上海海洋大学16-17高数C期末A卷(答案)

上海海洋大学试卷答案
一、选择题（每题3分，共15分）
二、填空题（每题3分，共15分）
三、计算题（共65分, 要有计算过程，否则无分）
1．计算下列极限（每题7分，共14分）
(1).（7分）原式=00sin 1
lim
lim 222
x x x x x x →→==. (2).（7分）原式=220
0cos cos lim
lim 11
x
x x tdt x
x
→→==⎰. 2．计算下列导数 (共15分).
(1).（7分）对方程左右两侧同时关于x 求导，得
''0y e y y x y ⋅++⋅=，
即，
'y
y
y x e
=-
+. 由题意知，0x =时，1y =. 因此，
0,1
1x x y y dy y dx
x e e
====-
=-+.
(2).（8分）2//(1)1t t
t dy dy dt e e dx dx dt t e t
-===
--； 222323
/(32)/(1)32/(1)(1)
t t
t dy d dt d y t e t t dx e dx dx dt t e t -⎛⎫ ⎪---⎝⎭===--. 3. 计算下列定积分 (18分).
(1).（6分）
43
3
222
00
cos 1sin cos cos cos |44
d d π
π
πϕϕϕϕϕϕ=-=-=⎰
⎰
；
(2)．（6
分）
111
2
221121
11|x
x
x e dx e d e e x x
=-=-=-⎰
⎰ (3)．（6
t =，则2
1x t =-
，故8
3
332
23
2
22(1)|42t t te dt t e e e ==-=-⎰⎰.
4. （8分）设2,[0,1)
(),[1,2].x x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩
求0()()x x f t dt ϕ=⎰在[0,2]上的表达式，并讨论()x ϕ在
(0,2)内的连续性..
解：由题意得
3
201
2
20
1,01,
013
()31,
12
,126
x
x
x x t dt x x x t dt tdt x x ϕ⎧⎧≤<≤<⎪⎪⎪==⎨⎨-⎪⎪+≤≤≤≤⎩⎪⎩⎰⎰⎰， 显然，()x ϕ在(0,1)和(1,2)内连续，又由于1
(10)(10)(1)3
ϕϕϕ-=+==
，故()x ϕ在(0,2)内连续. 5. (10分) 某产品的总成本（万元）的变化率为()1C q '=（万元/百台），总收入（万元）的变化率为产量q （百台）的函数()5R q q '=-（万元/百台）. (1) 求产量q 为多少时，利润最大？
(2) 在上述产量（使利润最大）的基础上再生产100台，利润将减少多少？
解： （1）利润函数为
2001
()()()('()'())(4)42
q q L q R q C q R q C q dq q dq q q =-=-=-=-⎰⎰（万元），
因此，4q =（百台）时利润最大。

（2）在上述产量（使利润最大）的基础上再生产100台，利润将减少
22|||(5)(4)||(450.55)(440.54)|0.5L R R ∆=-=⨯-⨯-⨯-⨯=（万元）.
四、证明题 (共5分)
利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在点(,),a b ξ∈ 使得()()()().f b f a f b a ξ'-=-
证明：令
()()()()()()()()()F x f b f a x a f x f a b a =-⋅---⋅-，
则()()0F b F a ==，因此，()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理，故存在(,),a b ξ∈ 使得
'()0F ξ=，即
()()()().f b f a f b a ξ'-=-。