连续函数性质
第十一章第三节连续函数的性质
４、连通集的定义
设Ｓ为Ｒn中点集，如果连续函数r:[0,1] →Rn的值域全部 落在Ｓ中，称r为Ｓ中的一条道路，r(0)和r(1)称为道路的起 点和终点。
如果Ｓ中任意两点x,y都存在Ｓ中满足r(0)=x,r(1)=y的道路， 称S是道路连通的或者称为连通集。
连通的开集称为开区域，开区域和它的边界一起构成闭区 域。
n
若函数f 在紧集
合 K R 上 连 续 ， 则 f 在 K上 一 致 连 续. 即 （ 对 任 何 0， 总 存 在 只 依 赖 于 的 正 数 ， 使 得 对 一 切 点 P、 Q， 只 要 P， Q） ， 就 有 （ |f(P )-f(Q )| .)
证明：
５、连通集上的连续函数的性质
定理4 设 K为 连 通 的 紧 集 ,函 数 f 在 K R 上 连
n
续 ， 那 么 f(K)是 连 通 集 .
推论：连续函数将连通的紧集映成闭区间。
定 理 5(中 间 值 定 理 ）
n
设 K为 连 通 的 紧 集 ,
函 数 f 在 K R 上 连 续 ， 那 么 f(x)可 取 到 它 在 K 上 的 最 小 值 与 最 大 值 之 间 的 一 切 值 ,换 言 之 f(x)的 值 域 是 [m,M].
第十一章: Euclid空间的极限和连续
第三节：连续函数的性质
１、连续函数概念推广：
定义：
设 K R , f : K R 为 定 义 在 点 集 K上 的 向 量
m n
值 函 数 ,x 0 K , 对 于 任 给 的 正 数 ， 总 存 在 相 应 的 正 数 ， 只 要 x U x 0； ） K ， 就 有 （ | f ( x ) f ( x 0 ) | 则 称 f 点 x 0 连 续 .若 f 在 K上 任 何 点 都 连 续 ， 则 称 f 为 K上 的 连 续 函 数 .如 K是 紧 集 ,称 f是 紧 集 上的连续函数.
连续函数的定义和性质
连续函数的定义和性质连续函数是数学中一个重要的概念，它在实际问题的建模和解决中起着关键的作用。
本文将讨论连续函数的定义和性质，以帮助读者更加深入地理解和应用连续函数。
一、连续函数的定义连续函数的定义是基于极限的概念的。
设函数$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在点$x=a$连续。
二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算性质如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$在点$x=a$连续，则它们的和、差、积、商函数也在点$x=a$连续。
2. 连续函数的复合性质设函数$y=f(x)$在点$x=a$连续，函数$y=g(u)$在点$u=f(a)$连续，则复合函数$y=g[f(x)]$在点$x=a$连续。
3. 连续函数的介值性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个根。
4. 连续函数的最大值和最小值定理设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该闭区间上必有最大值和最小值。
5. 连续函数在有界闭区间上的均匀连续性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，当$|x-y|<\delta$时，有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$成立。
三、连续函数与间断点函数可分为连续函数和间断函数两类。
连续函数在定义域内无间断点，而间断函数则存在间断点。
1. 第一类间断点函数$f(x)$在$x=a$处有第一类间断点，当且仅当存在左右极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$和$\lim_{x \to a^+} f(x)$，且两者不相等。
连续函数的性质
99定理 1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
设：sup ()[]{}|,f x x a b M ∈=用反证法：假使[],x a b ∀∈有()f x <M,显然，()0M f x -> ([],x a b ∀∈)，且()M f x -在[],a b 连续，于是函数()1M f x -在[],a b 连续，根据定理3，函数()1M f x -在[],a b 有界，即：0c ∃>，[],x a b ∀∈⇒()1c M f x <-，或，()1f x M c<-由上确界的定义知：M 不是数集()[]{}|,f x x a b ∈的上确界，矛盾，于是[]2,x a b ∃∈，使()2f x M =。
定理3.(零点定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且)()(b f a f <0(即)(a f 与)(b f 异号)，则在开区间（a,b ）内至少存在一点c ,使)(c f =0证明：不妨设)(a f <0，)(b f >0.用反证法，假设∈∀x [a,b]，有)(x f ≠0，将闭区间],[b a 二等分，分点为2b a +.已知)2(b a f +≠0，如果)2(ba f +>0,则函数)(x f 在闭区间]2,[b a a +的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(ba f +<0,则函数)(x f 在闭区间[2ba +,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,[b a a +与[2ba +,b]必有一个使函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,b a ]，有)()(11b f a f <0，再将[11,b a ]二等分，必有一个闭区间，函数)(x f 在其两个端点的函数值的100符号相反.将此闭区间表为[22,b a ]，有)()(22b f a f <0，用二分法无限进行下去，得到闭区间{[n n b a ,]}（b b a a ==00,），且1）[a,b]⊃ [11,b a ]⊃…⊃[n n b a ,]⊃……; 2))(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =c （1）而c ∈[a,b]，且)(c f ≠0，设)(c f >0.一方面，已知函数)(x f 在c 连续，根据连续函数的保号性，δ∃>0,x ∀:|c x -|<δ,即x ∀),(δδ+-∈c c ，有)(x f >0;另一方面，由（1）式，当n 充分大时，有[n n b a ,]⊂),(δδ+-c c ，已知)()(n n b f a f <0，即函数)(x f 在),(δδ+-c c 中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(c f ≯0.同法可证)(c f ≮0.所以闭区间[n n b a ,]内至少存在一点c ,使)(c f =0.二、 一致连续性 已知：()f x =1x在()0,1连续，即：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,(限定00||||2x x x -<⇒0||||2x x > 011||x x -=00||||||x x x x -≤0202||||x x x -<ε 0||x x -<20||*2x ε，取200||||min *,22x x δε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭于是：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,∃0x δ=20||*2x ε。
连续函数的性质
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
连续函数的性质
x
n
在[ 0
, )
上亦为连续且
y x 在 R内 续 取 连 ，
2
x x 0 1, x x 0 1
x0
( 2 x 0 1), 0 , 取 min(
2
2 x0 1
,1)，
得 当
x x0 , 有 x
x0
2
.
