第五章 运输单纯形法与指派问题
运筹学习题集(第五章)
判断题判断正误，如果错误请更正第五章运输与指派问题1.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。
2.产地数为3，销地数围的平衡运输中，变量组｛X11，X13，X22，X33，X34｝可作为一组基变量。
3.不平衡运输问题不一定有最优解。
4.m+n-1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭合回路。
5.运输问题中的位势就是其对偶变量。
6.含有孤立点的变量组不包含有闭回路。
7.不包含任何闭回路的变量组必有孤立点。
8.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。
9.运输问题的检验数就是对偶问题的松弛变量的值。
10.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的系数矩阵为A，则有r(A)〈=m+n-1。
11.用一个常数k加到运价C的某列的所有元素上，则最优解不变。
12.令虚设的产地或销地对应的运价为一任意大于0的常数C（C>0），则最优解不变。
13.若运输问题中的产量或销量为整数则其最优解也一定为整数。
14.运输问题中的单位运价表的每一行都分别乘以一个非0常数，则最优解不变。
15.按最小元素法求得运输问题的初始方案，从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。
16.在指派问题的效率表的某行乘以一个大于零的数最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第五章运输与指派问题1.下列变量组是一个闭回路的有A{x21,x11,x12,x32,x33,x23} B{x11,x12,x23,x34,x41,x13} C {x21,x13,x34,x41,x12} D{x12,x32,x33,x23,x21,x11} D{x12,x22,x32,x33,x23,x21}2.具有M个产地N个销地的平衡运输问题模型具有特征A有MN个变量M+N个约束B有M+N个变量MN个约束C 有MN个变量M+N-1个约束D 有M+N-1个基变量MN-M-N+1个非基变量E 系数矩阵的秩等于M+N-13.下列说法正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个cij 同时加上一个非0常数k，其最优调运方案不变。
第五讲运输问题与指派问题
A1+ A2 + A3 + A4 =20 B 1+ B 2 + B 3 + B 4 =30 C 1+ C 2 + C 3 + C 4 =40 A1，A2 ， A3 ， A4 ，B 1， B 2 ， B 3 ， B 4 ， C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 ≥0
四、供需非均衡运输问题的建模与求解
欢迎
§ 5.1 运输问题(transportation problem)
一、什么是运输问题 二、运输问题的分类 三、供需均衡运输问题的建模与求解 四、供需非均衡运输问题的建模与求解 五、运输问题的应用
一、什么是运输问题
在经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题， 如煤、钢铁、木材、粮食等等物资。在全国有 若干生产基地，根据已有的交通网，应如何制 定调运方案，将这些物资运到各消费地点，而 总费用最小。
例 ：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥， 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如表所示，试求出总的 运费最节省的化肥调拨方案。
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
解：可用一个网络图来描述
25
70
A
40
60 80
1 20 70
35
B
100
2 15
110
70
80
50
45
C
130
40
3 23 32
4
总供应量=25+35+45=105（台）， 总需求量=20+15+23+32=90（台），
第5章运输与指派问题
第5章运输与指派问题这一章和下一章所讨论的模型都属于网络模型这一类。
运输模型（Transportation model ）和指派模型（assignment model）具有相似的数学结构，是一种特殊的线性规划模型。
许多决策模型都属于这一类型，其内容丰富。
