一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法
❖ 复习回顾
❖ 1.一元一次不等式，一次函数，一次方程之间的关系：
❖ 例：一次函数y=x-2
❖ 一次方程x-2=0 ❖ 一次不等式x-2＞0
y X=2是图像与x轴交 点的坐标
❖
x-2＜0
0
2
x Y=x-2
X＞2时，图像在x轴上方 X＜2时，图像在x轴下方
复习一元二次方程
复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
(1).当x取 _____x_=__-1__或3时，y=0？ 当x取 ______-1_<_x_<_3 时，y<0？ 当x取 ___x_<_-_1__或__ x时>3，y>0?
(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集
为
﹛x|-1<x<3﹜
———————— 不等式x2-2x-3＞0 的解集 为
求不等式bx2 ax c＞0的解.
析：由题意可知a＜0
x1 2, x2 3是ax2 bx c 0两根
x1
x2
b a
5, b
5a
c x1x2 a 6, c 6a
bx2 ax c＞0 5ax2 ax 6a＞0
5x2 x 6＞0 x 1 5x 6＞0
x＞1或x＜- 6 5
则
x
பைடு நூலகம்
x＞1或x＜-
6 5
已知ax2 2x c 0的解集为 1 x 1 , 32
试求a, c的值，并解不等式 cx2 2x a 0。
答案
a 12, c 2
解集x 2 x 3
1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常
y
y
O x1
x
x2
0
O
b
x
2a
0
O
x
0
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像
y
0
y
0
y 0
O x1 x2 x
O
b
x
2a
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是二次的不等式叫做一元二次不等式.
形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
[试一试]
1．(2013·浙江高考)设集合 S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，
则(∁RS)∪T＝ A．(－2,1] C．(－∞，1]
B．(－∞，－4] D．[1，＋∞)
()
解析：T＝ {x|－4≤x≤1}，根据补集定义，
∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}，选 C .
问题：如何解一元二次不等式呢？
例：解一元二次不等式x2-2x-3<0
分析： 令y=x2-2x-3，得到一元二次函数。
求得x2-2x-3＝0的两根为x1=-1，x2=3
所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y
y=x2-2x-3
-1 o
x 3
问题探究：
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下：
B
x
1
x
5
2
A
B
x
1 3
x
5 2
AB x1 x 6
含参数不等式的解法
1：不等式ax2 bx c＞0的解为- 1 ＜x＜1 ,求a,b 23
析：x1
1 2
,
x2
1 是ax2 3
bx
c
0的两根，
x1x2
1 6
2 a
,a
12,
x1
x2
b a
1 6
,b
2
例2：不等式ax2 bx c＜0a 0的解为x＜2或x＞3，
ax2+bx的+c解>集0（a>0﹛）x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f (x) x2 5x
y
y>0 y>0
方程
x2 5x 0
方程的解
x1 0, x2 5
图像与x轴交点的 横坐标
O
5
y<0
x
不等式
x2 5x 0
不等式的解集
x x 0或x 5
图像在x轴上方时x的 范围
x2 5x 0
不等式的解集
x 0 x 5
图像在x轴下方时x的范围
1、一元二次方程、一元二次不等式和二次 函数的关系.
(1)二次方程的根是函数的零点，即二次 函数图象与x轴交点的横坐标;
(2) 结合方程的解与函数图象可以得出二次 不等式的解.
﹛x|x<-1或x>3﹜
————————
y y=x2-2x-3
y>0
o
x
-1 y<0 3
一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac
⊿>0
y
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
x1 x2 x
⊿=0
y
x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
有两个不等实 有两个相
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2) x1=x2
❖ 练习2 解下列不等式
1.x2 -1 0 2. 3x2 4 0 3.x2 +2x 3 0 4. x2 3x 4＜0 5.x2 2x 1＞0 6. x2 2x 1 0
1.x 1 x 1
2.
x
x
2 3
3或x 2 3
3
3.x 3 x 1
4.x x＞1或x＜-4
0方程有两个不等的根
0方程有一个根 0方程没有根
求根的方法： （1）公式法 X=
（2）配方法，化为顶点式 a(x b )2 4ac b2 0
2a
4a
（3）十字相乘法
例：求x2 2x 3 0的根
方法一：
(2) (2)2 4 (3)
x
2
1 2 x1 1, x2 3
方法二：
x2 2x 3 (x 1)2 4 0,(x 1)2 4
x 1 2,即x 1 2, x1 1, x2 3
方法三：
x2 2x 3 (x 1)(x 3) 0, x1 1, x2 3
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
y
2、数学思想的体现
数形结合的思想及化归思想.
总结解不等式的步骤：
(1) 将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
(2)解 一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)
计算△,确定方程的根的情况
(3) 根据二次函数的图象写出解集
若有两个不同的根 x1, x2 ,用口诀：
“大取两边,小取中间”
5.
x
x＞ -1 2
2
或x＜ -12
2
6.
x
1 2
2 ＜x＜ 1+ 2
2
例：设A，B分别是不等式3x2 6 19x
与不等式 2x2 3x的 5解集0 ，试求
A B, A B.
解：由3x2 6 19 x，得3x2 19 x 6 0
解得：A＝x
1 3
x
6
由－2x2 3x 5 0解得