二次函数与幂函数

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2.4幂函数与二次函数

2.4幂函数与二次函数
4a (2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.( )
(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐
标系中的开口大小.( )
(4)函数y=
1
2x2
是幂函数.(
)
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( )
(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( )
-2a,
由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=
-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.
123456
几何画板展示 解析 答案
题组三 易错自纠
4.幂函数f(x)= xa2-10a+23 (a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是
减函数,则a等于
A.3
B.4
R [0,+∞)
值域 奇偶性
R [0,+∞) R



[0,+∞) 非奇非偶
y=x-1
{x|x∈R,且 x≠0}
{y|y∈R,且 y≠0} 奇
2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) . 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
C.5
D.6
123自纠
4.幂函数f(x)= xa2-10a+23 (a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是
减函数,则a等于
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 因为a2-10a+23=(a-5)2-2,

二次函数与幂函数的关系

二次函数与幂函数的关系

二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数,它们之间存在一定关系。

这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。

首先,我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。

二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为:f(x) = ax^2 + bx + c其中,a、b、c是实数且a不等于0。

在这个函数中,x是自变量,f(x)是因变量。

幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a,其中a 是实数。

幂函数的图像通常是一个曲线,并且根据a的不同取值,可以得到不同的曲线形状。

接下来,我们来分析二次函数和幂函数的图像。

对于二次函数,它的图像通常是一个抛物线。

根据二次函数的系数a 的正负和大小,可以得到不同类型的抛物线。

当 a 大于0时,抛物线开口向上;当 a 小于0时,抛物线开口向下。

我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。

例如,当 a 大于0且顶点位于y轴上方时,抛物线开口向上且顶点为最低点;当 a 小于0且顶点位于y轴下方时,抛物线开口向下且顶点为最高点。

而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。

当 a 大于1时,函数的图像呈现出上升的斜线;当 a 等于1时,函数的图像是一条直线;当 0 小于 a 小于 1 时,函数的图像呈现出下降的斜线。

与二次函数不同的是,幂函数的图像没有顶点或拐点。

然而,二次函数和幂函数并不是完全独立的。

实际上,我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。

具体来说,二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式,其中 h 和 k 是实数,代表了二次函数图像的平移。

