6-4.2弯曲梁的剪应力计算及强度计算

要求梁内的最大弯曲正应力σmax不超过材料在 单向受力时的许用应力[σ]
利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算： 正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。
2、 弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态， 相应的强度条件为：
FQ S z m ax m ax I zb m ax
细长等值梁
Hale Waihona Puke L 5 h max 10 max

二、 梁的强度条件
为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一 定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度 条件和剪应力强度条件。
1、 弯曲正应力强度条件
弯曲正应力强度条件为：
max
M W z max
C
3ｍ 3ｍ
解：该梁C截面的弯矩最大，
F＝20kN B C 3ｍ 3ｍ
Mmax=10×3=30kN.m
⑴矩形截面:
A
1 3 bh bh 2 Wz 12 32.67 10 4 mm 3 1 6 h 2
max
M max 30 103 91.8MPa 5 Wz 32.67 10
⑵圆形截面
A
d2
4
bh
d = 133.5mm

Wz 64 d 2
d4

d3
32
23.36 103 mm 3
max
M max 30 103 128.4MPa 6 Wz 23.36 10
⑶ 工字形截面。
选用50C号工字钢,其截面面积为139000mm2。
SZ (20mm 120 mm 35mm) 8.40 10 4 mm3
近似均匀分布
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用 截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面, 试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为 140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。
F＝20kN A B
103N=26.2kN
(2)最大弯矩值 Mmax=Fl=1.2×45×103=54×103N· m
按强度条件计算所需抗弯截面系数为：
WZ
M max

54 10 6 Nmm 3.18 10 5 mm 3 318 cm3 170 MPa
查附录可知，22b号工字钢的 抗弯截面模量为325cm3 ， 所以可选用22b号工字钢。
教学 难点
横截面上剪应力的计算、强度计算。
问题的引出
荷载靠近支座，剪力如何？
短梁上剪力如何？
I z1 I z a A
2
前面我们学习了，梁弯曲时横截面 正应力分布规律及计算，在工程中，一 般正应力是梁破坏的主要因素。但是， 当梁的跨度很小或在支座附近有很大的 集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小， 而剪力却很大，如果梁截面窄且高，这 时剪应力可达到相当大的数值，剪应力 就不能忽略了。
例6.6 例8.5中的18号工字钢悬臂梁，按正应力 的强度计算，在自由端可承受的集中荷载 F=26.2KN。已知钢材的抗剪许用应力 [τ]=100Mpa。试按剪应力校核梁的强度， 绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图， 并计算腹板所担负的剪力FQ1。
解：（1）按剪应力的强度校核。 截面上的剪力FQ =26.2kN。 由附录查得18号工字钢截面的几个主要尺寸
要求梁内的最大弯曲剪应力τmax不超过 材料在纯剪切时的许用剪应力[τ]
在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正 应力远大于最大弯曲剪应力。
但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较 大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座 附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件， 而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。 例6.4 图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字 形，并承受均布荷载q作用。试校该梁的强度。已 知荷载集度q=25N/mm，截面形心离底边与顶边的 距离分别为y1=95mm和y2=95mm，惯性矩Iz =8.84×10-6m4，许用拉应力[σt]=35MPa， 许用压应力[σc]=140Mpa。
解：（1）危险截面与危险点判断。 梁的弯矩如图示，在横截面D与B上，分别 作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二 截面均为危险截面。
截面D与B的弯曲正应力分布分别如图示。 截面D的a点与截面B的d点处均受压；而截面 D的b点与截面B的c点处均受拉。 由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,| 因此
一、梁的弯曲剪应力
(一)、矩形截面梁的弯曲剪应力
1.横截面上剪应力分布规律的假设 （1）横截面上各点处的剪应力方向与剪 力的方向一致(此处剪应力没规定正负 号）； （2）横截面上至中性轴等距离各点的剪 应力相等，既沿截面宽度均匀分布。
V
2 .横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)

