空间力系的受力分析
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Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073 N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
二、空间汇交力系的合成和平衡
1、合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作
用点（线）通过汇交点。
n
FR F1 F2 Fn
M y F Fz BC
x
F cos l
M z F Fx AB CD F sin l a
CDE
Fy θ Fz
BF
y
Fx F sin Fz F cos
方法二:利用公式计算
z
M x F yFz zFy
M y F zFx xFz
x
1.2m E
P
y
FD
D
z
FA
1.2m
O
A
0.6m
P1
E
0.6m
F
B
0.2m C
B
P
0.2m
2m
x
Mx F 0 M y F 0
y 取 Oxyz 坐标系如图，
FD
Fz 0
D
P1 P FA FB FD 0
0.2P1 1.2P 2FD 0 0.8P1 0.6P 0.6FD 1.2FB 0
xFy yFx
k
Fz F
Fx
r
Fy
二、力对轴之矩
1、定义:
力使物体绕某一轴 转动效应的量度,称 为力对该轴之矩.
F Fz
2、力对轴之矩实例 Fx
Fy
Fxy
3、力对轴之矩的计算
力F对z轴的矩等于该力在 通过O点垂直于z轴的平面 上的分量 对于O点的矩。
M z F M O Fxy
求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E
α
C B
α
F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象
建坐标系如图，
C
z D
E
α F2
F1 α B
P
A
y
x FA
列平衡方程：
Fx 0
F1 sin 45 0 F2 sin 45 0 0
C
Fy 0
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300
M y Fi 0
M z Fi 0
空间任意力系有六个独立的平衡方程，
可以解得六个未知量。
空间平行力系的平衡条件：
显然 ：
Fx 0
Fy 0
z
MZ 0
可以自动满足，独 立平衡方程为：
Fz 0
y
Mx 0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
My 0
几种常见的空间约束
球铰 活页铰 滑动轴承 止推轴承 夹持铰支座
MO
F
x
z Oh r
B
F
A y
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
MO
F
r
F
=
i x
j y
k z
Fx Fy Fz
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
M FG 0
P
b 2
Fb
F2b
0
F2 1.5P
M BC 0
Pb 2
F2b
F3
cos 450 b
0
F3
2
2P
例题：求轴承C、D处的约束反力
y
5400N
FDz
x
MCZ 0, FCz z FCy
FDy DC 5400 N BC 0
MCY 0,
z
F
MO
FZ
即：
M z F M O F cos
结论的说明：
M O F 2OAC
MO F
γ Mz F
C
M z F M O Fxy 2OAB
γ
γ
由右图可见：
OAB OACcos
Fz
Fx Fy
例题 已知：AB = BC = l， CD = a， 力 F 位于垂
直于 y 轴的平面内，偏离铅垂线的角度为θ
求：力F对x、y、z 轴的矩 z
方法一:将力向三个坐标轴方 向分解后，直接计算
M x F Fz AB CD F cos l a
A
FRz FR
2、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
由于
n
FR
Fi 0
i 1
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
空间汇交力系的平衡条件：
Fx Fy
0 0
Fz 0
例题：已知： CE EB ED, 300 , F 10kN
所以，可得
M z F M O F cos
四、力对直角坐标轴之矩的解析表达式
前已述及：
i jk
MO r F = x y z
XY Z
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得： M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
sin BC
AB
42 32
F1
0.8944
42 32 2.52
cos 0.4472
C
sin CD
4
0.8
x
BC
42 32
cos BD
3
0.6
BC
42 32
z
600
φ
4m
F2
2. 5m
F3 γ
B y
3m D
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
4m
600 F2
F3
Fx2 F2 sin 60 0 1000 Fy 2 F2 cos 60 0 500 N Fz 2 0
3 866 N 2
2. 5m
y 3m
对F3 应采用直接投影法
Fx F sin c os
Fy F sin sin
A
Fz F c os
y
FA
空间汇交力系在任一平面上的投 z D
影 →平面汇交力系
空间汇交 力系平衡， 投影得到的平面汇交 力系也必然平衡。
C E α F2
F1 α B
P
z
Fy 0,
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300 F2 cos 450 cos 300 0
A x FA
Fz 0,
方法一 :
将力向垂直于该轴的平面投影 , 力对轴的矩等于力的投影与投影 至轴的垂直距离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二:
将力向三个坐标轴方向 分解,分别求三个分力对轴 之矩，然后将三个分力对 轴之矩的代数值相加。
M z F M z Fx M z Fy
Fy F sin sin
Fz F c os
例题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z
解： F1 、F2 可用直接投影法
Fx F cos Fy F cos
Fz F cos
F1
Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500N x
合力的大小： FR FRx 2 FRy 2 FRz 2
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
合力的方向：
COS( FR ,i )
FRx FR
COS( FR , j )
FRy FR
COS( FR , k )
F
xFy
yFx
F sin l a
CDE
Fy θ Fz
F
y
§3-3 空间力系的平衡条件
空间任意力系的平衡条件为：主矢和主矩都等于零。 FR 0 M O 0 上述公式的投影方程为：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x Fi 0
空间力系：力的作用线不位于同一平面内。 空间力系包括： 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解
1、直接投影法
已知力 F 与三个坐标 轴的夹角，则该力在 三个轴上的投影为
z
Fz
βF
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Mi △Vi
Pi
C
的作用点
zi P
解得： FD 5.8kN
FA 4.423kN
FB 7.777 kN
例题：
图示长方形板用六根直杆固定于水平位置。板的重量 为 P，受水平力 F = 2P， 求：各杆的内力
b
a
D
C
FA
B
b
P
H
G
E
F
解：各支杆均为二力杆，设各杆均受拉，得结 构的受力图如下。
b
a
D
C
FA
F3
F2
F1
F6
B
F5
b
P
F4
H
G
E
F
b aD
C
M AE 0 F5 0
FA
F3 F2 F1
F6
B F5
b
M AC 0 F4 0
P
F4
M AB 0
H
G
E
F
F6a
P
a 2
0
F6
P 2
M EF 0
P
a 2
F6 a
F1
注意到
F6
P 2
F1
0
a
b0
a2 b2
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 FA cos 300 P 0
yE
2 2
F1
F2
B
αP
Ay
FA
§3-2 力对轴的矩
一、空间力对点的矩
空间力对点的矩取决于：
（1）力矩的大小
z
（2）力矩作用面的方位
MO
F
B
（3）力矩在作用面内的转向
Fi
i 1
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于
力系中各分力在同一轴上投影的代数和。
n
FRx
Fx i
i 1
n
FRy
Fy i
i 1
n
FRz
Fz i
i 1
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可
按照以下公式进行计算。
FR FRxi FRy j FRz k
F2 cos 450 cos 300 0
Fz 0
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 x
FA cos 300 P 0
解得：
F1
F2
10 2
3.54kN 2
FA 6F1 8.66kN
z D
E
α F2
F1 α B
P
A
M z Fz
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
F Fz
2、力与轴线平行
Fy Fx
力对轴之矩代数量的正负号
（按照右手螺旋法则决定之）
三、力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:
力对点之矩的矢量
MO F
γ Mz F
C
在某一轴上的投影,等
于该力对该轴之矩 。
γ
M
M z F xFy yFx
A
B
本问题中
x
Fx F sin
x l
Fy 0
Fz F cos
yla z0
M x F yFz zFy F cos l a
M y F zFx xFz F cos l
Mz
α
Fx
x
γ Fy
y
2、二次投影法
已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin
Fz F c os
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos Fy Fxy sin
φ
Fy y
最后得：
Fx
F sin
c os x
Fx
Fxy
5400 AC FDZ DC 0
FDy
FDy 1800 N
FDZ 6520 N
Fy 0,
FCy 3600 N
Fz 0,
FCZ 1120 N
同时承受弯矩、扭矩、剪力 和轴力作用的圆轴
§3-5 重心
一、重心的概念及坐标公式
物体重力： 物体重力：空间平行力系 z 重心：物体重力的合力
F
这三个因素可以用一个矢量来 表示，记为：
MO
F
x
rA
O
y
空间力对点的矩的计算
（1）力矩的大小为：
MO F F h 2OAB
（2）力矩矢通过O点
（3）力矩矢的方向：垂直
于OAB平面，指向由右手
螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
MO
F
r
F
球铰
FRy FRx
FRz
球 股骨
球窝 盆骨
盆骨与股骨之间的球铰连接
活页铰
滑动轴承
止推轴承
夹持铰支座
三维固定端
例题：
小车重 P = 8 kN， 载荷P 1 = 10 kN， 求：地面对车轮的反力
0.6m
0.6m
FB
z
FA
O
A P
1
0.2m C
B 0.2m
2m
Fz F cos 1500 0.4472 671N
二、空间汇交力系的合成和平衡
1、合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作
用点（线）通过汇交点。
n
FR F1 F2 Fn
M y F Fz BC
x
F cos l
M z F Fx AB CD F sin l a
CDE
Fy θ Fz
BF
y
Fx F sin Fz F cos
方法二:利用公式计算
z
M x F yFz zFy
M y F zFx xFz
x
1.2m E
P
y
FD
D
z
FA
1.2m
O
A
0.6m
P1
E
0.6m
F
B
0.2m C
B
P
0.2m
2m
x
Mx F 0 M y F 0
y 取 Oxyz 坐标系如图，
FD
Fz 0
D
P1 P FA FB FD 0
0.2P1 1.2P 2FD 0 0.8P1 0.6P 0.6FD 1.2FB 0
xFy yFx
k
Fz F
Fx
r
Fy
二、力对轴之矩
1、定义:
力使物体绕某一轴 转动效应的量度,称 为力对该轴之矩.