这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。

当平移的值 h 和 k 分别等于0时,即 h = 0 且 k = 0 时,二次函数变为f(x) = ax^2,这就是一个幂函数。

2.3二次函数和幂函数

2.3二次函数和幂函数

2017年高考专题辅导四二次函数和幂函数1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0).②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0).2.二次函数的图象和性质3. 幂函数形如y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.4.幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;(3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间.若函数f(x)=2x2+mx-1在区间[-1,+∞)上递增,则f(-1)的取值范围是____________.题型三二次函数的综合应用例3(2012·淮安模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m 的取值范围.题型四幂函数的图象和性质例4已知幂函数f(x)=xm2-2m-3 (m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1)-m3<(3-2a)-m3的a的取值范围.(2012·聊城模拟)已知幂函数f (x )=x (m 2+m )-1(m ∈N *)若该函数还经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围.A 组 课堂知识过手一、选择题1.二次函数y =-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t 的值是 ( )A .-4B .4C .-2D .22.(2014·郑州检测)若函数f(x)=x 2+ax +b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( ) 3.若a <0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( )A .5-a<5a<0.5aB .5a<0.5a<5-aC .0.5a<5-a<5aD .5a<5-a<0.5a4.(2015·蚌埠模拟)若二次函数f(x)=ax 2+bx +c 满足f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)等于( )A .-b2aB .-b aC .cD.4ac -b 24a5.已知幂函数y =f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,则f (2)=( ) A.14 B .4 C.22D. 26.若函数f (x )是幂函数,且满足f 4 f 2 =3,则f (12)的值为( )A .-3B .-13C .3D.13二、填空题7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x =2,最小值为-1,则它的解析式是________.8.当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,1,3时,幂函数y =x α的图象不可能经过第________象限.9.若方程x 2-11x +30+a =0的两根均大于5,则实数a 的取值范围是________. 三、解答题10.(2015·绵阳模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a ,b ∈R),x ∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求k 的范围.B 组 课后强化训练1. 已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,3]上是减函数,则实数a 的取值范围为____________.2.已知函数y =x 2-2x +3在闭区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围为________.3. 若幂函数y =(m 2-3m +3)2m x -m -2的图象不经过原点,则实数m 的值为________.4. 如图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图象.已知n 取±2,±12四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 值依次为____________.2017年高考专题辅导四 二次函数和幂函数1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0).②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0).2.二次函数的图象和性质3. 幂函数形如y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.4.幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数.解 方法一 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),依题意有⎩⎨⎧4a +2b +c =-1, a -b +c =-1, 4ac -b24a =8,解之,得{ a =-4, b =4, c =7,∴所求二次函数解析式为f (x )=-4x 2+4x +7. 方法二 设f (x )=a (x -m )2+n ,a ≠0.∵f (2)=f (-1), ∴抛物线对称轴为x =2+(-1)2=12.∴m =12.又根据题意函数有最大值为n =8, ∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎫x -122+8. ∵f (2)=-1,∴a ⎝⎛⎭⎫2-122+8=-1,解之,得a =-4. ∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎫x -122+8=-4x 2+4x +7. 题型二 二次函数的图象与性质例2 已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6].(1)当a =-2时,求f (x )的最值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a =1时,求f (|x |)的单调区间.解 (1)当a =-2时,f (x )=x 2-4x +3=(x -2)2-1,由于x ∈[-4,6], ∴f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f (x )的最小值是f (2)=-1,又f (-4)=35,f (6)=15,故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上,对称轴是x =-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4. (3)当a =1时,f (x )=x 2+2x +3,∴f (|x |)=x 2+2|x |+3,此时定义域为x ∈[-6,6],且f (x )={ x 2+2x +3,x ∈(0,6] x 2-2x +3,x ∈[-6,0],∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].若函数f (x )=2x 2+mx -1在区间[-1,+∞)上递增,则f (-1)的取值范围是 ____________. 答案 (-∞,-3]解析 ∵抛物线开口向上,对称轴为x =-m4,∴-m4≤-1,∴m ≥4.又f (-1)=1-m ≤-3,∴f (-1)∈(-∞,-3]. 题型三 二次函数的综合应用例3 (2012·淮安模拟)若二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求f (x )的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f (x )>2x +m 恒成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)由f (0)=1得,c =1.∴f (x )=ax 2+bx +1. 又f (x +1)-f (x )=2x ,∴a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x ,即2ax +a +b =2x ,∴{ 2a =2, a +b =0,∴{ a =1 b =-1. 因此,f (x )=x 2-x +1.(2)f (x )>2x +m 等价于x 2-x +1>2x +m ,即x 2-3x +1-m >0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g (x )=x 2-3x +1-m 在[-1,1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )=x 2-3x +1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g (x )min =g (1)=-m -1,由-m -1>0得,m <-1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(-∞,-1). 题型四 幂函数的图象和性质例4 已知幂函数f (x )=xm 2-2m -3 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的取值范围.解 ∵函数在(0,+∞)上递减, ∴m 2-2m -3<0,解得-1<m <3. ∵m ∈N *,∴m =1,2.又函数的图象关于y 轴对称,∴m 2-2m -3是偶数, 而22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数, ∴m =1.而f (x )=x -13在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,∴(a +1)-13<(3-2a )-13等价于a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a .解得a <-1或23<a <32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <-1或23<a <32.(2012·聊城模拟)已知幂函数f (x )=x (m 2+m )-1(m ∈N *)若该函数还经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围.解 ∵函数f (x )经过点(2,2), ∴2=2(m 2+m )-1,即212=2(m 2+m )-1.∴m 2+m =2.解得m =1或m =-2. 又∵m ∈N *,∴m =1.由f (2-a )>f (a -1)得{ 2-a ≥0, a -1≥0 2-a >a -1. 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1,32).A 组 课堂知识过手一、选择题1.二次函数y =-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t 的值是 ( )A .-4B .4C .-2D .2解析 二次函数图象的顶点在x 轴上,所以Δ=42-4×(-1)×t =0,解得t =-4. 答案 A2.(2014·郑州检测)若函数f(x)=x 2+ax +b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( )A .在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增B .在(-∞,3)上递增C .在[1,3]上递增D .单调性不能确定解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为x =2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 答案 A3.若a <0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( )A .5-a<5a<0.5a B .5a<0.5a<5-aC .0.5a<5-a<5aD .5a<5-a<0.5a解析 5-a =⎝ ⎛⎭⎪⎫15a,因为a <0时,函数y =x a 单调递减,且15<0.5<5,所以5a <0.5a<5-a.答案 B4.(2015·蚌埠模拟)若二次函数f(x)=ax 2+bx +c 满足f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)等于( )A .-b2aB .-b aC .cD.4ac -b 24a解析 ∵f(x 1)=f(x 2)且f(x)的图象关于x =-b 2a 对称,∴x 1+x 2=-ba .∴f(x 1+x 2)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b a =a·b 2a 2-b·b a +c =c.答案 C5.已知幂函数y =f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,则f (2)=( )A.14 B .4 C.22D. 2解析 设f (x )=x α,因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,代入解析式得:α=-12,∴f (2)=2-12=22. 答案 C6.若函数f (x )是幂函数,且满足f 4 f 2 =3,则f (12)的值为( ) A .-3 B .-13C .3D.13解析 设f (x )=x α,则由f 4 f 2 =3,得4α2α=3.∴2α=3,∴f (12)=(12)α=12α=13.答案 D 二、填空题7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x =2,最小值为-1,则它的解析式是________. 答案 y =12(x -2)2-18.当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,1,3时,幂函数y =x α的图象不可能经过第________象限.解析 当α=-1、1、3时,y =x α的图象经过第一、三象限;当α=12时,y =x α的图象经过第一象限. 答案 二、四9.若方程x 2-11x +30+a =0的两根均大于5,则实数a 的取值范围是________. 解析 令f(x)=x 2-11x +30+a.结合图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,f (5)>0,∴0<a ≤14.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0,14三、解答题10.(2015·绵阳模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a ,b ∈R),x ∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求k 的范围. 解 (1)由题意有f(-1)=a -b +1=0, 且-b2a=-1,∴a =1,b =2. ∴f(x)=x 2+2x +1,单调减区间为(-∞,-1], 单调增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为x 2+x +1>k 在区间[-3,-1]上恒成立. 设g(x)=x 2+x +1,x ∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上递减.∴g(x)min =g(-1)=1. ∴k<1,即k 的取值范围为(-∞,1).11 B 组 课后强化训练1. 已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,3]上是减函数,则实数a 的取值范围为____________.答案 (-∞,-2]解析 f (x )的图象的对称轴为x =1-a 且开口向上,∴1-a ≥3,即a ≤-2.2.已知函数y =x 2-2x +3在闭区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围为________.答案 [1,2]解析 y =x 2-2x +3的对称轴为x =1.当m <1时,y =f (x )在[0,m ]上为减函数.∴y max =f (0)=3,y min =f (m )=m 2-2m +3=2.∴m =1,无解.当1≤m ≤2时,y min =f (1)=12-2×1+3=2,y max =f (0)=3.当m >2时,y max =f (m )=m 2-2m +3=3,∴m =0,m =2,无解.∴1≤m ≤2.3. 若幂函数y =(m 2-3m +3)2m x-m -2的图象不经过原点,则实数m 的值为________.答案 1或2解析 由{ m 2-3m +3=1 m 2-m -2≤0,解得m =1或2. 经检验m =1或2都适合.4. 如图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图象.已知n 取±2,±12四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 值依次为____________.答案 2,12,-12,-2。