指 函 的 续 数 数 连 性
且严格增. 关于其它的反三角函数
sin( x tanx
2
) cos x 复 函 连 性 合 数 续 , cot x . cos x sin x , sec x
R上 续 . 连 1 cosx , csc x 1 sin x
sinx cosx
在 义 内 续 定 域 连
由 函 的 续 知 反 数 连 性 所 域 连 内 续 .
到, 具体过程请读者自行给出.
我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P ( x ) a 0 a1 x a n x
n
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q(x) a 0 a1 x a n x b 0 b1 x b m x
x 0的 离 于 距小
.
y 1 f ( x1 ) , y 2 f ( x 2 ) ,
令
min{ y 2 y 0 , y 0 y 1 } 0 ,
x f
1
1
当 y U ( y0 ; ) 时 对 ， 应
( y )的 都 在 值 落
x1与 x 2 之 ， 间
第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质
提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1
2e
2
.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.
高等数学 第6节 函数的连续性
因为
，所以此函数不连续.
定义4 设在x0的任何邻域内总有异于x0而属于函数
f (x)的定义域的点，而 f (x) 在x0处不连续，
则称x0是函数
f (x)
的一个间断点.
• 若 lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) A ，而函数 y f (x) 在点 x 0 x x x x 处无定义，或者虽然有定义，但 f ( x0 ) A，则点x 0 是函数 y f (x)的一个间断点，称此类间断点为函数
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例7. 设
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
讨论复合函数 解:
例1. 证明函数
在
内连续 .
证: x ( , )
y sin( x x) sin x
y 2 sin
x 2
cos( x
x 2
)
x
x 0
0
即 这说明 在 在
机动
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
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例2. 设函数
y
又如,
1
o
1
x
y
也无最大值和最小值
2
1
o
1
2
x
机动
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有界性: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
连续函数的基本性质
第八节 连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。
2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。
注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。
（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。
即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。
例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。
函数 连续
函数连续性一、函数连续性的定义函数连续性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点或某一范围内的极限行为。
如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
更具体地说，对于函数f(x)，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
如果函数在定义域内的每一点都连续，则称函数为连续函数。
二、连续函数的性质连续函数具有许多重要的性质，这些性质在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。
1.连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数。
2.连续函数的复合函数也是连续函数。
3.连续函数在闭区间上具有最大值和最小值。
4.如果函数在区间(a, b)的两端点处取值，则该函数在此区间内为常数。
5.连续函数的原函数存在且连续。
三、连续函数的判断要判断一个函数是否连续，需要求出函数的极限，并将其与函数值进行比较。
如果极限值等于函数值，则函数在该点连续；否则，函数在该点不连续。
对于一些特殊形式的函数，可以根据其性质来判断其连续性。
例如，多项式函数、三角函数等在其定义域内都是连续的。
四、连续函数的应用连续函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，许多问题可以通过连续函数来描述其变化规律。
在解决实际问题时，我们需要选择适当的数学模型来描述问题，而连续函数作为一种常见的数学工具，被广泛应用于各种模型的建立和求解中。
此外，连续函数还在数值分析、微分方程、积分方程等领域中有广泛的应用。
五、不连续函数和分段函数的特性不连续函数是指在其定义域内某些点上不满足连续性的函数。
不连续点也称为间断点，其特点是函数的左右极限不相等或者不存在。
分段函数则是指在其定义域内由若干个不相交的区间组成的函数。
分段函数的每一段都可以是连续的或不连续的。
不连续函数和分段函数具有一些特殊的性质，例如在间断点处的取值、跳跃度等。
这些性质使得它们在某些特定的问题中有特殊的应用价值。
3.2 连续函数的性质-1 简
均在点x0连续, 则函数
(1) f ( x ) g( x ),
(2)
f ( x ) g( x ),
(3)
f ( x ) g( x ),
(4) f ( x )/ g( x ), g( x0 ) 0
在点x0也是连续的 .
