二次函数与幂函数

二次函数与幂函数

[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12

，y ＝1

x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

【知识通关】

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)

y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)

图象

定义域 R

值域

⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝

⎛

⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a

单调性

在⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－

b

2a

对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质

函数 特征 性质

y ＝x

y ＝x 2

y ＝x 3

y ＝x 12

y ＝x －1

图象

定义域 R R

R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶

奇 单调性 增

(－∞，0)减， (0，＋∞)增

增

增

(－∞，0)和 (0，＋∞)减

公共点 (1,1)

1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；

(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．

2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－

b

2a

与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2

2

对称．

(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是

4ac －b 2

4a

.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )

(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，22，则k ＋α等于( )

A .1

2

B ．1

C

.32 D ．2

C

3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b

D 4．已知函数

y ＝x 2＋ax ＋6

在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5 C

5．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3]

【题型突破】

幂函数的图象及性质

1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D

2.幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

C

3．若(a ＋1) 1

2

＜(3－2a ) 12

，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡

⎭⎪⎫－1，23

[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.

(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.

求二次函数的解析式

【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．

(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法

试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨

⎪⎧

4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，

4ac －b 24a ＝8，

解得⎩⎨⎧

a ＝－4，

b ＝4，

c ＝7.

∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，