高三数学知识点总结9:二次函数和幂函数

高三数学知识点总结9:二次函数和幂函数

(十一)二次函数一.二次函数解析式(1)一般式:).0()(2≠++=a c bx ax x f(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f(3)交点式:若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二.二次函数的对称轴(1)对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += (2)对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立,那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为:a x =.三.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值(1)0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-,;2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<,;3.)(2min n f y n ab =≥-,. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-;2.)(22max m f y n m a b =+>-,. (2)0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-,;2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<,;3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-;2.)(22min m f y n m a b =+>-,. 四.三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布(1)数的角度:① 两实根异号等价于0<a c ;② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ;③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b (2)形的角度:画出满足要求的图像,用“内有无,内无有”(开口内有端点则不需要考虑对称轴和,∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆)。

二次函数和幂函数知识点

二次函数和幂函数知识点

二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数,其中a、b、c是常数且a≠0。

它的图像是一个抛物线,称为二次曲线。

而幂函数是形如y=axⁿ的函数,其中a是常数,n是实数且n≠0。

它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状,取决于指数n的值。

首先,我们来看二次函数。

二次函数的图像可以分为三种情况:开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。

当a>0时,二次函数的图像是开口向上的抛物线,对称轴是x=-b/2a,最低点坐标为:(-b/2a, -△/(4a)),其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。

图像在对称轴上方递增,在对称轴下方递减。

当a<0时,二次函数的图像是开口向下的抛物线,对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。

当a=0时,二次函数变为一条直线y=bx+c。

这个直线与x轴平行,斜率为b。

接下来,我们来看幂函数。

幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。

当n>0时,幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界,图像随着x的增大而增大。

当n<0时,幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界,图像随着x的增大而减小。

当n=1时,幂函数就变成了y=ax,它的图像是一条过原点的直线。

斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。

当n=0时,幂函数就变成了y=a,它的图像是一条水平直线,与x轴平行。

根据常数a的值,直线的位置可以在y轴的任意位置。

当n是偶数且n≠0时,幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界,其余部分无上下界。

当n为偶数时,函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大,形状类似于开口向上的抛物线。

当n为负偶数时,函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小,形状类似于开口向下的抛物线。

当n是奇数时,幂函数图像没有上下界,且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。

根据实数n的正负,函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。

总结起来,二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。

2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数

2024年新高考版数学专题1_3.2  二次函数与幂函数

b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二 幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性 单调性 定点



y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,

二次函数与幂函数的比较

二次函数与幂函数的比较

二次函数与幂函数的比较在数学中,二次函数和幂函数都是常见的函数类型。

它们在图像、性质以及在实际问题中的应用上有着显著的区别。

本文将对二次函数和幂函数进行比较,以便更好地理解它们的特点。

一、定义与表达式二次函数的定义为:$y=ax^2+bx+c$,其中$a, b, c$为常数,且$a\neq0$。

幂函数的定义为:$y=kx^n$,其中$k$为常数,$n$为正整数且$n\neq1$。

从表达式上来看,二次函数的最高次项是2次,幂函数的最高次项是$n$次。

这意味着二次函数的图像一般是一个抛物线,而幂函数的图像则以指数方式增长或衰减。

二、图像特点1. 二次函数二次函数的图像是一条平滑的曲线,称为抛物线。

具体的图像形状取决于二次项系数$a$的正负和开口方向。

- 当$a>0$时,抛物线开口向上,称为凹向上的抛物线;- 当$a<0$时,抛物线开口向下,称为凹向下的抛物线。

2. 幂函数幂函数的图像可以分为三类:增长型、减小型和奇偶型。

取决于指数$n$的正负和奇偶性。

- 当指数$n>0$时,幂函数随着$x$的增大而增大,图像呈现递增趋势;- 当指数$n<0$时,幂函数随着$x$的增大而减小,图像呈现递减趋势;- 当指数$n$为偶数时,幂函数图像关于$y$轴对称,称为偶函数;- 当指数$n$为奇数时,幂函数图像关于原点对称,称为奇函数。

三、性质与应用1. 二次函数二次函数常见的性质包括顶点坐标、对称轴和判别式。

- 顶点坐标:若二次函数为$y=ax^2+bx+c$,则顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$,纵坐标为$y=-\frac{\Delta}{4a}$,其中$\Delta=b^2-4ac$为判别式。

- 对称轴:二次函数的对称轴与顶点坐标的横坐标相同,即$x=-\frac{b}{2a}$。

- 判别式:二次函数的判别式$\Delta=b^2-4ac$用于判断二次函数的图像与$x$轴的交点个数和位置。

第4节幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数幂函数和二次函数是数学中的两个重要概念,它们在不同的场景中起着不同的作用。

本文将介绍这两个函数的定义、性质以及它们的关系。

一、幂函数的定义与性质幂函数是指由x的正整数幂次构成的函数,其一般形式可以表示为f(x)=ax^n,其中a为非零实数,n为正整数。

幂数n决定了函数图像的性质,下面我们来看几个不同幂次的幂函数。

1. 当n=1时,幂函数就是一次函数,即f(x)=ax。

它的图像是一条斜率为a的直线。

2. 当n=2时,幂函数就是二次函数,即f(x)=ax^2、它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

3. 当n=3时,幂函数就是三次函数,即f(x)=ax^3、它的图像是一个类似于字母"S"形状的曲线。

幂函数的性质如下:1.当n为奇数时,函数图像关于y轴对称;当n为偶数时,函数图像关于原点对称。

2.当a>0时,函数递增;当a<0时,函数递减。

3.当n>1时,函数在原点附近增长或下降得非常快;当n=1时,函数图像为一条直线,增长或下降速度相对较慢。

二、二次函数的定义与性质二次函数是指由x的二次幂和一次幂构成的函数,其一般形式可以表示为f(x)=ax^2+bx+c,其中a、b、c为实数且a不为0。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

二次函数的性质如下:1.当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a),其中b^2-4ac<0时,抛物线没有实根;b^2-4ac=0时,抛物线与x轴相切;b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点。