此定理的证明可以直接x ) 在点 x0 连续，g(u) 在点 u0
3.2 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质 二、闭区间上连续函数的整体性质
一、连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0
连续则可推知 f 在点 x0 的某个局部邻域内具有 有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质.
定理1（连续函数的四则运算） 若函数 f ( x ), g( x )
有 m f ( x ) M , 取 K max{ m , M },
则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界.
2. 介值性
定义
如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数
设函数 f ( x )在闭区间 a , b
f ( x )的零点.
定理 (零点定理) 上连续， 且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ), 则在开区间 a , b 内至少有函数 f ( x ) 的一个零点, 即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 .
连续, u0 f ( x0 ). 则复合函数 g( f ( x ))在点 x0 连续.
定理3（局部有界性）若函数 f 在点 x0 连续，则
M 0, 0, 当 | x x0 | 时, 有
| f ( x) | M .
高等数学第4章第2节连续函数的性质
§２ 连续函数的性质引言函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来．一、连续函数的局部性质性质１（局部有界性）若f 在0x 连续．则f 在某0()U x 有界．性质２（局部保号性）若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<．注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取0()2f x r =，则存在0()U x ，使得当0()x U x ∈有0()()2f x f x >；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把0()U x 改为00()U x 其余一致．性质３．（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则0,,(()0)ff g f g g x g±⋅≠也都在点0x 连续．问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质４（复合函数的连续性）若f 在点0x 连续，记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续．注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：00lim [()][()][lim ()]x x x x g f x g f x g f x →→==.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限．）例１． 求21limsin(1)x x →-.2) 若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，又外函数g 在u a =连续，上面的等式仍成立．（因此时若00lim ()()x x f x a f x →==的话是显然的；若00lim ()()x x f x a f x →=≠，或()f x 在0x x =无定义，即0x 是f的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）．故可用来求一些函数的极限．例２ 求极限（１）0x →（２）x 性质５（反函数的连续性）若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续．二、初等函数的连续性１．复习（关于初等函数）（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数． （２）基本初等函数： 常量函数y C =； 幂函数y x α=；指数函数(0,1)x y a a a =>≠； 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =；反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =．２．初等函数的连续定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数． ３．利用初等函数的连续性可计算极限例３．设0lim ()0x x u x a →=>，0lim ()x x v x b →=，证明：0()lim ()v x b x x u x a →=．例４．求0ln(1)limx x x→+．例５ 求20ln(1)lim cos x x x→+．三 区间上连续函数的基本性质引 言闭区间上的连续函数具有一些重要的性质．现将将基本的列举如下．从几何上看，这些性质都是十分明显的．但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出．先给出下面的关于“最大大值”的定义：定义１ 设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈都有0()()f x f x ≥（0()()f x f x ≤），则称f 在Ｄ上有最大（小）值，并称0()f x 为f 在Ｄ上的最大（小）值．例如，sin ,[0,]y x π=．max 1y =、min 0y =．一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使()f x 在Ｄ上有界． 例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；1,(0,1)()2,0,1x f x xx ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩在［０，１］上也无最大（小）值． １．性质性质１（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最小值． 性质２（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界．思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈，1,(0,1)()2,0,1x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩上述结论成立否？说明理由；②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的，而非必要的．性质３（介值定理）设f 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=．注 表明若f 在[,]a b 上连续，又()()f a f b <的话，则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和()f b 之间的一切值．（如左图）．性质４（根存在定理） 若f 在[,]a b 上连续，且()f a 和()f b 异号（()()0f a f b ⋅<），则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =．几何意义 若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点．２．闭区间上连续函数性质应用举例关健 构造适当的f ；构造适当的闭区间．例６．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n x r =．例７．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ⊂．证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =．四 一致连续性引言在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续．我们先叙述何谓一致连续．设()f x 在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续．