5.1运输问题的数学模型及其特征5.2.1 数学模型人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。
如某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。
这样的问题称为运输问题。
【例5.1】如图5－1所示的网络图，有A1，A2，A3三个产粮区，可供应粮食分别为10，8，5（万吨），现将粮食运往B1，B2，B3，B4四个地区，其需要量分别为5，7，8，3（万吨）。
产粮地到需求地（销地）的运价（元/吨）如表5－1所示，问如何安排一个运输计划，使总的运输费用最少。
表5－1 运价表（元/t）需求地B1B2B3B 4供给量产量地A1 3 2 6 3 10A2 5 3 8 2 8A3 4 1 2 9 5需要量 5 7 8 3 合计：23【解】设x ij(i=1,2,3；j=1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的运量(万吨)，这样得到下列运输问题的数学模型：（1）使总的运输费用最小，则目标函数为34333231242322211413121192428353623m in x x x x x x x x x x x x Z +++++++++++=实际总运费等于Z 乘以10000。
（2）各产粮地的供给量与运出量的平衡方程（3）供给各需求地的供给量与需要量的平衡方程（4）粮食的运量应大于或等于零（非负要求），即有些问题表面上与运输问题没有多大关系，其模型的数学结构与例5.1运输问题模型形式相同，我们把这类模型都称为运输模型。
5.1.2 模型特征运输问题的数学模型有它的独特性。
运输问题和指派问题
4、运输问题和指派问题案例1：P&T公司的配送问题家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：–三个食品厂，四个分销仓库面临的问题：运输成本不断攀升目前的运输策略：–首先考虑最偏远的厂，先将其产品充分满足距它最近的仓库，再运至次之的仓库；–再考虑最偏远的仓库，优先从距其最近的工厂进货；–距离居中的工厂用于补充不足的部分。
问题：如何改进运输策略以降低成本？CANNERY 1BellinghamCANNERY 2EugeneWAREHOUSE 1 Sacramento WAREHOUSE 2Salt Lake CityWAREHOUSE 3Rapid CityWAREHOUSE 4AlbuquerqueCANNERY 3Albert Lea最偏远的厂最偏远的仓库300合计100Albert Lea 125Eugene 75Bellingham 产量（车）工厂Albert Lea5Eugene 75Bellingham 工厂SacramentoFrom\To运费995Albert Lea352Eugene $464Bellingham 工厂Sacramento From\To 总运费：Total shipping cost = 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690)运输问题的基本术语P&T 公司问题罐头罐头厂仓库罐头厂的产量各仓库的需求量每车运费Ì运输问题是物流中的一个重要问题，即如何以尽可能小的成本把货物从一系列出发地（如工厂、仓库）运输到一系列目的地（如仓库、顾客）。
需求假设：–每个出发地都有一个固定的供应量，且所有供应量均须配送到目的地；–每个目的地都有一个固定的需求量，且所有需求量均须被满足可行解特征：–运输问题有可行解，当且仅当供应量总和等于需求量总和（供求平衡） 成本假设：–从任一出发地到任一目的地的配送成本与所配送的货物量成正比，即配送成本等于单位配送成本乘以配送量供应量、需求量和单位成本提供了运输问题所需的一切数据整数解：–运输问题通常以运送的车数作为计量单位，因此其解一般为整数整数解性质：只要运输问题的供应量和需求量都是整数，任何有可行解的运输问题必然有使所有决策变量都是整数的最优解。
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
05第五章 单纯形法 管理运筹学课件
–与基向量对应的变量称为基变量，记为
XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称非基变量，记 为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xn ) T ，
故有 X = (XB ,XN )T
● 线性规划的基矩阵、基向量、基变量、非基变量
基、可行基、最优基
可行解、基解和基本可行解举例
标准型：
max f ( x) 6 x1 4 x2
2 x1 x2 10
s.t.