3.如果a>0,则抛物线的最小值为c-b^2/4a;如果a<0,则抛物线的最大值为c-b^2/4a。

三、幂函数与二次函数的关系从上面的定义与性质可以看出,二次函数是幂函数的一个特例,即二次函数是幂函数在幂次n=2时的情况。

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数1.幂函数 (1)幂函数的定义形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数. (2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质定义域2.(1)二次函数的图象和性质(2)①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).②顶点式:y=a(x+h)2+k(其中a≠0,顶点坐标为(-h,k)).③两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中a≠0,x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=2x2都是幂函数.(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0).(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限.(√)(4)当α<0时,幂函数y=xα是定义域上的减函数.(×)(5)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是4ac-b24a.(×)(6)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(×)(7)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.(√)(8)当n>0时,幂函数y=x n是定义域上的增函数.(×)(9)若函数f(x)=(k2-1)x2+2x-3在(-∞,2)上单调递增,则k=±22.(×)(10)已知f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2.(×)考点一 二次函数解析式[例1]解析:由于f (x )有两个零点0和-2,所以可设f (x )=ax (x +2)(a ≠0), 这时f (x )=ax (x +2)=a (x +1)2-a , 由于f (x )有最小值-1, 所以必有⎩⎨⎧a >0,-a =-1.解得a =1.因此f (x )的解析式是f (x )=x (x +2)=x 2+2x . 答案:x 2+2x(2)已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解:法一:(利用一般式) 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得⎩⎨⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 法二:(利用顶点式)设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0).∵f (2)=f (-1), ∴拋物线的对称轴为x =2+(-1)2=12. ∴m =12.又根据题意函数有最大值8,∴n =8.∴y =f (x )=a 2)21(-x +8.∵f (2)=-1,∴a 2)212(-+8=-1,解得a =-4,∴f (x )=-42)21(-x +8=-4x 2+4x +7.法三:(利用零点式)由已知f (x )+1=0两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1),即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值y max =8,即4a (-2a -1)-a 24a =8.解得a =-4或a =0(舍).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下:1.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x =2,最小值为-1,则它的解析式是________. 解析:设y =a (x -2)2-1,当x =0时,4a -1=1,a =12,∴y =12(x -2)2-1. 答案:y =12(x -2)2-12.若函数f (x )=(x +a )(bx +2a )(常数a ,b ∈R )是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f (x )=________.解析:∵f (x )=bx 2+(ab +2a )x +2a 2是偶函数, ∴ab +2a =0(a ≠0),∴b =-2,当x =0时,2a 2=4,∴a 2=2,∴f (x )=-2x 2+4. 答案:-2x 2+4考点二 二次函数图象和性质[例2] 已知函数(1)当a =-2时,求f (x )的最值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; 解:(1)当a =-2时,f (x )=x 2-4x +3=(x -2)2-1,由于x ∈[-4,6], ∴f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f (x )的最小值是f (2)=-1,又f (-4)=35,f (6)=15,故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上,对称轴是x =-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解;(3)对于二次函数的综合应用,要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1.若本例已知条件不变,求f (x )的最小值. 解:f (x )=(x +a )2+3-a 2,关于x =-a 对称, ∵x ∈[-4,6].①当-a ≤-4,即a ≥4时,f (x )在[-4,6]上为增函数, ∴f (x )min =f (-4)=16-8a +3=19-8a②当-4<-a ≤6,即-6≤a <4时,只有当x =-a 时,f (x )min =3-a 2, ③当-a >6时,即a <-6时,f (x )在[-4,6]上为减函数, ∴f (x )min =f (6)=36+12a +3=39+12a . 综上,当a ≥4时,f (x )min =19-8a . 当-6≤a ≤4时,f (x )min =3-a 2. 当a <-6时,f (x )min =39+12a .2.若本例已知条件不变,f (x )=0在[-4,6]上有两个不相等实根,求a 的取值范围. 解:要使f (x )=0,在[-4,6]上有两个不等实根,需⎩⎨⎧f (-a )<0-4≤-a ≤6f (-4)≥0f (6)≥0即⎩⎨⎧3-a 2<0,-6≤a ≤4,19-8a ≥0,36+12a ≥0.解得,-134≤a <-3或3<a ≤198.3.若本例中f (x )>0在x ∈(0,6]上恒成立,求a 的取值范围. 解:x 2+2ax +3>0,在x ∈(0,6]上恒成立,即2a >-)3(x x +在x ∈(0,6]上恒成立,只需求u =-)3(xx +,x ∈(0,6]的最大值.∵x +3x ≥23,当且仅当x =3时,取等号.∴u max =-23, ∴2a >-23,∴a >- 3.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( )解析:∵幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),∴f (x )=.答案:C(2)已知函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,则m 的值为( )A .-1B .2C .-1或2D .3 解析:∵函数f (x )=(m 2-m -1)·xm 2+m -3是幂函数, ∴m 2-m -1=1,解得m =-1或m =2. 又∵函数f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴m 2+m -3>0,∴m =2. 答案:B(3)已知f (x )=21x ,若0<a <b <1,则下列各式正确的是( )A .f (a )<f (b )<f )1(a <f )1(bB .f )1(a <f )1(b<f (b )<f (a )C .f (a )<f (b )<f )1(b <f )1(aD .f )1(a <f (a )<f )1(b<f (b )解析:∵0<a <b <1,∴0<a <b <1b <1a ,又f (x )=21x 为增函数, ∴f (a )<f (b )<f )1(b <f )1(a.答案:C[方法引航] (1)若幂函数y =x α(α∈R )是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断.(2)若幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.,(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.1.若四个幂函数y =x a ,y =x b ,y =x c ,y =x d 在同一坐标系中的图 象如图所示,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( )A .d >c >b >aB .a >b >c >dC .d >c >a >bD .a >b >d >c解析:选B.幂函数a =2,b =12,c =-13,d =-1的图象,正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x =1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a >b >c >d .故选B. 2.若3131)23()1(---<+a a ,则实数a 的取值范围是________.解析:不等式3131)23()1(---<+a a 等价于a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a . 解得a <-1或23<a <32.答案:(-∞,-1)∪)23,32([规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象将其贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决. [典例] (本题满分12分)已知f (x )=ax 2-2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值;(2)若f (x )≥-1恒成立,求a 的范围; (3)若f (x )=0的两根都在[0,1]内,求a 的范围.[规范解答] (1)①当a =0时,f (x )=-2x 在[0,1]上递减, ∴f (x )min =f (1)=-2.②当a >0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为x =1a .2分ⅰ.当0<1a ≤1,即a ≥1时,f (x )=ax 2-2x 的图象的对称轴在[0,1]内,∴f (x )在]1,0[a上递减,在]1,1[a上递增. ∴f (x )min =f )1(a=1a -2a =-1a .4分ⅱ.当1a >1,即0<a <1时,f (x )=ax 2-2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧,∴f (x )在[0,1]上递减.∴f (x )min =f (1)=a -2.6分③当a <0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向下, 且对称轴x =1a <0,在y 轴的左侧, ∴f (x )=ax 2-2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min =f (1)=a -2.