即对00,0,(;)x I x U x εδ∀∈∀>∀∈时，就有0|()()|f x f x ε-<．一般说来，对同一个ε，当0x 不同时，δ一般是不同的．例如图左．中1y x=的曲线，对接近于原点的0x ，δ就应取小一些．而当0x 离原点较远时，δ取大一些．（对后者的δ值就不一定可用于前者．但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的η，这就需要引进一个新概念——一致连续．１．一致连续的定义定义（一致连续） 设f 为定义在区间Ｉ上的函数．若对任给的0ε>，存在一个()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要||x x δ'''-<，就有()()||f x f x ε'''-<，则称函数f 在区间Ｉ上一致连续． ２． 函数在区间上连续与一致连续的比较若f 在Ｉ上一致连续，则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续，f 不一定在Ｉ上一致连续． ３． 问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（康托Cantor 定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续． ４．一致连续的例子例１． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续． 例２． （１）证明函数1y x=在(0,1)内不一致连续． （２）0c ∀>，证明 1y x=在(,1)c 内是一致连续的．例３． 证明 1sinx在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续． 例４． 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）．试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =⋃上也一致连续． 作业：P81,1， 2， 3， 8， 9, 14。
连续函数的性质
f ( b ) b，证明 ( a, b ), 使得 f ( )
证： 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续，
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b) f (b) b 0
由零点定理, ( a, b) 使
ymax 2
ymin 0
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连 续函数一定有最大值和最小值。
若 f ( x ) C[a, b], 则 1 , 2 [a, b], 使得 x [a, b], 有 f ( 1 ) f ( x ),
Байду номын сангаас
y
y f ( x)
f ( 2 ) f ( x )
(均在其定义域内连续 ) 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是
连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间。
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。
例如,
y cos x 1,
D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义。
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在( 0,1)内至少有一根
例7 设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续 , 且f ( a ) a,
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f ( ) n
分界点为 x 1
lim f ( x ) lim x 1
数学分析理论基础13连续函数的性质
数学分析理论基础13连续函数的性质连续函数的局部性质局部有界性定理：若函数f在点x_0连续,则f在U(x_0)上有界局部保号性定理：若函数f在点x_0连续,且f(x_0)\gt 0(或\lt 0),则\forall 正数r\lt f(x_0)(或\lt -f(x_0)),\exists U(x_0)使得\forall x\in U(x_0)有f(x)\gt r(或f(x)\lt -r)注：应用局部保号性时,常取r={1\over 2}f(x_0),则f(x_0)\gt 0时\exists U(x_0)使得\forall x\in U(x_0)有f(x)\gt {1\over 2}f(x_0)四则运算若函数f和g在点x_0连续,则f\pm g,f\cdot g,f/g(g(x_0)\neq 0)也都在点x_0连续注：对常量函数y=c和函数y=x反复四则运算可推出多项式函数P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n和有理函数R(x)={P(x)\over Q(x)}在其定义域的每一点都连续,同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续复合函数定理：若函数f在点x_0连续,g在点u_0连续,u_0=f(x_0),则复合函数g\circ f在点x_0连续证明：\because g在u_0连续\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta_1\gt 0使得u-u_0，\lt \delta_1时有，g(u)-g(u_0)，\lt \varepsilon又u_0=f(x_0)且u=f(x)在点x_0连续\therefore 对上述\delta_1\gt 0,\exists \delta\gt 0使得x-x_0，\lt \delta时有，u-u_0，=，f(x)-f(x_0)，\lt \delta_1\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0使得x-x_0，\lt \delta时有，g(f(x))-g(f(x_0))，\lt \varepsilon注：\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=g(\lim\limits_{x\to x_0}f(x))=g(f(x_0))例：y=x^n(n\in Z_+)在[0,+\infty)上严格单调且连续,故x^{1\over n}在[0,+\infty)上连续,又把y=x^{-{1\over n}}看作由y=u^{1\over n},u={1\over x}复合而成的函数,则又复合函数的连续性,y=x^{-{1\over n}}在(0,+\infty)上连续注：若q\neq 0,q\in Z,则x^{1\over q}是其定义区间上的连续函数例：证明：有理幂函数y=x^\alpha在其定义区间上连续证：设有理数\alpha={p\over q},p,q\neq 0,p,q\in Z\because y=u^{1\over q}与u=x^p均在其定义区间上连续\therefore 复合函数y=(x^p)^{1\over q}=x^\alpha在其定义区间上连续闭区间上连续函数的基本性质最值定义：设f为定义在数集D上的函数,若\exists x_0\in D使得\forall x\in D有f(x_0)\ge f(x)(f(x_0)\le f(x)),则称f在D上有最大(最小)值,并称f(x_0)为f在D上的最大(最小)值注：函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)有界性定理引理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有界证明：若不然,不妨假设f(x)在[a,b]上无上界则\exists x_n\in [a,b]使得f(x_n)\gt n,n=1,2,\cdots\therefore \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=+\infty\because \{x_n\}\subset [a,b]为有界数列\therefore 由致密性定理\{x_n\}有收敛子列\{x_{n_k}\}设\lim\limits_{n\to \infty}x_{n_k}=x_0\because a\le x_{n_k}\le b\therefore a\le x_0\le