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第三节分部积分法

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secx tan x (sec3 x tan x)dx 循环积分
secx tan x I lncos x
I 1 (secx tan x lncos x) C 解出I即可 2
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例7
计算 In
(
x
2
dx a
2
)n
,
其中n为正整数.
用分部积分法，当n 1时有
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
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例6
求I sec3 xdx
解 I sec3 xdx 分部
secxd tan x secx tan x tan xd secx
secx tan x tan2 x secxdx
secx tan x (sec2 x 1)secxdx 这是一个
于是
1
x
In 2a2 (n 1) [( x2 a2 )n1 (2n 3)In1 ]
以此作递推公式．
其中
dx 1
I1 x2 a2 a
1
d( x) a
( x )2
a
1 arctan x C
a
a
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例题选讲：
例（1）求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
求积分 x2 cos xdx.
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例4 解
求积分 x arc cot xdx.
令 u arccot x , xdx
d
x2
dv
2
x arccot xdx
x 2 x 2 dx
x2e x xe x ( x 2)
x 2 x 2 dx
x2e x
xe xdx x2e x
xde x
x2
x2
x 2e x xe x e x C x2
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例（6）求I x5ex31dx
解直接用分部积分，计算过程比较复杂，作变换
x5e x3 1dx e x 3e x3 d ( x 3 ) 3
e y x3 ye ydy e ( ye y e y ) C
3
3
e ( x3ex3 ex3 ) C 3
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小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
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e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
第二次时仍应选 u2 sin x
作业：习题4.3 （8）～（14）
Biblioteka Baidu
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x ln2 x 2x ln x 2x C.
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例3 求积分 x cos xdx .
解（一）令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
x2 2
cos x
x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二）令 u x, cos xdx d sin x dv
4计算积分把 vudx积分出来
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例1 求积分 xexdx.
解 u x, e xdx de x dv,
xexdx xex exdx
xex ex C.
求积分 x2exdx.
解 u x2 , exdx dex dv,
x2exdx x2ex 2 xexdx
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
ex2
C.
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例（4）求 ln( x2 1)dx
解：原式 x ln(1 x2 ) xd ln(1 x2 )
x ln(1 x2 )
2x x 1 x2 dx
x ln(1 x2 )
u x, exdx dv
再次使用分部积分法
x2e x 2( xe x e x ) C . 目录上一页下一页退出
例2 求积分 ln xdx.
解 u ln x, dx dv,
ln xdx x ln x dx
x ln x x C.
求积分 ln2 xdx. ln2 xdx x ln2 x 2 ln xdx
x arcsin x
dx 1 x2
其中 P( x), Q( x)均为x的多项式
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思考题
在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？
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思考题解答
注意前后几次所选的 u 应为同类型函数.
例 e x cos xdx
第一次时若选 u1 cos x
例（2）求积分 x arctan x dx. 1 x2 解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
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§4.3 分部积分法
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一、基本内容
问题 xe xdx ?
解决思路利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx,
分部积分公式
udv uv vdu.
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分部积分法计算不定积分的过程可分为四个步骤：
1 选择u与dv, 把被积函数中的一部分看成u, 另一部分
视为dv（或另一部分与dx的乘积）使待积式
f (x)dx 转化为 u(x)dv(x) 2代公式即 u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)
3求微分 du udx
分部积分法适用类型：
1 P(x)sin xdx 或 P(x) cos xdx 2 P(x)exdx
3 Q(x) ln xdx 4 Q(x) arcsin xdx 或 Q(x) arctan dx
5 eax sin bxdx 或 eax cos bxdx
以及一些特殊类型如
6 sec3 xdx
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例（3）已知 f ( x)的一个原函数是ex2 , 求 xf ( x)dx.
解 xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) f ( x)dx,
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
x2 arc cot x x2 d(arc cot x)
2
2
x2
x2 1
2
arc cot x
2
1
x2
dx
x2 arc cot x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arc cot x 1 (x arc cot x) C.
2
2
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例5 求积分 e x sin xdx.
( x2
dx a2 )n1
(x2
x a2 )n1
2(n 1)
x2 ( x2 a2 )n dx
x
1
a2
( x2 a2 )n1 2(n 1) [( x2 a2 )n1 ( x2 a2 )]dx
即
I n1
(x2
x a2 )n1
2(n
1)( In1
a2In )
于是
1
x
In 2a2 (n 1) [( x2 a2 )n1 (2n 3)In1 ]
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tan t
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t
sec tdt
ln(sec t tan t) C ln( x 1 x2 ) C
x
arctan 1 x2
x
dx
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C .
( x2 1) 1 2 1 x2 dx
x
ln(1
x2)
2
dx
2
1 1 x2
dx
x ln(1 x2 ) 2x 2arctan x C
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例（5）求 x2ex dx
(x 2)2
解：原式 x2e xd( 1 )
x2
x2e x
2 xe x x2e x
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
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解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式