连续函数性质

连续函数的主要性质
若函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点0(,)x a b ∈都连续，即在每一点0(,)x a b ∈都有
0lim ()()x x f x f x →=
则称函数()f x 在开区间(,)a b 内是连续函数(图1-17)。

而称函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续函数，除了它在开区间(,)a b 内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]:
()
lim ()()x a x a f x f a +→>=(右连续) 和 ()
lim ()()x b x b f x f b -→<=(左连续)
在定义域上连续的函数简称为连续函数。

读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。

从几何上说，区间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线。

根据函数极限的运算规则，能够很容易地证明下面的结论。

定理1-5 若函数()f x 和()g x 在点0x 都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分母在点0x 等于0]在点0x 也都是连续的。

特别，常数λ与函数()f x 的乘积()f x λ在点0x 当然也是连续的。

证 证明是简单的。

譬如，因为
[]000
00lim ()()()lim ()0()lim ()()
x x x x x x f x f x f x g x g x g x g x →→→==≠ 所以商
()
()
f x
g x 在点0x 是连续的。

根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数。

函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算。

例如，函数2
x a [注意，
22
()x x a a =，不是22()x x a a =]是由简单指数函数u a
和幂函数2x 复合而成的复合函数。

再
如，log a
是由简单对数函数log a u 、幂函数12u v ==和简单三角函数sin v x =，
依次复合成的复合函数。

一般地，若函数()f u 定义在区间,A B 上，而函数()u u x =定义在区间,a b 上，且函数()u x 的函数值在区间,A B 上，则函数[()]f u x 就是定义在区间,a b 上的函数。

称它
图1-18
x
图1-17
§1-4 连续函数的主要性质
23
为由外函数()f u 和内函数()u x 复合成的复合函数。

近代数学中把它记成()()f u x ，即
()()f u x [()]f u x = [不是()()f u u x ⋅！]
若内函数()u x 在点0x 连续，而外函数()f u 在相应点00()u u x =也连续，则复合函数
[()]f u x 在点0x 也连续。

这是因为，当x 无限接近0x 时，函数值()u x 无限接近00()u u x =，从而函数值[()]f u x 就会无限接近0[()]f u x 。

用极限式表示成
0→→==lim [()][lim ()][()]x x x x f u x f u x f u x 【极限号0
lim x x →与函数记号f 交换次序】
我们把这个结论叙述成下面的定理：
定理1-6 若内函数()u x 在点0x 连续，而外函数()f u 又在点00()u u x =连续，则复合函数[()]f u x 在点0x 也连续。

【注】根据这个定理，若外函数
()f u 是连续函数，而且有极限lim ()x u x →
[有限值]，则有
[]lim ()[lim ()]x x f u x f u x →
→
=（极限记号与函数记号交换次序）
例如()
limsin(cos )sin limcos sin(cos )x c
x c
x x c →→==；再如，
lim
x (
lim lim
x ==
(lim x →+∞
)1=
=
区间,a b 上的连续函数是一元函数微积分研究的主要对象，因为区间上的连续函数具有许多很好的性质。

而这些性质是我们能够证明微积分中许多重要定理的基础。

虽然从直观上说，这些性质都是很明显的，可是要证明它们是不容易的(证明在第二篇中)。

在这些性质中，我们先给出下面几个定理。

定理1-7 闭区间[,]a b 上的连续函数是有界的(有界性定理)，而且有最大值和最小值[最大(小)值定理]。

(图1-19)
定理1-8 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则至少有一点0x ，
使0()0f x =(零点定理，图1-20)。

图1-19
例10 证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根不超过b a +。

证 令()sin f x x a x b =--。

显然，(0)0f b =-<，而另有足够大的正数c 使
()0f c >。

因此，必有点0x (0,)c ∈，使0()0f x =，即正数0x 是方程sin x a x b =+的根，
而且
000sin x a x b a b <≤+≤+
推论 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则介于()f a 与()f b 之间的任何数μ，都是函数()f x 的函数值，即至少有一点0(,)x a b ∈，使0()f x μ=。

（介值定理）
证 不妨设()()f a f b μ>>（图1-21）。

作辅助函数
()()g x f x μ=-
则函数()g x 在闭区间[,]a b 上连续，且
()0,()0g a g b ><。

根据零点定理，至少有一点00()<<x a x b ，
使0()0g x =，即0()f x μ=。

例11 设函数)(x f 在区间),(b a 内连续，),,2,1(),(n i b a x i =∈。

证明：至少有一点),(b a c ∈，使
n
x f x f x f c f n )
()()()(21+++=
[算术平均值,均值定理]
证 设
{}12()
max
(),(),
,()n M f x f x f x =最大者，{}12()
min
(),(),,()n m f x f x f x =最小者
则
12()()()
n f x f x f x m M n
μ+++≤=
≤
根据介值定理，至少有一点),(b a c ∈，使
12()()()
()n f x f x f x f c n
μ+++==
在§0-5中说，增函数(或减函数)有反函数，而且反函数也是增函数(或减函数)。

另一
图1-21
②
图1-20
§1-4 连续函数的主要性质
25
方面，若()y f x =是闭区间[,]a b 上的连续增函数，根据介值定理，它的函数值能够充满整
个区间[(),()]f a f b ，而且它的反函数1()f y -是 区间[(),()]f a f b 上的连续增函数(图1-22)。