F Fz
2、力对轴之矩实例 Fx
Fy
Fxy
3、力对轴之矩的计算
力F对z轴的矩等于该力在 通过O点垂直于z轴的平面 上的分量 对于O点的矩。
M z F M O Fxy
求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E
α
C B
α
F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象
建坐标系如图，
C
z D
E
α F2
F1 α B
P
A
y
x FA
列平衡方程：
Fx 0
F1 sin 45 0 F2 sin 45 0 0
C
Fy 0
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300
M y Fi 0
M z Fi 0
空间任意力系有六个独立的平衡方程，
可以解得六个未知量。
空间平行力系的平衡条件：
显然 ：
Fx 0
Fy 0
z
MZ 0
可以自动满足，独 立平衡方程为：
Fz 0
y
Mx 0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
My 0
几种常见的空间约束
球铰 活页铰 滑动轴承 止推轴承 夹持铰支座
MO
F
x
z Oh r
B
F
A y
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
MO
F
r
F
=
i x
j y
k z
Fx Fy Fz
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
M FG 0
P
b 2
Fb
F2b
0
F2 1.5P
M BC 0
Pb 2
F2b
F3
cos 450 b
0
F3
2
2P
例题：求轴承C、D处的约束反力
y
5400N
FDz
x
MCZ 0, FCz z FCy
FDy DC 5400 N BC 0
MCY 0,
z
F
MO
FZ
即：
M z F M O F cos
结论的说明：
M O F 2OAC
MO F
γ Mz F
C
M z F M O Fxy 2OAB
γ
γ
由右图可见：
OAB OACcos
Fz
Fx Fy
例题 已知：AB = BC = l， CD = a， 力 F 位于垂
直于 y 轴的平面内，偏离铅垂线的角度为θ
求：力F对x、y、z 轴的矩 z
方法一:将力向三个坐标轴方 向分解后，直接计算
M x F Fz AB CD F cos l a
A
FRz FR
2、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
由于
n
FR
Fi 0
i 1
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
空间汇交力系的平衡条件：
Fx Fy
0 0
Fz 0
例题：已知： CE EB ED, 300 , F 10kN
所以，可得
M z F M O F cos
四、力对直角坐标轴之矩的解析表达式
前已述及：
i jk
MO r F = x y z
XY Z
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得： M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
sin BC
AB
42 32
F1
0.8944
42 32 2.52
cos 0.4472
C
sin CD
4
0.8
x
BC
42 32
cos BD
3
0.6
BC
42 32
z
600
φ
4m
F2
2. 5m
F3 γ
B y
3m D
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
4m
600 F2
F3
Fx2 F2 sin 60 0 1000 Fy 2 F2 cos 60 0 500 N Fz 2 0
3 866 N 2
2. 5m
y 3m
对F3 应采用直接投影法
Fx F sin c os
Fy F sin sin
A
Fz F c os
y
FA
空间汇交力系在任一平面上的投 z D
影 →平面汇交力系
空间汇交 力系平衡， 投影得到的平面汇交 力系也必然平衡。
C E α F2
F1 α B
P
z
Fy 0,
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300 F2 cos 450 cos 300 0
A x FA
Fz 0,
方法一 :
将力向垂直于该轴的平面投影 , 力对轴的矩等于力的投影与投影 至轴的垂直距离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二:
将力向三个坐标轴方向 分解,分别求三个分力对轴 之矩，然后将三个分力对 轴之矩的代数值相加。
M z F M z Fx M z Fy
Fy F sin sin
Fz F c os
例题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z
解： F1 、F2 可用直接投影法
Fx F cos Fy F cos
Fz F cos
F1
Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500N x
合力的大小： FR FRx 2 FRy 2 FRz 2
