平移型将军饮马问题解法大全

平移型“将军饮马”问题解法大全

如下图，大家都熟悉求两条线段和最短的“将军饮马”模型，就是通过对称把同侧两定点转化为异侧两定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。

在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型，即（“两定一动型”----两个定点+一个动点）。

如果本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ的距离之和最短，又该如何处理呢（“两动一定型”）

法一：先对称后平移

作定点A关于动点所在直线（河）的对称点A',将点A'沿直线平移PQ的长度得A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直.最短AP+PQ+BQ即此时P,个长度得点PQ线反向平移

思路：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点.

法二：先平移后对称

将点A沿直线平移PQ的长度得A',作定点A'关于动点所在直线（河）的对称点A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直线反向平移PQ个长度得点P,即此时AP+PQ+BQ最短.

思路：定点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）----作对称（同侧变异侧）----连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点.

作图模型：对称+平移+连接+反向平移+连接

简析：典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点.

反思：“平移型将军饮马”问题，需通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移后对称”.通过平移将一定点变为两定点，再将同侧定点通过对称转变为异侧定点，连接原定点和对称点即可得最短距离.

(思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点)

简析：典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点.

简析：非典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”，但本题2动点不同在河上是难点）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点.反思：“平移型将军饮马”问题，需通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移.后对称”

通过平移将一定点变为两定点，再将同侧定点通过对称转变为异侧定点，将动点平移到异侧定点连线上即可得最短距离.

(思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点，平移动点至定点连线上)

需要我们有化动为定思想，，问题“平移型将军饮马”非典型的反思：将某动点看作定点，再通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移后对称”.

(思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点，平移动点至定点连线上)

本质为转化思想：

化同侧为异侧（对称变换）

平移定距离（平移变换）

化折线为直线（两点之间线段最短）

总结：“平移型将军饮马”又可细分为以下4种类型：

①典型的“平移型将军饮马”（一定两动型---动点均在直线“河”上）．作对称+再平移（化为“两定一动”）+去连接+反平移

②非典型的“平移型将军饮马”（一定两动型---动点只有1点在直线“河”上）

作对称+再平移+去连接+另一动点反平移至直线

③非典型的“平移型将军饮马”（三动点型）

假定某动为定点+作对称+再平移（化为“两定一动”）+去连接+反平移

④非典型的“平移型将军饮马”（两定两动）即“造桥选址”问题

先沿河垂直方向平移桥长+连接+反向平移.