1.解析：当a ＜0时，(a 2)32＝|a |3＞0，而a 3＜0.故(1)错；使函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0＝x －2－(3x －7)0有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥03x －7≠0即x ≥2且x ≠73，故(2)错；当n 为奇数时，n a n ＝a ，故(3)错；对于(4)，若100m ＝5,10n ＝2，即102m ＝5,10n ＝2，则102m ＋n ＝10，∴2m ＋n ＝1，故(4)正确．答案：(4)6．计算．(1)32－35－(21027)－23＋0.5－2； (2)1.5－13×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6－(－23)23； (3)0.027－13＋(22)43－4×(1649)－12－42×80.25＋(－2011)0. 解：(1)原式＝(25)－35－(6427)－23＋(12)－2＝2－3－[(43)3]－23＋22＝18－916＋4＝5716. (2)原式＝(32)－13×1＋(23)14×214＋(213)6×(312)6－[(23)23]12＝(23)13＋(23×2)14＋22×33－(23)13＝2＋4×27＝110.(3)原式＝[(310)3]－13＋(212×214)43－4×74－214×234＋1＝103＋2－7－2＋1＝－83. [B 级能力提升]7．(2011·高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f ()x 和偶函数g ()x 满足f ()x ＋g ()x ＝a x －a －x＋2()a ＞0，且a ≠1.若g ()2＝a ，则f ()2＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2 解析：选B.∵f ()x 是奇函数，g ()x 是偶函数，∴由f ()x ＋g ()x ＝a x －a －x ＋2，① 得－f ()x ＋g ()x ＝a －x －a x ＋2，② ①＋②，得g ()x ＝2，①－②，得f ()x ＝a x －a －x .又g ()2＝a ，∴a ＝2，∴f ()x ＝2x －2－x ， ∴f ()2＝22－2－2＝154. 8．已知a －b ＝12＋3，b －c ＝12－3，则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 等于( ) A ．11 B ．13C ．15D ．17解析：选C.由已知得c －a ＝－(b －c )－(a －b )＝－(2＋3)－(2－3)＝－4，所以原式＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＋(－4)2＝15.故选C. 9．设2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________. 解析：∵2m ＝5n ＝10＝(2×5)1，∴2mn ＝(2×5)n ，①5mn ＝(2×5)m ，②由①×②得(2×5)mn ＝(2×5)n＋m ，故mn ＝n ＋m ， ∴1m ＋1n ＝11＝1.故填1. 答案：110．已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x 的值．解：令2x ＝t ，则2－x ＝t －1，所以t ＋t －1＝a .①法一：利用立方和公式展开，寻找条件与所求的关系．由①两边平方得t 2＋t －2＝a 2－2，[:]则8x ＋8－x ＝t 3＋t －3＝(t ＋t －1)(t 2－t ·t －1＋t －2)[:]＝a (a 2－3)＝a 3－3a .法二：整体代换．8x ＋8－x ＝t 3＋t －3＝(t ＋t －1)[(t ＋t －1)2－3t ·t －1]＝a (a 2－3)＝a 3－3a .11．(创新题)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x ，其中e ＝2.718….(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2e x ·(－2e －x )＝－4e 0＝－4.(2)f (x )·f (y )＝(e x －e －x )·(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )－e x －y －e －(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4，①g (x )·g (y )＝(e x ＋e －x )(e y ＋e －y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )＋e x －y ＋e －(x －y ) ＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )－g (x －y )＝4，g (x ＋y )＋g (x －y )＝8. 解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，所以g (x ＋y )g (x －y )＝3.。

数学高一-2013必修一【知能演练】1.1集合的含义与表示

