第3章印度与阿拉伯的数学解析

(二)婆罗摩笈多
婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和 《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成 就十分可贵． ●比较完整地叙述了零的运算法则 ●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表 ●获得了边长为 a, b, c, d 的四边形的面积公式（有误）：
S ( p a)( p b)( p c)( p d )
•
在不定方程方面，印度学者取得了很大成就，他们 建立了自己的独特方法．这种方法出现在婆罗摩笈多 和婆什迦罗Ⅱ的著作中，即所谓的“扩散法”或“研 细法”．
为解形如ax＋b＝cy (1)的方程，婆什迦罗首先说明如何 求两个数的最大公因数．并指出，如果自由项b不能被未 知量系数的最大公因数整除，那么方程无解．婆什迦罗 解方程(1)的方法本质上与现代借助于连分数的方法没有 区别．
3、印度与阿拉伯数学
3、印度与阿拉伯数学
3.1 印度数学
古印度的地理范围不限于今天的印度，而是指整 个次大陆，即包括今天的印度、巴基斯坦、孟加拉、 尼泊尔、不丹等国。我国的《史记》和《汉书》称之 为“身毒”，《后汉书》称之为“天竺”，唐代玄奘 在其《大唐西域记》中改称为“印度”。显然，这个 名称是从印度河的名称引申而来的。
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜 廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的 数“0”．瓜廖尔数系为：
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
[ p (a b c d ] / 2]
实际上这一公式只 适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意 识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有 一边为零的四边形，得到了海伦公式。
(三)马哈维拉
7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁 荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起， 那么9世纪以后发生了改变． 耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(The Ganita-SāraSangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1) 算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5) 三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程 计算，(9)测影计算．
3.1.3 印度的几何
印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混 杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文 veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫 术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后 来记录在棕榈叶或树皮上． 这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳 的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公 元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问 题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2 的近似值。 耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分 构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。
3 2 2 方程 x c x c d 的解就是抛物线 2 圆 y x(d x) 交点横坐标x．
x 2 cy源自文库与半
他首先画出正焦弦为c的抛物线，再画出直径为d的半圆
过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解．这一创造， 使代数与几何的联系更加密切．
3.2.2阿拉伯的三角学与几何学
（一）阿耶波多
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他 只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最 突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。 阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应 (见图)，成为 1 今天的习惯，同时他以半径的 3438 作为度量弧的单位，实际是 弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为3º 45’的正弦 差值表． 阿耶波多最大贡献是建立了丢 番图方程求解的所谓“库塔 卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法， 采用辗转相除法的演算程序，接近 于连分数算法．
格子算法 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿 拉伯人传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13 世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完 整印度数码的介绍．印度数码和十进位值制记数法被 欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演 了重要的角色．
3.1.2 印度的代数
• 印度人对代数学作出了重大贡献.他们用缩写 文字和一些记号来描述运算.加法不用记号， 被减数上面加个点表示减法.已知的整数，前 面冠以rū(来自绝对数rūpa一词)；未知数称为 yāvat tāvat，用音节yā来表示.如果遇到几个未 知数，那么用各种颜色来区别：kā(kālaka，黑 色的)、nī(nīlaka,蓝色的)、pī(pītaka，黄色的)、 lo(lohitaka，红色的)等等.未知数的二次幂用 varga一词的va这个音节来表示.
正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来， 更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，所以欧 洲一直称这种数码为阿拉伯数码． 该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，其中 Algoritmi是花拉子米的拉丁译名，现代术语“算法”(Algorithm) 即源于此．
（二）奥马· 海亚姆与三次方程
型方程；
型方程； ax b ▲第3章讨论“根等于数”的方程，即一次方程 ；
▲第4、5、6章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三 种类型的二次方程： x 2 px q, x 2 q px, x 2 px q 都给出了相应的求根公式．
花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与 “对消”(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类 型方程．由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的 算术方式，具有明显的代数特征 。 花拉子米的另一本书《印度计算法》(Algoritmi de numero indorum)也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍 了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法．
k ●给出了一般性的组合数 C n 公式 ●给出椭圆周长近似公式：
C 24b 2 16a 2 .
(四)婆什迦罗
婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家， 长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最 高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著 作有《天球》和《天文系统之冠》． 《莉拉沃蒂》共有13章：第1章给出算学中的名词术语；第 2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开 平方、立方、开立方等；第3章论各种计算法则和技巧；第4章 关于利率等方面的应用题；第5 章数列计算问题，主要是等差数 列和等比数列；第6章关于平面图形的度量计算；第7至10章关 于立体几何的度量计算；第11章为测量问题；第12章是代数问 题，包括不定方程；第13章是一些组合问题． ●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式 ●能够认识并广泛使用无理数
3.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米 (Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数 学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820 年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉 伯语“al-jabrwa’l-muqabala” ”，意为移项对消之意．传入欧洲后， 到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文 “algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》 ． 书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了 一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同 类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数 学开拓了道路．
3.2 阿拉伯数学
“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而 是指8—15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地 区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿 拉伯文数学著作． 在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印 度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备 学术前提方面作出了巨大贡献． 他们掀起了著名的翻译运动：在曼苏尔哈里发时 期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已 传入巴格达，并译成阿拉伯文；8世纪末到9世纪初的 兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在 内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文．
《代数学》约1140年被英国人罗伯特(Robert of Chester)译成拉 丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪 意大利代数方程求解方面的突破. 《代数学》分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题．
2 ax ▲第 1章讨论“平方等于根”的方程，即 bx 2 ax ▲第2章讨论“平方等于数”的方程，即 b
3.1.1 印度的算术
十进位值制记数法的使用和印度-阿拉伯数码的出现，不仅 在数学史上，而且在全人类文化史上都具有十分重要的意 义．这种记数法的产生和完善经历了相当长的时期． 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也 很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利 (Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓 “巴克沙利手稿”． 其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与 利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括 一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使 用了一些数学符号 : （1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三 角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历 表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》 (Sphaerica)等古典著作．
对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿 尔· 巴塔尼(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对 欧洲影响最大的天文学家．其《天文论著》(又名《星的科学》) 被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开 普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印 度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的 婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公 元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度 数学发展的浓厚的宗教氛围．
公元3世纪至公元12世纪，出现了一些著名的数学 家，如阿利耶波多 (AryabhataⅠ，约 476 一 550) 、婆 罗 摩 笈 多 (Brahmagupta ， 598—665) 、 马 哈 维 拉 (Mahavira ， 9 世纪 ) 和婆什迦罗 (BhaskaraⅡ， 1114 一 约1185)等．
波斯人奥马· 海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世 纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题 的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算 法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方 程． 奥马· 海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数 为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几 何解法。 3 3 2 2 例如解 x ax b ，首先将其化为 x c x c d (这 2 2 a , b 是线段， 里 c a, c d b ， 按照希腊人的数学传统， c 2正 方形， c 2 d 为长方体)。