4_14 离散时间傅里叶变换的性质
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序列时域的卷积对应频域的乘积。
离散非周期序列DTFT的性质
4. 卷积特性 (b) 频域卷积特性
x[k]h[k]DTFT 1 π X (ej )H (e j( ) )d
2π π
序列时域的乘积对应频域的卷积。
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离散非周期序列DTFT的性质
离散非周期序列DTFT的性质
2. 对称特性 x[k]DTFT X (e j )
x[k]DTFT X (ej )
当 x[k]是实序列时 X (ej ) X (e j )
幅度与相位
实部与虚部
X (e j ) X (e j )
( ) ( )
X R (e j ) X R (e j ) X I (e j ) X I (e j )
x[k]
y[k]
...
X (e j ) 1
cos[pk ]
2π
π π/2 0 π/2 π
解： y[k] x[k]cosπk x[k](ejπk e jπk ) 2
...
2π
Y (ej ) X (ej( π) ) X (ej( π) ) 2
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3
2π
x[k] 2 60π
π
k 0
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离散非周期序列DTFT的性质
谢谢
3
3
X (ej0 ) x[k] e-jk0 x[k] 1 2 3 4 10
k 0
k 0
3
3
X (ejp ) x[k] e-jkp x[k] (1)k 1 2 3 4 2
k 0
k 0
(3) π X (ej ) d 2px[0] 2p π
(4)
π
X (ej ) 2 d
例：已知x[k]的频谱如图所示，求y[k]的频谱。
X(ej)
1
解：
2π
π π 2 0 π 2 π
2π
X(ej(p)
1
2π
π π 2
π2 π
2π
X(ej(p)
1
2π
π π 2
π2 π
2π
Y(ej)
1
π π 2
π2 π
离散非周期序列DTFT的性质
4. 卷积特性 (a) 时域卷积特性
x[k] h[k]DTFT X (ej )H (ej )
e j k
d
2p
1
2p
2p
X (ej
)
k
x[k ]e jk
d
1 2p
X (e j ) X (e j )d
2p
1
X (ej ) 2 d
2p 2p
例：已知x[k]为一有限长序列且
x[k] {1, 2,3, 4}，不计算x[k]
的频谱 X(ej)，直接确定下列表达式的值。
解： (1) (2)
4 Y (e j )
… p
… 0 p
来自百度文库
p 0 p
( )
p
p
p
离散非周期序列DTFT的性质
3. 位移特性 (b) 频域位移特性
ej 0k x[k]DTFT X (ej( 0 ) )
序列在时域的相移，对应其频域的频移。
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例：已知x[k]的频谱如图所示，求y[k]的频谱。
例：求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度谱和相位谱。
解：
X (ej ) 1 2e j e j2 (1 e j )2
4cos2 2 ej
X (ej ) 4cos2 2
()
… p
4 …
0 p
…
p…
p
p
离散非周期序列DTFT的性质
3. 位移特性 (a) 时域位移特性
x[k n]DTFT X (ej )e jn
序列在时域的位移，对应其频域的相移。
例：已知x[k]如图所示，求y[k]=x[k－1]的频谱。
2 x[k]
1
X (ej ) 21 cos …
X (e j )
4
…
-1 0 1 k
解：
2 y[k]
1
0 12 k
Y (ej ) e-j X (ej )
离散非周期序列DTFT的性质
※ 线性特性 ※ 对称特性 ※ 位移特性 ※ 卷积特性 ※ 微分特性 ※ Parseval定理
离散非周期序列DTFT的性质
1. 线性特性
若
x1[k]DTFT X1(ej )
x2[k]DTFT X 2 (ej )
则
ax1[k] bx2[k]DTFT aX1(ej ) bX2 (ej )
5. 频域微分特性
kx[k]DTFT j dX (ej )
d
离散非周期序列DTFT的性质
6. Parseval定理
x[k] 2 1
X (ej ) 2 d
k
2π 2p
序列时域的能量等于频域的能量。
证明： k
x[k] 2
k
x[k ]x[k ]
k
x[k
]
1 2p
X
(e j
)
离散非周期序列DTFT的性质
4. 卷积特性 (b) 频域卷积特性
x[k]h[k]DTFT 1 π X (ej )H (e j( ) )d
2π π
序列时域的乘积对应频域的卷积。
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离散非周期序列DTFT的性质
离散非周期序列DTFT的性质
2. 对称特性 x[k]DTFT X (e j )
x[k]DTFT X (ej )
当 x[k]是实序列时 X (ej ) X (e j )
幅度与相位
实部与虚部
X (e j ) X (e j )
( ) ( )
X R (e j ) X R (e j ) X I (e j ) X I (e j )
x[k]
y[k]
...
