1.3 微分方程的向量场

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的积分曲线的充要条件是： 为 定理1.3 曲线 L为 (1.3.1) 的积分曲线的充要条件是： 定理 上任一点， 在L上任一点， 的切线与 (1.3.1) 所确定的向量场在该 上任一点 L的切线与 点的向量相重合。 点的向量相重合。 例1.3.1 在区域 D = {( x, y ) | x ≤ 2, y ≤ 2} 内画出方程
−2
D1
x
y 是方程的拐点曲线 拐点曲线。 故， = −2e 是方程的拐点曲线。
x
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y = −2e x
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内容小结
微分方程的向量场 积分曲线的图解法
作 业
P28 1（1）（2），2（1）（2）
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y′′ = y′ + e x = y + e 2 x令 y ′′ = 0得 y = −2e x 解：由方程得
不是方程的积分曲线， 容易验证 y = −2e x不是方程的积分曲线，它将 xy 两部分， 平面分为 D1 和D2 两部分，而且
D1 上， > −2ex y′′ > 0 y 在区域
D1
0
y
y 在区域 D2 上， ′ < −2ex , y′′ < 0
Maple指令： 指令： 指令
DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x), x=-2..2, # 画向量场及积分曲线 # 定义微分方程 y ' = − y # 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值 dirgrid=[17,17], arrows=LINE, axes=NORMAL; # 定义网格密度 # 定义线段类型 # 定义坐标系类型
(1.3.3)
若由 (1.3.3) 所确定的曲线本身不是 (1.3.1) 的积分曲 的积分曲线在它上面存在拐点时， 线，且方程(1.3.1)的积分曲线在它上面存在拐点时， 则称它为拐点曲线。 则称它为拐点曲线。 拐点曲线
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的拐点曲线。 y′ = y + e x 的拐点曲线。 例1.3.4 讨论方程
§1.3
一、 向量场
设一阶微分方程
微分方程的向量场
dy = f ( x, y ) dx
(1.3.1)
的右端函数在 xy 平面的一个区域 D 中有定义 中有定义, 满足解的存在唯一性定理的条件。 满足解的存在唯一性定理的条件。 定理的条件 那么， 那么，过 D 中任一点 ( x0 , y0 ) 有且仅有 (1.3.1)的一个解
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对任意一个实数 c ，由方程
(1.3.2) 所决定的曲线上任意一点 P ( x, y ) 处方程 (1.3.1) 的向
量场的方向都相同， 量场的方向都相同，即 我们把 (1.3.2 ) 所确定的曲线 等倾线。 称为微分方程 (1.3.1) 的等倾线。 例如： 例如：微分方程 y′ = − y 的等倾线为 y = c
y′ = x 2 + y 2 的等倾线为 x 2 + y 2 = c 2
f ( x, y ) = c
也称极值曲线 极值曲线。 零等倾线， 零等倾线，即 f ( x, y ) = 0 也称极值曲线。
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拐点曲线： 拐点曲线： 得到。 积分曲线 y = ϕ ( x )的拐点也可以从 f ( x, y ) 得到。 有连续的偏导数， 设 f ( x, y ) 有连续的偏导数，则一个点成为 y = ϕ ( x ) 代入方程 的拐点的必要条件是 ϕ ′′ ( x ) = 0 ，代入方程 (1.3.1) 得 y′′ = f x ( x, y ) + f y ( x, y ) f ( x, y ) = 0
dy 的向量场和几条积分曲线。 = − y 的向量场和几条积分曲线。 dx
解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上 画出向量场的方向可以得到向量场， 画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘 图误差较大。我们可以用 软件包来完成。 图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。
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y = ϕ ( x ) ，满足 ϕ ( x0 ) = y0 ϕ ′ ( x ) = f ( x, ϕ ( x ) )
从几何方面看， 从几何方面看，解 y = ϕ ( x )就是通过点( x0 , y0 ) 的一条
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曲线（称为积分曲线），且 曲线（称为积分曲线），且 f ( x, ϕ ( x ) ) 就是该曲线上 ）， 处的切线斜率， 的点 ( x, ϕ ( x ) ) 处的切线斜率，特别在 ( x0 , y0 )切线斜率 就是 f ( x0 , y0 ) 尽管我们不一定能求出方程 (1.3.1) 的 解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 ( x, y ) 但我们知道它的解曲线在区域 中任意点 的切线斜率是 f ( x, y ) 如果我们在区域D内每一点 如果我们在区域 内每一点( x, y )处，都画上一个 点的线段， 以 f ( x, y ) 的值为斜率中心在 ( x, y ) 点的线段，我们 就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程 就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。 所确定的向量场。
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回车后Maple就在 回车后Maple就在 Maple
1 1 × 4 4
的网格点上画出了向量场
的图形， 的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2,1) (-2, −2) 的三 条积分曲线， 条积分曲线，见下图
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二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式， 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式， 图解法就是不用微分方程解的具体表达式 直接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线 的大致图形。 的大致图形。 • 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主 图解法只是定性的， 要特征。 要特征。 • 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法 该方法的思想却十分重要。 求解的方程极少， 求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性 态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就 有很重要的指导意义。 有很重要的指导意义。
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向量场对于求解微分方程的近似解和 研究微分方程的几何性质极为重要， 研究微分方程的几何性质极为重要，因 为，可根据向量场的走向来近似求积分 曲线， 曲线，同时也可根据向量场本身的性质 来研究解的性质。 来研究解的性质。
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从几何上看， 从几何上看，方程 (1.3.1) 的一个解 y = ϕ ( x ) 就是位于 它所确定的向量场中的一条曲线， 它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的 每一点都与向量场在这一点的方向相切。 每一点都与向量场在这一点的方向相切。 形象的说， 形象的说，解 y = ϕ ( x )就是始终沿着向量场中的方向 行进的曲线，因此，求方程 (1.3.1) 满足初始值 y ( x0 ) = y0 行进的曲线，因此， 的解， 的这样的一条曲线。 的解，就是求通过点 ( x0 , y0 )的这样的一条曲线。