x1 x2 8 x2 7
x1 , x2 0
max f (x) 6x1 4x2
2x1 x2 x3 10
x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5, x6 0
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
Max Z = CX
（a）
s.t. AX=b
（ b）
X 0
（c）
a11 a12 …. a1n
C (c1, c2 , , cn );
X (x1, x2 , , xn )T
做为一个基 （可行基）
基变量 : x3 x4 x5 非基变量: x1 x2
可见，单位矩阵 作为初始可行基， 基变量在目标中 的系数为0
非基 变量
基变量
图中的点 解
x1, x2 x3 =10 x4 =8 x5 =7 O 基可行解
x1, x3 x2 =10 x4 =-2 x1, x4 x2 =8 x3 =2 x1, x5 x2 =7 x3 =3
x5 =-3 x5 =-1 x4 =1
F
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
运输问题和指派问题
除了从卡路里河引入的水不能供给豪利格拉斯之外， 从这三条河流之中引入的水都可以供给这四个城市。对于 每一个从水源到城市的可能的组合，每立方英尺的成本在 表6.9中给出。
如果以100万立方英尺为单位的话，这个表的最后一 行列出了在未来一年中每一个城市的用水需求量（总量为 12.5）。最后一行中列出了每一年从每一条河流中可能引 入的水量（总量为16）。
生产进度安排
北方飞机制造公司为全世界的航空公司生产各种商务飞 机。制造过程最后的一步是生产喷气发动机并把它们安装到 已经完成的飞机框架之中去（非常快的一个操作）。按照公 司的一些订单合同，不久公司要交付使用相当多数量的飞机。 所以有必要现在为未来4个月这些飞机喷气发动机的生产制 定计划。
为了保证按时交付，公司必须要按照表6.10第二列的数 量来供应需要安装的发动机。因此，在1~ 4月的月末需要完 成的发动机数量分别是10、25、50、70台。
可转化为运输问题，如表6.7所示。
表6.7 运输问题的变形：求佳产品公司问题的数据
目的地（产品）
单位成本（美元）
1
2
3
4
供应量
出发地（工厂）
1
41
27
28 24
75
2
40
29
— 23
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3
需求量 (万吨)
供给量 (万吨)
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
供给量 (万吨)
B1 B2 B3 B4
(2) 各产地的供给量与运量 的平衡方程：
x11 x12 x13 x14 10 x21 x22 x23 x24 8 x x x x 5 32 33 34 31
A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34
需求量 (万吨)
5
7
8
3
10 8 5 23
例5-1 解：建立数学模型 (3) 各需求地的需求量与运 量的平衡方程：
x11 x21 x31 x x x 12 22 32 x13 x23 x33 x14 x24 x34 5 7 8 3
B1
B2
产 量ui 13 0 14 0 70 0
B3
B4
2. 最优性检验：1)计算行、列位势数：cij ui v j(*格子) 2)计算 xij检验数： ij cij ui v j(没*格子) 若 ij 都 0,则 X ( xij )是最优解。否则， 3. 调整调运方案：1)构造闭回路 2)确定调整量 3)调整调运方案
例5-10
销地 产地
A1 A2 A3
vj
5
1115 0
B1
B2
8
3
10
45 30 6
12
40 25 9
4
B3
50 35 7 15 5
2
B4
30 70 0
产 量ui
销量
25 40 14
45
65
50
80 -6 40 4 30 190
9 8 10 2 1. 用最小元素法求出初始调运方案 min{40,15, 45} 15 2. 最优性检验：1)计算行、列位势数：cij ui v j(*格子) 2)计算 xij检验数： ij cij ui v j(没*格子)
例5-10
销地 产地
80 -2 3430 0 10 40 40 4 10 12 14 5 销 量 45 65 50 30 190 vj 5 8 6 2 min{40, 30} 30
3 4
A1 A2 A3
B1
5
15 8 30 6
B2
55 25 9
B3
50 7
2
B4
30 70 0
产销不平衡运输问题：(1)产大于销
销地 产地
销量 2
A1 1 A2 0.5 A3 2
B1
3
4
B2
5
2 1
B3
3
B4
7
产量
0 .8
4
3
4
5 6 8
7
总产量=19 总销量=16
例:
销地 产地
销量 2
A1 1 A2 0.5 A3 2
B1
3
4
B2
5
2 1
B3
3
B4
0 0 0
7
0 .8
4
3
4
7
B5 产 量 5 6 8 19 3
例5-10
销地 产地
15 55 0 0 70 30 0 50 0 X 80 3 4 50 7 0 10 0 30 10 40 30 40 10 12 14 5 销 量 45 Z 1075 65 50 30 190
5 2
A1 A2 A3
例5-10
销地 产地