X (e j ) 1
cos[pk ]
2π
π π/2 0 π/2 π
解： y[k] x[k]cosπk x[k](ejπk e jπk ) 2
...
2π
Y (ej ) X (ej( π) ) X (ej( π) ) 2
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3
2π
x[k] 2 60π
π
k 0
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谢谢
3
3
X (ej0 ) x[k] e-jk0 x[k] 1 2 3 4 10
k 0
k 0
3
3
X (ejp ) x[k] e-jkp x[k] (1)k 1 2 3 4 2
k 0
k 0
(3) π X (ej ) d 2px[0] 2p π
(4)
π
X (ej ) 2 d
例：已知x[k]的频谱如图所示，求y[k]的频谱。
X(ej)
1
解：
2π
π π 2 0 π 2 π
2π
X(ej(p)
1
2π
π π 2
π2 π
2π
X(ej(p)
1
2π
π π 2
π2 π
2π
Y(ej)
1
π π 2
π2 π
离散非周期序列DTFT的性质
4. 卷积特性 (a) 时域卷积特性
x[k] h[k]DTFT X (ej )H (ej )
e j k
d
2p
1
2p
2p
X (ej
)
k
x[k ]e jk
d
1 2p
X (e j ) X (e j )d
2p
1
X (ej ) 2 d
2p 2p
例：已知x[k]为一有限长序列且
x[k] {1, 2,3, 4}，不计算x[k]
的频谱 X(ej)，直接确定下列表达式的值。
解： (1) (2)
4 Y (e j )
… p
… 0 p
来自百度文库
p 0 p
( )
p
p
p
离散非周期序列DTFT的性质
3. 位移特性 (b) 频域位移特性
ej 0k x[k]DTFT X (ej( 0 ) )
序列在时域的相移，对应其频域的频移。
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例：已知x[k]的频谱如图所示，求y[k]的频谱。
例：求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度谱和相位谱。
解：
X (ej ) 1 2e j e j2 (1 e j )2
4cos2 2 ej
X (ej ) 4cos2 2
()
… p
4 …
0 p
…
p…
p
p
离散非周期序列DTFT的性质
3. 位移特性 (a) 时域位移特性
x[k n]DTFT X (ej )e jn
序列在时域的位移，对应其频域的相移。
例：已知x[k]如图所示，求y[k]=x[k－1]的频谱。
2 x[k]
1
X (ej ) 21 cos …
X (e j )
4
…
-1 0 1 k
解：
2 y[k]
1
0 12 k
Y (ej ) e-j X (ej )
离散非周期序列DTFT的性质
※ 线性特性 ※ 对称特性 ※ 位移特性 ※ 卷积特性 ※ 微分特性 ※ Parseval定理
离散非周期序列DTFT的性质
1. 线性特性
若
x1[k]DTFT X1(ej )
x2[k]DTFT X 2 (ej )
则
ax1[k] bx2[k]DTFT aX1(ej ) bX2 (ej )
5. 频域微分特性
kx[k]DTFT j dX (ej )
d
离散非周期序列DTFT的性质
6. Parseval定理
x[k] 2 1
X (ej ) 2 d
k
2π 2p
序列时域的能量等于频域的能量。
证明： k
x[k] 2
k
x[k ]x[k ]
k
x[k
]
1 2p
X
(e j
)