综上所述,f (x )min =⎩⎪⎨⎪⎧a -2,a <1,-1a ,a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥-1,即可.由(1)知,当a <1时,a -2≥-1,∴a ≥1(舍去); 当a ≥1时,-1a ≥-1恒成立,∴a ≥1.10分(3)由题意知f (x )=0时,x =0,x =2a (a ≠0), 0∈[0,1],∴0<2a ≤1,∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层:函数类型a =0和a ≠0. 第二层:开口方向a >0和a <0.第三层:对称轴x =1a 与区间[0,1]的位置关系,左、内、右. (2)讨论后要有总结答案.[高考真题体验]1.(2016·高考全国丙卷)已知342=a ,323=b ,3125=c 则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .b <c <a D .c <a <b解析:选A.,323442==a ,3231525==c 而函数32x y =在(0,+∞)上单调递增,所以323232543<<,即b <a <c ,故选A.2.(2015·高考山东卷)设a =0.60.6,b =0.61.5,c =1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <c D .b <c <a解析:选C.由指数函数y =0.6x 在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.5<0.60.6,由幂函数y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.6<1.50.6,所以b <a <c ,故选C.3.(2013·高考北京卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A .y =1x B .y =e -x C .y =-x 2+1 D .y =lg|x |解析:选C.A 中y =1x 是奇函数,A 不正确;B 中y =e -x =x e )1(是非奇非偶函数,B 不正确;C中y =-x 2+1是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C 正确;D 中y =lg|x |在(0,+∞)上是增函数,D 不正确.故选C.4.(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析:f (x )≤2⇒⎩⎨⎧ x <1,e x -1≤2或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥2131x x ⇒⎩⎨⎧ x <1,x ≤ln 2+1或⎩⎨⎧x ≥1,x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8,故填(-∞,8].答案:(-∞,8]5.(2015·高考天津卷)已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为________时,log 2a ·log 2(2b )取得最大值.解析:由已知条件得b =8a ,令f (a )=log 2a ·log 2(2b ),则f (a )=log 2a ·log 216a =log 2a (log 216-log 2a )=log 2a (4-log 2a )=-(log 2a )2+4log 2a =-(log 2a -2)2+4, 当log 2a =2,即a =4时,f (a )取得最大值. 答案:4课时规范训练 A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示,那么此函数的解析式可能是( )A .y =-x 2+2x +1B .y =-x 2-2x -1C .y =-x 2-2x +1D .y =x 2+2x +1解析:选C.设二次函数的解析式为f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由题图象得:a <0,b <0,c >0.选C.2.若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则)21(f 的值为( )A.13B.12C.23D.43 解析:选A.设f (x )=x a, 又f (4)=3f (2),∴4a =3×2a ,解得a =log 23,∴)21(f =3log 2)21(3.一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析:选C.若a >0,则一次函数y =ax +b 为增函数,二次函数y =ax 2+bx +c 的开口向上,故可排除A ;若a <0,一次函数y =ax +b 为减函数,二次函数y =ax 2+bx +c 开口向下,故可排除D ;对于选项B ,看直线可知a >0,b >0,从而-b 2a <0,而二次函数的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B ,因此选C.4.如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),那么( )A .f (-2)<f (0)<f (2)B .f (0)<f (-2)<f (2)C .f (2)<f (0)<f (-2)D .f (0)<f (2)<f (-2)解析:选D.由f (1+x )=f (-x )知f (x )的图象关于x =12对称,又抛物线开口向上,结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (-2).5.若f (x )=x 2-ax +1有负值,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤-2B .-2<a <2C .a >2或a <-2D .1<a <3解析:选C.∵f (x )=x 2-ax +1有负值,∴Δ=a 2-4>0,则a >2或a <-2.6.若方程x 2-11x +30+a =0的两根均大于5,则实数a 的取值范围是________. 解析:令f (x )=x 2-11x +30+a .结合图象有⎩⎨⎧ Δ≥0f (5)>0,∴0<a ≤14. 答案:0<a ≤147.若二次函数f (x )=ax 2-4x +c 的值域为[0,+∞),则a ,c 满足的条件是________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,4ac -164a=0,⇒⎩⎨⎧a >0,ac -4=0. 答案:a >0,ac =48.已知f (x )=4x 2-mx +5在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是________.解析:因为函数f (x )=4x 2-mx +5的单调递增区间为),8[+∞m ,所以m 8≤2,即m ≤16. 答案:(-∞,16]9.已知函数f (x )=-x 2+2ax +1-a 在x ∈[0,1]时有最大值2,求a 的值.解:函数f (x )=-x 2+2ax +1-a =-(x -a )2+a 2-a +1,对称轴方程为x =a .(1)当a <0时,f (x )max =f (0)=1-a ,∴1-a =2,∴a =-1.(2)当0≤a ≤1时,f (x )max =a 2-a +1,∴a 2-a +1=2,∴a 2-a -1=0,∴a =1±52(舍).(3)当a >1时,f (x )max =f (1)=a ,∴a =2.综上可知,a =-1或a =2.10.已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b 为实数,a ≠0,x ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过点(-2,1),且方程f (x )=0有且只有一个根,求f (x )的表达式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-1,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围. 解:(1)因为f (-2)=1,即4a -2b +1=1,所以b =2a .因为方程f (x )=0有且只有一个根,所以Δ=b 2-4a =0.所以4a 2-4a =0,所以a =1,所以b =2.所以f (x )=(x +1)2.(2)g (x )=f (x )-kx =x 2+2x +1-kx =x 2-(k -2)x +1=2)22(--k x +1-(k -2)24. 由g (x )的图象知:要满足题意,则k -22≥2或k -22≤-1,即k ≥6或k ≤0,∴所求实数k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).B 组 能力突破1.若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点,则m 的取值是( ) A .-1≤m ≤2 B .m =1或m =2 C .m =2 D .m =1解析:选B.由幂函数性质可知m 2-3m +3=1,∴m =2或m =1.又幂函数图象不过原点,∴m 2-m -2≤0,即-1≤m ≤2,∴m =2或m =1.2.已知函数f (x )=x 2+x +c .若f (0)>0,f (p )<0,则必有( )A .f (p +1)>0B .f (p +1)<0C .f (p +1)=0D .f (p +1)的符号不能确定解析:选A.函数f (x )=x 2+x +c 的图象的对称轴为直线x =-12,又∵f (0)>0,f (p )<0,∴-1<p <0,p +1>0,∴f (p +1)>0.3.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ;②2a -b =1;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确的是( )A .②④B .①④C .②③D .①③解析:选B.由函数图象知,a <0,与x 轴有两个交点,∴b 2-4ac >0,即b 2>4ac .对称轴x =-b 2a=-1,∴2a -b =0. 当x =-1时,对应最大值,f (-1)=a -b +c >0.∵b =2a ,a <0,∴5a <2a ,即5a <b .4.已知幂函数f (x )=21-x ,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.解析:∵f (x )=21-x =1x(x >0),易知x ∈(0,+∞)时为减函数,又f (a +1)<f (10-2a ), ∴⎩⎨⎧ a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,解得⎩⎨⎧ a >-1,a <5,a >3,∴3<a <5.答案:(3,5) 5.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0,b ∈R ,c ∈R ).(1)若函数f (x )的最小值是f (-1)=0,且c =1,F (x )=⎩⎨⎧ f (x ),x >0,-f (x ),x <0,求F (2)+F (-2)的值;(2)若a =1,c =0,且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围.解:(1)由已知c =1,a -b +c =0,且-b 2a =-1,解得a =1,b =2.∴f (x )=(x +1)2.∴F (x )=⎩⎨⎧(x +1)2,x >0,-(x +1)2,x <0. ∴F (2)+F (-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f (x )=x 2+bx ,原命题等价于-1≤x 2+bx ≤1在(0,1]上恒成立,即b≤1x-x且b≥-1x-x在(0,1]上恒成立.又1x-x的最小值为0,-1x-x的最大值为-2.∴-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].。