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
合力的方向：
COS( FR ,i )
FRx FR
COS( FR , j )
FRy FR
COS( FR , k )
F
xFy
yFx
F sin l a
CDE
Fy θ Fz
F
y
§3-3 空间力系的平衡条件
空间任意力系的平衡条件为：主矢和主矩都等于零。 FR 0 M O 0 上述公式的投影方程为：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x Fi 0
空间力系：力的作用线不位于同一平面内。 空间力系包括： 空间汇交力系 空间力偶系 空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解
1、直接投影法
已知力 F 与三个坐标 轴的夹角，则该力在 三个轴上的投影为
z
Fz
βF
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Mi △Vi
Pi
C
的作用点
zi P
解得： FD 5.8kN
FA 4.423kN
FB 7.777 kN
例题：
图示长方形板用六根直杆固定于水平位置。板的重量 为 P，受水平力 F = 2P， 求：各杆的内力
b
a
D
C
FA
B
b
P
H
G
E
F
解：各支杆均为二力杆，设各杆均受拉，得结 构的受力图如下。
b
a
D
C
FA
F3
F2
F1
F6
B
F5
b
P
F4
H
G
E
F
b aD
C
M AE 0 F5 0
FA
F3 F2 F1
F6
B F5
b
M AC 0 F4 0
P
F4
M AB 0
H
G
E
F
F6a
P
a 2
0
F6
P 2
M EF 0
P
a 2
F6 a
F1
注意到
F6
P 2
F1
0
a
b0
a2 b2
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 FA cos 300 P 0
yE
2 2
F1
F2
B
αP
Ay
FA
§3-2 力对轴的矩
一、空间力对点的矩
空间力对点的矩取决于：
（1）力矩的大小
z
（2）力矩作用面的方位
MO
F
B
（3）力矩在作用面内的转向
Fi
i 1
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于
力系中各分力在同一轴上投影的代数和。
n
FRx
Fx i
i 1
n
FRy
Fy i
i 1
n
FRz
Fz i
i 1
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可
按照以下公式进行计算。
FR FRxi FRy j FRz k
F2 cos 450 cos 300 0
Fz 0
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 x
FA cos 300 P 0
解得：
F1
F2
10 2
3.54kN 2
FA 6F1 8.66kN
z D
E
α F2
F1 α B
P
A
M z Fz
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
F Fz
2、力与轴线平行
Fy Fx
力对轴之矩代数量的正负号
（按照右手螺旋法则决定之）
三、力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:
力对点之矩的矢量
MO F
γ Mz F
C
在某一轴上的投影,等
于该力对该轴之矩 。
γ
M
M z F xFy yFx
A
B
本问题中
x
Fx F sin
x l
Fy 0
Fz F cos
yla z0
M x F yFz zFy F cos l a
M y F zFx xFz F cos l
Mz
α
Fx
x
γ Fy
y
2、二次投影法
已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin
Fz F c os
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos Fy Fxy sin
φ
Fy y
最后得：
Fx
F sin
c os x
Fx
Fxy
5400 AC FDZ DC 0
FDy
FDy 1800 N
FDZ 6520 N
Fy 0,
FCy 3600 N
Fz 0,
FCZ 1120 N
同时承受弯矩、扭矩、剪力 和轴力作用的圆轴
§3-5 重心
一、重心的概念及坐标公式
物体重力： 物体重力：空间平行力系 z 重心：物体重力的合力
F
这三个因素可以用一个矢量来 表示，记为：
MO
F
x
rA
O
y
空间力对点的矩的计算
（1）力矩的大小为：
MO F F h 2OAB
（2）力矩矢通过O点
（3）力矩矢的方向：垂直
于OAB平面，指向由右手
螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
MO
F
r
F
球铰
FRy FRx
FRz
球 股骨
球窝 盆骨
盆骨与股骨之间的球铰连接
活页铰
滑动轴承
止推轴承
夹持铰支座
三维固定端
例题：
小车重 P = 8 kN， 载荷P 1 = 10 kN， 求：地面对车轮的反力
0.6m
0.6m
FB
z
FA
O
A P
1
0.2m C
B 0.2m
2m