同理， 若()y f x =是闭区间[,]a b 上的连续减函数，则 它的反函数1
()f y -是区间[(),()]f b f a 上的连续
减函数。

上述结论称为反函数连续性定理。

请注意，在反函数连续性定理的表述中，说的是闭区间[,]a b ，而实际上，开区间．．．(,)a b 内连续增．．．．(．减．)．函数的反函数也是连续增．．．．．．．．．．．(．减．)．函数．．。

简单三角函数
sin 22x x ππ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，()cos 0x x ≤≤π，tan 22x x π
π⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，()cot 0x x <<π
和指数函数x a 都是连续(增或减)函数，所以它们的反函数(arcsin x 、arccos x 、arctan x 、
arccot x 和log )a x 也是连续函数。

根据定理1-5、定理1-6和简单初等函数
(,,log ,n x a x a x 简单三角函数和它们的反函数)
的连续性，则由简单初等函数经过所许可的有限次组合(加、减、乘、除或复合)得到的函数(称为初等函数)，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。

特别，一般幂函数
log log a a x x x a a μ
μμ==
作为复合函数是连续函数。

因此，
求初等函数在定义域内某点处的极限时，极限值就是那一点的函数值。

上面说的初等函数是我们以后进行微分和积分运算的主要对象。

例12 求极限 0log (1)
lim
a x x x
→+。

解 ()1
00log (1)
lim lim log 1a x a x x x x x →→+=+（交换次序）()10log lim 1log e x a a x x →⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦
【注意】因为1
lim(1)e x
x x →+=，所以点0是函数1(1)x
x +的可除间断点（在点0补充函数值e 后，它就
连续了）。

因此，0
lim x →与log a 可以交换次序，因为对数函数是连续函数。

例13 求极限 01
lim x x a x
→-。

解 01lim x x a x →-(1)x
y a =-=======令0lim
log (1)y a y y →+01lim log (1)y a y y →=+01log (1)lim a
y y y
→=+1
log e a = 【自然对数】以数e 为底的对数记成ln (就像以10为底的对数记成lg 一样)。

假若用自
f f 图1-22
然对数，上面的演算就会简单得多，即
11
000ln(1)
lim limln (1)ln lim(1)ln e 1x x x x x x x x x →→→⎡⎤+=+=+==⎢⎥⎣⎦
0e 1lim x x x →-（令e 1x y =-）0lim ln (1)y y y →=+01lim ln(1)y y y
→=+011
1ln(1)1lim
y y y →===+
尤其在下一章的微分法中，用自然对数比用一般对数好得多。

因为ln(1)(0)x x x +≈→，e 1(0)x x x -≈→，根据定理1-4，所以
ln(1)()(0)x x o x x +=+→ (1-1)
e 1()(0)x x o x x -=+→或e 1()(0)x x o x x =++→ (1-2)
在下一章中将会用到式（1-1）和（1-2）。

习 题
1.求下列极限（根据提示将题做到底）： ⑴ 0arcsin lim
x x
x
→（令arcsin y x =）=
⑵ 0011
lim
lim ln(12)
ln(12)22x x x x x x
→→==++
⑶ 0(1)1
lim t x x x
→+-[令(1)1t y x =+-]=
[注意，ln(1)ln(1)y t x +
=+]
⑷ ()1
lim 1x
x x α→+(分0α=和0α≠两种情形讨论)=
⑸ []1lim ln(1)ln lim ln 1n
n n n n n n →∞→∞⎛⎫
+-=+= ⎪⎝⎭
（把数列极限看成函数极限的特殊情形）
答案：⑴1；⑵
2
1；⑶t ；⑷e α
；⑸1 2.在下列各题中的空白处填上适当的函数值，使函数在指出点为连续：
⑴ ___)0(,)
1ln()(2=+=
f x x x f （为什么？） ⑵ π(),(π)___ln ln π
x
g x g x -==-（为什么？）
⑶ ___)0(,)
1ln()cos 1(1
cos
sin 3)(2=+++=
h x x x x x x h （为什么？） 答案：⑴0；⑵π-；⑶
2
3
§1-4 连续函数的主要性质
27
3.证明下列方程必有实根： ⑴ 1e 22x x =+ [提示：令1
()e 22
x f x x =--] ⑵ 119sin 1163
2
2179
=+++
x
x x
4.设()f x 在[0,2](0)a a >上为连续函数, 且(0)(2)f f a =。

证明:存在点[0,]c a ∈，使
()()f c f c a =+
5.设()f x 在区间(,)-∞+∞内是连续函数。

证明：若有lim ()lim ()x x f x A f x B →-∞
→+∞
=<=，
则对于任意(,)A B μ∈，必有(,)c ∈-∞+∞，使()f c μ=。

提示：方法一，令()(tan ),,2222F t f t t F A F B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-
<<-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
方法二，因为lim ()x f x A μ→-∞
=<，所以有0a <使()f a μ<；同理，
因为lim ()x f x B μ→+∞
=>，所以有0b >使()f b μ>
6.证明：有连续函数)(x y y =)(+∞<<-∞x 满足凯普勒(Kepler)方程
)10(sin <≤=-εεx y y
提示：考虑函数sin ()x y y y ε=--∞<<+∞。

显然它是连续函数，再证它是增函数。

7.求极限1
11e (1e)1e
lim
1e lim 1e n n n n n n n →∞
→∞--=
=⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
提示：1
11e 1n
o n n ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭。

答案：e 1-。