第二章 第八节 幂函数与二次函数

第二章  第八节  幂函数与二次函数
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[悟一法]
1.二次函数的解析式有三种形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);
(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定
系数法,根 据题设恰当选用二次函数解析式
对称轴 函数的图象关于直线 x=-2ba 成轴对称
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1.下列函数:①y=x13;②y=3x-2;③y=x4
+x2;④y=3 x2,其中幂函数的个数为( )
答案:B
A.1
B.2
C.3
D.4
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2 . (2011·陕 西 高 考 ) 函 数
y

1
x3




( ) 答案:B
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3.如图所示,是二次函数 y=ax2+bx+c 的图
时,减
非奇非 偶

奇 x∈(0,+∞)
时,减
x∈(-∞,0)
时,减返回
4.二次函数的图象与性质
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
[4ac4-a b2,+∞)
(-∞,4ac4-a b2]
返回
函数
单 调 性
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
象,则|OA|·|OB|等于
答( 案:) B
c A.a
B.-ac
C.±ac D.无法确定
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4.(2011•济南模拟)幂函数 y=f(x)的图象经 过点(4,12),则 f(14)的值为________.

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数介绍:二次函数与幂函数是数学中重要的函数类型,它们在各个领域具有广泛的应用。

本文将从定义、图像、性质等方面介绍二次函数与幂函数,帮助读者全面了解这两种函数。

一、二次函数二次函数是指函数表达式中含有$x^2$项的函数,其一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$,其中$a \neq 0$,$a$、$b$、$c$为常数。

1. 定义二次函数可以通过改变系数$a$、$b$、$c$的值来改变函数的形状和特点。

其中,系数$a$决定二次函数的开口方向,若$a>0$,二次函数开口向上;若$a<0$,二次函数开口向下。

2. 图像二次函数的图像呈现抛物线的形状,称为二次曲线。

图像在平面$x$轴上对称,其中顶点为$(h, k)$,其中$h=-\frac{b}{2a}$,$k=c-\frac{b^2}{4a}$。

根据顶点的坐标,可以确定二次函数的平移和缩放变换。

3. 性质二次函数的性质包括:定义域、值域、奇偶性、单调性等。

其定义域为实数集,值域的范围取决于二次函数开口的方向。

奇偶性与二次函数的对称性相关,若$f(x)=-f(-x)$,则为奇函数;若$f(x)=f(-x)$,则为偶函数。

二次函数在开区间上可以是增函数或减函数。

二、幂函数幂函数是指函数表达式形式为$f(x)=ax^k$的函数,其中$a$和$k$为常数,$a \neq 0$,$k$为实数。

1. 定义幂函数以$x$的幂次为变量,其图像形状随参数$a$和$k$的取值而变化。

常见的幂函数有正幂函数($a>0$)、负幂函数($a<0$)和倒数函数($k=-1$)。

2. 图像幂函数的图像可以是直线、曲线或者曲线段。

具体的形状取决于参数$a$和$k$的取值。

幂函数的图像可在平面上进行平移、压缩和扭曲操作。

3. 性质幂函数的性质包括:定义域、值域、奇偶性、单调性等。

其定义域为正实数集或者整个实数集,取决于指数$k$的值。

值域的范围取决于参数$a$和$k$的正负。

二次函数与幂函数的关系与性质

二次函数与幂函数的关系与性质

二次函数与幂函数的关系与性质二次函数和幂函数是高中数学中重要的概念,它们在数学中有着广泛的应用。

本文将重点讨论二次函数与幂函数之间的关系与性质。

一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一条U形曲线,被称为抛物线。

1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数值等于零的x值,即f(x) = 0的解。

二次函数的求解可以使用配方法、因式分解或求根公式来进行。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的对称轴线,它与抛物线的顶点重合。