b\therefore f(x)在点x_0连续由归结原则最大、最小值定理定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有最大值与最小值证明：由有界性定理及确界原理,\exists \underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M下证\exists \xi\in [a,b]使f(\xi)=M若不然,\forall x\in [a,b]都有f(x)\lt M令g(x)={1\over M-f(x)},x\in [a,b]显然g(x)在[a,b]上连续,且g(x)\gt 0\therefore g(x)在[a,b]上由上界,记为G\therefore 0\lt g(x)={1\over M-f(x)}\le G,x\in [a,b]\therefore f(x)\le M-{1\over G},x\in [a,b]与\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M矛盾\therefore \exists\xi\in [a,b]使f(\xi)=M即f在[a,b]上有最大值根的存在定理定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(f(a)f(b)\lt 0),则\existx_0\in (a,b)使得f(x_0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)上有一个根介值定理定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)\neq f(b),若\mu\in R介于f(a)与f(b),则\exists x_0\in (a,b)使得f(x_0)=\mu注：若f在[a,b]上连续,又不妨设f(a)\lt f(b),则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即[f(a),f(b)]\subset f([a,b])证明：不妨设f(a)\lt \mu\lt f(b)令g(x)=f(x)-\mu则g也是[a,b]上的连续函数且g(a)\lt 0,g(b)\gt 0要证结论只需证\exists x_0\in (a,b)使g(x_0)=0设集合E=\{x，g(x)\lt 0,x\in [a,b]\}显然,E\subset [a,b]且a\in E,E\neq \varnothing\therefore 由确界原理\exists x_0=supE\because g(a)\lt 0,g(b)\gt 0\therefore 由连续函数的局部保号性\exists \delta\gt 0,x\in [a,a+\delta)时有g(x)\lt 0x\in (b-\delta,b]时有g(x)\gt 0显然x_0\neq a,x_0\neq b即x_0\in (a,b)下证g(x_0)=0若不然,即g(x_0)\neq 0不妨设g(x_0)\lt 0由局部保号性\exists U(x_0;\eta)\subset [a,b],\forall x\in U(x_0;\eta)有g(x)\lt 0 显然x_0+{\eta\over 2}\in U(x_0;\eta)g(x_0+{\eta\over 2})\lt 0\Rightarrow x_0+{\eta\over 2}\in E与x_0=supE矛盾例：证明：若r\gt 0,n\in Z_+则\exists !x_0\gt 0使得x_0^n=r 证：存在性x\to +\infty时有x^n\to +\infty\therefore \exists a\gt 0使a^n\gt r\because f(x)在[0,a]上连续,且f(0)\lt r\lt f(a)\therefore 由介值定理\exists x_0\in (0,a)使f(x_0)=x_0^n=r唯一性设\exists x_1\gt 0使x_1^n=r,则x_0^n-x_1^n=(x_0-x_1)(x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_1+\cdots+x_1^{n-1})=\because x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_1+\cdots+x_1^{n-1}\gt 0\therefore x_0-x_1=0\therefore x_0=x_1例：设f在[a,b]上连续,满足f([a,b])\subset[a,b],证明：\exists x_0\in [a,b]使得f(x_0)=x_0证：\forall x\in [a,b]有a\le f(x)\le b若a=f(a)或b=f(b)则取x_0=a或b,结论成立设a\lt f(a),b\gt f(b)令F(x)=f(x)-x则F(a)=f(a)-a\gt 0,F(b)=f(b)-b\lt 0由根的存在性定理\exists x_0\in (a,b)使f(x_0)=0即f(x_0)=x_0连续函数性质：若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间,若I为闭区间[a,b],f 在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M],若f为[a,b]上的增(减)函数且不为常数,则f([a,b])=[f(a),f(b)](f(b),f(a))反函数的连续性定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数f^{-1}在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续证明：不妨设f在[a,b]上严格增此时f的值域,即f^{-1}的定义域为[f(a),f(b)]\forall y_0\in (f(a),f(b))设x_0=f^{-1}(y_0)\forall \varepsilon\gt 0,取x_1,x_2\in (a,b),x_1\lt x_0\lt x_2且，x_1-x_0，\lt \varepsilon,，x_2-x_0，\lt \varepsilon设f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2由f的严格增性y_1\lt y_0\lt y_2令\delta=min\{y_2-y_0,y_0-y_1\}则y\in U(y_0;\delta)时,对应的x=f^{-1}(y)\in (x_1,x_2)\therefore ，f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)，=，x-x_0，\lt \varepsilon\therefore f^{-1}在点y_0连续\therefore f^{-1}在(f(a),f(b))内连续类似可证f^{-1}在定义区间的端点f(a)与f(b)分别为右连续与左连续一致连续性定义：设f为定义在区间I上的函数,若\forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0使\forall x',x''\in I,，x'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon,则称f在区间I上一致连续例：证明函数y={1\over x}在(0,1)上不一致连续证：要证y={1\over x}在(0,1)上不一致连续只需证\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0,\exists x',x''\in (0,1)x'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\ge \varepsilon_0取\varepsilon_0=1,不妨设\delta\lt {1\over 2}取x'=\delta,x''={\delta\over 2}x'-x''，={\delta\over 2}\lt \delta{1\over x'}-{1\over x''}，={1\over \delta}\gt 1\therefore y={1\over x}在(0,1)上不一致连续例：函数f定义在区间I上,证明f在I上一致连续的充要条件为\forall\{x'_n\},\{x''_n\}\subset I,若\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0,则\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0证：必要性若f(x)在I上一致连续,则\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta(\varepsilon)\gt 