1．下列对象中，不能构成集合的是()A．参加2012年伦敦奥运会的所有国家B．数学必修1课本中的所有习题[:]C．2012年高考中合肥市取得优秀成绩的同学D．所有无理数解析：选C. C项中“优秀”标准不定，不符合元素的确定性．2．下列集合为∅的是()A．{0}B．{x|x2＋1＝0}C．{x|x2－1＝0} D．{x|x<0}解析：选B.集合{0}中有一个元素0；集合{x|x2－1＝0}表示方程x2－1＝0的解集；集合{x|x<0}表示小于0的实数组成的集合．集合{x|x2＋1＝0}表示方程x2＋1＝0的解集，而方程x2＋1＝0无解，解集是空集．故选B. 3．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，若Q＝{x|x∈P，且|x|∈P}，则Q＝________.解析：依题意，x＝－1,0,1，Q＝{－1,0,1}．答案：{－1,0,1}4．若2∈{－2x，x2－x}，则x＝________.解析：依题意，若－2x＝2，则x＝－1，此时x2－x＝2，与集合元素的互异性矛盾；若x2－x＝2，则x＝2或x＝－1(舍去)．经验证x＝2符合题意，∴x＝2.答案：2[A级基础达标]1．已知集合A＝{x∈N＋|0≤x≤5}，则必有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A解析：选D.∵A＝{x∈N＋|0≤x≤5}＝{1,2}，∴1∈A，故选D.2．用列举法可以将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为()A．{{1,1}，{1,2}，{2,1}，{2,2}}B．{1,2}C．{ (1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}D．{(1,2)}3．由实数x，－x，|x|，x2，3x3组成的集合中，元素最多有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选A.因为x2＝|x|，3x3＝x，所以当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，x；当<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x，均最多表示两个不同的数．故集合中元素最多有2个．4．已知集合M＝{}0，2，3，7，P＝{}x|x＝ab，a，b∈M，Q＝{}t|t＝a－b，a，b∈M.用列举法表示P＝__________，Q＝________.答案：{0,4,6,9,14,21,49}{－7，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,7}5．数集{}1，x，2x中的元素x应满足的条件是________．解析：根据元素的互异性可得⎩⎪⎨⎪⎧x≠12x≠1x≠2x，即⎩⎪⎨⎪⎧x≠1x≠12x≠0.答案：x≠1且x≠12且x≠06．设集合A＝{}x|x＝2k，k∈Z，B＝{}x|x＝2k＋1，k∈Z.若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系．解：∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z)．∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z)．∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1.又∵k1＋k2∈Z，∴a＋b∈B，从而a＋b∉A.[B级能力提升]7．(2012·宜春调研)设集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6}，若x∈A且x∉B，则x等于()A．2 B．3C．4 D．6解析：选B.∵x∈{2,3,4}且x∉{2,4,6}，∴x＝3.8．(2011·高考福建卷改编)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{}5n＋k|n∈Z，k＝0,1,2,3,4，结出如下四个结论：①2012∈[2]；②－3∈[3]；③Z ＝{[0]，[1]，[2]，[3]，[4]}；④如果整数a ，b 属于同一“类”，则a －b ∈[0]．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由于[k ]＝{}5n ＋k |n ∈Z ，对于①，2012÷5等于402余2，∴2012∈[2]．对于②，－3＝5＋2，被5除应余2，∴②错．对于③，任意一整数x ，被5除余数为0,1,2,3,4，∴x ∈{}[0]，[1]，[2]，[3]，[4]③正确．对于④，∵a 、b 是同一类，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n ＋k ，则a －b ＝5(n 1－n 2)能被5整除．∴a －b ∈[0]，④正确．故正确的有①③④.9．若2∉{}x |x －a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：因为2∉{x |x －a >0}，所以2不满足不等式x －a >0，即满足不等式x －a ≤0，所以2－a ≤0，即a ≥2.所以实数a 的取值范围是{}a |a ≥2.答案：{}a |a ≥210．已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的值．解：若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2，当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，满足题意，当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；[:]若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1(舍去)或a ＝－2(舍去)．综上所述，a ＝0.[:]11．(创新题)数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．解：∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A . ∵1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.。