渗流数学模型
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第二章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 数学模型的初边值条件
第一节 建立数学模型的原则
建立数学模型的基础 油气渗流数学模型的一般结构 建立数学模型的步骤
第一节 建立数学模型的原则
二、油气渗流数学模型的一般结构
(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。 (2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。 (3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个
v= f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体)
S= f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)
确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系 （如能量转换方程、扩散方程等等）
第一节 建立数学模型的原则
4.写出数学模型所需的综合微分方程(组)
用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中， 最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程 组。
5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题 7.给出问题的边界条件和初始条件
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: v K P
L
其微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流
单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
第四节 质量守恒方程
一、单相渗流的连续性方程
微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元， 其中M点质量速度在各坐标上分量为ρvx、ρvy、ρvz。
vx
(vx
x
)
dx 2
vy
Fra Baidu bibliotek(vy
y
)
dy 2
vz
(vz
z
)
dz 2
第四节 质量守恒方程
1.流入流出质量差
第一节 建立数学模型的原则
三、建立数学模型的步骤 1.确定建立模型的目的和要求
解决的问题:①压力P的分布②速度v的分布（包括求流 量） ③ 饱和度S的分布④ 分界面移动规律。
自变量：空间和时间，(x,y,z)或(r,θ,z)和时间t 因变量：压力P和速度v；两相或多相流S分布 其它参数：地层物性参数(如渗透率K、孔隙度ф、弹
规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。
第一节 建立数学模型的原则
3.确定未知数和其它物理量之间的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系
vi
状态方程：物理参数和压力的关系
f
A, B,
dP dx
Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T) 连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与
坐标和时间的关系：
dt时间经a'b'面流入的质量流量应为：
vx (xvx)d2xdydzdt
CL
1
d
dP
(4)
第三节 状态方程
大气压力(或 初始压力)
P0下流体 的密度
分离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式：
eCL(PP0) 0
(5)
将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精
确性：
0[1C L(PP 0)] (6)
C流在L中1值0-，是4(1油一/M气个P层变a)温左量度右，大。它致随不温变度，和可压把力C不L同值略看有成改常变数，;在数地量下级渗
vr K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
=
φ 积分 0
0Cf (PP0)
不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之间。 在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程
第四节 质量守恒方程
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。 即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇 存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等 于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量 守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单 元体内质量应为常数。
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。 以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。 (4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。 (5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化
学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。 (6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。
渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流 力学过程的数学模型。
第三节 状态方程
二、气体状态方程
理想气体(分子无体积、分子间无 作用力)状态方程为
PVnRT
P—气体压力 V—压力P时的气体总体积 T—绝对温度 R—气体常数 n—气体摩尔数
真实气体的状态方程
PVZ•nRT
z—压缩因子，z=f(P，T)，在给定温度压力下实际气体占 有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。
第三节 状态方程
三、岩石的状态方程
岩石的压缩性对渗流的影响：①压力变化会引起孔隙大小
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于
孔岩隙石大的△φ小压—变缩当化性压力引用变起压化渗缩ΔP透系时的率数孔的描隙变述度的化：改。C 变量f VVff
1 d
P P dP
分离变量，Cf取常数，并设P=P0时，φ
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 数学模型的初边值条件
第一节 建立数学模型的原则
建立数学模型的基础 油气渗流数学模型的一般结构 建立数学模型的步骤
第一节 建立数学模型的原则
二、油气渗流数学模型的一般结构
(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。 (2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。 (3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个
v= f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体)
S= f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)
确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系 （如能量转换方程、扩散方程等等）
第一节 建立数学模型的原则
4.写出数学模型所需的综合微分方程(组)
用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中， 最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程 组。
5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题 7.给出问题的边界条件和初始条件
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: v K P
L
其微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流
单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
第四节 质量守恒方程
一、单相渗流的连续性方程
微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元， 其中M点质量速度在各坐标上分量为ρvx、ρvy、ρvz。
vx
(vx
x
)
dx 2
vy
Fra Baidu bibliotek(vy
y
)
dy 2
vz
(vz
z
)
dz 2
第四节 质量守恒方程
1.流入流出质量差
第一节 建立数学模型的原则
三、建立数学模型的步骤 1.确定建立模型的目的和要求
解决的问题:①压力P的分布②速度v的分布（包括求流 量） ③ 饱和度S的分布④ 分界面移动规律。
自变量：空间和时间，(x,y,z)或(r,θ,z)和时间t 因变量：压力P和速度v；两相或多相流S分布 其它参数：地层物性参数(如渗透率K、孔隙度ф、弹
规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。
第一节 建立数学模型的原则
3.确定未知数和其它物理量之间的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系
vi
状态方程：物理参数和压力的关系
f
A, B,
dP dx
Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T) 连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与
坐标和时间的关系：
dt时间经a'b'面流入的质量流量应为：
vx (xvx)d2xdydzdt
CL
1
d
dP
(4)
第三节 状态方程
大气压力(或 初始压力)
P0下流体 的密度
分离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式：
eCL(PP0) 0
(5)
将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精
确性：
0[1C L(PP 0)] (6)
C流在L中1值0-，是4(1油一/M气个P层变a)温左量度右，大。它致随不温变度，和可压把力C不L同值略看有成改常变数，;在数地量下级渗
vr K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
=
φ 积分 0
0Cf (PP0)
不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之间。 在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程
第四节 质量守恒方程
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。 即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇 存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等 于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量 守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单 元体内质量应为常数。
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。 以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。 (4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。 (5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化
学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。 (6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。
渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流 力学过程的数学模型。
第三节 状态方程
二、气体状态方程
理想气体(分子无体积、分子间无 作用力)状态方程为
PVnRT
P—气体压力 V—压力P时的气体总体积 T—绝对温度 R—气体常数 n—气体摩尔数
真实气体的状态方程
PVZ•nRT
z—压缩因子，z=f(P，T)，在给定温度压力下实际气体占 有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。
第三节 状态方程
三、岩石的状态方程
岩石的压缩性对渗流的影响：①压力变化会引起孔隙大小
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于
孔岩隙石大的△φ小压—变缩当化性压力引用变起压化渗缩ΔP透系时的率数孔的描隙变述度的化：改。C 变量f VVff
1 d
P P dP
分离变量，Cf取常数，并设P=P0时，φ