V S
Z
2、 图示截面梁，横截面上剪力FQ=300kN， 试计算：（a）图中截面上的最大剪应力 和A点的剪应力；（b）图中腹板上的最大剪应 力，以及腹板与翼缘交界处的剪应力。
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
I zb
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
b——需求剪应力处横截面的宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以下(或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩 3 .剪应力分布规律 剪应力沿截面高度按二次抛物 线规律分布 。上下边缘处 剪应力为零，中性轴上剪应力 最大。 4 .最大剪应力
Wz 2080 10 mm
3
3
max
结论如下：
M max 30 103 14.4MPa 6 Wz 2080 10
在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反 过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载 最大。因此，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。
例题
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
F
M max
h
l2
FL 4
bh 2 WZ 6
l2
Fs max
F 2
max
F 3 2 3 Fs 3 F 2 bh 2 A 4 bh
FL b M 3FL max max 4 1 2 WZ 2bh 2 bh 6 3 FL max 2 bh 2 2 L 3 F h max 4 bh
腹板上的最小剪应力为
min
FQ S Z
I Z b1
21 .2 10 6 N / m 2 21 .2 MPa
（3）腹板所担负剪力的计算
A1 (21 .2 10 6 )(158 .6 10 3 ) (26.2 21.2) 10 6


2 (158 .6 10 3 ) 3 3890 10 3 ( N / m)
|σa|>|σd|
即梁内的最在弯曲压应力σc,max发生在截面D 的a点处。至于最大弯曲拉应力σt,max, 究竟发生 在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。
（2）强度校核。
M D ya (5.56 10 6 Nmm)(950 mm) a 59.8MPa 6 4 Iz 8.84 10 mm M D yb b 28 .3MPa Iz
max
V 1.5 1.5 A
工字形截面梁
d
h
h0
z
t
b
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而 翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情 况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计 的需要仅分析腹板上的切应力。
(二)、工字形(T字型)截面梁的剪应力

V S I zd
Z
腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物 线规律变化(翼板上的剪应力很小 )
最大剪应力发生在中性轴上，工字形截面翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板 上承担绝大部分剪力。
最大剪应力实用计算公式
腹板 面积
(三 )、圆截面梁的最大剪应力
近似均匀分布
max
4V 3A
最大剪应力发生在中性轴上
例 梁截面如图所示，横截面上剪力V=15KN。 试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与 翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩 Iz=8.84×10-6m4。
6-4.2梁的剪应 力及强度计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 授课 授课 洪单平 12建筑工程 2013/3 教师 班级 时间 梁的弯曲应力（剪应力） 课 强度计算 课型 题 学 时 面授 2
教学 讲练结合 方法 教学 掌握梁弯曲时横截面剪应力分布规律；掌握剪应力的计 目的 算.掌握强度计算 教学 重点 剪应力分布规律；剪应力的计算.强度计算
解： 1.最大弯曲剪应力。
最大弯曲剪应力发生 在中性轴上。中性轴 一侧的部分截面对中 性轴的静矩为：
S z yc A
S z , max
(20 mm 120 mm 45mm)2 20 mm 9.025 10 4 mm3 2
最大弯曲剪应力：
(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力
M B yc c 33 .6 MPa Iz
c ,max a 59 .8MPa c t ,max c 33 .6 MPa t
梁的弯曲强度符合要求
例6.5 悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端 有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知 钢的许用应力[σ]=170Mpa，略去梁的自重， (1)试计算集中荷载F的最大许可值。 (2)若集中荷载为45 kN，确定工字钢的型号。
Iz=1660×104mm4, 腹板上的最大剪应力
Iz 154 mm Sz
max
FQ 26 .2 10 3 26 .2 10 6 ( N / m 2 ) Iz (154 10 3 )(6.5 10 3 ) ( )d Sz
26 .2 MPa 100 MPa
解：1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定 端处，其绝对值为： Mmax=Fl=1.2F N· m 由附录中查得，18号工字钢的抗弯截面模量为 Wz=185×103mm3 公式(8.16)得：1.2F≤(185×10-6)(170×106) F的最大许可值为：
185 170 [ F ] max 26.2 1.2
FQ1 A1b1 25.3 10 3 ( N ) 25.3kN
可见，腹板所担岁的剪力占 整个截面剪力FQ的96.6%。
习 题
1 、一矩形截面梁，梁上作用均布荷载， 已知：l=4m，b=14cm，h=21cm，q=2kN/m，
弯曲时木材的容许应力 1.1 10 4 kPa 试校核梁的强度。