0,\forall x',x''\in Ix'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon设I上两个数列\{x'_n\},\{x''_n\}满足\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0\therefore 对上述\delta\gt 0,\exists N\gt 0,\forall n\gt Nx'_n-x''_n，\lt \delta由一致连续性条件f(x'_n)-f(x''_n)，\lt \varepsilon即\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0充分性\forall \{x'_n\},\{x''_n\}\subset I若\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0则\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0下证f(x)在I上一致连续若不然,即f(x)在I上不一致连续则\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0,\exists x',x''满足x'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\ge \varepsilon_0取\delta_1=1,\exists x'_1,x''_1\in I,，x'_1-x''_1，\lt 1,有，f(x'_1)-f(x''_1)，\ge\varepsilon_0取\delta_2={1\over 2},\exists x'_2,x''_2\in I,，x'_2-x''_2，\lt {1\over 2},有，f(x'_2)-f(x''_2)，\ge \varepsilon_0\cdots$取\delta_n={1\over n},\exists x'_n,x''_n\in I,，x'_n-x''_n，\lt {1\over n},有，f(x'_n)-f(x''_n)，\ge \varepsilon_0\cdots\therefore \lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0但\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))\neq 0,矛盾\therefore f(x)在I上一致连续例：证明f(x)=sin{1\over x}在区间(0,1)上不一致连续证：取x_n={1\over 2n\pi},y_n={1\over 2n\pi+{\pi\over 2}},n=1,2,\cdots\lim\limits_{n\to \infty}(x_n-y_n)=0但，sin{1\over x_n}-sin{1\over y_n}，=1\nrightarrow 0 \therefore f(x)在(0,1)上不一致连续一致连续与连续f在区间I上连续：\forall \varepsilon\gt 0,\forall x\in I,\exists\delta=\delta(\varepsilon,x)\gt 0,\forall x'\in I,，x-x'，\lt \delta时有，f(x)-f(x')，\lt \varepsilon注：\delta的取值依赖于\varepsilon,xf的一个局部性质f在区间I上一致连续注：\delta只依赖于\varepsilonf的一个整体性质一致连续性定理定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一致连续证明：若不然,\exists \varepsilon_0\gt 0及[a,b]上的点列\{x_n\},\{y_n\}\lim\limits_{n\to \infty}(x_n-y_n)=0f(x_n)-f(y_n)，\ge \varepsilon_0,n=1,2,\cdots\because \{x_n\}有界由致密性定理\{x_n\}有一个收敛子列\{x_{n_k}\}设\lim\limits_{k\to \infty}x_{n_k}=x_0\therefore \lim\limits_{k\to \infty}y_{n_k}=\lim\limits_{k\to \infty}[(y_{n_k}-x_{n_k})+x_{n_k}]=x_0又a\le x_{n_k}\le b由极限的不等式性质a\le x_0\le b\therefore f(x)在点x_0连续由归结原则\varepsilon_0\le \lim\limits_{k\to \infty}，f(x_{n_k})-f(y_{n_k})，=，f(x_0)-f(x_0)，=0矛盾例：设区间I_1的右端点为c\in I_1,区间I_2的左端点也为c\in I_2(I_1,I_2可分别为有限或无限区间),证明：若f分别在I_1与I_2上一致连续,则f在I=I_1\cup I_2上也一致连续证：f在I_1和I_2上一致连续\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta_1,\delta_2\gt 0使得\forall x',x''\in I_1,，x'-x''，\lt \delta_1时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon\forall x',x''\in I_2,，x'-x''，\lt \delta_2时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon点x=c为I_1的右端点,I_2的左端点\therefore f在点c左连续且右连续即f在点c连续\therefore 对上述\varepsilon\gt 0,\exists \delta_3\gt 0,，x-c，\lt \delta_3时有，f(x)-f(c)，\lt {\varepsilon\over 2}令\delta=min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)\forall x',x''\in I,，x'-x''，\lt \delta1.x',x''\in I_1,或x',x''\in I_2则，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon 显然成立x',x''分属I_1与I_2,不妨设x'\in I_1,x_2\in I_2则，x'-c，=c-x'\lt x''-x'\lt \delta\le \delta_3\therefore ，f(x')-f(c)，\lt {\varepsilon\over 2}同理可得，f(x'')-f(c)，\lt {\varepsilon\over 2}\therefore ，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon\therefore f在I上一致连续。
连续函数的性质
§2.2 连续函数的性质♦ 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。
从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。
定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。
定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。
注： 在具体应用局部保号性时，常取01()2r f x =，则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01()()2f x f x >。
定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,,f fg f g g±⋅（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。
关于复合函数的连续性，有如下定理:定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数gf在点0x 连续。
证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ∀>∃>，使得当01||u u δ-<时有0|()()|g u g u ε-<。
