锁相环复习小结

3
积分滤波器 的二阶环 （典型二阶环）
F s
Ho s
有源比例积分 无源比例积分 滤波器的二阶环 滤波器的二阶环 （非理想二阶环） （理想二阶环）
1 s 2 1 s 1 1 s 2 s 1
1 1 s 1
K
1
s2 s
1
K
1 K s 2 1 1 s s2
5
e (t ) L1 e ( s) L1 1 ( s ) H e ( s ) 。
三、环路的稳态指标
1、稳态指标
稳态指标指稳态相位误差，用 e () 表示，它的定义可表示为 e () lim e (t ) 。
t
稳态相位误差反应了环路的跟踪精度。 稳态相位误差的两种求法： ①利用定义 e () lim e (t ) ，直接求解，比较麻烦；
注意区别 p e (t ) p1 (t ) KF ( p ) sin[ e (t )]
令环路增益
K=K 0 K d ，则
p e (t ) p1 (t ) KF ( p ) e (t ) ——线性化后的环路动态方程
线性化处理后，可以在 s ， j 域来进行研究。 复频率域的表示方程：用 s p ，则 s e (t ) s1 ( s ) KF ( s ) e ( s ) 。 频域的表示方程：用 j p ，则 j e (t ) j1 ( j ) KF ( j ) e ( j ) 。 环路的线性化相位模型可表示为时域、复频域和频域三种形式。
1
v
o
c
i v
uc

图1-11 压控振荡器的控制特性
二、锁相环路的线性跟踪
1、环路的线性相位模型
1 t

e t

Kd
ud t
F p
uc t
K0 P
2 t
图2-1b 正弦鉴相器PD线性化的PLL相位模型
p e ( t )＝p1 ( t ) －K 0 K d F(ｐ) e ( t )
s2
s
s2 s 2 sK
2 K 1 1
K
s
K 2
1
s 2 sK
2 K 1 1
1
4、用系统参 , n 来描述二阶 PLL
n 为环路自然谐振频率， 为环路阻尼系数。n 为环路自然谐振频率， 为环路 阻尼系数。 , n 为环路的系统参数，反映了系统的性能，又称为系统的性能参 数；而 K 、 1 与 1 直接与电路相关，称为系统的电路参数。 表2-2传递函数 H ( s ) 、 H e ( s ) 与系统参数 , n 的关系（见书上P24）
s V 。
当 K 0 的单位是 Hz V ，代入公式时必须把这数值乘以 2 。因为 K=K 0U d ，U d
1、相位阶跃信号（如 PSK 调制信号）
表 示 为 1 (t ) 1 t ； 式中 为 相位 阶跃 量 ， 1 t 为 单位 阶 跃函 数，即
0, t 0 1 t 1, t 0
uc j
1 j
2 j
图2-2
（c）频域模型 锁相环路的线性相位模型
2、PLL 的三种常用传输函数 H o ( s ) ， H ( s ) ， H e ( s )
1 s

e s

K
ud s
F s
uc s
1 s
2 s
图2－2（b） 锁相环路复频域的线性相位模型
K0 P
2 t
图 1-15 正弦PD的PLL数学模型（相位模型）
p e (t ) p1 (t ) KF ( p) sin[ e (t )] ——环路方程以频率表示—PLL动态方程
在PLL控制过程中：固有频差＝瞬时频差＋控制频差，即 o v c 。 三者之间的关系可以从压控振荡器的控制特性特性来进行理解。
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输入相位阶跃信号的拉氏变换为 1 ( s )
。 s
2、相位斜升（频率阶跃）信号（如 FSK 调制信号）
1 (t ) t 1(t ) ，式中 为频率阶跃量； 1 (s)
s2
3、相位加速度（频率斜升）信号（如线性调频信号）
1 ( s)
R 1 ，式 R 中为频率斜升的斜率； 1 (t ) Rt 2 1(t ) s3 2
典型二阶环
H s
2 n 2 s 2 2n s n
非理想二阶环
理想二阶环
2 2n s n 2 s 2 2n s n
2 2 s 2n n n K 2 2 s 2n s n
2 ss n K 2 2 s 2n s n
2
2
K
1
注意如下： ①三种常用的二阶环的环路自然谐振频率 n 都相等，即 n K 1 ；
4
②三种常用的二阶环的传递函数具有相同的分母多项式，且 s 2n s n 0
2 2
为系统的特征方程，特征方程的根为系统的极点；但是它们的分子多项式是不同， 则系统的零点不同，反映出系统的性质是不同。 ③当 K 1 2 时，非理想二阶环的阻尼系数 与理想二阶环相同，称满足这一条 件的非理想二阶环为高增益二阶环。 ④计算 n 时应特别注意单位问题。 式中 K=K 0 K d ， K 0 的单位必须是 rad 和 K d 在数值上相等，但单位不同。 5 环路对输入暂态信号响应（环路的时域跟踪性能） 一、三种典型暂态相位信号
同步状态（即锁定状态）的一般条件：