A1 5 15 8 55 25 9 2 A2 3 30 6 22 04 50 7 24 0 80 -2 0 31 0 33 A3 10 10 40 30 40 4 12 14 5 销 量 45 65 50 30 190 vj 5 8 6 1
例:
B5 产 量 ui A1 111 0 3 12 0513 03 5 0 15 0 5 0 23 0 A2 0.5 2 422 0 2 6 4 3 1 0 7 8 1 A3 2 3 1 0 .8 4 1 4 0 销量 2 19 3 3 4 7 v j -3.5 -0.2 0 3 -4 min{ 1,3} 1
ij
B5 产 量 ui 5 0 5 0 3 6 4 3 1 7 1 0 8 1 3 2 4 2 1 0 19 3 3 7 0 3 -4 min{ 1,3} 1
B4
3. 调整调运方案：1)构造闭回路
2)确定调整量
3)调整调运方案
例:
B5 产 量 ui 12 0 13 0 15 0 5 0 A1 111 0 3 5 3 0 5 A2 0.5 2 422 0 2 1 724 00 3 6 2 A3 231 00.8 4 1 2 4 2 035 0 8 1 销量 2 19 3 3 4 7 v j -1.5 -0.2 0 3 -2
3 2 9 3
10 8 5 23
5
7
8
3
例5-1 解：建立数学模型 (1) 总运费最小，则目标函 数为：
min Z 3 x11 2 x12 6 x13 3 x14 5 x21 3 x22 8 x23 2 x24 4 x31 x32 2 x33 9 x34
若 ij 都 0,则 X ( xij )是最优解。否则， 3. 调整调运方案：1)构造闭回路 2)确定调整量 3)调整调运方案
例5-10
A1 5 15 8 25 9 13 02 30 70 0 A2 3 30 6 22 04 50 7 24 0 80 -2 0 0 31 0 A3 10 40 40 4 12 14 33 5 34 销 量 45 65 50 30 190 vj 5 8 6 2
B1 B2 B3 B4 A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34
需求量 (万吨)
供给量 (万吨)
B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3
需求量 (万吨)
供给量 (万吨)
10 8 5 23
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
5
7
8
3
10 8 5 23
例5-1 解：数学模型：
min Z 3 x11 2 x12 6 x13 3 x14 5 x21 3 x22 8 x23 2 x24 4 x31 x32 2 x33 9 x34
x11 x12 x13 x14 10 x21 x22 x23 x24 8 x x x x 5 32 33 34 31
B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3
需求量 (万吨)
供给量 (万吨)
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
供给量 (万吨)
B1 B2 B3 B4
x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x13 x23 x33 8 x14 x24 x34 3 xij 0, i 1, 2, 3 j 1, 2, 3,4
总产量=19 总销量=16
例:
A2 0.5 2 4 1 2 7 0 A3 2 3 1 0 .8 4 1 4 0 销量 2 3 4 7
B1
B2
B3
B4
B5 产 量 5 3 6 4 3 8 4 1 19 3
2 1
1. 用最小元素法求出初始调运方案
第五章 运输与指派问题
5.2 运输单纯形法
5.4 指派问题
一.运输问题的数学模型 例5-1 有三个产粮区 A1 , A2 , A3 ，将粮食运往四个地 区 B1 , B2 , B3 , B4。供应量，需求量及运价如下表所 示。问如何安排一个运输计划使总的运输费用最 少。 解：建立数学模型 设 xij 是第i个产地运往第 j个需求地的运量(万吨)
A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34
需求量 (万吨)
5
7
8
3
10 8 5 23
二.运输问题的表上作业法 例5-10
销地 产地
A1 A2 A3
B1
45 6
8
B2
5
40 9
4
B3
35 7 15 5
2
B4
产量
30 70 40
B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3
需求量 (万吨)
供给量 (万吨)
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
供给量 (万吨)
B1 B2 B3 B4
A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34
需求量 (万吨)
销地 产地
B1
B2
B3
B4
2. 最优性检验：1)计算行、列位势数：cij ui v j(*格子) 2)计算 xij检验数： ij cij ui v j(没*格子) 若 都 0,则 X ( xij )是最优解。否则，
ij
3. 调整调运方案：1)构造闭回路
2)确定调整量
3
10
销量
12
25 14
45
1. 用最小元素法求出初始调运方案