二次函数的对称轴的方程为x = -b/2a,顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 函数的增减性当a > 0时,二次函数是开口向上的,即函数的图像在对称轴的两侧递增;当a < 0时,二次函数是开口向下的,即函数的图像在对称轴的两侧递减。

4. 函数的最值当a > 0时,二次函数的最小值为f(-b/2a);当a < 0时,二次函数的最大值为f(-b/2a)。

二、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数,其中a为非零实数,b为实数。

幂函数的特点是具有不同的增长速度和变化趋势。

1. 底数和指数幂函数中的x称为底数,b称为指数。

不同的底数和指数会导致幂函数的图像形状和性质的差异。

2. 增减性与奇偶性当b > 0时,幂函数是递增的;当b < 0时,幂函数是递减的。

当b为偶数时,幂函数的图像关于y轴对称;当b为奇数时,幂函数的图像不对称。

3. 渐近线和极限当b > 1时,幂函数的图像会趋近于x轴正半轴;当b < 1时,幂函数的图像会趋近于x轴负半轴。

幂函数在x = 0处的极限取决于指数b的正负性。

三、二次函数与幂函数的关系二次函数其实可以看作是幂函数的一种特殊情况,即当指数b为2时。

因此,二次函数可以被视为幂函数的一种扩展形式,二次函数的性质也可以通过幂函数的性质进行类比和推导。

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数,其中a eq0,a、b和c为常数,x为自变量。

2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线,开口方向由二次项的系数a决定:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

•二次函数的对称轴是一个直线,其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。

•二次函数的顶点是对称轴上的点,坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。

•当a>0时,二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$;当a<0时,二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。

3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作,可以得到不同形状的图像。

•平移:设二次函数为f(x)=x2,当向右平移ℎ个单位,得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2;当向上平移k个单位,得到f(x)+k=x2+k。

•伸缩:设二次函数为f(x)=x2,当横坐标伸缩为原来的m倍,纵坐标伸缩为原来的n倍,得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。

•翻转:设二次函数为f(x)=x2,当横坐标翻转,得到f(−x)= (−x)2=x2;当纵坐标翻转,得到−f(x)=−x2。

二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数,其中a eq0,a和b为常数,x为自变量。

2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。

当b>0且a>0时,幂函数图像在第一象限上递增;当b>0且a<0时,幂函数图像在第一象限上递减;当b<0时,幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。

高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案

高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案

教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种常见解析式①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)为顶点坐标;③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)其中x1,x2分别是f(x)=0的两实根.教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac-b24a,+∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤-∞,4ac-b24a对称轴x=-b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫-b2a,4ac-b24a奇偶性b=0⇔y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫-b2a,+∞⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-b2a⎝⎛⎭⎪⎫-b2a,+∞最值当x=-b2a时,y有最小值y min=4ac-b24a当x=-b2a时,y有最大值y max=4ac-b24a辨析感悟1.对幂函数的认识(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=2x2都是幂函数.( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).( )(3)幂函数的图象不经过第四象限.( )2.对二次函数的理解(4)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( )(5)(教材习题改编)函数f(x)=12x2+4x+6,x∈[0,2]的最大值为16,最小值为-2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不经过第四象限,若与坐标轴相交,则交点一定是原点,但并不是都经过(0,0)点,如(2)、(3).二是二次函数的最值一定要注意区间的限制,不要盲目配方求得结论,如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域.考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12,22,则log4f(2)的值为________.(2)函数y=13x的图象是________.规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y=xα(α为常数)的形式;(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】比较下列各组数的大小:⑴121.1,120.9,1;⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭,23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭,()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是________.规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法:(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;(2)讨论函数图象,依据图象特征,得到参数间的关系.【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)=1x,g(x)=-x2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2________0,y1+y2________0(比较大小).教学效果分析教学过程1.对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题,解决的主要思路是等价转化,多用到数形结合思想与分类讨论思想.3.对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用.答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)=-x(x-a)在x∈[-1,1]上的最大值.[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.(2)部分学生易出现两点错误:①找不到分类的标准,无从入手;②书写格式不规范,漏掉结论答题模板第一步:配方,求对称轴.第二步:分类,将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步:求最值.第四步:下结论.【自主体验】已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有一个最大值-5,求a的值.教学效果分析。

高考数学 2.3 二次函数与幂函数

高考数学 2.3 二次函数与幂函数

f(x)单调递增.
b b ,则 f(x)单调递 当a<0时,若x∈ , 则 f ( x ) 单调递增 , 若 x ∈ , , 2a 2a
减.
mn 4.若二次函数y=f(x)恒满足f(x+m)=f(-x+n),则其对称轴方程为x= . 2
解题导引 (1)由存在性知区间[m-1,m+1]是不等式f(x)≤0的解集的子集→由子集关系 得关于a,b的不等式→分离变量得结论 (2)求命题的对立面,把存在性问题转化为恒成立问题→分区间讨论去掉绝 对值,利用函数最值解决恒成立问题→求补集,得结论
解析 (1)易知Δ=a2-4b>0,由x2+ax+b≤0,
低”);在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴(简记为“指
大图高”).
方法技巧
方法 1 三个“二次”问题的处理方法
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”.它们
常结合在一起,而二次函数又是其核心.因此,利用二次函数的图象数形 结合是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题常借助 二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手 处理. 例1 (2017浙江镇海中学第一学期期中,20)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈ R). (1)若对任意实数a,总存在实数m,当x∈[m-1,m+1]时,使得f(x)≤0恒成立, 求b的最大值; (2)若存在x∈R,使不等式f(x)-ax-b≤2|x-a|-|x+1-a|成立,求a的取值范围.
高考数学
§2.3 二次函数与幂函数
知识清单
考点
一、二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数的三种表示形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图象和性质