瞬时频差|e ( t )| 瞬时相差|e ( t ) 2 n | e
以固定频率输入信号时，环路的同步状态的条件： 瞬时频差为零即 ( t ) ( t ) ( t ) 0

瞬时相差为常数 e ( t ) e常数
根据锁相环路复频域的线性化相位模型，由传递函数的定义，可求得 开环传递函数 H o ( s ) 闭环传递函数 H ( s )
H ( s)
KF s s KF s H o (s) ＝ KF s s KF s 1＋H o ( s ) 1＋ s e ( s) s 误差传递函数 H e ( s ) 1 ( s ) s KF s
s
K 2
1

K
1
1
s
2
H e (s)
s
K 2
1
1
s
2
K
H s
1
s2 s
1 1

K
1 1 K s2 s K 2 1 1 1 K K s 2 1 1 1 K s2 s K 2 1 1 1
KF s 2 ( s) 1 ( s) s KF s
KF s 2 ( s) ； s 1 ( s) 开环
H e (s)
KF s e ( s ) 1 ( s)－ 2 ( s) ( s) s ＝ ＝1－ 2 ＝1－H ( s )＝1－ ＝ 1 ( s) 1 ( s) 1 ( s) s KF s s KF s
式中 K K d K 0 ，称为环路增益，单位为 rad s 。 3、 H o ( s ) 、 H ( s ) 、 H e ( s ) 三者之间的关系
H o ( s ) ， H ( s ) ， H e ( s ) 三者之间的关系为 H o ( s) 1 H (s) ①； H e ( s ) ②； H e ( s ) 1 H ( s ) ③ 1 H o ( s) 1 H o (s) 表2-1传递函数 H o ( s ) 、 H ( s ) 、H e ( s ) 与电路参数 K 、 1 、 2 的关系（见书上P22）
1 t

e t

K
ud t
F p
uc t
1 P
2 t
（a）时域模型
1 s

e s

K
ud s
F s
uc s
1 s
2 s
（b）s域模型
2
1 j

e j

K
ud j
F j
锁相环复习小结
一、锁相环的基本概念
ui t
PLL
uo t
1 t
PLL
2 t
(a) PLL方框图 (b) PLL相位框图 图1-1 PLL相位跟踪系统框图
ui (t ) U i sin[i t i (t )] U i sin[0t 1 (t )] ， 1 (t ) 0t i (t ) (i 0 )t i (t ) ， 0 i 0 u0 (t ) U 0 cos[0t 0 (t )] U 0 cos[0t 2 (t )] ， 2 (t ) 0 (t ) 以 0t 为参考相位，进行 1 (t ) 与 2 (t ) 的比较。 相差： e (t ) 1 (t ) 2 (t ) 0t i (t ) 0 (t ) (i t i (t )) (0t 0 (t )) (t ) d e (t ) (t ) (t ) t di (t ) d 0 (t ) 频差： e 1 2 0 dt dt dt
1 (t )

1 (t )
t
1 (t )
1 2 Rt 2
t
0
0
t
0
t
图2－ 三种典型暂态相位信号
二、环路误差信号对暂态相位信号的时间响应（简称误差的时间响应） 环路锁定后，当输入信号的相位 1 (t ) 按上述三种变化时，环路的输出信号的相位
2 (t ) 、环路相位误差 e (t ) 必然要按照某一规律变化。在环路跟踪性能的研究中， 通常最关心的是相位误差 e (t ) 的变换规律。
现以理想二阶环为例，来说明求解相位误差的方法及其变化规律。
1 ( s ) H e ( S ) e ( s )
由环路的误差传递函数的定义 H e ( s)
e ( s) ，可得环路相位误差的拉氏变换为 1 ( s )
e ( s) 1 ( s) H e ( s) ， 对 此 式 作 拉 氏 反 变 换 即 可 得 到
H e (s)
s 2 2n s 2 s 2 2n s n
s2
2 s 2 2n s n
表2-3系统参数 ， n 与电路参数 K 、 1 、 2 的关系（见书上P24）
n
K
n
1 1 2 K
1

1 K 1 2 2 1 K
t
②利用拉氏变换的终值定理 e () lim s e ( s ) lim s 1 ( s ) H e ( s ) ， 间接求解，
s 0 s 0
比较简单。 表2－4 环路的稳态相差(p38)

R
n2
LL 的阶数与型数概念
稳态相位误差 e () 的大小反映了环路的跟踪精度的高低， 那么与哪些参量有关？ 同样是二阶环，对于相位斜升信号，非理想的二阶环的 e () K ，而理想二 阶环 e () 0 。 环路的型数：开环传递函数在原点处的极点个数，即环路中理想积分环节的个数。 环路的阶数：开环传递函数分母中 s 的最高次方数，即极点的总个数。 PLL系统的开环传递函数 H o s K
e
1
2
ui t
ud t
PD
PLL
uc t
LF
VCO
uo t
图 1-14 锁相环路（PLL）的基本构成
PLL实际上是控制相位，其数学模型（相位模型）如图1-15所示：
1 t

e t

U d sin
ud t
F p
uc t