（1）又由00()u f x =及()u f x =f在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε-<。
这就证明了gf在点0x 连续。
注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==定理 5()x f x x 0lim →存在的充要条件是()()0lim 000+=+→x f x f x x 与()()0lim 000-=-→x f x f x x 存在并且相等．证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→00lim ()x f x x 0lim -→=，从而对任给的0>ε，存在01>δ和02>δ，当 100δ<-<x x 时，()ε<-A x f ①当 －002<-<x x δ时， ()ε<-A x f ②取{}0,min 21>=δδδ时，当δ<-<00x x 时，则δ<-<00x x 和00<-<-x x δ二者必居其一，从而满足①或②，所以()ε<-A x f ．定理6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续．证明：()x f 在0x 点连续即为()()00limx f x f xx =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．定理7 海涅（Heine ）定理：()x f xx 0lim →存在的充分必要条件是对任给的序列{}n x ，若满足0lim x x n n =∞→（0x x n ≠），则有()n n x f ∞→lim 存在．分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法．证明：必要性。
数学分析4.2连续函数的性质(讲义)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=12f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴limx→x0f(x)=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴limu→u0g(u)=limx→x0g(f(x))= g(limx→x0f(x))=g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：limx→x0g(f(x))= g(limx→x0f(x))=g(f(x0)).例1：求limx→1sin(1-x2).解：limx→1sin(1-x2)=sin (limx→1(1-x2))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。
连续函数的性质
连续函数的性质有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能获得最大值和最小值。
介值性：假设f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。
那么对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能获得最大值和最小值。
介值性：假设f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。
那么对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
连续函数有何性质有界性所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
最值性所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。
最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
介值性这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：〔1〕零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时〔此时有0在A和B之间〕，在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
〔2〕闭区间上的连续函数在该区间上必定获得最大值和最小值之间的一切数值。
一致连续性闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
所谓一致连续是指，对任意ε0〔无论其多么小〕，总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|lt;δ时，有|f(x1)-f(x2)|lt;ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
函数的连续性对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。
这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
简单地说，假如一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
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连续函数的主要性质若函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点0(,)x a b ∈都连续，即在每一点0(,)x a b ∈都有0lim ()()x x f x f x →=则称函数()f x 在开区间(,)a b 内是连续函数(图1-17)。
而称函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续函数，除了它在开区间(,)a b 内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]:()lim ()()x a x a f x f a +→>=(右连续) 和 ()lim ()()x b x b f x f b -→<=(左连续)在定义域上连续的函数简称为连续函数。
读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。
从几何上说，区间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线。
根据函数极限的运算规则，能够很容易地证明下面的结论。
定理1-5 若函数()f x 和()g x 在点0x 都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分母在点0x 等于0]在点0x 也都是连续的。
特别，常数λ与函数()f x 的乘积()f x λ在点0x 当然也是连续的。
证 证明是简单的。
譬如，因为[]00000lim ()()()lim ()0()lim ()()x x x x x x f x f x f x g x g x g x g x →→→==≠ 所以商()()f xg x 在点0x 是连续的。
根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数。
函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算。
例如，函数2x a [注意，22()x x a a =，不是22()x x a a =]是由简单指数函数u a和幂函数2x 复合而成的复合函数。
再如，log a是由简单对数函数log a u 、幂函数12u v ==和简单三角函数sin v x =，依次复合成的复合函数。
一般地，若函数()f u 定义在区间,A B 上，而函数()u u x =定义在区间,a b 上，且函数()u x 的函数值在区间,A B 上，则函数[()]f u x 就是定义在区间,a b 上的函数。
称它图1-18x图1-17§1-4 连续函数的主要性质23为由外函数()f u 和内函数()u x 复合成的复合函数。
近代数学中把它记成()()f u x ，即()()f u x [()]f u x = [不是()()f u u x ⋅！]若内函数()u x 在点0x 连续，而外函数()f u 在相应点00()u u x =也连续，则复合函数[()]f u x 在点0x 也连续。
这是因为，当x 无限接近0x 时，函数值()u x 无限接近00()u u x =，从而函数值[()]f u x 就会无限接近0[()]f u x 。