2.4二次函数与幂函数

2.4二次函数与幂函数

f(x)=x +2x
2
g(x)=-x +2x
2
(-∞,0]变式训练3 Nhomakorabea(2) 已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1. ①若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求实 数b的取值范围; ②设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2, 且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数m 的取值范围.
b<0或b>4
[-1,0]∪[2,+∞)
变式训练3
(3) (2010· 广东)已知函数f(x)对任意实数x均 有f(x)=kf(x+2),其中k为负数,且f(x)在 区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2). 3 ①求f(-1),f(2.5)的值;(1)f(-1)=-k,f(2.5)=-4k ②写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函 数f(x)在[-3,3]上的单调性.
3
2
C.[3,12]
思想方法·感悟提高
1.二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律: (1)在研究一元二次方程根的分布问题时 , 常借助于二次函数的图象 数形结合来解,一般从①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端 点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的 图象、性质求解.
变式训练3
(1)(P17) 已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点 (1,3), 且 f( - 1 + x) = f( - 1 - x) 对任意实数都成 立, 函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. ①求 f(x)与 g(x)的解析式; ②若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求 实数 λ 的取值范围.
【2014年高考浙江会这样考】
1.常以集合为载体,考查二次方程的解
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二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念;(2)结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =1x 的图象,了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.【知识通关】1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0);顶点式:f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0),顶点坐标为(h ,k ); 零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0),x 1,x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象与性质 函数 y =ax 2+bx +c (a >0)y =ax 2+bx +c (a <0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝⎛⎦⎥⎤-∞,4ac -b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a 上减, 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a 上增, 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上减 对称性 函数的图象关于直线x =-b2a对称 (1)定义:形如y =x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (2)五种常见幂函数的图象与性质函数 特征 性质y =xy =x 2y =x 3y =x 12y =x -1图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇 单调性 增(-∞,0)减, (0,+∞)增增增(-∞,0)和 (0,+∞)减公共点 (1,1)1.幂函数y =x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1);(2)当x ∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x ∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.2.研究二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在区间[m ,n ](m <n )上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m 或n 的大小. 3.二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y =f (x )对定义域内所有x ,都有f (x 1)=f (x 2),那么函数y =f (x )的图象关于x =x 1+x 22对称.(2)对于二次函数y =f (x )对定义域内所有x ,都有f (a +x )=f (a -x )成立的充要条件是函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(a 为常数).【基础自测】1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈R 不可能是偶函数.( ) (2)二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac -b 24a.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).( )(4)当α>0时,幂函数y =x α在(0,+∞)上是增函数.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.已知幂函数f (x )=k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,22,则k +α等于( )A .12B .1C.32 D .2C3.如图是①y =x a ;②y =x b ;③y =x c 在第一象限的图象,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a >b >c B .a <b <c C .b <c <a D .a <c <bD 4.已知函数y =x 2+ax +6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52,+∞内是增函数,则a 的取值范围为( ) A .a ≤-5 B .a ≤5 C .a ≥-5 D .a ≥5 C5.函数g (x )=x 2-2x (x ∈[0,3])的值域是________. [-1,3]【题型突破】幂函数的图象及性质1.幂函数y =f (x )的图象经过点(3,3),则f (x )是( ) A .偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B .偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C .奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D .非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 D2.幂函数y =x m 2-4m (m ∈Z)的图象如图所示,则m 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3C3.若(a +1) 12<(3-2a ) 12,则实数a 的取值范围是________. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,23[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧:结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (0)=3,对∀x ∈R ,都有f (1+x )=f (1-x )成立,则f (x )的解析式为________.(2)若函数f (x )=(x +a )(bx +2a )(a ,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f (x )=________. (1)f (x )=x 2-2x +3 (2)-2x 2+4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法试确定该二次函数的解析式. [解] 法一(利用一般式): 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得⎩⎨⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7.法二(利用顶点式): 设f (x )=a (x -m )2+n . ∵f (2)=f (-1),∴函数图象的对称轴为x =2+(-1)2=12. ∴m =12.又根据题意函数有最大值8,∴n =8.∴y =f (x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+8.∵f (2)=-1,∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-122+8=-1,解得a =-4,∴f (x )=-4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+8=-4x 2+4x +7.法三(利用零点式):由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1, 故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1), 即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数的最大值是8,即4a (-2a -1)-(-a )24a =8,解得a =-4,∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )=ax 2+(a -3)x +1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是( ) A .[-3,0) B .(-∞,-3] C .[-2,0] D .[-3,0]D[母题探究] 若函数f (x )=ax 2+(a -3)x +1的单调减区间是[-1,+∞),则a =________. -3►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )=x 2+2ax +1在区间[-1,2]上的最大值. [解] f (x )=(x +a )2+1-a 2,∴f (x )的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x =-a . (1)当-a <12,即a >-12时,f (x )max =f (2)=4a +5; (2)当-a ≥12,即a ≤-12时,f (x )max =f (-1)=2-2a .综上,f (x )max =⎩⎪⎨⎪⎧4a +5,a >-12,2-2a ,a ≤-12.►考法3 二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)已知函数f (x )=ax 2-2x +2,若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,f (x )>0都成立,则实数a 的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ C .[-4,+∞)D .(-4,+∞)(2)已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________. (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0[方法总结] 1.二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ,a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)若函数f (x )的最小值为f (-1)=0,求f (x )的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f (x )>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求k 的取值范围. [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧-b 2a=-1,f (-1)=a -b +1=0,解得⎩⎨⎧a =1,b =2.所以f (x )=x 2+2x +1,函数f (x )的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].(2)由题意知,x2+2x+1>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即k<x2+x+1在区间[-3,-1]上恒成立,令g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1].g(x)在区间[-3,-1]上是减函数,则g(x)min=g(-1)=1,所以k<1,故k的取值范围是(-∞,1).。

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