用极限式表示成0→→==lim [()][lim ()][()]x x x x f u x f u x f u x 【极限号0lim x x →与函数记号f 交换次序】我们把这个结论叙述成下面的定理：定理1-6 若内函数()u x 在点0x 连续，而外函数()f u 又在点00()u u x =连续，则复合函数[()]f u x 在点0x 也连续。
【注】根据这个定理，若外函数()f u 是连续函数，而且有极限lim ()x u x →[有限值]，则有[]lim ()[lim ()]x x f u x f u x →→=（极限记号与函数记号交换次序）例如()limsin(cos )sin limcos sin(cos )x cx cx x c →→==；再如，limx (lim limx ==(lim x →+∞)1==区间,a b 上的连续函数是一元函数微积分研究的主要对象，因为区间上的连续函数具有许多很好的性质。
而这些性质是我们能够证明微积分中许多重要定理的基础。
虽然从直观上说，这些性质都是很明显的，可是要证明它们是不容易的(证明在第二篇中)。
在这些性质中，我们先给出下面几个定理。
定理1-7 闭区间[,]a b 上的连续函数是有界的(有界性定理)，而且有最大值和最小值[最大(小)值定理]。
(图1-19)定理1-8 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则至少有一点0x ，使0()0f x =(零点定理，图1-20)。
图1-19例10 证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根不超过b a +。
证 令()sin f x x a x b =--。
显然，(0)0f b =-<，而另有足够大的正数c 使()0f c >。
因此，必有点0x (0,)c ∈，使0()0f x =，即正数0x 是方程sin x a x b =+的根，而且000sin x a x b a b <≤+≤+推论 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则介于()f a 与()f b 之间的任何数μ，都是函数()f x 的函数值，即至少有一点0(,)x a b ∈，使0()f x μ=。
（介值定理）证 不妨设()()f a f b μ>>（图1-21）。
作辅助函数()()g x f x μ=-则函数()g x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0,()0g a g b ><。
根据零点定理，至少有一点00()<<x a x b ，使0()0g x =，即0()f x μ=。
例11 设函数)(x f 在区间),(b a 内连续，),,2,1(),(n i b a x i =∈。
证明：至少有一点),(b a c ∈，使nx f x f x f c f n )()()()(21+++=[算术平均值,均值定理]证 设{}12()max(),(),,()n M f x f x f x =最大者，{}12()min(),(),,()n m f x f x f x =最小者则12()()()n f x f x f x m M nμ+++≤=≤根据介值定理，至少有一点),(b a c ∈，使12()()()()n f x f x f x f c nμ+++==在§0-5中说，增函数(或减函数)有反函数，而且反函数也是增函数(或减函数)。
另一图1-21②图1-20§1-4 连续函数的主要性质25方面，若()y f x =是闭区间[,]a b 上的连续增函数，根据介值定理，它的函数值能够充满整个区间[(),()]f a f b ，而且它的反函数1()f y -是 区间[(),()]f a f b 上的连续增函数(图1-22)。
同理， 若()y f x =是闭区间[,]a b 上的连续减函数，则 它的反函数1()f y -是区间[(),()]f b f a 上的连续减函数。
上述结论称为反函数连续性定理。
请注意，在反函数连续性定理的表述中，说的是闭区间[,]a b ，而实际上，开区间．．．(,)a b 内连续增．．．．(．减．)．函数的反函数也是连续增．．．．．．．．．．．(．减．)．函数．．。
简单三角函数sin 22x x ππ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，()cos 0x x ≤≤π，tan 22x x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，()cot 0x x <<π和指数函数x a 都是连续(增或减)函数，所以它们的反函数(arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 和log )a x 也是连续函数。
根据定理1-5、定理1-6和简单初等函数(,,log ,n x a x a x 简单三角函数和它们的反函数)的连续性，则由简单初等函数经过所许可的有限次组合(加、减、乘、除或复合)得到的函数(称为初等函数)，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。
特别，一般幂函数log log a a x x x a a μμμ==作为复合函数是连续函数。
因此，求初等函数在定义域内某点处的极限时，极限值就是那一点的函数值。
上面说的初等函数是我们以后进行微分和积分运算的主要对象。
例12 求极限 0log (1)lima x x x→+。
解 ()100log (1)lim lim log 1a x a x x x x x →→+=+（交换次序）()10log lim 1log e x a a x x →⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦【注意】因为1lim(1)e xx x →+=，所以点0是函数1(1)xx +的可除间断点（在点0补充函数值e 后，它就连续了）。
因此，0lim x →与log a 可以交换次序，因为对数函数是连续函数。
例13 求极限 01lim x x a x→-。
解 01lim x x a x →-(1)xy a =-=======令0limlog (1)y a y y →+01lim log (1)y a y y →=+01log (1)lim ay y y→=+1log e a = 【自然对数】以数e 为底的对数记成ln (就像以10为底的对数记成lg 一样)。
假若用自f f 图1-22然对数，上面的演算就会简单得多，即11000ln(1)lim limln (1)ln lim(1)ln e 1x x x x x x x x x →→→⎡⎤+=+=+==⎢⎥⎣⎦0e 1lim x x x →-（令e 1x y =-）0lim ln (1)y y y →=+01lim ln(1)y y y→=+0111ln(1)1limy y y →===+尤其在下一章的微分法中，用自然对数比用一般对数好得多。
因为ln(1)(0)x x x +≈→，e 1(0)x x x -≈→，根据定理1-4，所以ln(1)()(0)x x o x x +=+→ (1-1)e 1()(0)x x o x x -=+→或e 1()(0)x x o x x =++→ (1-2)在下一章中将会用到式（1-1）和（1-2）。
习 题1.求下列极限（根据提示将题做到底）： ⑴ 0arcsin limx xx→（令arcsin y x =）=⑵ 0011limlim ln(12)ln(12)22x x x x x x→→==++⑶ 0(1)1lim t x x x→+-[令(1)1t y x =+-]=[注意，ln(1)ln(1)y t x +=+]⑷ ()1lim 1xx x α→+(分0α=和0α≠两种情形讨论)=⑸ []1lim ln(1)ln lim ln 1nn n n n n n →∞→∞⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭（把数列极限看成函数极限的特殊情形）答案：⑴1；⑵21；⑶t ；⑷e α；⑸1 2.在下列各题中的空白处填上适当的函数值，使函数在指出点为连续：⑴ ___)0(,)1ln()(2=+=f x x x f （为什么？） ⑵ π(),(π)___ln ln πxg x g x -==-（为什么？）⑶ ___)0(,)1ln()cos 1(1cossin 3)(2=+++=h x x x x x x h （为什么？） 答案：⑴0；⑵π-；⑶23§1-4 连续函数的主要性质273.证明下列方程必有实根： ⑴ 1e 22x x =+ [提示：令1()e 22x f x x =--] ⑵ 119sin 116322179=+++xx x4.设()f x 在[0,2](0)a a >上为连续函数, 且(0)(2)f f a =。